1993年数学（一）真题解析
一、填空题
（1） 【答案】（0，*）.
【解】 由 F'（_r） = 2-----丄=0 得 z = =-,当 0 <zV=-时 F'Q）<0,
7T 4 4
故FCz）的单调减区间为（o*, ）.
（2） 【答案】｛o,響，字｝.
【解】 旋转曲面方程为》：3川+2/+3/ = 12,
法向量为 n = ｛6工，4y ,6z｝（o,好阿=｛o,4a/3 ,672 ｝，
所求的单位法向量为“° = ｛o,響，字｝ •
（3）【答案】 y.
1
【解】b3 f (x )sin 3j: Ax = 2 x sin 3 j; dx
7T 0
----J x d(cos 3工)=----x cos 3h |°+f os 3M =年
]
（4）【答案】
x2 + y2 + z2 ・
du 1 _ (____ t______ _____y_____ _____ z_____
【解]grad 3无'9 I \x2 y2 + z2 x2 y2 z2 x2 y2 -z2
则 div(grad “)=訂 Q2+-T--；T ) + 訂 C+J+j ) + £ (/+；+» )
y2 + z2—x2 x2 z2 —y2 x2 y2 —z2
=Cx2 +y2 +z2)2 十 Cx2 +y2 +z2)2 十(工$ +歹2 +/)2
_ ]
无？ + y2 + z2 ・
(5)【答案】X =上(1,1,・・・，1)丁(上为任意常数).
【解】 因为r(A) =n-l,所以AX = 0的基础解系含一个线性无关的解向量,
'1、
又因为A . = 0,所以AX = 0的通解为X =肛1,1,・・・，1）丁4为任意常数）.
1 ,
二、选择题
（1）【答案】（B）.
【解】 由 , v li m- / - ( -- j - ; -- ) = [ l . i m- c - o -- s - - x -- -- • - - s -- i - n -- ( - s - i - n -- 2 -- x -- ) - =+ 得/•&) 1 3
x*0- X 工*~0 3工
又g（z）〜工r故fQ）是g&）的同阶但非等价的无穷小，应选（B）.（2） 【答案】（A）.
【解】 双纽线（/ + y1 2 * ）2 = x2 — y2的极坐标方程为r2 = cos 20,
由对称性得双纽线所围成的面积为
A = 4 X £「cos 20 dd = 2 [4 cos 29 dd ,
2 J o J o
应选（A）.
（3） 【答案】（C）.
【解】 直线b的方向向量为s, =
直线 L2 的方向向量为 S2 = {1, - 1,0} X {0,2,1} = {- 1, - 1,2},
设两直线的夹角为0,由cos 0 = J 5|—『"| = £得0 =手，应选（C）.
I Si I • I S2 | 2 3
（4） 【答案】（B）. 、
【解】 令 P（z,y） = [/（工）一e* ]sin y , Q（x ,y） = — ）cos y ,
nc □ p
由-—=—，得厂（工）+/'（工）一e" = 0,即 /'（工）+/'（工）=eJ ,
ox oy
解得 /（ j: ） = • e' dr + c] J = （*尹 + C）e_J ,
1 ex — e~J
再由 /（0） = 0 得 C =----9故 /（工）=----- ----，应选（E）.
（5） 【答案】（C）.
【解】由PQ = O得厂（P） +厂（Q） W 3,当t H 6时厂（Q） = 2,则厂（P） < 1,
再由p为非零矩阵得厂（p） $ 1,故r（P） = 1,应选（C）.
1
~2~ r~ • ( sin —+cos ——1 )
⑴【解】 lim (sin-----p cos — X -|-cos X 1 v x 工'
x-*°° \ X
e2.
（2）【解】 方法一
x d(e^ — 1)
2 p?d( J£ — ] ) = 2工 J€ —]
7eJ - 1
令 J\ = E，即无=ln( 1 + Z2 ),则
J J £ — ] dz = Jz 丄7曲=2 1
dz = 2t — 2arctan t + C
1 +厂 1 + z2
=2 J € — ] — 2arctan J € — ] + C,
故 ...........dx = (2x — 4) J £ — ] + 4arctan J £ — ] + C.
J £ —]
______ 9/
方法二 令 v? — 1 = Z，则无=ln( 1 + = ------- dz ,
1 + r
—
jc ex
qjc =
吨卄）4+鬥・伞&
—3- t 1 + z2
t • 2t .
=2 ln( 1 + z2 )dz = 2Hn( 1 + z2 ) — 2 -------dz
1 + r2=2Hn( 1 + Z2 ) — + 4arctan t C
=(2x — 4) J £ — ] + 4arctan J £ — ] + C.
(3)【解】 将方程jc2yf + xy = y2化为3/ + —y = \y2 ,
工 x
人 mil diZ 1 1
令况=3/ ，贝!j -----------u =------,
djr x x
解得"=卩(一占)古汁山+中4"=(右+ c)z，即+=(占+ C)工,
由yd) = 1得C =斗，故满足条件的特解为y =
/ 1 + J7
四、【解】 由 VJC2 + y2 = 5/2 — j:2 — y2 得 x2 + y2 = 1,
曲面》所围成的几何体 Q = {(工，夕，2)I j:2 + y2 Wl, a/j?2 + y2 W n W V2 — x2 — y2 },
由高斯公式得
JJ 2xzdyAz + yzAzdx —z2 dx Ay = jjj (2z + z — 2z)dv = jjj zdv
2 n n
5/ 2-x2-y2
JJ d"dy E zd2 = (1 — x2 — y2 ) djr dy
G/wi
'2k
d0 (r — r3 )dr =
0 J 0 2
五、【解】 令 S(z)=工(/—兀 + 1)工"，
n = 0
由lim — =1得级数工(川一" + l)z”的收敛半径为R = 1.
