文档内容
2011 年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣ 的倒数是 ．
2．（3分）分解因式：8a2﹣2＝ ．
3．（3分）要使式子 有意义，则a的取值范围为 ．
4．（3分）如图：点A在双曲线 上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB ＝2，则k＝
．
5．（3分）如图：矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为
．
6．（3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，
△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC ，S△ADF ，S△BEF ，且S△ABC ＝12，则S△ADF ﹣S△BEF ＝
．
第1页（共22页）7．（3分）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，则a的取值范围为
．
8．（3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若
∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．（3分）cos30°＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）计算 的正确结果是（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．10
11．（3分）下列说法中
一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
①数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
②等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
③Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上
④
的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．（3分）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三
角形，则这个几何体侧面展开图的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
π 第2页（共22页）π π13．（3分）如图，AB为 O的直径，PD切 O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则
∠PCA＝（ ） ⊙ ⊙
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
14．（3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分
别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC
扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．8
15．（3分）已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（共9小题，满分75分）
16．（5分）解方程： ．
17．（6分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取
18瓶进行检测，检测结果分成“优秀“、“合格“和“不合格”三个等级，数据处理后制
成以下折线统计图和扇形统计图．
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）在该超购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？
第3页（共22页）18．（7分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE
丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF长．
19．（7分）有3张扑克牌，分別是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花
色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s﹣t|≥l的概率．
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B
方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？
20．（8分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决
定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地
到甲地60千米，到乙地45千米
（1）设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表：
甲 乙 总计
A x 14
B 14
总计 15 13 28
（2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量＝调运水的重量×调运的距
第4页（共22页）离，单位：万吨•千米）
21．（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1： （指坡面的铅直高度
与水平宽度的比），且AB＝20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端
点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数
字， ≈1.732）．
22．（8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为 上一点，
BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2）求证：AC•AF＝DF•FE．
23．（12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的
销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝ （万元）．当地政府
拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每
年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨
出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3
年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可
获利润 （万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
第5页（共22页）（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2）该方案是否具有实施价值？
24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y＝kx+b与抛物线y＝ x2交于M（x ，y ）和N（x ，
1 1 2
y ）两点（其中x ＜0，x ＞0）．
2 1 2
（1）求b的值．
（2）求x •x 的值．
1 2
（3）分别过M，N作直线l：y＝﹣1的垂线，垂足分别是 M 和N ．判断△M FN 的形状，并
1 1 1 1
证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m（m是常数），使m与以MN为直
