2012年数学三真题答案解析_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上. x2 x （1）曲线y  渐近线的条数为（） x2 1 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C x2 x 【解析】：lim ，所以x1为垂直的 x1 x2 1 x2 x lim 1，所以y 1为水平的，没有斜渐近线 故两条选C x x2 1 （2）设函数 f(x)(ex 1)(e2x 2)(enx n)，其中n为正整数，则 f '(0) （A）(1)n1(n1)! （B）(1)n(n1)! （C）(1)n1n! （D）(1)nn! 【答案】：C 【解析】：f '(x)ex(e2x 2)(enx n)(ex 1)(2e2x 2)(enx n)(ex 1)(e2x 2)(nenx n) 所以 f '(0) (1)n1n!  2 （3）设函数 f(t)连续，则二次积分2 d f(r2)rdr=（ ） 0 2cos 2 4x2 （A） dx x2  y2 f(x2  y2)dy 0 2xx2 2 4x2 （B） dx f(x2  y2)dy 0 2xx2 2 4x2 （C） dx x2  y2 f(x2  y2)dy 0 1 2xx2 12 4x2 （D） dx f(x2  y2)dy 0 1 2xx2 【答案】：（B） 【解析】：由x x2  y2 解得 y的下界为 2x x2 ，由 x2  y2 2解得y的上界为 4 x2 .故排 除答案（C）（D）. 将极坐标系下的二重积分化为X 型区域的二重积分得到被积函数为 f(x2  y2)， 故选（B）.  1  (1)n （4）已知级数(1)n nsin 绝对收敛， 条件收敛，则范围为（ ） n n2 i1 i1 1 （A）0 2 1 （B） 1 2 3 （C）1 2 3 （D） 2 2 【答案】：（D）  1 【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的 p级数的收敛性结论. (1)n nsin n i1 3  (1)n 绝对收敛可知 ； 条件收敛可知2，故答案为（D） 2 n2 i1 0  0   1  1         （5）设  0 ,  1 ,  1 ,  1 其中c ,c ,c ,c 为任意常数，则下列向量组线性相关 1   2   3   4   1 2 3 4         c  c  c  c  1 2 3 4 的是（ ） （A）,, （B）,, 1 2 3 1 2 4 （C）,, （D）,, 1 3 4 2 3 4 【答案】：（C） 0 1 1 1 1 【解析】：由于 ,,   0 1 1  c 0 ，可知,, 线性相关。故选（C） 1 3 4 1 1 1 1 3 4 c c c 1 3 4 1    （6）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P1AP  1 ， P ,,  ，   1 2 3    2 2Q  ,, 则Q1AQ （ ） 1 2 2 3 1  1      （A） 2 （B） 1          1  2 2  2      （C） 1 （D） 2          2  1 【答案】：（B） 1 0 0  1 0 0     【解析】：Q  P 1 1 0 ，则Q1  1 1 0 P1，         0 0 1  0 0 1  1 0 0 1 0 0  1 0 01 1 0 0 1            故Q1AQ  1 1 0 P1AP 1 1 0  1 1 0 1 1 1 0  1                      0 0 1 0 0 1  0 0 1 20 0 1  2 故选（B）。 （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间 0,1 上的均匀分布，则P  X2 Y2 1  （ ） 1 1   （A） （B） （C） （D） 4 2 8 4 【答案】：（D） 1, 0 x1,0 y1, 【解析】：由题意得， f  x,y  f  x  f  y   X Y 0, 其它. P  X2 Y2 1  = f  x,y  dxdy ，其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积 D    分的几何意义，知P X2 Y2 1 = ，故选（D）. 4 （8）设 X ,X ,X ,X 为来自总体 N  1,2 0 的简单随机样本，则统计量 X 1 X 2 的分布 1 2 3 4 X  X 2 3 4 （ ） （A）N  0,1  （B）t  1  （C）2 1  （D）F  1,1  3【答案】：（B） 【解析】：从形式上，该统计量只能服从t分布。故选B。 X X 1 2 X X 2 X X X  X 2 具体证明如下： 1 2  ，由正态分布的性质可知， 1 2 与 3 4 均 X 3  X 4 2  X  X 2 2 2 2 3 4    2  X X 1 2 服从标准正态分布且相互独立，可知 2 t  1 。 2  X  X 2 3 4    2  二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上. 1 （9）lim  tanx  cosxsinx________。  x 4 【答案】：e- 2 【解析】：lim  tanx  cosx 1 sinx ex l  im  4    tanx1 cosx 1 sinx     x 4  tanxtan lim    tanx1  1   =lim 4  cosxsinx  cosxsinx x x 4 4    tanx 1tanx tan   4 4 =lim    x 4 - 2sinx   4    x 1tanx tan   4 4 =lim    x 4 - 2x   4 2 = - 2 =- 2 所以lim  tanx  cosx 1 sinx ex l  im  4    tanx1 cosx 1 sinx    =e- 2  x 4 4ln x,x1 dy （10）设函数 f(x) ,y  f  f(x) ，求 ________。 