文档内容
试卷第⻚，共⻚
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___________：号考___________：级班___________：名姓___________:校学
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绝绝绝密密密★★★启启启⽤⽤⽤前前前
⻄宁市普⾼ 2023-2024学年度第⼀学期期末联考试卷
⾼三年级数学学科（⽂）
注意事项：
1．答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的⽂字说明
⼀、单选题
1．已知 为虚数单位，复数 满⾜ ，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．⼀个⼏何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的
半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该⼏何体的体积是 ，则它的表⾯积是
A． B． C． D．
4．已知 的内⻆ 的对边分别是 ，⾯积为S，且 ，则⻆
的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是奇函数，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．-2
6．已知向量 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
7．⼋⻆星纹是⼤汶⼝⽂化中期彩陶纹样中具有鲜明特⾊的花纹.⼋⻆星纹以⽩彩绘成，
⿊线勾边，中为⽅形或圆形，具有向四⾯⼋⽅扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}试卷第⻚，共⻚
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在图2中，圆中各个三⻆形为等腰直⻆三⻆形.若向图2随机投⼀点，则该点落在⽩⾊部
分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．江南的周庄、同⾥、甪直、⻄塘、⻦镇、南浔古镇，并称为“江南六⼤古镇”，是中国
江南⽔乡⻛貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史⽂化底蕴、清丽婉约的⽔乡古镇⻛
貌、古朴的吴侬软语⺠俗⻛情，在世界上独树⼀帜，驰名中外.这六⼤古镇中，其中在苏
州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选⼀个苏州
古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 是奇函数，且 ，将 的
图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
11．圆 关于直线 对称，则 的最⼩
值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，且点 到准线
的距离为6， 的垂直平分线与准线 交于点 ，点 为坐标原点，则 的⾯积为
（ ）
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}试卷第⻚，共⻚
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A． B． C． D．
第 II卷（⾮选择题）
⼆、填空题
13．已知抛物线 ： 经过点 ，则抛物线的准线⽅程是 .
14．已知 是第三象限⻆，则 的值为 .
15．已知实数x，y满⾜不等式组 ，则 的最⼤值为 ．
16．已知⼀个体积为 的球 内切于直三棱柱 （即与三棱柱的所有⾯均
相切）,底⾯的 中有 ,则该直三棱柱的外接球 （即使
所有顶点均落在球⾯上）的表⾯积为 ．
三、问答题
17．某市旅游部⻔为了促进⽣态特⾊城镇和新农村建设，将甲、⼄，丙三家⺠宿的相关
资料放到某⽹络平台上进⾏推⼴宣传.该平台邀请部分曾在这三家⺠宿体验过的游客参
与调查，得到了这三家⺠宿的“综合满意度”评分，评分越⾼表明游客体验越好，现从这
三家⺠宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进⾏整理、
描述和分析，下⾯给出了部分信息.
a.甲、⼄两家⺠宿“综合满意度”评分的折线图：
b.丙家⺠宿“综合满意度”评分：
2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1
c.甲、⼄、丙三家⺠宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 ⼄ 丙
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}试卷第⻚，共⻚
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平均数 4.5 4.2
中位数 4.5 4.7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 的值是______， 的值是______；
(2)设甲、⼄、丙三家⺠宿“综合满意度”评分的⽅差分别为 、 、 ，试⽐较其⼤⼩.
(3)根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、⼄、丙三家⺠宿中的⼀家置顶推荐，
你认为该平台会将这三家⺠宿中的哪家置顶推荐？说明理由（⾄少从两个⽅⾯说明）.
18．已知各项为正数的等差数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19．正四棱锥 中， ， ，其中 为底⾯中⼼， 为 上靠近 的
三等分点．
(1)求证： 平⾯ ；
(2)求四⾯体 的体积．
20．已知函数 ，且曲线 在点 处的切线与直线
平⾏.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成⽴，求实数 的取值范围.
21．已知椭圆 的离⼼率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆⽅程；
(2)设不过原点 的直线 ，与该椭圆交于 两点，直线 的
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}试卷第⻚，共⻚
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___________：号考___________：级班___________：名姓___________:校学
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斜率依次为 ，满⾜ ，试问：当 变化时， 是否为定值？若是，求出
此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
22．在直⻆坐标系 中，圆 的参数⽅程为 （ 为参数）．以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，圆 的极坐标⽅程是 ．
(1)在直⻆坐标系中，若直线 经过点 且与圆 和圆 的公共弦所在直线平⾏，求
直线 的极坐标⽅程；
(2)若射线 与圆 的交点为 ，与圆 的交点为 ，线段 的中点为
，求 的周⻓．
23．已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)在直⻆坐标系 中，求不等式组 所确定的平⾯区域的⾯积.