径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
第6页（共22页）2011 年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】根据倒数的定义直接解答即可．
【解答】解：∵（﹣ ）×（﹣2）＝1，
∴﹣ 的倒数是﹣2．
【点评】本题考查倒数的基本概念，即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
属于基础题．
2．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：8a2﹣2，
＝2（4a2﹣1），
＝2（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．
3．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求
出x的范围．
【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
4．【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB ＝2求出k的值
即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB ＝2，
∴|k|＝4，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
第7页（共22页）【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐
标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
5．【分析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们
的左边之和等于AB，右边之和等于CD，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
【解答】解：由勾股定理，得AB＝ ＝6，
将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边
平移至CD，
∴五个小矩形的周长之和＝2（AB+BC）＝2×（6+8）＝28．
故答案为：28．
【点评】本题考查了平移的性质的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与
大矩形的周长进行比较．
6．【分析】S△ADF ﹣S△BEF ＝S△ABD ﹣S△ABE ，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积
即可，因为EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC ＝12，就可以求出三角形ABD的面积
和三角形ABE的面积．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝ AC，
∵S△ABC ＝12，
∴S△ABD ＝ S△ABC ＝ ×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC ＝12，
∴S△ABE ＝ S△ABC ＝ ×12＝4，
∵S△ABD ﹣S△ABE ＝（S△ADF +S△ABF ）﹣（S△ABF +S△BEF ）＝S△ADF ﹣S△BEF ，
即S△ADF ﹣S△BEF ＝S△ABD ﹣S△ABE ＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出
三角形的面积，然后求出差．
7．【分析】先解关于关于x，y的二元一次方程组 的解集，其解集由a表示；然后
第8页（共22页）将其代入x+y＜2，再来解关于a的不等式即可．
【解答】解：
由 ﹣ ×3，解得
① ②
y＝1﹣ ；
由 ×3﹣ ，解得
① ②
x＝ ；
∴由x+y＜2，得
1+ ＜2，
即 ＜1，
解得，a＜4．
解法2：
由 + 得4x+4y＝4+a，
① ②
x+y＝1+ ，
∴由x+y＜2，得
1+ ＜2，
即 ＜1，
解得，a＜4．
故答案是：a＜4．
【点评】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加
减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
8．【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形
第9页（共22页）全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵ ，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等
知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．
二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．【分析】直接根据cos30°＝ 进行解答即可．
【解答】解：因为cos30°＝ ，
所以C正确．
第10页（共22页）故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关
键．
10．【分析】首先求得﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4与（﹣ ）﹣1＝﹣2，然后利用有理数的运算求解即
可求得答案．
【解答】解：原式＝﹣4+4﹣（﹣2）＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，负指数幂的运算．题目比较简单，注意负整数指数
为正整数指数的倒数．
11．【分析】 一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补或相等．
在这组数①据中，中位数是2和4的平均数，出现次数最多的数是2，可以求出中位数和
②众数．
等腰梯形是轴对称，而不是中心对称．
③利用根与系数的关系得到a+b＝7，ab＝7，然后利用勾股定理求出斜边AB，得到斜边中
④线的长．
【解答】解： 一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补或相等，所以 错误．
① ①
数据1，2，2，4，5，7，中位数是 （2+4）＝3，其中2出现的次数最多，众数是2，所以
② ②
正确．
等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以 错误．
③根据根与系数的关系有：a+b＝7，ab＝7， ③
④∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣14＝35，
即：AB2＝35，
AB＝
∴AB边上的中线的长为 ．所以 正确．
④
故选：C．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，利用基本概念对每个命题进行分析，作出正确的
判断．
12．【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体
是圆锥．
第11页（共22页）【解答】解：依题意知母线长l＝4，底面半径r＝1，
则由圆锥的侧面积公式得S＝ rl＝ •1•4＝4 ．
故选：C． π π π
【点评】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视
图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧
面面积公式运用不熟练，易造成错误．
13．【分析】根据图形利用切线的性质，得到∠COD＝45°，连接AC，∠ACO＝22.5°，所以
∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
