2012年数学(一)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(C).
2 I
【解】 由limy =1,得夕=1为曲线夕二耳耳的水平渐近线；
J7 — 1
HfOO
2 I
由limy = °°，得工=1为曲线夕= 的铅直渐近线；
H-* 1 — 1
X
显然工=—1不是曲线夕的铅直渐近线，且曲线没有斜渐近线,
— 1
3C
2 I
故曲线)= 有两条渐近线，应选(C).
°2 f
— 1
X
方法点评：本题考查曲线的渐近线.渐近线是基础而频繁的考点，需要熟练掌握其求法.
曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.
若lim f(x) — A ,则y =A为曲线y — )的水平渐近线；
工f oo
若lim/(x )=°°，则jc —a为曲线y — fQx )的铅直渐近线；
x~*~a
若 lim『 =a (H 0,°°) ) — ax~]—b 则 y = ax -Vb 为曲线 y = )的斜渐
W 9
才一*8 JC "fOO
近线.
(2)【答案】(A).
【解】方法一由
/(^) =ex(e2x -2)-(eM -/?) +2(ex - l)e2x(e3x -3)-(enx — “)-------F
n(ex - l)(e2x - 2)--(e(n_1)x — n + l)e"’ ,
得/(0) = (-l)"-1(n-l)!,
应选(A).
方法二 由导数的定义，得
(0) = lim y)--------- 门°)= lim --------(e2x — 2) • • • (enj: — n ) -- (— 1 )"_1 (n — 1) !,
x x
x-*0 x-*o
应选(A).
(3)【答案】(B).
【解】 方法一 由f〈工，y)在(0,0)连续及lim存在，得/(0,0) =0.
x + y
z—o
yf 0
取 y = 0,由lim -——-—=lim ------------------------- •—存在，得lim -------------------------= 0,
JC X X X
x—0 x—0 x-*0
即 fz(0,0) =0,同理 f'y (0,0) =0.
△N — — fy (0,0)j/ fG )
由lim =lim 存在，得
x-*0
~工2十 | 夕~2
x-*0
~~2~1 2
oAz — ffx （0,0）j; — f'y （0,0）j/ —0（/9）,故 yO ）在（0,0）处可微，应选（E）.
方法二 由lim々：巴存在，得/（0,0） =0.
x-o X + y
yf 0
令 p = J x1 +，设 Hm = A：则△北=/'（亢9丿）一/（0,0）=0 • x + 0 •夕+ o（p）9
—0 x + y
y 0
由可微的定义得/（工，夕）在（0,0）处可微，应选（E）.
方法三 取/'（2,夕）=|工| +| y | , lim 订| = 1，因为 lim 了‘°） =
1
工一 | x | 十 | | x
o x->o
yf 0
lim "" 不存在，所以/（je ,y）在（0,0）处对工不可偏导，由对称性，_/（工,y）在（0,0）处对
JC
0
y也不可偏导，于是fCx ,y）在（0,0）处不可微,（A）不对；
取显然于（工，夕）在（0,0）处可微，因为lim 半）=lim 宀不存在，所以
x->0 | X I x->o I X I
lim 不存在，（C）不对；
1
—0 I JC 1+ |3^ I
L 0
取/（力，夕）=^y，因为/（力9«y）连续可偏导，所以f G在（O9O）处可微9但lim
工〜0 x + y
yf 0
不存在，（D）不对，应选（B）.
方法点评：本题考查二元函数可微的判断.判断二元函数fQ,y)在点(工0，歹。)处可微一
般有如下几个方法：
(1) 若/'(•z,y)连续可偏导，则在(工。，火)处可微；
(2) 若 Az = f(.T ,y) — f(x0 ,夕 0)= ACz —j;0)+B(^—j/0)4-o( J Qx _ je0)2 + (3^ ~ j^o)2)，
则f(x ,3?)在Czo，夕0)处可微；
(3) 若fix ,y)在(x0 ,y0)处可偏导，则f {x ,y)在(x0 ,j/0)处可微的充分必要条件是
f(D)—/'(工0，夕0)—AQo'jUQ —Ho)—/；(攵 o，，o)(y —，o) A
11 m ————r---------------------—---------J——— -----------------------—----「=0,「
X-*Xq P
其中 ° = — xoy + Cy—yoy.
