文档内容
2019年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣ ，π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a3 B．a4•a2＝a8 C．（2a2）3＝6a6 D．a2+a2＝a4
3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦
娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里
用科学记数法表示为（ ）
A．4.2×109米 B．4.2×108米 C．42×107米 D．4.2×107米
4．（4分）下列图形：
是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．（4分）如图，直线1∥1，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（ ）
1 2
A．150° B．180° C．210° D．240°
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
1下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8
C．平均数是8.2 D．方差是1.2
7．（4分）不等式组 的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2
8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°
方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则
∠P的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随
2机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则 的长为（
）
A． π B．π C．2π D．3π
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，
连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实
数k的取值范围是 ．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银
一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋
中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重
两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白
银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为
．
15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，
交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 ．
316．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣
13的解为 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A，如图所示，依次作正方形
1
OABC，正方形CABC，正方形CABC，正方形CABC，……，点A，A，A，A，……在直
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4
线l上，点C，C，C，C，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
1 2 3 4
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF
折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+ ）÷（a﹣1﹣ ），其中a＝ ．
20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的
4比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：
组别 分数 人数
第1组 90＜x≤100 8
第2组 80＜x≤90 a
第3组 70＜x≤80 10
第4组 60＜x≤70 b
第5组 50＜x≤60 3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A，与x轴交于
点B（5，0），若OB＝AB，且S ＝ ．
△OAB
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用
3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种
粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
5（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子
的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且
过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S ＝4，求点P的坐标；
△PBA
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距
离；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝
90°，FG⊥AD，垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
672019年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣ ，π中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．
【解答】解：
∵| |＝ ＜|﹣3|＝3
∴﹣ ＜（﹣3）
C、D项为正数，A、B项为负数，
正数大于负数，
故选：B．
【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，
绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a3 B．a4•a2＝a8 C．（2a2）3＝6a6 D．a2+a2＝a4
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别
计算得出答案．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；
B、a4•a2＝a6，故此选项错误；
C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握
相关运算法则是解题关键．
3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦
娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里
用科学记数法表示为（ ）
A．4.2×109米 B．4.2×108米 C．42×107米 D．4.2×107米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
8时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）下列图形：
是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．
【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；
④不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
5．（4分）如图，直线1∥1，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（ ）
1 2
A．150° B．180° C．210° D．240°
【分析】过点E作EF∥1，利用平行线的性质解答即可．
1
9【解答】解：过点E作EF∥1，
1
∵1∥1，EF∥1，
1 2 1
∴EF∥1∥1，
1 2
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是8
C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是 （8+8）＝8，故B选项正确；
平均数为 （6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；
方差为 [（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣
8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，
最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
107．（4分）不等式组 的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°
方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30 ，过B作
BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30 ，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30 ，
∴AE＝BE＝ AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
11∴CE＝ BE＝10 km，
∴AC＝AE+CE＝30+10 ，
∴A，C两港之间的距离为（30+10 ）km，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较
简单．
9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则
∠P的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝
180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由
直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
12∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定
理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随
机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小
球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图所示：
∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，
∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为 ＝ ；
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则 的长为（
）
13A． π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝ OA，根据等腰三角形
的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝ OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴ 的长＝ ＝2π，
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是
解题的关键．
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，
连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段PP，再根据垂线段最短可得当
1 2
BP⊥PP时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP⊥PP，故BP的最小
1 2 1 1 2
值为BP的长，由勾股定理求解即可．
1
【解答】解：如图：
14当点F与点C重合时，点P在P处，CP＝DP，
1 1 1
当点F与点E重合时，点P在P处，EP＝DP，
2 2 2
∴PP∥CE且PP＝ CE
1 2 1 2
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：PP∥CE且PP＝ CF
1 1
∴点P的运动轨迹是线段PP，
1 2
∴当BP⊥PP时，PB取得最小值
1 2
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP为等腰直角三角形，CP＝2
1 1
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CPB＝45°，∠DEC＝90°
1
∴∠DPP＝90°
2 1
∴∠DPP＝45°
1 2
∴∠PPB＝90°，即BP⊥PP，
2 1 1 1 2
∴BP的最小值为BP的长
1
在等腰直角BCP中，CP＝BC＝2
1 1
∴BP＝2
1
∴PB的最小值是2
故选：D．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问
题，有难度．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实
数k的取值范围是 k ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值
范围；
15【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k ；
故答案为：k ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数
根；③当△＜0时，方程无实数根．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银
一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋
中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重
两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白
银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为
．
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重
量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方
程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系．
