广西南宁市（六市同城）2018年中考数学真题试题（含解析）_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_2018年全国中考数学258份

广西南宁市（六市同城）2018年中考数学真题试题 （考试时间：120 分钟 满分：120 分） 注意事项： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在试卷 上作答无效。 2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项。 3. 不能使用计算器，考试结束前，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1.-3 的倒数是 1 1 A. -3 B. 3 C. - D. 3 3 【答案】C 【考点】倒数定义，有理数乘法的运算律， 【解析】根据倒数的定义，如果两个数的乘积等于 1，那么我们就说这两个数互为倒数.除 0 1 以外的数都存在倒数。因此-3 的倒数为- 3 【点评】主要考察倒数的定义 2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是【答案】A 【考点】中心对称图形 【解析】在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180°后，能与自身重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形。 【点评】掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重 合． 3.2018 年俄罗斯世界杯开幕式于 6 月 14 日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳 81000 名观众，其中数据 81000 用科学计数法表示为（ ） A. 81103 B. 8.1104 C. 8.1105 D. 0.81105 【答案】B 【考点】科学计数法 【解析】81000  8.1104 ，故选 B 【点评】科学计数法的表示形式为a 10n的形式，其中1  a  10,n为整数 4.某球员参加一场篮球比赛，比赛分 4 节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该 球员平均每节得分为（）A.7 分 B.8 分 C.9 分 D.10 分 【答案】 B 【考点】求平均分 12  4 10  6 【解析】 4  8 【点评】本题考查用折线图求数据的平均分问题 5. 下列运算正确的是 A. a(a＋1)＝a2＋1 B. (a2)3＝a5 C. 3a2＋a＝4a3 D. a5÷a2＝a3 【答案】D 【考点】整式的乘法；幂的乘方；整式的加法；同底数幂的除法 【解析】选项 A 错误，直接运用整式的乘法法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把结果相 加，可得 a(a＋1)＝a2＋a； 选项 B 错误，直接运用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得(a2)3＝a6； 选项 C 错误，直接运用整式的加法法则，3a2 和 a 不是同类项，不可以合并； 选项 D 正确，直接运用同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得 a5÷a2＝a3． 【点评】本题考查整式的四则运算，需要记住运算法则及其公式，属于基础题。 6.如图，ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD ，若 A =60°，B =40°，则 ECD 等于（）A.40° B.45° C.50° D.55° 【答案】C 【考点】三角形外角的性质，角平分线的定义 【解析】ABC 的外角ACD  A  B  60  40  100 ,又因为CE 平分ACD ， 1 1 所以ACE  ECD  ACD  100  50. 2 2 【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 7. 若m＞n ，则下列不等式正确的是 【答案】B 【考点】不等式的性质 【解析】A：不等式两边同时减去一个相等的数，不等式的符号不改变 错误 B：不等式两边同时除以一个相等的正数，不等式的符号不改变 正确 C：不等式两边同时乘以一个相等的正数，不等式的符号不改变 错误 D：不等式两边同时乘以一个相等的负数，不等式的符号改变 错误 【点评】本题目考察了对于不等式性质的理解与判断，属于基础题目 8.从 2,1,2 这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是 2 1 A. B. 1 1 C. D. 3 2 3 4 【答案】C 【考点】概率统计、有理数乘法 【解析】总共有三个数字，两两相乘有三种情况；根据同号得正，异号得负，而只有 2 与1 1相乘时才得正数，所以是 3 【点评】此题目考察了对于概率统计基本概念的理解以及有理数乘法的判断 1 9.