2008年数学（一）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（E）.
【解】 由广（工）=2_zln（2+/）= o,得工=0,即十（工）只有一个零点，应选（E）.
（2） 【答案】（A）.
3f _ _ 1 1「夕 J 1 X X
【解】 于+尹行_2 y ~2 丄 2
丄 I 2 1十 y 2
由等 =1空
=0,则f（x ,y）在（0,1）处的梯度为i,应选（A）.
(0,1) (0,1)
（3）【答案】（D）.
【解】 由微分方程的通解为y =Ge* +C2cos 2x +C3sin 2工，得三阶常系数齐次线性微分
方程的特征根为入i = 1，入2,3 = ±2i,
特征方程为（入-1）（A2 +4） = 0,即入3 — F +4入一4=0,
故所求微分方程为歹〃 一 / + 4夕'一 4》=0,应选（D）.
（4）【答案】（E）.
【解】方法一极限存在定理
因为yCz）单调，所以当&”｝单调时，｛产（工”）｝单调；
又因为于（工）有界，所以｛/（^„）｝单调有界，由极限存在定理得｛/■&”）｝收敛，应选（E）.
方法二 反例法
f — 1,攵 < 0,
（―1）"
取/（J7 ） =5 0 , X —0, 工”=---
2------
，显然f〈工）单调增加，｛攵”｝收敛，
n
[1, 工 > 0,
/ 一 1 ” = ] 3 5 …
/（o-„）= ' ' 显然）｝发散，（A）不对；
11, n =2,4,6<,*,
2 2
取 /（J?）=------，工” =",_/（工”）=-―,----2，显然｛/（□：„）｝收敛，但｛工”｝发散，（C）不对;
1 +工 1十/?
取/（jr ） = arctan x ,x n ="，显然） ｝单调增加，但｛z ”｝发散,（D）不对，应选（B）.
（5）【答案】（C）.
【解】方法一逆矩阵的定义
由 a3 = O,得 E=E-A3=（E-A）（E+A + 人2）.
由可逆矩阵的定义得E-A可逆且（E -A）"1 =E+A +A2；
再由 E +A3 =（E + A）（E - A + A2）得 E + A 可逆且（E +A）^ =E -A +A2,
应选（C）.
方法二 定义法求特征值
令AX =AX（X H 0）,则A3X =/X,由A? = O得入収=0,从而A的特征值为入】=& =
入 3 = 0，于是 E — A 与 E+A 的特征值为 1,1,1,由 |_E — A |=| E A. \ — 1 工 0 得 E — A与E+A都可逆，应选(C).
(6) 【答案】(E).
(2 2
空一儿=1
【解】 题目图中的曲面是由L：U2 b2 '绕工轴旋转一周而成的曲面，
[z =0
2 2 2
曲面方程为工：3 —忤一寻=1，则A的正特征值个数为1个，应选(E).
a b h
(f (无 y ) = 0
方法点评：(i)平面曲线l：‘ ’绕工轴旋转所得的旋转曲面为
= 0
：/(j: , + Vy2 z2 )=0；
平面曲线L绕y轴旋转所得的旋转曲面为
Sy :/(+ Jx2 + z2 ,y) =0.
(2)二次型的标准形不唯一，但二次型的正、负惯性指数是唯一的，即二次型标准化后正、
负惯性指数不变.
(7) 【答案】(A).
【解】 由分布函数的定义得FzQ) = P{Z £工} = P{max(X,Y) W工},
由 X,Y 独立同分布，得 Fz(T)-P{X<j：,Y<^}=P{X<x}P{y<^}=F2(^),应
选(A).
方法点评：设(X,Y)为二维随机变量，Z=°(X,Y)为(X,y)的函数.求Z的分布时，一
般采用定义法，即
Fz(z) =P{Z Q} =P@(X,Y)
如下两种常见的随机变量的函数的分布需要熟练掌握：
⑴ Z=max{X,Y}
F z (z) = P {Z z} — P {max{X ,Y} £z}=P{X
若 X,Y 相互独立，则 Fz(z)=P{X<z,y<z}=P{X<z}P{y<z} =Fx(z)Fy(z).
(2)Z =min{X,Y}
Fz (z) = P{Z = P {min{X ,Y} W z }
=1 -P{min{X,Y} > z} ^1- P{X > z,Y> z},
若X,Y相互独立，则
Fz(z)=l-P{X>z}P{Y>z}=l — [l-P{X《z}] ・[l — P{YWz}]
=1 一 [1 —Fx(z)]・[1 -Fy(z)l
(8) 【答案】(D).
