文档内容
【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
宜宾市 2023 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）
注意事项：
1．答题时，务必将自己的姓名、座位号，准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面
座位号对应标号涂黑．
2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的加减计算即可．
【详解】A、 ，不符合题意；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
B、 ，符合题意；
C、 不是同类项，无法计算，不符合题意；
是
D、 ，不 同类项，无法计算，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握同类项的判定与合并是解题的关键．
3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义.
4. 为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口
超过8500个．将8500用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，比位数少1
位，按要求表示即可．
【详解】解：根据科学记数法要求，8500共有4位数，从而用科学记数法表示为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定 与 的值是解决问题的关键．
5. 如图， ，且 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可求 ，再由 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
6. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．
意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有 只，
兔有 只，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由设鸡有 只，兔有 只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
答案．
【详解】解：设鸡有 只，兔有 只，则由题意可得
，
故选：B．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的
关键．
7. 如图，已知点 在 上， 为 的中点．若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
点 在 上， 为 的中点，
，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
根据圆周角定理可知 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
8. 分式方程 的解为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．
【详解】解： ，
方程两边同时乘以 得到 ，
，
检验：当 时， ，
是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．
9. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O为
圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点， ．“会圆术”给出 的弧长 的近似值计算公式：
．当 ， 时，则 的值为（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即
可．
【详解】连接 ，根据题意， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点， ，
得 ，
∴点M，N，O三点共线，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
题的关键．
10. 如图，边长为6的正方形 中，M为对角线 上的一点，连接 并延长交 于点P．若
，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出 ，根据全等三角形的性质可得
，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后
利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解： 四边形 是边长为6的正方形，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
又 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
设 ，则 ， ，
，
解得 ，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识
点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
11. 如图，在平面直角坐标系 中，点A、B分别在y，x轴上， 轴．点M、N分别在线段 、
上， ， ，反比例函数 的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一
点，且 ， 的面积为3，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 过 点 作 轴 于 点 ， 设 点 的 坐 标 为 ， 点 的 坐 标 为
，点 的坐标为 ，则 ， ， ，先【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
求出点 的坐标为 ，再根据 可得 ，
然后将点 的坐标代入反比例函数的解析式可得 ，从而可得 的值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，则 ， ， ，
，
，
，
，解得 ，
，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的面积为3，
，即 ，
整理得： ，
将点 代入 得： ，
整理得： ，
将 代入 得： ，解得 ，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点 的坐标是解
题关键．
12. 如图， 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，把 以 为中心顺时针旋转，
点 为射线 、 的交点．若 ， ．以下结论：
① ；② ；
③当点 在 的延长线上时， ；
④在旋转过程中，当线段 最短时， 的面积为 ．
其中正确结论有（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】证明 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明 得出
，即可判断③；以 为圆心， 为半径画圆，当 在 的下方与 相切时， 的
值最小，可得四边形 是正方形，在 中 ，然后根据三角形
的面积公式即可判断④．
【详解】解：∵ 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
设 ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，故②正确；
当点 在 的延长线上时，如图所示【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ， ，
∴
∴
∵ ， ．
∴ ，
∴
∴ ，故③正确；
④如图所示，以 为圆心， 为半径画圆，
∵ ，
∴当 在 的下方与 相切时， 的值最小，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ 取得最小值时，
∴
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形
的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中
横线上．
13. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，
80．这组数据的中位数是___________．
【答案】79
【解析】
【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．
【详解】将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，
中间数据是79，
故中位数是79．
故答案为：79．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
14. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
【
详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为：x（x﹣3）2
15. 若关于x的方程 两根的倒数和为1，则m的值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，
由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
检验： ，
∴ 符合题意，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16. 若关于x的不等式组 所有整数解的和为 ，则整数 的值为___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意可求不等式组的解集为 ，再分情况判断出 的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
所有整数解的和为 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
①整数解为： 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
②整数解为： ， ， ， 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
综上，整数 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数
的意义是解题的关键．
17. 如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为
圆心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆
上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
三点共线时， 的值最小，可求 ，从而可求解．
【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
四边形 是正方形，
， ，
是 中的点，
，
，
由旋转得： ，
，
，
的
值最小为 ．
故答案： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
18. 如图，抛物线 经过点 ，顶点为 ，且抛物线与 轴的交点B在
和 之间（不含端点），则下列结论：
①当 时， ；
②当 的面积为 时， ；
③当 为直角三角形时，在 内存在唯一点P，使得 的值最小，最小值的平方
为 ．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】②③
【解析】
【分析】根据条件可求抛物线与 x 轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为
，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O
为 旋 转 中 心 ， 将 顺 时 针 旋 转 至 ， 连 接 ， ， ， 得 到
，判断③．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，顶点为 ，
∴对称轴 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为 ，
由图象可得：当 时， ；
∴①错，不符合题意；
∵抛物线与x轴的另一交点坐标为 ，
