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2021年数学（一）真题解析
一、选择题
⑴【答案】(D).
er _ 1
【解】 由lim/(j?) = lim--------= 1 =/(0)得/ (工)在无=0处连续；
^-^-1 ” ’
再由lim 2)—*°)=］岛 ----- =］加 _［_工=1曲刍二当得
X x X 2
•r-*0 x-^O X-*O
f'(0) = £ H 0,应选(D).
(2) 【答案】(C).
【解】f (工+ l,e") =x {x + l)?两边对x求导得
f\ Q + 1,于)+e丁； Q +1,于)=Q +1严 +2工(° +1),
取工=0 得 f\ (1,1) +几(1,1) =1；
/(x ,jc2) = 2o?Jln x两边对工求导得
/1 (z ,_z $) + 2工兀(x 2) = 4jc In x + 2x ,
取工=1 得 f\ (1,1) +2/； (1,1) =2,
解得 f\ (1,1) =0,/； (1,1) =1,故 d/(l,l) =€1歹，应选(0.
(3) 【答案】(A).
【解】 因为/&）=洱冷为奇函数，所以b=0；
1 +工
x3 1
由 sin x = x +。（工‘），-----7 = 1 — x2 + o （j?3 ）得
6 1 +工
f G 工2 =X-- 久3 +o（j?3）,
1 +工 6
应选（A）.
（4）【答案】（E）.
【解】lim±/（2^_1
—=lim — r，应选（B）.
2“
n n-*°° Tl
（5）【答案】（B）.
j
1 1
阖令
2 1 ,X ，则 f=XvAX,
'1
1 0
工3
A -1 -1 1 0 0
由 |AE-A | = -1 A - 2 —1 =(A + 1) —1 A - 2 - 2
-1 - 1 A -1 - 1 A - 1
—(A +1)(入'一 3A )==0
得入i = —1,入2 =0,入3 = 3,应选(E).(6)【答案】(A).
【解】由施密特正交化得/尸罟需=4厶=証暮=彳=4,应选⑷.
方法点评：将线性无关的向量组化为两两正交的规范向量组即施密特正交规范化，实对
称矩阵的对角化的正交变换法需要将线性无关的特征向量进行正交化和单位化.
设 a〕,a2»a3 线性无关，0i =a 1 ,p2 =a2 ~~hPi ‘03 =叭—匕庆 ~k2p,,且0】,02 ‘03 线性无关,
mi 7 __(a?,0i)厶 _(。3，01) — (a3,02)
刘Z1 =斫瓦7'紅=(小心) =莎瓦亍
2
(7)【答案】(C).
【解】r(o 卜心)+心加=2心)；
M / o A A f B \ l 列 o /A 爲O \ 得/仏A A A B」 \ "；
由"A °t)旦rf °)得厂r [)=2心)，应选(C).
\BA A1 2 > S A1 >
At/
(8)【答案】(D).
【解】 由F(A | B) =P(A)得P(AB) =P(A)P(B),即事件独立,
P(AB) P(A)P(B)
于是 P(A |B)=―=-=------=——=F(A)；
P(B) P(B)
由 P(4 | B) > P(A)得 P(AB) > F(A)P(B),
P(A B) 1-P(A)-P(B) + P(AB)
从而 P(A |B)=-
P(B) 1 - P(B)
1 -P(A) -P(B) +P(A)P(B)
=1 - P(A) =P(A)；
1 - P(B)
P(AB) P(A) - P(AB)
由 P(A |B) > P(A |B)得 > ，整理得 P(AB) > P(A)P(B),
P(B) 1 - P(B)
P(AB) 、P(A)P(B)
则 P(A |B)= =P(A)，应选(D).
P(B) PCB)
(9)【答案】(C).
【解】 N
则eV) =e(乂)一e(£)=幻一
“2
=0；
D(^) =D(X - Y) =D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)
2 / 2 9 一 一 一
=—+ ———[Cov(Xi ,Y) + Cov(X2 ,y)H------- Cov(X„ ,Y)]
n n n
2 2
=空 +丄一$[Cov(X| ,Y!)+Cov(X2,y2) H-------Cov(X”，Y”)]
n n n
C2 I咒2 c2 62 十I 几2 一o 印宀、土"、、
=---------1---------------------7 • npcf ! o 2 =------------------------------------------ 9 应述 (CJ.
n n n ri(10)［答案】(B).
【解】 由题乂〜N(11.5，+)，或兰— J"〜N(0,l),
犯第二类错误的概率为
P{X < 11} "^1,5 <- ①(一1) =1 -0(1),
应选(E).
二、填空题
⑴)【答案】 v-
4
*8
【解】 djr 0 I：y Ftam+1)旷 7T 7C 7T
Jo j?2 + + 2 1
2
(12) 【答案】三・
【解] 曲=dy/山=4f J + 2t
dx Ax / dz 2e + 1 — dT7 _ djr/dz "" 2e + 1
则卸 2
J*
=0
(13) 【答案】 x2.
哨则
【解】令X =e' ,D
代入欧拉方程得
d2 y
特征方程为A 2 —4=0,特征根为A)= — 2 9入2 = 2 9
d? v
丁^-- 4/ =0的通解为y = C! e_2/ + C2e2/ 9原方程的通解为
dt
y = ―']2 十 1 厂 2 9
X
由 J/(l) =1 9j/(l)二 =2 得 Cl +C2 =1, — 2C] +2C2 =2,解得 Cj =0,C2 =1,
故 y =x2.