【解】 因为p xy =1的充分必要条件是P{Y=aX +b} =1C其中a >0),排除(A),(C);
由 E(X) =0,E(Y) =1,得 E(2X + 1) =1 =E(Y),应选(D).
方法点评：(l)Qxy = 1的充分必要条件是P{Y=aX + 6} =l(a > 0)；
(2)(o xy = — 1 的充分必要条件是 P{Y —aX + b} = l(a V 0).二、填空题
（9）【答案】丄.
X
【解】 方法一 由工夕'+夕=0,得半■ +丄y=0,解得y —Ce =—.
djr x x
由夕（1）=1,得C = l,于是；y =丄.
x
方法二 由xy' + 3/ =0 ,得（巧）'=0,即攵夕=（3.
再由夕（1） =1,得C=l,故所求的特解为夕=丄.
X
（10）【答案】y =H + 1.
【解】 方法一 sindy） + ln（j/ — x） = x两边对工求导数.得
cos(jcj/) 越丿
y —
将x —0,y — 1代入得字 =1.
dr
x=o
故曲线sin(巧)+ ln(j/ — J?) = X在点(0,1)处的切线方程为夕一1=工一Ch即:y =力+1・
方法二 令 F(jC9j/)= sin(Hj/) + ln(jy —无)一 2，
1 ]
/ 3； cos xy---------------1
ay _ 戶工 ____________夕—工
d7= _兀= 'I-
x cos xy H----------
y —
切线的斜率为怡=£ = 1?
dr (0,1)
故切线方程为夕一1=久，即）=工十1.
(11)[答案】(1,51
【解】 由5>”（工+2）"在工=0处收敛得的收敛半径R羽0 + 2 | = 2且
n=0 n=0
»”2"收敛；
n = 0
00 8
由工Q”（Z + 2）"在工=—4处发散得工5工"的收敛半径R W|—4 + 2 | = 2且
n = 0 n = 0
》>”（一2）"发散，
n = Q
即幕级数工a”"的收敛半径为R =2,收敛域为（一2,2],
“ =0
故（2 — 3）"的收敛域为一2Vh — 3£2,即（195〕.
n = 0
（12）【答案】4兀.
【解】方法一高斯公式法
补充 SQ:z = 0（jc2 + y2 W 4） ,S0 取下侧'贝"IId;y dz + 工 c!n dr + j? 2dj? dj/
2
=甘 xyAydz + jr dz dj" + 工? dr djy — Jjjrj/dj/dz + j? dzdj： + j? 2 djr ,
# jjydydz + jc d^djr -\- x2 dx dy 打仙=0,
而
工+5'o n
- jjx2 djr dy
JJ xydy dz + zr dzdjr + j? 2 djr dj> = 11 jr2 djr dj/
% D
_丄-]J(^2 +_/)clzdy = —* 2n
d6 I r3 dr = — 4兀 9
__2 0 J o
D
故原式=4兀.
方法二 二重积分法
令：z =\/4 — y2 — z2 (y2 + z2<4(z>0)),取前侧，由对坐标的曲面积分及二重积分
的奇偶性质得
H_zjydyclz = 2jj xydydz = 2 y J— y2 — z2 Aydz = 0 ,
2 為 j2+z2<4
jj x dz dj： = 0,
J *=* J (a-2 4- 2) dj? dj/ = * "2n '2
jc2 djr dj/ = de r3dr =4兀,
0 0
异+/<4 J2+y2<4
故』•zjydj/dz + x dzdjr + jc 2 dj? dj/ =4兀.
■S
(13)【答案】1.
【解】 方法一 令P =(a1,a2),因为«!，«2线性无关，所以P可逆.
, 、 /0 2 0 2 0 2
由 AP = (Aa 1 ,Aa2) = (0,2ai + a”)—P ，得 P AP = ，即A〜
\0 1 0 1 0 1
入 入一 2
于是丨AE—A |= =入(入_1)= o,得 a 的非零特征值为入=1.
0 A — 1
方法二 由Aai=0=0s，得入】=0为A的一个特征值.
又由 Aa! =0, Aa 2 =2a! + a2,得 A (2a j + a2) = 1 (2a ] + a2),注意到 2a, + a2 为非零
向量，从而入2 =1为A的另一个特征值，故A的非零特征值为1.