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}参考答案：
⼀、单选题（每题5分）
1．B
2．A
3．D
4．A
5．A
6．A
7．D
8．A
9．B
10．A
11．C
12．B
⼆、填空题（每题5分）
13．
14．
15．12
16．
三、解答题（17-21题每题12分；22、23选做每题10分）
17．(1) ，
(2)
(3)答案不唯⼀，合理即可
【详解】（1）甲家⺠宿“综合满意度”评分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，
∴ ，................................（2分）
丙家⺠宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，
从⼩到⼤排列为：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.
∴ 中位数 ，..............................................................................................（4分）
（2）根据折线统计图可知，
答案第⻚，共⻚
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}⼄的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5分之间波动，
根据丙的数据可以在2.6⾄5分之间波动，
∴ ；.................................................................................................................（8分）
（3）推荐⼄，理由：⼄的⽅差最⼩，数据稳定，平均分⽐丙⾼，..............................（12分）
答案不唯⼀，合理即可.
18．（1） ；（2） .
【详解】（1）设 的公差为 ,由已知得
解得 或 (舍去)...................................................................................................（3分）
的通项公式为 ....................................................................（5分）
（2）由（1）得 ,................................................................................（7分）
,........................................................................................................（9分）
................................................................（. 12分）
19．(1)证明⻅解析(2)
【详解】（1）在正四棱锥 中 为底⾯中⼼，连接 ， ，
则 与 交于点 ，且 ，..............................................................................（2分）
平⾯ ， 平⾯ ，所以 ，..................................................（4分）
⼜ ， 平⾯ ，所以 平⾯ .......................................（5分）
（2）因为 ， ，所以 ，...........（8分）
答案第⻚，共⻚
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}⼜ 为 上靠近 的三等分点，所以 ，.........................................（10分）
则 .........................................................................（12分）
20．（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；（2） .
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，.............................（1分）
⼜曲线 在点 处的切线与直线 平⾏
所以 ，即 ......................................................................................（3分）
，
由 且 ，得 ，即 的单调递减区间是 .......................（4分）
由 得 ，即 的单调递增区间是 ...........................................（5分）
（2）由（1）知不等式 恒成⽴可化为 恒成⽴
即 恒成⽴........................................................................................................（6分）
令 ............................................................................（7分）
当 时， ， 在 上单调递减.
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 时，函数 有最⼩值...................................................................................（11分）
由 恒成⽴
得 ，即实数 的取值范围是 ............................................................（12分）
21．(1)
(2) 是定值； 为定值
答案第⻚，共⻚
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}【详解】（1）根据题意可得： ，
解⽅程组可得 ，...............................................................................................（4分）
故椭圆⽅程为 ...................................................................................................（5分）
（2）当 变化时， 为定值，证明如下：由 ，把 代⼊椭圆⽅程得：
；.................................................................................（6分）
设 ，由⼆次函数根与系数关系得： ...................（7分）
因为直线 斜率依次是 ，且满⾜ ，
所以 ，................................................................................（9分）
该式化为 ，代⼊根与系数关系 得： ，....（11分）
经检验满⾜ ：即 为定值 ......................................................................................（12分）
22．(1)
(2)
【详解】（1）由圆 的参数⽅程 ，则 ，由 ，则
，即 ①，......................................................................（1分）
答案第⻚，共⻚
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}由圆 的极坐标⽅程 ，两边同乘 可得 ，
由 ，则 ②，..........................................................................（2分）
可得 ，
故圆 与圆 的公共弦所在直线的⽅程为 ，其斜率为 ，.........................（3分）
由直线 与两圆公共弦所在直线平⾏，且直线 过 ，则 ，........（4分）
化简可得 ，由 ，则 ..........................（5分）
（2）由射线 ，由 ，则射线 ，
由圆 ，可得 ，
代⼊ ，则 ，化简可得 ，解得 ，可得 ；
................................................................................................................................................（6分）
由圆 ，可得 ，
代⼊ ，则 ，化简可得 ，解得 ，可得 .
................................................................................................................................................（7分）
由 为线段 的中点，则 ，..............................................................................（8分）
故 的周⻓
..（. 10分）
23．(1) ；
(2)8.
【详解】（1）依题意， ，...............................................................（1分）
答案第⻚，共⻚
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}不等式 化为： 或 或 ，..............（2分）
解 ，得⽆解；解 ，得 ，解 ，得 ，
因此 ，
所以原不等式的解集为： ...........................................................................................（5分）
（2）作出不等式组 表示的平⾯区域，如图中阴影 ，
由 ，解得 ，.............................................................................................（7分）
由 , 解得 ，.................................................................................................（9分）
⼜ ，
所以 的⾯积 ..............................（10分）
答案第⻚，共⻚
{#{QQABIQYQggggAgBAAAgCEwW4CkEQkBEACAoOABAAMAAAiRFABAA=}#}