⑷【答案】(D).
C2k 2
【解】由12 — 11 = \ e" sin x dx < 0 ,得八 > 匚；
J 7t
「兀2
3
由 13 — 12 = \ e" sin x dx > 0，得 / 2 < Z ；
3
J 2k
C3tc 2 f 2n 2 f 3k 2
I3 一 Ij = e" sin x dx = \ e" sin x Ax ~\~ \ e° sin x djr，
兀
J 7t J J 2n
C3n 2 x — TZ — t f 2x 2 f 2n 2
rfi] e° sin xdx = eG+7r) sin(z + tc)d^ =— e('r+n) sin x dj?,
J 2 k J tc J 兀
(* 2 兀 2 9
由 I3-/i= [于一eH ]sin_zd_z >0,得八 < 匚，于是 I2<h<I3,应选(D).
J 7C（5）【答案】（C）.
0
【解】方法一a3 +a4 0 ，因为«3 +«4与5成比例，所以«1 +«4线性
3 + C4
相关，故ai ,a3，a4线性相关，应选（C）.
0 1 _ 1
方法二 因为 | a】 ,a3,aA | = 0 -1 1 =0,所以a1,a3，«4线性相关，应选（C）.
Cl C3
（6）【答案】 (B).
1 0 0
【解】 由 Q=（a】+ 么2，。29么3）=p|l 1 0
0 0 1
得 Q~ AQ = [1 0 0\,1 /I 0 0\
1 P_1AP 1 1 o
1> 、0 1>
0 0
fl 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 0
' 0 0 1 0 2 0 1Z 、0 0 2
应选（B）.
（7）【答案】（A）.
e > 0,
【解】X的密度函数为/x（z）= JC
0, x <0；
4严，y > 0,
Y的密度函数为/y（J/） =
0, 夕 W 0.
因为X,Y独立，所以X,Y的联合密度为
4e_Q+3 r > 0,夕 > 0,
0, 其他，
°+°°
于是 p{x <y}= jj f(x= e~x djc 4严曲=
5
0 o
<y
应选（A）.
（8）【答案】（D）.
【解】 方法一 设两段长度分别为X,Y,则X+Y = 1或Y = —X + 1.
由 P{Y = -X + 1} =1,得处丫 = —1，应选（D）.
方法二
设两段长度为X,Y,则X -17（0,1）,且Y = — X + 1.
1, 0 V E V 1,
由 X 〜U(O,1)得 _/x(h)=
0,其他.
■1 1 1
E(X)= x dj： = —, E(Y) = E(— X + 1) = — E(X) + 1 = — ?
2 /
o
p 1 1
E(XY) =E[X(—X + 1)] = —E(X?) +E(X) =— /山 十 =
J o Z o
则 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=*-P 1
12?fl 1 1
由 E(X2)= 川吐=百得 D(X) =E(X2) - (EX)2 ,
J o
o 3 4 1Z
D(Y) =D(—X + 1) =D(X)=点，则 Qxy =—_ = —1,应选(D).
12 VD(X) • /D7yT
方法点评：本题考查两个随机变量的相关系数•相关系数的计算公式为
( ，
c°v.x_ X2
=一 ——，注意以下两个结论：
VD(X) • VdW)
(1) Pxy = — 1 的充分必要条件为 P{Y = + 6} —l(cz VO)；
(2) "y=l的充分必要条件为P{Y=aX+b} =l(a > 0).