方法点评：求矩阵A的特征值通常有三种方法：
(1) 公式法，即通过| AE -A | = 0求特征值，但前提是矩阵已知；
(2) 定义法，即令AX =AX,利用所给矩阵关系等式求特征值；
(3) 关联矩阵法，即通过PTap=b 得 a〜B,从而得A,B的特征值相同，求B的特征值
即可得A的特征值.
(14)【答案】
【解】 由 X 〜P(l)得 E(X) = D(X) =1,从而 E(X2) =D(X) + (EX严=2,
1 2 1
于是 P{X =E(XJ} = P{X = 2} = k •「=二三、解答题
(15)［解】方法一
sin x — sinCsin jc )]sin x .. sin x — sin(sin jc ) sin x i・ sin jc — sinCsin x )
lim =lim lim---------------------------
•rf 0 X 4 •o X 3 o X
sin x — sin(sin x ) si• n 3x sin jc — sin(sin x )
=lim =lim
x -*0 sin 3x x3 •0 sin 3x
sin x t — sin t .. 1 — cos t 1
lim =lim
o 3 r->0 3八 6
[sin jc 一 sin(sin x )]sin x sin x = t (/ — sin t)t
方法二 lim-------------------;----------------- lim
f 0 ° arcsi.n 4t
(f 一 sin t)t [. t 一 sin t 1 — cos t 1
=lim----------------= lim lim
•0 4 /f 0 3 Z->0 3? 6
3
方法三 由 sin x 工_ - ---o ( 工3 )得
sin3 工
sin(sin ) = sin jc + o (sin3 ) 9
3!
1 .. 1
从而sin x 一 sin(sin jc ) Tsin JC 6
sin x —sinCsin x )]sin x 1 [. sin x 1
故 lim — =—lim----
•T f 0 X4 6 •o JC 6
方法点评：计算不定型#型的极限需要熟练掌握等价无穷小、麦克劳林公式、洛必达法则
等工具型的极限需要补充如下两点：
(1 )工，sin x ,tan x ,arcsin x ,arctan x五个函数中任意两个函数之差为三阶无穷小.
arctan x — arcsin x
【例】 求lim
x-*0 Z3
[. arctan x — arcsin x .. arctan x ——jc . v x — arcsin x
【解】 lim--------------；------------= lim----------------------F lim
x-*0 X 3 T-*-0 X 3
arctan x — jc = tan r t — tan t I. t — tan t 1 — sec21 1
而lim lim =lim lim
x-*0 X 3 o tan31 L 0 3 i-*0 3厂 3
[. x — arcsin x 工=sm r sin t — t ]・ sin l — cos t — 1 1
lim---------；-----——lim lim-------— =lim
X 3 sin3i Z-*0 •0 3八
,,arctan x — arcsin x 1
故hm
XXX ---------------
J7-*0 JC 3 2
(2)加减法使用等价无穷小时一定要保证精确度，否则会出现错误结果.
如lim
Cretan
于_
°rcsin
壬今若分子使用arctan jc〜无,arcsin工〜工将导致错误结果，因为
JT-*O T3
分母为三阶无穷小，分子等价无穷小的精确度不够.
(16)【解】方法一 设点 A(K ,0) (jc ,y) = sin 2工，9y) =2(j：2 — l)y 9 则
sin 2j?dz +2(jc2—l)ydy = > _sin +2(无$ —+ _sin 2jrdz +2(jc2 —,
L4-ao O…A由格林公式得
> _sin 2x d<z + 2(jc 2 — 1 = — 4j?j/djr dy = — 4 x djr ydy
AO
L+ JDJ Jo0 Joo
=—2J x sin2jr dx = — 2 •
sin2 j? djr
0
■ 2L
=—7T sin2 jc dr = — 2k sin2j? dz
o < o
= -2.I2=-2k.|.| 7T 2
T
卞. 1
_sin 2j? dx + 2(j? 2 — 1)ydy = sin 2x dj? =— cos 2oc =0,
OA o 2 0
2
故 I sin 2x dj? + 2(jc 2 — 1 =— '・
J L 2
方法二 siinn 2x dx + 2(jc 2 — Dj/d.y = [sin 2jc + 2(jr2 — 1 )sin x cos x
J
0
x2 sin 2jc djr = jc2d(sin2jt:)
0 o
=x2 sin2 j? | o —2〕x sin2 jc djr
=—2 煜 sin2 j? djr =—兀 sin2 j? djr
o . 0
=—2 k 兀 si • n 2 x dr = — 2兀•士 7 7t
0 2
7C2
N
(17)[解】 设P{x,y,z)为曲线C上任意一点，P到工0夕平面的距离为〃
令 F (j： ,y ,z) = z2 + A (j; 2 + y2 — 2z2) +〃(工 + y + 3z — 5),
'F： — 2Ax + 〃 = 0,
F； =2 心 +〃 =0, 工=1, jr = 一 5 9
由v F： = 2z — 4入z + 3〃 = 0,得. y=l,或 y =_5,
F； ==jc2 y2 — 2z2 — 0, z =1 z = 5.