15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，
交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 π ．
16【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证
明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积
公式计算即可．
【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝ ＝3 ，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝ OC＝ ，
∴阴影都分的面积＝ ﹣ ×3×3× + ×3 × ﹣ ＝ π，
故答案为： π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角
形的面积公式是解题的关键．
16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣
13的解为 x ＝ 2 ， x ＝ 4 ．
1 2
【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
17∴ ，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得，x＝2，x＝4．
1 2
故意答案为：x＝2，x＝4．
1 2
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题
的关键．
17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A，如图所示，依次作正方形
1
OABC，正方形CABC，正方形CABC，正方形CABC，……，点A，A，A，A，……在直
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4
线l上，点C，C，C，C，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 （ 2n
1 2 3 4
﹣ 1 ） ．
【分析】根据题意和函数图象可以求得点A，A，A，A的坐标，从而可以得到前n个正方形
1 2 3 4
对角线长的和，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
点A的坐标为（0，1），点A的坐标为（1，2），点A的坐标为（3，4），点A的坐标为（7，
1 2 3 4
8），……，
∴OA＝1，CA＝2，CA＝4，CA＝8，……，
1 1 2 2 3 3 4
∴前n个正方形对角线长的和是： （OA+CA+CA+CA+…+C A）＝ （1+2+4+8+…
1 1 2 2 3 3 4 n﹣1 n
+2n﹣1），
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
18则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是： ×（2n﹣1），
故答案为： （2n﹣1），
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF
折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 2 ．
【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝
90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．
【解答】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3 ，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝ AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝ ×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
19∴△FEC∽△EDC，
∴ ，
∵EC＝ ＝ ＝3 ，
∴ ，
∴FE＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是
能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+ ）÷（a﹣1﹣ ），其中a＝ ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ + ）÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝ 时，
原式＝ ＝1﹣2 ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
20则及二次根式的运算能力．
20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的
比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：
组别 分数 人数
第1组 90＜x≤100 8
第2组 80＜x≤90 a
第3组 70＜x≤80 10
第4组 60＜x≤70 b
第5组 50＜x≤60 3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数 40×50%﹣8＝12（人），第4组
人数 40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；
（2） ＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；
（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．
【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），
第2组人数 40×50%﹣8＝12（人），
第4组人数 40×50%﹣10﹣3＝7（人），
∴a＝12，b＝7；
（2） ＝27°，
∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；
（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），
∴成绩高于80分的共有900人．
21【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．
21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A，与x轴交于
点B（5，0），若OB＝AB，且S ＝ ．
△OAB
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结
论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S ＝ ，
△OAB
∴ ×5×AD＝ ，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝ ＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
22将点A坐标代入反比例函数y＝ 中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中， ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝ x﹣ ；
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝ ，
∴P（ ，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（ ，0）．
23【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等
腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用
3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种
粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子
的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价
÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价
不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得： + ＝1100，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
24（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA＝PF
即可解决问题．
（2）证明△AEP∽△DEC，可得 ＝ ，由此即可解决问题．
（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
25∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴四边形AGFP是菱形．
（2）证明：如图②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴ ＝ ，
∵AB＝CD，
∴AE•AB＝DE•AP；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
26∴BD＝ ＝ ，
∵AE⊥BD，
∴S ＝ •BD•AE＝ •AB•AD，
△ABD
∴AE＝ ，
∴DE＝ ＝ ，
∵AE•AB＝DE•AP；
∴AP＝ ＝ ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且
过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S ＝4，求点P的坐标；
△PBA
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距
离；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．
（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析
式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴
为界分成△ABC与△ACP，即得到S ＝ AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t
△PBA
27的方程，解之即求得点P坐标．
（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物
线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下
方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB
面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到
Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解
析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距
离．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函数表达式为y＝ x2﹣ x﹣2
（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
设P（t， t2﹣ t﹣2）（t＞3）
∴OD＝t，PD＝ t2﹣ t﹣2
设直线BP解析式为y＝kx﹣2
把点P代入得：kt﹣2＝ t2﹣ t﹣2
∴k＝ t﹣
∴直线BP：y＝（ t﹣ ）x﹣2
当y＝0时，（ t﹣ ）x﹣2＝0，解得：x＝
∴C（ ，0）
∵t＞3
∴t﹣2＞1
28∴ ，即点C一定在点A左侧
∴AC＝3﹣
∵S ＝S +S ＝ AC•OB+ AC•PD＝ AC（OB+PD）＝4
△PBA △ABC △ACP
∴ ＝4
解得：t＝4，t＝﹣1（舍去）
1 2
∴ t2﹣ t﹣2＝
∴点P的坐标为（4， ）
（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过
点E作EF⊥y轴于点F
∴AB垂直平分OE
∴BE＝OB，OG＝GE
∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°
∴OA＝3，OB＝2，AB＝
∴sin∠OAB＝ ，cos∠OAB＝
∵S ＝ OA•OB＝ AB•OG
△AOB
∴OG＝
∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°
∴∠OAB＝∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝ ，cos∠BOG＝
29∴EF＝ OE＝ ，OF＝ OE＝
∴E（ ，﹣ ）
设直线BE解析式为y＝ex﹣2
把点E代入得： e﹣2＝﹣ ，解得：e＝﹣
∴直线BE：y＝﹣ x﹣2
当﹣ x﹣2＝ x2﹣ x﹣2，解得：x＝0（舍去），x＝
1 2
∴点M横坐标为 ，即点M到y轴的距离为 ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对
称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确
定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系
求线段的长．
25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝
90°，FG⊥AD，垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
30【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝
MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝
AG＝FG；
（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得 ，且CH＝FH，可得GH＝
HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．
【解答】解：（1）AG＝FG，
理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE＝MF，ME＝BC
31∴ME＝AB＝BC
∴BE＝MA＝MF
∴AG＝FG，
（2）DH⊥HG
理由如下：如图，延长GH交CD于点N，
∵FG⊥AD，CD⊥AD
∴FG∥CD
∴ ，且CH＝FH，
∴GH＝HN，NC＝FG
∴AG＝FG＝NC
又∵AD＝CD，
∴GD＝DN，且GH＝HN
∴DH⊥GH
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．
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