【解答】解：如图，∵PD切 O于点C，
∴OC⊥PD， ⊙
又∵OC＝CD，
∴∠COD＝45°，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出
∠PCA的度数．
14．【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是
点C平移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
第12页（共22页）∴AB＝3．
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴AC＝4．
∴A′C′＝4．
∵点C′在直线y＝2x﹣6上，
∴2x﹣6＝4，解得 x＝5．
即OA′＝5．
∴CC′＝5﹣1＝4．
∴S
BCC′B′
＝4×4＝16 （面积单位）．
即线▱段BC扫过的面积为16面积单位．
故选：C．
【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫
过的面积应为一平行四边形的面积．
15．【分析】首先在坐标系中画出已知函数 的图象，利用数形结合的
方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．
【解答】解：函数 的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，
∴k＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问
题转换为根据函数图象找交点的问题．
三、解答题（共9小题，满分75分）
第13页（共22页）16．【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为
整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+3），
得2（x+3）+x2＝x（x+3），
2x+6+x2＝x2+3x，
∴x＝6
检验：把x＝6代入x（x+3）＝54≠0，
∴原方程的解为x＝6．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．【分析】（1）读折线统计图可知，不合格等级的有1瓶，读扇形统计图可知甲种品牌有不
合格的，且只有1瓶，由此可求出甲种品牌的数量，据此解答即可．
（2）根据随机事件概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况的总
数；二者的比值就是其发生的概率的大小． ① ②
【解答】解：（1）1÷10%＝10（瓶），18﹣10＝8（瓶），
即甲种品牌有10瓶，乙种品牌有8瓶．
（2）∵甲，乙优秀瓶总数为10瓶，其中甲品牌食用油的优秀占到60%，
∴甲的优秀瓶数为10×60%＝6（瓶）
∴乙的优秀瓶数为：10﹣（10×60%）＝4（瓶），
又∵乙种品牌共有8瓶，
∴能买到“优秀”等级的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18．【分析】首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD＝CD＝AD，
∠ABD＝45°再由DE丄DF，可推出∠FDC＝∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C＝
45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE＝FC＝3，那么AB＝7，则BC＝7，BF＝4，再根据
勾股定理求出EF的长．
【解答】解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
第14页（共22页）∴BD⊥AC（三线合一），BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，
∴∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC＝∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵ ，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE＝FC＝3，
∴AB＝7，则BC＝7，
∴BF＝4，
在Rt△EBF中，
EF2＝BE2+BF2＝32+42，
∴EF＝5．
答：EF的长为5．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全
等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．
19．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概
率公式求出该事件的概率．
（2）分别求得两个方案中甲获胜的概率，比较其大小，哪个大则甲选择哪种方案好．
【解答】解：（1）画树状图得：
第15页（共22页）列表：
红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 （红3，红3） （红3，红4） （红3，黑5）
红桃4 （红4，红3） （红4，红4） （红4，黑5）
黑桃5 （黑5，红3） （黑5，红4） （黑5，黑5）
∴一共有9种等可能的结果，|s﹣t|≥l的有（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4）
共6种，
∴|s﹣t|≥l的概率为： ＝ ；
（2）∵两次抽得相同花色的有5种，两次抽得数字和为奇数有4种，
A方案：P（甲胜）＝ ；
B方案：P（甲胜）＝ ；
∴甲选择A方案胜率更高．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况
数与总情况数之比．
20．【分析】（1）根据由A到甲和乙的综和是14万吨，即可表示出由A到乙是（14﹣x）万吨，
再根据到甲的总和是15万吨，即可表示；
（2）首先用x表示出调运量的和，根据一次函数的性质，即可确定x的值，进而确定方案．
【解答】解：（1）如图所示：
调入地 甲 乙 总计
水量/万吨
调出地
A X 14﹣x 14
B 15﹣x x﹣1 14
第16页（共22页）总 计 15 13 28
（2）设调运量是y＝50x+30（14﹣x）+60（15﹣x）+45（x﹣1），
即y＝5x+1275，
依题意有 ，
即 ，
解得：1≤x≤14，
∵5＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x＝1时，y最小．
y最小 ＝5×1+1275＝1280（万吨•千米）
答：由A到甲1万吨，到乙13万吨；由B到甲14万吨，没有向乙地运水，水的最小调水量
为1280万吨•千米．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，正确把调运量表示成x的函数是解题的关键．
21．【分析】由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰
角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．
【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，
∵i＝1： ＝ ，
∴坡AB与水平的角度为30°，
∴ ，即得h＝ ＝10m，
第17页（共22页），即得a＝ ，
∴MN＝BC+a＝（30+10 ）m，
∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，
∴ ，
解得：DN＝MN•tan30°＝（30+10 ）× ＝10 +10≈27.32（m），
∴CD＝DN+AM+h＝27.32+1.7+10＝39.02≈39.0（m）．
答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．
【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B