、F； =z +，+3n — 5=0,
故曲线C到工Oy平面距离最近和最远的点分别为(1,1,1)和(-5, -5,5).
「工 r
fx+zlr
(18)【证明】(I )/XF(«z) =F(乂 +Zkz)—F(h) = f (t) di — = f (t)d£ 9
0 J 0 J
因为/（工）连续，所以由积分中值定理
「j-H-Zkr
△FQ)= f （t）dt = _/（£） Ajc，其中£位于工与工+ △•z之间，
△F(n ) AF(t )
从而一;----=于(£),于是lim =lim/(^) = f y 即 F‘(h) =/(x ).
△工
△r—0 Ar f 0
（H）设/'（工 + 2）= f〈工）,则
Cj+2 '2
G(工 +2) = 2 f Ct) dt — (x +2)1
0 J 0‘2 x+2 (*2
2 /(Z )d^ — x + 2 /(Odz -2 fdt)dt
J 0 0 • J 0
= G(j：) + 2 J+2 — 2\ 「 2 9
J 0
「
'2 *+2 2
由周期函数的平移性质得 /(i)d^ = I /(£)di ,于是 2 f (Odr -2 0,
J z Jo J 0
故GQ +2) =G(h),即G(h)是以2为周期的函数.
(19)【解】 将于(工)进行偶延拓，则
__2 2「(1 — jc2) d j? = 2 (1 — ?7t2
a
o 33
7t o \
2 * 2 L
/()cos nx djc =一 (1 — Jf 2 )cos
7T 0 7t 0
2 I cos nx dx - 2 X 2cos d(sin nx )
7t J 0 7C 0
2jc 2 sin nx " + 4 「
x sin sin hjc djr
n 7t o n ttJ o<
4 4工 cos nx " + ——I cos nx dx
x d(cos TlX )
n2 tc 0 7?2 7t 0 7? TT J o
"fl,”);
n2
bn = 0(/7 = 1,2 , •••),于是 /(j? ) = 1 — x2 的余弦级数为
2 00 4(_ 1 \n+l
1 一 x2 =1 — + 艺---- cos nx (0冬工三兀)9
g---------
n
3 n = l
1、卄
8 Z 1 (])"T 7T2
令工 则Y ------
=0 , 2-------- = Y
12'
n=1 X n = 1
(20)【证明】(I )r(A) =r(aaI < r(aaT) + r(fifiT)
= r(a) +r(fi) < 1 + 1=2；
(U )若a ,0线性相关，则a .0成比例，不妨设0 =ka ,
则 A = aa 1 + 妙'=(1 + 怡$ )aa 1 ,
于是 r(A )=厂[(1 + k2)aa 1 ] =r(aa J=厂(a)£l<2.
方法点评：本题需要熟悉矩阵秩的性质及向量相关性质.
研究矩阵秩时，注意以下性质的使用：
(1) 当出现矩阵加减时，往往使用r(A ±B) < r(A) +r(B)；
(2) 若出现 ATA 时，往往使用 r(A'rA) =r(AAT) =r(A)；
(3) 若出现 AB 时，往往使用 r(AB) < min{r(A ) ,r (B )}；
(4) 若出现AB =O时，往往使用r(A) +r(B) n.
(21)【解】(I)方法一 数学归纳法
当n = 1时，|A | = Dj = 2a,结论显然成立；
设当 n —k 时，|A I = Dk — {k 十 l)a*；
当 n — k + 1 时，| A | = D*+i = 2aDk 一 a’D—i = 2,a(k + l)a* — kak+1
=2(怡 + 1 )a4+1 一 kai+1 = (k + 2)ak+},由数学归纳法，对一切的自然数n 有 | A |=(“ + l)a".