将抛物线 y＝ 2－6x＋21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为 1 2 1 A. y＝ －8)2x＋5 B. y＝ －4)2＋5 (x (x 12 21 C. y＝ －8)2＋3 D. y＝ －4)2＋3 (x (x 2 2 【答案】D 【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律； 1 【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移。抛物线 y＝ 2－6x＋21 可配方 2 x 1 成 y 2 (x －6)2＋3，顶点坐标为(6,3)．因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个 1 单位，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口大小不变，于是新抛物线解析式为 y＝ －4)2＋3． (x 2 方法２：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移２个单位，即原来解析 1 式中所有的“x”均要变为“x＋2”，于是新抛物线解析式为 y＝ ＋2)2－6(x＋2)＋21，整理 1 1 2 (x 得 y＝ 2－4x＋11，配方后得 y＝ －4)2＋3． x (x 2 2 【点评】本题可运用点的平移规律，也可运用函数图像平移规律，但要注意的是二者的区别： 其中 点的平移规律是上加下减，左减右加；而函数图像的平移规律是上加下减，左加右减。 10.如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形 是莱洛三角形，若 AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 A. π＋ B. π－ C. 2π－ D. 2π－2 【答案】 D【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式. 【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积 相加减去两个等边三角形的面积，即 - . 阴影 扇形 ∆ 60 2 S =3×S 2×S ABC 由题意可得， . 扇形 2 360 3 S =π×2 × = π 要求等边三角形 的面积需要先求高. 如下图，过 垂A直BC 于 ,可知， AD AD 在 ∆ 中AD ， BC D ， AB 2 Rt ABD sin60°= = 所以 ， 1 1 所以 A∆D=2×sin60°= . 2 2 ABC S = ×BC×AD= ×2× = 2 所以 - - - . 阴影 扇形 ∆ 3 ABC S =3×S 2×S =3× π 2× =2π 2 故选 D. 【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。 11.某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产 量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为 ，则可列方程为 A. B. 𝑥 : : 80(1 + 𝑥) = 100 100(1 − 𝑥) = 80 C. D. : 【答80案(1】 + A2𝑥) = 100 80(1 + 𝑥 ) = 100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 ，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 吨，2018 年蔬菜产量为𝑥 吨. 预计 2018 年蔬菜产 量达到 100 吨8，0(即1 + 𝑥) ，即 80(1 + 𝑥) (1 + 𝑥.) : 故选 A. 80(1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = 100 80(1 + 𝑥) = 100 【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思， 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程. 12.