二、填空题
(9)【答案】e\
【解】 由观察知厂Q )十于(2)=2于的一特解为/Q)=eH,
将其代入 f"d + /z (j?) — 2/(j; ) —0 中满足，故 ) = ex.
(10)[答案】贪
'2 ______________ ‘2 ______________________
【解】 j： v2o: 一 jr2 dje = [(jc 一 1) + 1] a/1 — (jc — l)2 d(jc ― 1)
o 0
(工 + 1) \/1 — jc 2 dx \/1 — j?~22 dje
z $ dz =守.
方法点评：本题考查定积分的计算.当积分表达式中出现根号，且根号内为二次多项式,
一般采用配方法，再换元.需要注意如下几个结论：
(1) [ /(x )dx = [ [/(工)+/'(— 乂)]dr ;
(2) 含丿/ —工?的积分，注意使用三角代换x =asin t.
特别地，根据定积分的几何意义有"Ja - j:2 -
4
J o
(11)[答案】i+j +k.
于是 gradG》+ 三)| ={1,1,1} =i +_/+/(;.
\ y / I (2,1,1)
(12)【答案】愛.
【解】 令工：z = 1—x — y ((z,，)C D),其中 D = {(^，夕)| 工+了€1,2 20,夕》0},=7^卜2<lzdy =V3 Joj/2d^ l—y V3
djr
12
0
D
(13)【答案】 2.
/I 0 0、 /0 0 0\
j
【解】 方法一取0 = ,aa T = 0 0 0 (，由 E — aa「= | 0 1 0 ，得E — aa 1的
'o丿 'o 0 0 丿
bo r
秩为2.
方法二 令 A =E — aaT ,则 A'nCE—aaJCE — aa「)=E—ad =A.
由 ACE — A) =O,得 r(A) +r(E — A) £ 3.
又由 r(A)+r(E-A)^r(E)=3,得厂(A)+r(E—A)=3.
而 r (E — A) = r (aa r) = r (a ) =1,所以 r (A ) =r(E — aa T) = 2.
方法点评：本题考查矩阵的秩.
研究由向量乘法形成的矩阵的秩时，通常使用矩阵的幕阵，本题很容易想到计算与A
的关系.另外注意本题E — 心 与具体的a无关，可以采用举例法.
(14) 【答案】 4.
4
【解】 因为A,C互不相容，所徨
P(ABC) P(AB) -P(ABC) P(AB) 3
P(AB C)=—— =---------------------------=-~~ =-r.
p(C) 1 — P(C) 1 — P(C) 4
三、解答题
]+ X JC 2
(15) 【证明】 方法一 令/'(2)=2111---------cos x 1,
1 — x z
1+ 工 I 2x 严 Q)=注士1 — COSH.
f' (a: ) = In 1一工十I—/ —sm x JC
4 〃
当一 1 V工< 1时，因为 -----P $ 4,1 +cos工w 2,所以/'〃(工)> 0.
(1 — H )
又因为/■'(0)=0,所以y严)<. -X <_ '于是工=o为产(工)在(—1,1)内的最
> 0, 0 <^ < 1,
]+ JC H 2
小值点，而 /(0)= 0,故当一1 <工 < 1 时/Q) $0,即 ^ln——+ COSJC ^14-—・
丄 JC 乙
]~I— JC 2
方法二 令于(工)=工111---------cos x------------], f (0) = 0.
1 — x 乙
因为/(—工)=于(工)，所以/(工)为偶函数，只需要研究[0,1)内的情形.