2a 1 0 ・•• 0
2a 1 o .•• 0
3a
a2 2a 1 .•• 0 0 1 ・•• 0
a2 2a •• 0
方法二 = 0 a2 2a ••• 0
5 :
0 0 0 ・•• 1
0 0 0 ・•• 1
0 0 0 ••• 2a
0 0 0 ・•• 2a
2a 1 0 0
3a
0 T 1 0
.4a
0
= (” + l)a".
0 0 0 1
("+ l)a
0 0 0
n
方法三 令 D„ = | A |，将 D” 按第一列展开，得 D” = 2aD”_i — a2D„-2,
从而D„ —aD”_i =a(D”_i —aDn-2),由递推关系得
D” 一 aD„_x =a(D”_i — aDn-2) =••• =a"~2 (D2 — aD} ) =an ,
于是Dn aD”_i + a" =a CaD„-2 + an~x) + a" —a2D„-2 + 2a"
n~l n~2
=…=__ an—1D! + (zz — l)a" = (“ + l)a".
(U )当 r(A) =n 或| A | H 0,即 a H 0时，方程组有唯一解,
1 1 0 0
0 2a 1 0
n
由Di = 0 a2 2a 0 = na"~}，得工 i
(n + l)a°
0 0 0 2a
(ID)当 r(A) n 或|A| = 0,即 a =0时，方程组AX =b有无数个解,
'0 1 0 . .0 1 1 0 '
0 0 1 . .0 0 0 1
由A = : : : : ，得通解为X =c 0 + 0 （C为任意常数）.
:
0 0 0 . .1 0 :
.0 0 0 . .0 0 . o 0 ,
方法点评：本题需要特别注意三对角行列式的计算方法，通常三对角行列式的计算方法
有按行（或列）展开、归纳法等.
(22) r解】(I)p{z<y X=0)=”YW*}=J：ldy =*.
(H)Fz(z)=P{ZWz}=P{X+Y£z},当 z V — 1 时，Fz(z)=O； .
当 2 >2 时，Fz(z)=l；
当一 1 £ z V 2 时，
Fz(z)= P{X = — 1} • P{X+Y£z 丨 X = — 1}+P{X = 0} • P{X+Y£z 丨 X = 0} +
P{X=1} - P{X +Y < z | X=l}
= yP{Y<^ + l} +yP{Y<^} + jP{y<z-l},
t 1 1 1
u+1
当一1 W z VO 时,Fz(z) = —P {Y Wn + 1} = — dj/= — (^ + 1)；
3 3 J o o
, 1 1 Ilf- 1
当 0£z < 1 时，Fz(z)=牙+ ^P{Y Wz} = — + — dy = —(2 + 1)；
O O D 3 J 0 o
2 1 2 1 1
当 1WnV2 时，Fz(z)=可 + —P {Y < z — 1} =— + 百| dy=可(z + 1),
o o o o J 0 o
Z <— 1 ,
从而 FZ(Z)=< y(Z + 1), —1 £ z < 2,
、1, z 2.
g, -1<2
< 2,
故 /z(z)=* 3
0,其他.
方法点评：设随机变量X为离散型，其分布律为P { X —X, } =/>,(Z = 1,2 , ••• ,772 ),而随机
变量Y为连续型，其分布函数为 y 且X,丫独立，求Z=x+Y的分布函数时往往使用全
概率公式，即
Fz(z)=P{Z Wz} =P{X+Y£z}
=P{X= x}}P{X+Y^z | X=工】}+•••+P{X= xm}P{X+Y^z 丨 X = _z”}.
_ / 2\ _ _ _ 2
(23)【解】(I )由 X - nL,—,得 E(X?) =D(X) + [E(X)]2 =—+/Z2.
\ n f n
_ -1 2 2
再由 E(S2) ,得 E(T) =E(X2)——E(S2) = —+^2 - —=/.2.
n n n
—— I
于是T = X2------S2为靑的无偏估计量.
n
(u )当 〃 =o,c = 1 时，乂〜N(0,^-),标准化得庙乂 〜N(O,1),于是 nX2 - X2(l).
又
(» - 1)S2
=(^ _ 1)>g2 〜右(“ _]),且乂与s?独立，得
6
一 1 1 一 1
D(T) =D(X2) + —D(S2) = —D(/；X2) +^------- D[G - 1)S2]
n n n (n — 1)
__2_ 25 — 1) _2_ 2 = 2
n2 ??2 (n 一 1)2 n2 n2 (n — 1) n{n — 1)