2x1,x1 dx x0 【答案】：4 dy 【解析】：  f '  f(x)  f '(x)  f '  f(0)  f '(0) f ' 1  f '(0) dx x0 x0 dy 由 f(x)的表达式可知 f '  0  f '(1)2，可知 4 dx x0 f(x,y)2x y2 （11） 函数z  f (x,y)满足lim 0，则dz  (0,1) x0 x2 (y1)2 y1 【答案】：2dxdy 【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即 f(x,y)2xy2o( x2(y1)2) ， z z 所以 2， 1，故dz 2dxdy x (0,1) y (0,1) (0,1) 4 （12） 由曲线 y  和直线 y  x及 y 4x在第一象限中所围图形的面积为？ x 【答案】：4ln2 【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以 4 2 y 4 3 3 S   dy dx dy ydx  4ln2  4ln2 y y 0 2 2 2 4 4 （13）设A为3阶矩阵， A 3,A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则 BA* ________。 【答案】：-27 【解析】：由于B  E A，故BA* E AA* |A|E 3E ， 12 12 12 12 所以，|BA*||3E |33|E |27*(1)27 . 12 12 1 1  （14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，P(AB) ,P(C) ,则P(ABC)________。 2 3 3 【答案】： 4   P ABC   【解析】：由条件概率的定义，P AB C  ，   P C 5其中P  C  1P  C 1 1  2 ， 3 3 P  ABC  P  AB P  ABC  1 P  ABC ，由于A,C 互不相容，即AC ，P  AC 0，又 2 ABC  AC，得P  ABC 0，代入得P  ABC   1 ，故P  AB C   3 . 2 4 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分10分） ex2 e22cosx 计算lim x0 x4 ex2 e22cosx ex222cosx 1 【解析】：lim lime22cosxlim x0 x4 x0 x0 x4 x2 22cosx lim x0 x4  x2 x4    x2 221  o x2   2 4!  lim (泰勒公式) x0 x4 x4   +o x2 12 =lim x0 x4 1 = 12 （16）（本题满分10分） 1 计算二重积分exxydxdy，其中D为由曲线 y  x 与 y  所围区域。 x D 【 解 析 】 ： 由 题 意 知 ， 区 域 y  1  D (x,y)|0 x1, x  y ，如图所示所以  x 1 1 exxydxdy lim dx xexxydy x0 0 x D O 1 x 61 1 1  x lim exx y2  dx x0 0 2  x 1  1 x lim exx  dx x0 0 2x 2 1  1 1   lim  exdx exx2dx 2 x0 0 0 1  1 1   lim e1exx2 2 exxdx 2 x0 0 0 1  1   lim 12 xdex 2 x0 0 1   1 1   lim 12 exx   exdx 2 x0 0 0 1 1  lim  12  e(e1)   2 x0 2 （17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企 x 业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为20 （万元 2 /件）与6 y（万元/件）。 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元) 2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 x 【解析】：1）设成本函数为C(x,y)，由题意有：C  (x,y)20 ， x 2 x2 对x积分得，C(x,y)20x D(y) ， 4 再对y求导有，C  (x,y)D(y)6y ， y 1 再对y积分有，D(y)6y y2c 2 x2 1 所以，C(x,y)20x 6y y2c 4 2 x2 1 又C(0,0)10000，故c10000，所以C(x,y)20x 6y y210000 4 2 2）若x y 50，则 y 50x(0 x50) ，代入到成本函数中，有 7x2 1 C(x)20x 6(50x) (50x)210000 4 2 3  x236x11550 4 3 所以，令C(x) x360，得x24,y 26，这时总成本最小C(24,26) 11118 2 3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为C  (24,26) 32，表示在要求总产量为50件时， x 在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。 （18）（本题满分10分） 1x x2 证明：xln cosx 1 ,1x 1 1x 2 1x x2 【解析】：令 f  x  xln cosx1 ，可得 1x 2 1x 1x 2 f ' x ln x sinxx 1x 1x  1x 2 1x 2x ln  sin x x 1x 1x2 1x 1x2 ln  xsin x 1x 1x2 1x 1x2 1x2 当0 x1时，有ln 0， 1，所以 xsinx0， 1x 1x2 1x2 1x x2 故 f ' x 0，而 f  0 0，即得xln cosx1 0 1x 2 1x x2 所以xln cosx  1。 1x 2 1x 1x2 1x2 当1 x0，有ln 0， 1，所以 xsinx0， 1x 1x2 1x2 1x x2 故 f ' x 0，即得xln cosx1 0 1x 2 1x x2 可知，xln cosx 1 ,1x 1 1x 2 8（19）（本题满分10分）已知函数 f(x)满足方程 f ''(x) f '(x)2f(x)0及 f '(x) f(x)2ex 1）求表达式 f(x) x 2）求曲线的拐点 y  f(x2) f(t2)dt 0 【解析】： 1）特征方程为r2 r 2  0，特征根为r 1,r  2，齐次微分方程 f(x) f(x)2f(x)0的通解 1 2 为 f(x) C ex C e2x.再由 f '(x) f(x)2ex得2Cex C e2x 2ex ，可知C 1,C 0。 