文档内容
湖南省常德市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．﹣
2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b
4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩
都是86.5分，方差分别是S 2=1.5，S 2=2.6，S 2=3.5，S 2=3.68，你认为派谁去参赛更合
甲 乙 丙 丁
适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则
CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图
为（ ）
1A． B． C． D．
8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号 称为2×2阶行列式，并且规定：
=a×d﹣b×c，例如： =3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组
的解可以利用2×2阶行列式表示为： ；其中D= ，D=
x
，D= ．
y
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）
A．D= =﹣7 B．D=﹣14
x
C．D=27 D．方程组的解为
y
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）﹣8的立方根是 ．
10．（3分）分式方程 ﹣ =0的解为x= ．
11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为
千米．
12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是
（只写一个）．
14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜
5.5这个范围的频率为 ．
2视力x 频数
4.0≤x＜4.3 20
4.3≤x＜4.6 40
4.6≤x＜4.9 70
4.9≤x≤5.2 60
5.2≤x＜5.5 10
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已
知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．
16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自
己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均
数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 ．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：（ ﹣π）0﹣|1﹣2 |+ ﹣（ ）﹣2．
18．（5分）求不等式组 的正整数解．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x= ．
20．（6分）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （k≠0）的图象交于A
1 1 1 2 2
3（4，1），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图象直接写出y＜y 时x的取值范围．
1 2
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙
种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20
元/千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5
月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则
6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），
将左边的门ABBA 绕门轴AA 向里面旋转37°，将右边的门CDDC 绕门轴DD 向外面旋转
1 1 1 1 1 1
45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：
sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ≈1.4）
4六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进
行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：
（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；
（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？
（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？
（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人
进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点
F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）求证：BD=CF．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称
轴是直线x=3．
5（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶
点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于
E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；
（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．
6参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．
【解答】解：﹣2的相反数是：2．
故选：A．
2．
【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
3．
【解答】解：由数轴可得，
﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜b，故选项A错误，
|a|＞|b|，故选项B错误，
ab＜0，故选项C错误，
﹣a＞b，故选项D正确，
故选：D．
4．
【解答】解：由题意，得
k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：B．
5．
【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，
∴甲的成绩最稳定，
∴派甲去参赛更好，
故选：A．
76．
【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×cos∠C=3 ，
故选：D．
7．
【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
故选：D．
8．
【解答】解：A、D= =﹣7，正确；
B、D= =﹣2﹣1×12=﹣14，正确；
x
C、D= =2×12﹣1×3=21，不正确；
y
D、方程组的解：x= = =2，y= = =﹣3，正确；
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．
【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
10．
8【解答】解：去分母得：x+2﹣3x=0，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：1
11．
【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，
故答案为：1.5×108．
12．
【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，
所以这组数据的中位数为1，
故答案为：1．
13．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4×2×3＞0，
解得：b＜﹣2 或b＞2 ．
故答案可以为：6．
14．
【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，
则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为： =0.35．
故答案为：0.35．
15．
【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠EGB．
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．
又∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC．
9∴∠AGB=∠BGH．
∵∠DGH=30°，
∴∠AGH=150°，
∴∠AGB= ∠AGH=75°，
故答案为：75°．
16．
【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣
6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，
所以有x﹣12+x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．
【解答】解：原式=1﹣（2 ﹣1）+2 ﹣4，
=1﹣2 +1+2 ﹣4，
=﹣2．
18．
【解答】解： ，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤ ，
不等式组的解集是﹣2＜x≤ ，
不等式组的正整数解是1，2，3，4．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．
10【解答】解：原式=[ + ]×（x﹣3）2
= ×（x﹣3）2
=x﹣3，
把x= 代入得：原式= ﹣3=﹣ ．
20．
【解答】解：（1）∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点A（4，1），
2 2
∴k=4×1=4，
2
∴反比例函数的解析式为y= ．
2
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y= 的图象上，
2
∴n=4÷（﹣2）=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y=kx+b，
1 1
，解得： ，
∴一次函数的解析式为y= x﹣1．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴y＜y 时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
1 2
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．
【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得： ，
解得： ．
答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．
11（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．
∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，
∴a≤3（120﹣a），
解得：a≤90．
∵k=﹣10＜0，
∴w随a值的增大而减小，
∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．
∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
22．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1．
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM= ≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
12六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．
【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），
喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），
所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比= ×100%=28%，
补全条形统计图如下：
（2）500×12%=60，
所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；
（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= = ．
24．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
13∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x﹣6），即y= x2﹣ x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y= x，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，
∵MN∥AB，
14∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组 得 ，则N（ t， t），
∴S =S ﹣S
△AMN △AOM △NOM
= •4•t﹣ •t• t
=﹣ t2+2t
=﹣ （t﹣3）2+3，
当t=3时，S 有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
△AMN
（3）设Q（m， m2﹣ m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当 = 时，△PQO∽△COA，即 = ，
∴PQ=2PO，即| m2﹣ m|=2|m|，
解方程 m2﹣ m=2m得m=0（舍去），m=14，此时P点坐标为（14，28）；
1 2
解方程 m2﹣ m=﹣2m得m=0（舍去），m=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；
1 2
∴当 = 时，△PQO∽△CAO，即 = ，
∴PQ= PO，即| m2﹣ m|= |m|，
解方程 m2﹣ m= m得m=0（舍去），m=8（舍去），
1 2
解方程 m2﹣ m=﹣ m得m=0（舍去），m=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；
1 2
综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
1526．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；
（2）连接MN，
∵EN∥BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，
∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，
∵OD=OD，
∴DM=CN=EN，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴ DENM是菱形，
▱
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，
16∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
（3）设CE=a（a＞0）
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，
∴CN= a，
设DE=b（b＞0），
∴AD=CD=DE+CE=a+b，
根据勾股定理得，AC= AD= （a+b），
同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，
∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，
∴△DEN∽△ADE，
∴ ，
∴ ，
∴a= b（已舍去不符合题意的）
∴CN= a= b，AC= （a+b）= b，
∴AN=AC﹣CN= b，
∴AN2=2b2，AC•CN= b• b=2b2
∴AN2=AC•CN．
1718