∴设抛物线为 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作 ，过点B作 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 是， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故②正确；
∵点B是抛物线与y轴的交点，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，
当 时，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，整理得： ，
解得： 或 （舍）
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，整理得：
解得： 或 （舍）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，无解；
以点O为旋转中心，将 顺时针旋转 至 ，连接 ， ， ，如图所示，
则 ， 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，
∵ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当 时，
，
∴ 的值最小，最小值的平方为 ，故③正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19. 计算
（1）计算： ．
（2）化简： ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数、零指数幂、绝对值化简计算即可；
（2）根据分式化简运算规则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了实数的混合运算与分式化简以及特殊角三角函数，熟记运算法则是关键．
20. 已知：如图， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出 ，然后证明 ，证明 ，根据
全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
即
在 与 中
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21. 某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查
了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理绘制如图所示的不完整统计
图．根据图表信息回答以下问题：
类别 劳动时间
A
B【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
C
D
E
的
（1）九年级1班 学生共有___________人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的
方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，条形统计图见解析
（2） 人
（3）
【解析】
【分析】（1）利用C类人数除以对应的百分比即可得到九年级1班的总人数，再分别求出B和D的人数，
补全统计图即可；
（2）用九年级学生总人数乘以九年级1班周末在家劳动时间在3小时及以上的学生占的比值即可得到答案；
（3）根据题意列出表格，利用满足要求的情况数除以总的情况数即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得到， （人），
故答案为：50
类别B的人数为 （人），类别D的人数为 （人），
补全条形统计图如下：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问2详解】
由题意得， （人），
即估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为 人；
【小问3详解】
列表如下：
女1 女2 男1 男2 男3
女1 女1，女2 女1，男1 女1，男2 女1，男3
女2 女2，女1 女2，男1 女2，男2 女2，男3
男1 男1，女1 男1，女2 男1，男2 男1，男3
男2 男2，女1 男2，女2 男2，男1 男2，男3
男3 男3，女1 男3，女2 男3，男1 男3，男2
由表格可知，共有20种等可能的情况，其中一男一女共有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是 ．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知
识，熟练掌握用树状图或列表法求概率、样本估计总体是解题的关键．
22. 渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如
图 ），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离 ，如图 ．在桥面上点
处，测得 到左桥墩 的距离 米，左桥墩所在塔顶 的仰角 ，左桥墩底 的俯角【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，求 的长度．（结果精确到 米．参考数据： ， ）
【答案】 的长度 米
【解析】
【分析】 上截取 ，使得 ，设 ，在 中， ， ，则
，进而即可求解．
【详解】解：如图所示， 上截取 ，使得 ，
∴ ，
∵
∴ ，
设 ，在 中， ，
∴
又
∴
∴
即 米【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 的直角顶点 ，顶点A、 恰
好落在反比例函数 第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）在x轴上存在一点 ，使 周长的值最小,最小值是 ．
【解析】
【分析】（1）过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D，证明 ，则
，由 得到点A的坐标是 ，由A、 恰好落在反
比例函数 第一象限的图象上得到 ，解得 ，得到点A的坐标是 ，点B的坐
标是 ，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 交x轴于点P，连接 ，利用轴对称的性质得到
， ，则 ，由 知 是定值，此时 的周长为
最小，利用待定系数法求出直线 的解析式，求出点P的坐标，再求出周
长最小值即可．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
解：过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D，
则 ，
∵点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标是 ，
∵A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上．
∴ ，
解得 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式是 ，
设直线 所对应的一次函数的表达式为 ，把点A和点B的坐标代入得，
，解得 ,
∴直线 所对应的一次函数的表达式为 ，
【小问2详解】
延长 至点 ，使得 ，连接 交x轴于点P，连接 ，
∴点A与点 关于x轴对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的最小值是 的长度，
∵ ，即 是定值，
∴此时 的周长为 最小，
设直线 的解析式是 ，
则 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得 ，
∴直线 的解析式是 ，
当 时， ，解得 ，
即点P的坐标是 ，
此时 ，
综上可知，在x轴上存在一点 ，使 周长的值最小，最小值是 ．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求
两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
24. 如图，以 为直径的 上有两点 、 ， ，过点 作直线 交 的延长线
于点 ，交 的延长线于点 ，过 作 平分 交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）如果 是 的中点，且 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ，根据 ，得出 ，则【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
可得 ，根据已知 ，得出 ，即可得证；
（2）根据角平分线的定义得出 ，又 ，根据三角形内角和定理
得出 ，由 是 的直径，即可得证；
（3）取 的中点 ，连接 ，证明 ，由 是 的中点， 是 的中点，得出
，进而得出 ，设 ，则 ，勾股定
理得出 ， ,证明 得出 ，根据角平分线的性质得出
，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∵ 平分
∴
又∵ ，
则 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，取 的中点 ，连接 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴
设 ，则 ，
∴
∵【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴ ， ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ 到 的距离相等，设为 ，在 ，设点 到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
25. 如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，且经过点 ．
（1）求抛物线的表达式；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线 、 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于
x轴的对称点为 ，求 的面积；
（3）点M是y轴上一动点，当 最大时，求M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，代入点C的坐标，确定a值即可．
（2）设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，表
示出P，Q， 的坐标，进而计算即可．
（3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可.
【小问1详解】
∵抛物线 与x轴交于点 、 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
【小问2详解】
如图，当点N在对称轴的右侧时，
∵ ，
∴对称轴为直线 ，
设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
，
当 时， ，
，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
如图，当点N在对称轴的左侧时，
∵ ，
∴对称轴为直线 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， ．
【小问3详解】
当 的外接圆与 相切，切点为M时， 最大，
设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接 ， ， 交圆于点T，
则 ，根据三角形外角性质，得 ，故 ，
∴ 最大，
设 与圆交于点H，连接 ， ，根据切线性质，
∴ ，
作直径 ，连接 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
过点E作 ，垂足为F，过点C作 ，垂足为G，交 于点P，
根据垂径定理，得 ，四边形 是矩形，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
根据 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
故 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴当 最大时， ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，矩
形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