的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．
22．【分析】（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD＝∠ACD，求出∠MCD＝∠DAB
推出∠DBA＝∠DAB即可；
（2）由在△CDA与△FAE中，∠CDA＝∠FAE，∠DCA＝∠AFE，得出△CDA∽△FAE，即
可推出CD•EF＝AC•AF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB＝180°，
∵∠MCD+∠DCB＝180°，
∴∠MCD＝∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD＝∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，
∴∠DCA＝∠DBA，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴DB＝DA，
∴△ABD为等腰三角形．
（2）由（1）知AD＝BD，BC＝AF，则弧AFD＝弧BCD，弧AF＝弧BC，
∴∠BDC＝∠ADF，弧CD＝弧DF，CD＝DF，
∴∠BDC+∠BDA＝∠ADF+∠BDA， ①
即∠CDA＝∠BDF，
第18页（共22页）而∠FAE+∠BAF＝∠BDF+∠BAF＝180°，
∴∠FAE＝∠BDF＝∠CDA，
同理∠DCA＝∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA＝∠FAE，∠DCA＝∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD•EF＝AC•AF，
又由 有AC•AF＝DF•EF命题即证．
①
【点评】本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和
判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．
23．【分析】（1）由可获得利润P＝﹣ （x﹣60）2+41（万元），即可知当x＝60时，P最大，
最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；
（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，
所以x＝50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为
100﹣a，即可得函数y＝P+Q＝[﹣ （a﹣60）2+41]+[﹣ a2+ a+160]，整理求解
即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；
（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值．
【解答】解：（1）∵每投入x万元，可获得利润P＝﹣ （x﹣60）2+41（万元），
∴当x＝60时，所获利润最大，最大值为41万元，
∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5＝205（万元）；
（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，
所以x＝50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[﹣ （50﹣60）2+41]＝80（万元），
后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100﹣a，
第19页（共22页）∴Q＝﹣ [100﹣（100﹣a）]2+ [100﹣（100﹣a）]+160＝﹣ a2+ a+160，
∴y＝P+Q＝[﹣ （a﹣60）2+41]+[﹣ a2+ a+160]＝﹣a2+60a+165＝﹣（a﹣30）
2+1065，
∴当a＝30时，y最大且为1065，
∴这三年的获利最大为1065×3＝3195（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195＝3275（万元）．
（3）有很大的实施价值．
规划后5年总利润为3275万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取
得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．
24．【分析】（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值．
（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x •x 的值．
1 2
（3）确定M ，N 的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M F2，N F2，M N 2，然后用勾
1 1 1 1 1 1
股定理判断三角形的形状．
（4）根据题意可知y＝﹣1总与该圆相切．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b过点F（0，1），
∴b＝1；
（2）∵直线y＝kx+b与抛物线y＝ x2交于M（x ，y ）和N（x ，y ）两点，
1 1 2 2
∴可以得出：kx+b＝ x2，
整理得： x2﹣kx﹣1＝0，
∵a＝ ，c＝﹣1，
∴x •x ＝﹣4，
1 2
（3）△M FN 是直角三角形（F点是直角顶点）．
1 1
理由如下：∵FM 2＝FF 2+M F 2＝x 2+4，
1 1 1 1 1
第20页（共22页）FN 2＝FF 2+F N 2＝x 2+4，
1 1 1 1 2
M N 2＝（x ﹣x ）2＝x 2+x 2﹣2x x ＝x 2+x 2+8，
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2
∴FM 2+FN 2＝M N 2，
1 1 1 1
∴△M FN 是以F点为直角顶点的直角三角形．
1 1
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y＝﹣1．
过M作MH⊥NN 于H，MN2＝MH2+NH2＝（x ﹣x ）2+（y ﹣y ）2，
1 1 2 1 2
＝（x ﹣x ）2+[（kx +1）﹣（kx +1）]2，
1 2 1 2
＝（x ﹣x ）2+k2（x ﹣x ）2，
1 2 1 2
＝（k2+1）（x ﹣x ）2，
1 2
＝（k2+1）[（x +x ）2﹣4x •x ]
1 2 1 2
＝（k2+1）（16k2+16）
＝16（k2+1）2，
∴MN＝4（k2+1），
分别取MN和M N 的中点P，P ，
1 1 1
PP ＝ （MM +NN ）＝ （y +1+y +1）＝ （y +y +2）＝ （y +y ）+1＝ k（x +x ）+2＝
1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2k2+2，
∴PP ＝ MN
1
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半．
∴以MN为直径的圆与l相切．
即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条
直线m的解析式是y＝﹣1．
第21页（共22页）【点评】本题考查的是二次函数的综合题，
（1）由点F的坐标求出b的值．
（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值．
（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状．
（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置．
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