文档内容
【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
2023 年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为- + ＝0，
所以- 的相反数是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式进行计算即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
1【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个
数，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，
右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案．
【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．
4. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班 10名学生平均每周的课外阅读时
间，统计如表：
每周课外阅读时间（小
时）
学生数（人）
下列说法错误的是（ ）
A. 众数是 B. 平均数是
C. 样本容量是 D. 中位数是
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意；
2【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
B. 平均数是 ，故该选项正确，不符合题意；
C. 样本容量是 ，故该选项正确，不符合题意；
D. 中位数是第5个和第6个数的平均数即 ，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数
的定义是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程 根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解： ，
其中 ， ， ，
∴ ，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
3【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
6. 如图， 是 的直径，点C，D在 上，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
7. 如图，半径为 的扇形 中， ， 是 上一点， ， ，垂足分别
为 ， ，若 ，则图中阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，证明四边形 是正方形，进而得出 ， ，然后根据扇
4【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴图中阴影部分面积 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形 是正方形是解题的关键．
8. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深 h与注水量v的函数关系的大致图象是
（ ）
5【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的
图象上看，选出答案．
【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．
9. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全
程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高 ，时间
节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，
可列方程为（ ）
A. B.
6【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为 千米/小时，根
据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为 千米/小时，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关
键．
10. 已知抛物线 （ ， ， 是常数且 ）过 和 两点，且 ，下列
四个结论： ； ； 若抛物线过点 ，则 ； 关于 的方程
有实数根，则其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线过 和 两点得到对称轴为直线 ，且 ， 所以
得到 ，进而判断 的符号，得到 ， ；抛物线过点 和 ，代入
可得 和 ，解得 ，又由 ，得 ；对称轴为直线
7【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，开口向下，所以 有最大值为 ，且 ，无法判断关于 x的方程
是否有实数根．
【详解】解：已知抛物线过 和 两点，则对称轴为直线 ，
∵ ，所以 ，即 ， ，则 ，
当 时， ，则 ，所以 ，故结论①错误；
因为 ，所以 ， ，即 ，故结论②正确；
抛物线过 和 两点，代入可得 和 ，两式相减解得 ，由
可得 ，解得 ，故结论③正确；
对称轴为直线 ， ，开口向下，
∵ ，
∴所以 有最大值为 ，
∵ 不一定成立，
∴关于x的方程 有实数根无法确定，故结论④错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出
结论．
8【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11. 若 有意义，则实数x的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】∵ 有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式
有意义的条件是解题的关键．
12. 广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元
市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据
用科学记数法表示为 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：将45亿这个数据用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点
移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
13. 如图， ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半
9【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 ，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若 ，则
的度数为 _____．
【答案】 ##56度
【解析】
【分析】先判断 为线段 的垂直平分线，即可得 ， ，再由 ，
可得 ，即有 ，利用三角形内角和定理可求 的度数．
【详解】解：由作图可知 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，
判断 为线段 的垂直平分线是解答本题的关键．
14. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘
方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 _____．
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解．
【详解】解：根据规律可得第七行的规律为
第八行的规律为
∴根据规律第八行从左到右第三个数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，且点 在点 右方，连
接 ， ，若 ，则点 坐标为 _____．
的
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得出 ，根据等面积法得出 ，设 ，则
，进而即可求解．
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∵ ， 是 的角平分线，
∴
∵
∴
设 ，则 ，
∴
解得： 或 （舍去）
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
16. 如图， ，半径为2的 与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边
作垂线，垂足分别为E，F，设 ，则t的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】 利用切线 的性质以及等腰直角三角形的性质求得 ，再求得
，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设 与 两边的切点分别为D、G，连接 ，延长 交 于点H，
由 ，
∵ ，
13【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，延长 交 于点Q，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
当 与 相切时， 有最大或最小值，
连接 ，
∵D、E都是切点，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ 的最大值为 ；
如图，
14【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
同理， 的最小值为 ；
综上，t的取值范围是 ．
故答案为： ．
的
【点睛】本题考查了切线 性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得 是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.
18. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ；
15【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母
的值代入求解．
【详解】解：
，
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
19. 如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边 上的高 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平
行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
【答案】（1）见解析 （2）4或 ， 或2，
【解析】
【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可；
（2）利用等边三角形的性质求得 ，分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理
16【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
求解即可．
【小问1详解】
解：如图①或②或③，
，
【小问2详解】
解：∵等边 边 ，
∴ ，
∴ ，
如图①所示：可得四边形 是矩形，则其对角线长为 ；
如图②所示： ，
连接 ，过点C作 于点E，则可得四边形 是矩形，
∴ ， ，
则 ；
如图③所示： ，
连接 ，过点A作 交 延长线于点E，可得四边形 是矩形，
由题意可得： ， ，
故 ．
【点睛】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，熟
练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键．
20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳
动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育
老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依
17【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下
列问题：
（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；
（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳
绳”成绩为优秀的人数；
（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要
从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2
人都是男生的概率．
【答案】（1）第四小组的频数为10，补全图形见解析
（2）该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为294人
（3）所选2人都是男生的概率为 ．
【解析】
【分析】（1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计
图；
（2）利用总人数1260乘以优秀成绩所占的比例即可求解；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：样本容量是 （人），
第四组的人数是： （人），
补全统计图如图：
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
；
【小问2详解】
解：该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为 （人）；
【小问3详解】
解：画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人都是男生的结果数为6，
所以抽到的2人都是男生的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．还考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．
21. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电
能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两
所成的角为 ，当其中一片风叶 与塔干 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔
顶部O的仰角 ，风叶 的视角 ．
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算 ；
（2）求风叶 的长度．
【答案】（1）
（2）风叶 的长度为 米
【解析】
【分析】（1）根据题中公式计算即可；
（2）过点 A 作 ，连接 ， ，先根据题意求出 ，再根据等腰对等边证明
，结合第一问的结论用三角函数即可求 ，再证明四边形 是矩形，即可求出．
【小问1详解】
解：由题意可得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点A作 ，连接 ， ，如图所示，
由题意得： 米， ，
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ 米， ，
∵三片风叶两两所成的角为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ 米，
∴ 米，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米，
∵三片风叶两两所成的角为 ，且三片风叶长度相等，
∴ ，
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ 米，
∴风叶 的长度为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
22. 某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 免费
B 免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的
计费金额关于t的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【答案】（1）见解析；
（2）选方式B计费，理由见解析；
（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为 、 ，分别计算 三个
不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可；
（2）令 ，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；
的
（3）令 ，求出此时 值 ，当主叫时间 时，方式A省钱；当主叫时间 时，方式A和
B一样；当主叫时间 时，方式B省钱；
【小问1详解】
解：根据题意，设两种计费金额分别为 、
当 时，方式A的计费金额为 元，方式B的计费金额为108元；
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
方式A的计费金额 ，方式B的计费金额为108元；
当 时，方式A的计费金额为 ，方式B的计费金额为
总结如下表：
主叫时间 /分钟 方式A计费( ) 方式B计费( )
78 108
108
【小问2详解】解：当 时，
，故选方式B计费．
【小问3详解】
解：令 ，有 解得
∴当 时，方式A更省钱；
当 时，方式A和B金额一样；
当 时，方式B更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．
23. 如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，B两点，与x
轴交于点C，将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ； ；
（2）
【解析】
【分析】（1）把点 代入 和 求出k、m的值即可；把 代入 的解析
式，求出点C的坐标即可；
（2）延长 交x轴于点F，先求出 平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出 解析式，得
出点F的坐标，根据 求出结果即可．
【小问1详解】
解：把点 代入 和 得：
， ，
解得： ， ，
∴ 的解析式为 ，反比例函数解析式为 ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
把 代入 得： ，
解得： ，
∴点C的坐标为 ；
【小问2详解】
解：延长 交x轴于点F，如图所示：
为
将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后解析式 ：
，
联立 ，
解得： ， ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴点F的坐标为 ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解
题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
24. 如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，过点C作 的切线交 延长线于点
D， 于点E，交 于点F．
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） 的长为 ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理及半径相等求得 ，根据切线的性质求得
，推出 ，再证明 ，据此即可证明结论成立；
（2）先求得 ， ，设 ，证明 ，利用相似三角形的性质得到
，解之即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
由（1）得 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
解得 ，
∴ 的长为 ．
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图1，已知线段 ， ，线段 绕点 在直线 上方旋转，连接 ，以 为边在 上
方作 ，且 ．
（1）若 ，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ，
用等式表示线段 与 的数量关系是 ；
（2）如图2，在(1)的条件下，若 ， ， ，求 的长；
（3）如图3，若 ， ， ，当 的值最大时，求此时 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在 中， ， ，且 ， ，可得
， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 ， ， 进 而 证 明
，根据相似三角形的性质即可求解；
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）延长 交 于点 ，如图所示，在 中，求得 ，进而求得 的长，根据（1）
的结论，得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而根据 ，即可求解．
（3）如图所示，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ， ，
，同（1）可得 ，进而得出 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当点
三点共线时， 的值最大，进而求得 ， ，根据
得出 ，过点 作 ，于点 ，分别求得 ,然后求得
，最后根据正切的定义即可求解．
【小问1详解】
解：在 中， ， ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，
故答案为： ．
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问2详解】
∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
延长 交 于点 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
31【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
解：如图所示，以 为边在 上方作 ，且 ， ，连接 ， ，
，
同（1）可得
则 ，
∵ ，则 ，
在 中， ， ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当点 三点共线时， 的值最大，此时如图所示，则 ，
在 中，
32【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 ，于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
中， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆
的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26. 如图 1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 x 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ．
33【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知 为抛物线上一点， 为抛物线对称轴 上一点，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三
角形，且 ，求出点 的坐标；
（3）如图 ， 为第一象限内抛物线上一点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，
在点 运动过程中， 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或 或
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线 ，设 与 交于点 ，过点 作 于点 ，证明
，设 ，则 ， ，进而得出 点的
坐标，代入抛物线解析式，求得 的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当 点与 点重合时，
求得另一个解，进而即可求解；
（3）设 ，直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，求得解析式，然后求得
，即可求解．
【小问1详解】
解：将点 ， ，代入
得
34【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
∵点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ： ，
如图所示，设 与 交于点 ，过点 作 于点
∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 点在抛物线 上
35【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
解得： （舍去）或 ,
∴ ，
如图所示，设 与 交于点 ，过点 作 于点
∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 点在抛物线 上
∴
解得： （舍去）或 ，
36【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
当 点与 点重合时，如图所示，
∵ ， 是等腰直角三角形，且 ，
∴
此时 ，
综上所述， 或 或 ；
【小问3详解】
设 ，直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，
∵点 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，
对于 ，当 时， ，即 ，
对于 ，当 时， ，即 ，
37【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ 在抛物线上，则
∴
∴ 为定值 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函
数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
38