f O = In 1:丁+^ Y 7 H. ----— sin je — jr = In : - 七1 壬 * 1+力 | 1 1 — sinjc — re 9 j 戶 / (0 c ) 、 = c 0，
1—工 1—x 1—攵 \—x 1+jc
1
/"(h) = —y----F ------F —~-~— cos j： — 1, 厂(0) = 2,
1+z 1—工(1 — je)2 (1 + j:)2
艸、 \ 1 , 2 22
f (工)=- ( - 1 - - — -- --- r---- ( - 1 -- - 十 --- 工 --- ) - ？ r T--- ( - - 1 - - — -- ----- 1 r ---- ( -- 1 -- + --- z -- ) -r + Sin X > 0,
JC )2 X )3
严(0) = 2,
由 得严(工)> 2 > 0(0 < jc < 1)
f ) > 0(0 <^ < 1),1 + T T2
故当—1 <C x VI 时 jin ----------h cos 无 $ 1 + 片・
1 — x 2
方法点评：证明函数不等式是重要考查点，一般采用单调性进行证明，根据导数或高阶导
数符号最终确定函数的单调性，根据函数在某一点的符号情况得到所证的不等式.
f'x = (1—jr2)e 2 = 0,
(16)【解】令
/L =j：(j：2~3)e 2 , fIy — l)e 2 , fyy (y2 — l)e 2 ,
当(工，夕)=(1,0)时，
_1 _丄
A =/L(l,0) =-2e 2 , £=几(1,0)=0, C=/；/l,0)=-e~7,
由AC-B2 > 0且A <0,得(1,0)为fCx,y)的极大值点，极大值为/(1,0)=占；
当(J7— (一1,0)时，
A=化(—1,0)= 2厂，几(—1,0)= 0, C=心(—1,0)=尹，
由AC — B2 >0且A>0得(一1,0)为f (x ,y)的极小值点，极小值为/(— 1,0) = —e
(17)【解】 由liml^Ll,得级数的收敛半径为R =1.
4/7 2 —I— 4-71 —I— 3
当攵=±1时，由lim— (土 I)?"工0,得工=土1时级数发散，故幕级数的收敛
«-*°° 乙 n 十 1
域为(一1,1)・
1 + j：
而 ^2(2九 + 1)2% =( ^2x 2n+1) z = (―1 Vz V 1),
(1 —
X
当 0< |工 |< 1 时，S1(H)
3, •Z = 0 9
于是S (z )= 1 + 乂
-----In t——，0 < | | <C 1.
(1 — xdj//dt sin t
(18)【解】 曲线L的切线的斜率为k=^j^ =—戸胡，切线方程为
y — cos t =—：；；[攵—/"(/)].
令y =0,得切线与x轴交点的横坐标为X =/•(/) + C°S Z/z(O，由题意得
sm t
cot2Z • f，2 Ct)十 cos21 = 1,
• 2 .
因为厂(T)> O9所以 /Z(Z) = —— = sec t — cos t，
cos t
于是 fCt) = ln(sec t + tan t) — sin f + C 9
再由 f (0) = 0 得 C=0,故/ (t) = ln(sec t + tan Z) — sin t.
由/(0)=0, lim/(t)= + oo得曲线L及龙轴及夕轴围成的无界区域的面积为
一守
A = ydx = \ 2 cos t •厂(t)d£ = 2 sinSd/ = -7-.
J 0 J 0 0 4
(19)【解】 补充L。：工=0(起点y =2,终点y =0),记L与L。围成的区域为D,由格林公式
得
I =Q) 2 y cLz + (z3 + z — 2j/ )dj/ — 32 j/ dx + («z3 + x — 2y)dy
J L+L° J Lq
=JJ If ) 2 =jK dp — 4.
(等 _ 亦—］；_ 牺 =守一
D D
(20)【解】 (I)由行列式按行或列展开的性质得
| A | = 1 X A h + a • A a —Mn — aMa = 1 一 a4.
(n )若AX =P有无数个解，则|A 1=0,即a= — l或Q=l.
,1 -1 0 0 1 1 0 0 -1 0 '
0 1 _ 1 0 -1 0 1 0 -1 -1
当 a — — 1 , (A 丨0)=
0 0 1 —1 0 0 0 1 -1 0
-1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 .