如图，矩形纸片 ABCD，AB＝4，BC＝3，点 P 在 BC 边上，将 CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE、DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP＝OF，则 cos△∠ADF 的值为 11 13 15 17 A. B. C. D. 13 15 17 19 【答案】C 【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值 【解析】 由题意得：Rt DCP≌Rt DEP，所以 DC＝DE＝4，CP＝EP 在 Rt OEF 和△ Rt OBP 中△，∠EOF＝∠BOP，∠B＝∠E，OP＝OF Rt O△EF≌Rt OB△P(AAS)，所以 OE＝OB，EF＝BP 设△ EF 为 x，则△ BP＝x，DF＝DE－EF＝4－x， 又因为 BF＝OF＋OB＝OP＋OE＝PE＝PC，PC＝BC－BP＝3－x所以，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x 在 Rt DAF 中，AF2＋AD2＝DF2，也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)2 3 3 3 17 △ 解之得，x＝5，所以 EF＝5，DF＝4－5＝ 5 AD 15 最终,在 Rt DAF 中，cos∠ADF＝DF＝17 【点评】本△题由题意可知，Rt DCP≌Rt DEP 并推理出 Rt OEF≌Rt OBP，寻找出合适 的线段设未知数，运用勾股定△理列方程求△解，并代入求解出△所求cos 值即△可得。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13.要使二次根式 x  5 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 【答案】 x  5 【考点】二次根式有意义的条件. 【解析】根据被开方数是非负数，则有 x  5  0  x  5 ， . 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键． 14.因式分解： 2a2  2= .    【答案】2 a 1 a 1 【考点】因式分解 【解析】2a2  2  2  a2 1   2  a 1  a 1    2 a2 1 步骤一：先提公因式 2 得到： ，    2 a 1 a 1 步骤二：再利用平方差公式因式分解得到结果： 【点评】此题目考察了对于因式分解的基本判断与认识，属于基础题目 15.已知一组数据6 ，x ，3，3，5，1的众数是 3和 5，则这组数据的中位数是 。【答案】4 【考点】中位数   【解析】解：因为众数为 3 和 5，所以x  5 ，所以中位数为： 3 5  2  4 【点评】主要考察了众数的知识点，通过众数求中位数 16.如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°.已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根 号）。 【答案】40 【考点】三角函数 【解析】∵俯角是45! ， BDA  45!， AB  AD =120m， 又∵ CAD  30! CD 3 , 在 Rt△ADC 中 tan∠CDA=tan30°= = , AD 3  CD = 40 3 （m） 【点评】学会应用三角函数解决实际问题。 17.观察下列等式： 30  1， 31  3， 32  9 ， 33  27 ， 34  81， 35  243，…，根据其 中规律可得30  31  32 · · ·  32018 的结果的个位数字是 。 【答案】3 【考点】循环规律 【解析】∵ 30  1 ， 31  3 ， 32  9 ， 33  27 ， 34  81 个位数 4 个数一循环，  20181   4  504余3 ， 1 3  9  13， 30  31  32 32018的个位数字是 · · · 3 。 【点评】找到循环规律判断个位数。18. 如图，矩形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上，且关于 y 轴对称， k 反比例函数 y  1 (x  0) 的图像经过点C ，反比例函数 x k y  2 (x  0)的图像分别与 AD, CD 交于点 E, F ， x 若  7, k  3k  0，则k 等于 . 1 2 1 S BEF 【答案】k  9 1 【考点】反比例函数综合题 【解析】设 B 的坐标为(a,0)，则 A 为(a,0)，其中 k  3k  0，即 k  3k 1 2 1 2 根据题意得到 k k a C(a, k 1 ) ， E(a, 2 )， D(a, 1 ， F ( ,k 1 ) a a 3 a ) a k 矩形面积 2a  1  2k 1 a 2 2k a ( 2 ) 2 a S DF  DE 3   k DEF   2 2 2 3 4 k a  a 1 2 CF  BC 3  k S BCF  2  2 3 1 k 2a ( 2 ) a S AB  AE  k ABE  2 2  2 !S  7 BEF 2 2 2k  k  k  k  7 1 3 2 3 1 2 1 把k   k 代入上式，得到 2 3 1 4 5 1 k  ( k )  7 1 1 3 3 3 4 5 k  k  7 3 1 9 1 7 k  79 1 k  9 1【点评】该题考察到反比例函数中k 值得计算，设点是关键，把各点坐标求出来，根据割补法 求面积列式，求出k 的值。 