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1993年数学（一）真题解析
一、填空题
（1） 【答案】（0，*）.
【解】 由 F'（_r） = 2-----丄=0 得 z = =-,当 0 f (0) + kjc ,于是 lim /(x ) = +°°.
再由/(0) V 0得于(工)在(0, +oo)内至少有一个零点，
因为fO ^k> 0,所以/(^)在［0, + oo)上严格递增，故零点是唯一的.
(2)a6 > b"等价于 61n a — a In 6 > 0.
令/Xh) = x\n a — a\n x /(a ) = 0,
f\jc ) = In a----> 0(j: > a),
x
(/(a ) = 0 ,
由( 得于(工)> 0(z > a ),
\ff (j; )〉0(z >a),
由 b > a 得 /(&)〉0,故 a" > b。・
/2 0 0\ 严i\
七、【解】令人=0 3 a ,X = jc2 \ 9f = XtAX,
\n J /
0 a 3 x 3显然矩阵A的特征值为入i = 1,入2 = 2,入3 = 5,
0 0
由 | A | = 10 得 9 — a 2 = 5,解得 a = 2,即 A = 1 0 3 2
'o
2 3
-1 0 0 I1 0 得入1 = 1对应的特征向量为a,=[―寸
I
由 E-A = 0 -2 _2 〜O 1 1
o'
0 _2 -2''o 0
0 0 0 1 0
由 2E — A = 0 _ 1 -2 0 1得入2 = 2对应的特征向量为a2 =
0 -2 _ 1/ 'o 0 0
3 0 0 ]I1 0 0
由 5E — A = 0 2 _ 2〜0 1 一 1得入3 = 5对应的特征向量为«3
''o
0 -2 2 0 0
ei
0
规范化得r 1
r2 r 1
1
0 1 0
0
故正交矩阵为Q =
1
0
、逅
八、【证明】显然厂(4B) = n ,
由 r(AB) r(A),r(AB) < r(B)得 r(A) n,r(B) > n.
因为矩阵的秩不超过其行数及列数，所以r(A) <4,
(2)【答案】 477
Io, 其他
【解】Fy(y) = P{Y£y} = P{X? £川，
当 y<0 时,Fy(y) = 0 ；
当 3-^4 时，Fy(y) = 1;
当 0 < < 4 时,Fy(y) = P{0 W X =心} = [ =学,
Jo/ Z
‘0, y < 0,
|丄
0 < 3/ < 4,
即 Fy (y) = V 字, 0 < 3/ < 4,故/\(y)= 4^
Io,
其他.
、1， y $ 4,
「+8
H—、【解】(l)E(X) = = 0,
f+°° f+°°
由 ECX2) = x2 = x2 e~x dx = F(3) = 2,得
J -OO J 0
D(X) = E(X2) -：E(X)]2 = 2.
(2) Cov(X, |X | ) = E(X | X | ) — E(X) • E( | X | ),
由 ECX | X | ) =J x | x \f(j：')dx = 0,得 Cov(X , |X|) = 0,即 X 与 |X| 不相关.
(3) 设F(jc,y)为(X, | X | )的联合分布函数，
F(l,l) - P{X < 1, | X |W 1} = P{— 1 冬 X W 1} =「亍也=1 一丄，
Fx(l) = P{X < 1} = -yj e_|x| djc = * + * J。e~x djc = 1 _ 舟,
fl 1
F I x I (1)= P { | X | 1} = e_lx| Ax = 1-------‘
1 1 J o e
因为F(l,l)HFx(l) ・F|x| (1),所以X与|X|不相互独立.