因为r(A)-r(A)=3 < 4,所以方程组AX =0有无数个解，通解为
1
0
当 a = 1 时,.(A \ P)=
0
.1
因为r(A)工r(A),所以方程组AX=0无解.
方法点评：行列式虽然不是考查的重点内容，但有几种特殊行列式需要熟练掌握其计算
方法：
(1)三对角行列式，如本题矩阵对应的行列式，这种行列式的计算一般采用行列式按行或
列的方法展开计算或找递推关系.（2）对称矩阵对应的行列式，一般采用所有行加到第一行，提取公因子，再将行列式上
（下）三角化计算.
非齐次线性方程组解的讨论，首先运用方程组解的理论确定解的存在性，然后利用初等行
变换求方程组通解，这个方法一定要反复练习，熟能生巧.
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
(21)【解】(I )A =
-1 0 a 0 0 a + 1
.0 a — 1, 、0 0 一 1 一 a,
由 r (ATA ) = 2 及 r (ATA ) = r (A )得 a = — 1.
0
(H)当＜2 = — 1 时,Al A — 0 2
J
2 2
A — 2 0 -2
由 | AE -AtA | = 0 A — 2 -2 =入（入一2）（入-6） =0,得AL1的特征值为
-2 -2 A -4
A ] == 0 9 入 2 二3 2 9 入 3 6.
当Ai =0时，由（0E-AtA）X=0即0得入1 =0对应的特征向量为gi
当入2 = 2时，由（2E -AtA）X= 0得入2 =2对应的特征向量为§2 =
0
当A3 =6时，由（6E-AtA）X= 0得心=6对应的特征向量为§3
L 1 t 1 1\
1 1
单位化得人 -1 ‘2=厉 _ 1 1
' 1 ' 0 2
令0 = ，在正交变换X =QY下，二次型f的标准形为
0
f =2yl + 6式.
方法点评：本题综合考查了矩阵的性质、特征值与特征向量理论、正交变换法化二次型为
标准形等重要知识点，综合性高、覆盖面广，且涉及的都是线性代数的重点内容，需要熟练掌握
所涉及知识的理论体系的方法体系.在解读条件r(A'rA) =2时，一般做法是，先进行矩阵的乘法，再阶梯化，根据矩阵的秩求
出a,但这样做比较费时，如果想到性质r(ATA) =r(A),则本题运算量会大幅下降，所以熟练
掌握线性代数有关方法对解题非常重要.
(22)【解】(I )P{X =2Y} =P{X =0,Y = 0} + P {X = 2 ,Y = 1} = #•
(D)由(X,Y)的联合分布律得X,Y,XY的分布律为
/° 1 2\ 1 2\ /° 1 4
4 4
X〜1 1 ,Y〜 1 1 ,XY〜'7 1 1
6 / 、3 '12
3 ' 12
9 9 2
于是 E(X)= y,E(y)= 1,E(Y2)= §,D(Y)= E(Y2)- ：E(Y)J = §,E(XY)= y,
Cov(X,Y) =E(XY) —E(X)E(Y) = 0,
2
故 Cov(X — Y,Y) = Cov(X,Y) -D(Y) --y.
(23)【解】(I )因为X,Y相互独立，所以Z=X-Y服从正态分布.
因为 E(Z) =E(X) — E(Y) =0,D(Z) =D(X) +D(Y) =3<r2,所以 Z 〜N(0,3a2),故
Z的密度为
(z) = -------e 6a (— 00 V z V+ °°).
丿6兀a
(U)似然函数为 L =_/(G)y(Z2)・・・f(S)= (6"2),
取对数得 In L =—善In 6k — cr2 —二■ 乂 ,
/ / 6(7 ° =]
由為讥一冷+占孚 n，得八补呂/
故川的最大似然估计量为
5 2 = 1
(皿)因为 E(&2) = ^_£e⑵)=£e(Z2) =£[D(Z) + (E(Z))2]=°2,
3n r=i 3 3
所以产是川的无偏估计量•