1 2 1 2 1 2 故 f(x)ex 2）曲线方程为 y ex2 x et2 dt ，则 y'12xex2 x et2 dt ， y''2x2  12x2  ex2 x et2 dt 0 0 0 令 y''0得x0。为了说明x0是y''0唯一的解，我们来讨论 y''在x0和x0时的符号。 当 x0 时 ， 2x0,2  12x2  ex2 x et2 dt 0 ， 可 知 y''0 ； 当 x0 时 ， 0 2x0,2  12x2  ex2 x et2 dt 0 ，可知y''0。可知x0是 y''0唯一的解。 0 同时，由上述讨论可知曲线 y  f(x2) x f(t2)dt在x0左右两边的凹凸性相反，可知 0,0 点是曲线 0 x y  f(x2) f(t2)dt唯一的拐点。 0 （20）（本题满分10分） 1 a 0 0  1      0 1 a 0 1     设A ，b 0 0 1 a  0      a 0 0 1  0  （Ⅰ）求 A （Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。 1 a 0 0 1 a 0 a 0 0 0 1 a 0 【解析】：（Ⅰ） 1 0 1 a a(1)41 1 a 0 1a4 0 0 1 a 0 0 1 0 1 a a 0 0 1 91 a 0 0 1  1 a 0 0 1  1 a 0 0 1        0 1 a 0 1 0 1 a 0 1 0 1 a 0 1         0 0 1 a 0  0 0 1 a 0  0 0 1 a 0        a 0 0 1 0  0 a2 0 1 a 0 0 a3 1 a a2  （Ⅱ） 1 a 0 0 1    0 1 a 0 1    0 0 1 a 0    0 0 0 1a4 aa2  可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1a4 0及aa2 0，可知a 1。 1 1 0 0 1  1 0 0 1 0      0 1 1 0 1 0 1 0 1 1     此时，原线性方程组增广矩阵为 ，进一步化为行最简形得 0 0 1 1 0  0 0 1 1 0      0 0 0 0 0  0 0 0 0 0  1  0  1  0          1 1 1 1         可知导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ，故其通解为k  1  0  1  0          1  0  1  0  线性方程组Axb存在2个不同的解，有| A|0.  1 1 即： A  0 1 0 (1)2(1)0，得1或-1. 1 1  1 1 1 x  x 1      当1时, 0 0 0 x  0 ，显然不符，故1.   2        1 1 1x  1 3  1 0 1   （21）（本题满分10分）三阶矩阵A 0 1 1 ，AT 为矩阵A的转置，已知r(ATA)2，且二次型      1 0 a f  xTATAx。 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 【解析】：1）由r(ATA)r(A)2可得， 101 0 1 0 1 1 a10a1 1 0 a 2 0 2 x  1    f  xTATAx x ,x ,x  0 2 2 x 2） 1 2 3       2  2 2 4x  3 2x22x 24x 24x x 4x x 1 2 3 1 2 2 3 2 0 2   则矩阵B  0 2 2     2 2 4 2 0 2 EB  0 2 2 2 6 0 2 2 4 解得B矩阵的特征值为： 0; 2; 6 1 2 3  1    对于 0,解EB  X 0得对应的特征向量为：  1 1 1 1      1  1    对于 2,解EB  X 0得对应的特征向量为：  1 2 2 2      0  1   对于 6,解EB  X 0得对应的特征向量为：  1 3 3 3     2 将,,单位化可得： 1 2 3  1   1  1 1   1   1     1 ，  1 ，  1 1   2   3   3  2   6    1  0  2 Q ,,  1 2 3 （22）（本题满分10分） 已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示， 11X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 求：（1）P  X 2Y ； （2）cov  X Y,Y 与 . XY 【解析】： X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 1 1 （1）P  X 2Y P  X 0,Y 0 P  X 2,Y 1  0 4 4 （2）cov  X Y,Y cov  X,Y cov  Y,Y  2 5 4 5 cov  X,Y EXY EXEY ，其中EX  ,EX2 1,EY 1,EY2  ,DX EX2  EX 21  3 3 9 9 5 2 2 DY EY2 EY 2  1 ,EXY  3 3 3 2 2 所以，cov  X,Y 0，cov  Y,Y DY  ，cov  X Y,Y  , 0. 3 3 XY （23）（本题满分10分） 设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，V min  X,Y  ,U max  X,Y  . 求（1）随机变量V 的概率密度； （2）E  U V  . 【解析】： ex, x 0, 1ex, x0, （1）X 概率密度为 f  x  分布函数为F  x  X 和Y 同分布.  0, 其它.  0, 其它. 由V min  X,Y ，F  v P  V v P  min  X,Y v  1P  X v,Y v ， V 121e2v, v0, 而X,Y 独立，故上式等于1P  X v  P  Y v 1   1F  v   2    0, 其它. 2e2v, v 0, 故 f  v F  v   V V  0, 其它.  2  1eu  eu, u 0, （2）同理，U 的概率密度为： f  u  U  0, 其它. EU    u2  1eu  eudu  3 ，EV    v2e2vdv  1 ， 0 2 0 2 3 1 所以E  U V E  U E  V    2. 2 2 13