1 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答题因写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题满分 6 分） 计算： 【答案】 【考点】实数的运算；负指数幂；特殊角的三角函数值；根号的化简 【解析】 解：原式= = 【点评】本题先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可 20.（本题满分 6 分）解分式方程： x 2x 1 x 1 3x  3. 【答案】 x  1.5  【考点】解分式方程 【解答】 解：方程左右两边同乘3(x 1)，得 3x  3(x 1)  2x 3x  3x  3  2x 2x  3 x  1.5 检验：当 x  1.5 时 ， 3(x 1)  0 x  1.5 所以，原分式方程的解为 . 【点评】根据解分式的一般步骤进行去分母，然后解一元一次方程,最后记得检验即可.21.（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中， 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A(1,1), B(4,1),C(3,3) . (1)将ABC 向下平移 5 个单位后得到A B C ， 1 1 1 请画出A B C ; 1 1 1 (2)将ABC 绕原点O 逆时针旋转90 后得到 A B C ，请画出A B C 2 2 2 2 2 2 ； (3)判断以O, A , B 为顶点的三角形的形状.（无须说明理由） 1 【答案】详情见解析 【考点】平面直角坐标系中的作图变换--平移与旋转 【解析】（1）如图所示， A B C 即为所求； 1 1 1 （2）如图所示， A B C 即为所求； 2 2 2 （3）三角形的形状为等腰直角三角形。 【点评】常规题型，涉及到作图变换的两种类型：平 移变换和旋转变换，要求数清格子，且按要求作图即可。 22.（本题满分 8 分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学 校对本校 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 A, B, C, D 四个等级进行统计，绘制成如下 不完整的统计表和扇形统计图.(1) 求 m , n ; (2) 在扇形统计图中，求“ C 等级”所对应圆心角的度数； (3) 成绩等级为 A 的4 名同学中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学 校参加全市比赛.请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率. 1 【答案】（1） m  51, n  30；（2）108°；（3） 2 【考点】统计表；扇形统计图；概率统计 【解析】（1） m  0.51100  51； 看扇形可知 D 的百分数为15% ，则其频率为 0.15，则人数为 0.15100  15 ， 总人数为100 ，则C 的人数总人数 （A、B、D）人数， 即n  100  4  5115  30 ； （2）圆周角为360! ，根据频率之和为 1，求出C 的频率为0.3 ， 则“ C 等级”对应圆心角的度数 为 0.3×360°=108° （3）将1名男生和3 名女生标记为 A 、A 、A 、A ,用树状图表示如下： 1 2 3 4由树状图可知随机挑选2 名学生的情况总共有12 种，其中恰好选中1男和1女的情况有6 种， 概率 6 1  12 2 【点评】该题属于常规题，是我们平常练得较多的题目，懂得看扇形统计图以及抓住样本总量 与频率和为 1 是关键。 23.（本题满分 8 分）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E、F，且 BE=DF. （1）求证：▱ABCD 是菱形； （2）若 AB=5,AC=6，求▱ABCD 的面积。 【解答】 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D． ∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB=∠AFD=90°， 又∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD(ASA)． ∴AB=AD， ∴四边形 ABCD 是菱形．（2）如图, 连接 BD 交 AC 于点O ∵由（1）知四边形ABCD 是菱形， ． ∴AC⊥BD, AO=OC= AC， = 6 = = AC = × 6 = 3 : : ∵AB=5,AO=3, 在 Rt△AOB 中， , : : : : ∴BD=2BO=8, BO = √AB − AO = √5 − 3 = 4 ∴S = ▱ABCD = = AC ∙ BD = × 6 × 8 = 24 : : 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；菱形的判定与性质、面积 计算． 