” f 00 1 Q ” 1 ”=o
当工=士1时级数发散，故级数的收敛域为(一1,1)・
由 S (无)=艺(n2 — ?1 + l)xw = j:2 工 n (n — l)xn~2 + 工工
n=Q n—2 n=Q
1 1 — 2x + 3工 $
T2 〃 +
1 — X (1 —"
故工 (-l)w(n2 -n + 1) S ( _T ) = H-
2”
n = 0
六、【证明】(1)/(工)一八0) = (0 VW Vh),
由 k〉0 得 ) > f (0) + kjc ,于是 lim /(x ) = +°°.
再由/(0) V 0得于(工)在(0, +oo)内至少有一个零点，
因为fO ^k> 0,所以/(^)在［0, + oo)上严格递增，故零点是唯一的.
(2)a6 > b"等价于 61n a — a In 6 > 0.
令/Xh) = x\n a — a\n x /(a ) = 0,
f\jc ) = In a----> 0(j: > a),
x
(/(a ) = 0 ,
由( 得于(工)> 0(z > a ),
\ff (j; )〉0(z >a),
由 b > a 得 /(&)〉0,故 a" > b。・
/2 0 0\ 严i\
七、【解】令人=0 3 a ,X = jc2 \ 9f = XtAX,
\n J /
0 a 3 x 3显然矩阵A的特征值为入i = 1,入2 = 2,入3 = 5,
0 0
由 | A | = 10 得 9 — a 2 = 5,解得 a = 2,即 A = 1 0 3 2
'o
2 3
-1 0 0 I1 0 得入1 = 1对应的特征向量为a,=[―寸
I
由 E-A = 0 -2 _2 〜O 1 1
o'
0 _2 -2''o 0
0 0 0 1 0
由 2E — A = 0 _ 1 -2 0 1得入2 = 2对应的特征向量为a2 =
0 -2 _ 1/ 'o 0 0
3 0 0 ]I1 0 0
由 5E — A = 0 2 _ 2〜0 1 一 1得入3 = 5对应的特征向量为«3
''o
0 -2 2 0 0
ei
0
规范化得r 1
r2 r 1
1
0 1 0
0
故正交矩阵为Q =
1
0
、逅
八、【证明】显然厂(4B) = n ,
由 r(AB) r(A),r(AB) < r(B)得 r(A) n,r(B) > n.
因为矩阵的秩不超过其行数及列数，所以r(A)<n,r(B)<W,于是r(B) = n.
因为矩阵的秩与矩阵的行向量组的秩、列向量组的秩都相等，所以矩阵B的列向量组的秩为"，故矩阵B
的列向量组线性无关.
九、【解】 轨迹如右图所示.设在时刻位于点Q,y)处，则
dy （1 + 说）一y
d7 —X
上式两边对工求导，得
d£
JC
dP-
由于
ds dj?
2v =
dt d7
将上式代入(*) 式，得到所求的微分方程为
其初值条件为y L= -i =o,y |乂=一1 = 1.十、填空题
（1）【答案】 V-
0
【解】 设A] = ｛第一次取到正品｝,人2 = ｛第一次取到次品｝,8 = ｛第二次取到次品｝,
If) 9 2 1
P(AJ = =, P(A2) = —, P(B | AJ = —, P(B|A2)=右，则
P(B) = P(AJP(B | AJ + P(A2)P(B I A2)
10 2 , 2 1 2 1
=—X------------------X 一 =—=—
12 11 12 11 12 6 '
|亠，0<3> <4,
(2)【答案】 477
Io, 其他
【解】Fy(y) = P{Y£y} = P{X? £川，
当 y<0 时,Fy(y) = 0 ；
当 3-^4 时，Fy(y) = 1;
当 0 < < 4 时,Fy(y) = P{0 W X =心} = [ =学,
Jo/ Z
‘0, y < 0,
|丄
0 < 3/ < 4,
即 Fy (y) = V 字, 0 < 3/ < 4,故/\(y)= 4^
Io,
其他.
、1， y $ 4,
「+8
H—、【解】(l)E(X) = = 0,
f+°° f+°°
由 ECX2) = x2 = x2 e~x dx = F(3) = 2,得
J -OO J 0
D(X) = E(X2) -：E(X)]2 = 2.
(2) Cov(X, |X | ) = E(X | X | ) — E(X) • E( | X | ),
由 ECX | X | ) =J x | x \f(j：')dx = 0,得 Cov(X , |X|) = 0,即 X 与 |X| 不相关.
(3) 设F(jc,y)为(X, | X | )的联合分布函数，
F(l,l) - P{X < 1, | X |W 1} = P{— 1 冬 X W 1} =「亍也=1 一丄，
Fx(l) = P{X < 1} = -yj e_|x| djc = * + * J。e~x djc = 1 _ 舟,
fl 1
F I x I (1)= P { | X | 1} = e_lx| Ax = 1-------‘
1 1 J o e
因为F(l,l)HFx(l) ・F|x| (1),所以X与|X|不相互独立.