【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，由题目 AE⊥BC，AF⊥DC 得出∠AEB=∠ AFD=90°，因为 BE=DF,由 ASA 证明△AEB≌△AFD，可得出 AB=AD,根据菱形的判定，即可 得出四边形ABCD 为菱形。 （2）由平行四边形的性质得出 AC⊥BD，AO=OC= =3，在 Rt△AOB 中，由勾股定理 = AC : 可求 BD, 再根据菱形面积计算公式可求出答案。 : : B【O点 =评 √】AB本题−考 AO查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、菱形的性质和 判定、菱形的面积计算等知识点，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题，属于中考 常考题型． 24.（本题满分10 分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450 吨，如果运出甲仓库所存 原料的60% ，乙仓库所存原料的40% ，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 吨. 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？ (1) 现公司需将300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120 元/吨和 (120)0 元/吨。经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨（ 10  a  30 ），从乙仓库到工厂的运价不变。设从甲仓库运 m 吨原料到工厂，请求出总运费W 关于 m 的函数解析式（不 m 要求写出 的取值范围）； 在 的条件下，请根据函数的性质说明:随着 m 的增大，W 的变化情况 . ( 【 3) 答案 (2 】 ) 设甲仓库存放原料 x 吨,乙仓库存放原料y 吨. x  y (1) 根据题意得：  450  (1   (1   30 40%)y 60%)x x 解得  y  240 .  210 故甲仓库存放原料240 吨,乙仓库存放原料210 吨. 据题意，从甲仓库运 m 吨原料到工厂，则从乙仓库运300  m 吨原料到工厂 总 (2运 ) 费. W  (120   100(300  m )  (20   30000 a)m a)m 当10  a＜20 ， 20  a＞0 ，由一次函数的性质可知，随着 的增大而增大. W (3)① m ②当a  20 20  a=0 ， 随着 m 的增大没有变化. 时, W ③当20  a  30 ，则20  a＜0 ，随着 m 的增大而减小. W 【考点】二元一次方程组；一次函数的性质及应用 【解析】 根据题意，可设甲仓库存放原料 x 吨,乙仓库存放原料y 吨，利用甲、乙两仓库 的原料吨(数1)之和为450 吨以及乙仓库剩余的原料比甲的30 吨.，即可列出二元一次方程组 求解. 据题意，从甲仓库运 m 吨原料到工厂，则从乙仓库运300  m 吨原料到工厂，甲仓库 到(2工) 厂的运价为120  a 元/吨，由乙仓库到工厂的运价不变即为100 元/吨，利用“运费= 运价 ×数量”即可求出甲、乙仓库到工厂的总运费W . 本题考察一次函数的性质，一次项系数 的大小决定W 随着m 的增大而如何变化， ( 需 3) 根据题中所给参数 的取值范围， 进行 种20情 −况 a讨 论，判断20  a 的正负，可依次得到 a 320  a＞0 、20  a=0 即20  a＜0，即得W 随着 m 的增大的变化情况. 【点评】此题考察二元一次方程组及一次函数的性质及应用，根据题中的数量关系不难列出 二元一次方程组及总运费W 关于 m 的函数解析式，难点在于最后一问函数性质的运用，需 利用题中所给的数量参数 a 的范围，讨论一次项系数，W 随着 m 的增大而产生的变化情况. 25. 如图，△ABC 内接于⊙O， ∠CBG=∠A，CD为直径，OC与 AB相交于点E ， 过点 E 作EF⊥BC ，垂足为F ，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD。 （1）求证： PG 与⊙O 相切； EF 5 BE （2）若  ，求 的值； AC 8 OC （3）在（2）的条件下，若⊙O 的半径为 8， PD  OD，求OE 的长. 【答案】】解：（1）证： 如图 1，连接OB ,则OB  OD BDC  DBO ∵弧 BC=弧 BC A  BDC A  DBO 又∵∠CBG=∠A CBG  DBO ∵CD 是⊙O 直径 DBO  OBC  90 CBG  OBC  90 OBG  90 点 B 在圆上，  PG 与⊙O 相切（2）方法一： 2 如 图 2 过 O 作 OM ⊥AC 于 点 M 1 1 , 链接 OA ，则∠AOM =∠COM = ∠AOC ， AM = AC 2 ∵弧 AC =弧 AC 1 ∴∠ABC = ∠AOC 2 又∵∠EFB =∠OGA = 90° M ∴ ΔBEF ∽ ΔOAM EF BE ∴ AM = OA 1 ∵ AM = AC , OA = OC 2 EF BE ∴ = 1 OC AC 2 EF 5 又 ∵  AC 8 BE EF 5 5 ∴ = 2× = 2× = OC AC 8 4 方法二： ∵CD 是⊙O 直径 DBC  90 ∵ EF ⊥ BC EFC  90 又 ∵ ∠DCB =∠ECF DCB ∽ ECF EF EC  DB  DC ①又∵∠ BDE =∠ EAC DEB  AEC DEB ∽ AEC DB BE  AC  EC ② EF DB EC BE ①×② 得 ：    DB AC DC EC EF BE 即  AC  DC BE 5   DC 8 DC = 2OC 又∵ BE 5   2OC 8 BE 5   OC 4 （3）∵ PD = OD ∠PDO = 90° ,  BD  OD  8 在 RtDBC 中， BC   8 又 OD = OB ∵ DOB 是等边三角形 DOB  60 ∠DOB =∠OBC +∠OCB , OB  OC ∵ OCB  30 EF 1 FC  CE  2， EF  可设 EF = x, EC = 2x, FC = 3x  BF  8  3x 在 RtBEF 中， BE2  EF 2  BF 2 100  x2  2   3x 8 解得： x  6 ∵!6   8，舍去  x  6   EC  12  2  OE  8  12   13  2  4 2 【考点】切线的性质和判断；相似三角形 【解析】（1）要证为切线只需证明OBG 为 90 度，A 与BDC 为同弧所对圆周角相 等， 又BDC  DBO ，得CBG  DBO 即可证明。 （2）通过证明 2 组三角形相似，建立比例关系，消元后，再在直角三角形 BEF 中利用勾股 定理求解即可。 【点评】本题第一问比较常规，第二问需要建立相似比之间的数量关系，第三问需要转化到一 个直角三角形中利用勾股定理解题，还要对两个解进行处理，思路复杂，而且计算量较大， 属于 较难的题目。 26.(本题满分 10 分)如图，抛物线 y  ax2  5ax  c 与坐标轴分别交于点 A,C, E 三点，其中 A(3, 0), C(0, 4) ，点 B 在 x 轴上， AC  BC ，过点 B 作 BD  x 轴交抛物线于点 D ，点 M，N CO, BC CM  BN MN, AM , AN. 分别是线段 上的动点，且 ，连接 （1） 求抛物线的解析式及点 D 的坐标 ； （2）当△CMN 是直角 三角形时，求点 M 的坐标 ； （3） 试求出 AM  AN 的最小值. 1 5 【答案】（1）抛物线的解析式为： y   x2  x  4 ； 6 6 D（3，5）.16 11 （2）M（0， ）或 M（0， ） 9 9 （3） 【考点】①用待定系数法求解析式；②动点形成相似三角形的运用；③全等三角形的证明， 动点中线段和最值问题的转化 【解析】解：（1） 把点 A（-3，0）、C（0，4）带入 y  ax2  5ax  c得 9a 15a  c  0  1 a    c  4 解得 6  c  4 1 5 ∴抛物线的解析式为： y   x2  x  4 6 6 ∵AC=BC, OC=OC ∴Rt△AOC  Rt△BOC（HL） ∴OA=OB ∵A（-3，0） ∴B（3，0） ∵BD⊥ x 轴，D 在抛物线上 ∴D（3，5） （2）由（1）得OC=4， BC=5，设 M（0， a ） ∵CM=BN ∴CM=BN=4- a ，CN=BC-BN=5-（4- ）=1+ a a ①当∠CMN=90°时，△CMN∽△COB CM CN 16 由  得 4 - a 1 解得： a  a  CO CB 4 5 9 16 ∴M（0， ） 9 ②当∠CNM=90°时，△CNM∽△COBCM CN 11 由  得 4 - a 1 解得： a  a  CB CO 5 4 9 11 ∴M（0， ） 9 16 11 综上所述：当△CMN 是直角三角形时 M（0， ）或 M（0， ） 9 9 （3）连接 DN、AD，如右图， ∵BD⊥ y 轴 ∴∠OCB=∠DBN ∵∠OCB=∠ACM ∴∠ACM =∠DBN 又∵CM=BN，AC=BD ∴△CAM  △BDN（SAS） ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN 当 A、N、D 三点共线时，DN+AN=AD 即 AM+AN 的最小值为AD ∵AB=6 , BD=5 ∴在 R △ABD 中，由勾股定理得， t AD=  ∴AM+AN 的最小值为 . 【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的综合运用， 直角三角形的分类讨论，全等三角形的证明及线段和最值问题的转化思想，此题 1、 2 问难度适中，3 问综合性较强，难度较大。