方法点评：形如
工”3?"> + a”_iz + ••• + axjcy' + aoy — )
的方程称为欧拉方程.
令攵=e‘，则zj/ = Dy = ^ ,2 = D(D — l)y = —坐，
dt dr dr
x"y("^ = D(D — 1)••• (D 一 n l)y ,
代入原方程得高阶常系数线性微分方程，求出其通解，再将t=\n.z代入即可得原方程的通解.（14）【答案】4tt.
【解】 设工所围成的几何体为0，由高斯公式得
』无 2 dy c!n y 2 Az Ajc + n dr d (2工 + 2』+ l)du，
Q
由积分的奇偶性得
dv = 2 JJ dr dy =2 • 7T • 1 • 2 = 4兀・
n d
-ry
3
（15）【答案】 y
1 a 12 a 13
【解】|小=2 1 a 22 Q 23 =2(A I 】+ A 2i + A3i ) = 3，则
1 a a
32 33
+ A31 =—3
Ah + A2i
（16）【答案】寺・
0
【解】（X,Y）的可能取值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,
3 __ 3
P{X =0,Y = 0}=—
? _=10'
2 _ 1
P{X =0,Y = l} =y r= T
2 _ 1
p{x =i,y = o}=兀
T -二亍
P{X =1,Y = 1} =* 3 __ 3
= To,
由胡; 1 \
J 得 E(X) =*,E(X2) =*,D(X)=扌；
' 2
2'
由」; 11得E（y）=y,E（y2）=y,o（y）
' 2
2'
由「； （
e xyu
』得 脣,
40 10Z
1
3 11 20 丄
Cov(X,y)^E(XY)-E(X)E(Y)=--T=-,P!-J^
T~T
7 ■ 7
三、解答题
（17）【解】方法一
/ 1 +「e，At
1 + J e' At J sin x 一 e" + 1
1
lim ---------- =lim
e" — 1 sin x i -*•() (e" — 1) sin x匚.2 .
e dt -eT + 1
=lim------- 0
j.-*0
才t2 .
e d£ • sin x 一 eJ + 1 + j?
lim sin x 2 J o
x -*-0 X X 2
x (2 .
e dt • sin x — e" + 1 + z
o
lim
j-*0 X 2
e ck
sin x o i. eJ — \ — x
lim lim
.r->0 x j--*0 X 2
lime" 2 — lim - e - J - - - --- - 1 =] i ------ 1 - 丄
2工 2
x-*0 x-*0
方法二
工 2 工 2
e d/ e dt
liJ-. 1 1
0 lim 0
-r-*0 \ e — 1 sin x x—*0 ex — 1 er — 1 sin x
x 2
e dt 工 2
由 lim ；. =lim -— = 19
o e』—] —o
I 1 sin x 一 e + 1 - sin x -ex + 1
lim =lim —----------:------= lim
x~*0 lo (ez — l)sin x x -*0 - X 2
冷lim COS X =(— sin 工一M ) =--
Z j -*o La X-*0 2
H .2
得応匚 e‘ dt
0
h~*o \ e sm x
方法三
由泰勒公式得e‘,2
工 2 3
从而 e dt =x
+ —~ ~ O（
工3）9于是有
0
3
1 + 才 於 M d-t -1 + 无 + 才 + o (j? 3 )
I 1 1 + 2 1
lim 0 =lim =lim. 丫
jr-^O sin jr •r f 0 『_ ] sin x •r—o' — 1 sin jc
1 1
=lim ———lim
er — 1 x-*o
•Tf 0
sin x — e + 1 sin x — e + 1
=1 + lim -~~:----------------= 1 十 lim------------；--------
jr~*O (e2 一 l)sin x 工〜。 x 2
=1 + lim COS X 2工 e — ° = 1 + !戈 — - - s - in -- x 2 -- — --- 『 --- =亍 1
jr~*000 ”+1
(18)【解】 工“”(才)=丫
1)
n = 1 ” = 1 ” =]n(7? +
当 lim ^
—
―
(n
：
+
-
1
-
)
-
x
= e~x < 1 即
工 > 0 时,£ e"nJ
收敛;
”f°° e ” °
” =1
]
再-J- 由. . h . m- ( - 7 - 2 - - + -- -- 1 -- ) -- 5 -- + --- 2 -- ) -- 1得工 X 卄1 的收敛半径为R =1,
n-*°° 1 i n (?? + 1)
+ 1 )
77(77
当攵=± 1时，Y
(士 1)”+】 二 1
=1,故工:广丄1、 的收敛域为［—1,1］，
n = 1 7? ( 72 + 1 ) 1 7?（7? + 1 ）
故级数工"”（攵）的收敛域为（0,1］.
n = 1
才+】
令S(z)=》“”(工)=》「+ 工 (工) 9
( 十 =Si + S? Q )
” =1 71 = 1 7? (77 JL)
_ 1
且so = 丫厂
1 - _ eJ - 15
n = l
S2(工)=丫 X
卄1 00 ”+i
X
"+1 =工£
X
00 n
z? (n + 1) n + 1 n
M = 1 n = 1
=(1 — x )ln( 1 — x ) + j? (0 V x < 1),
当工=1 时，由 S1(1) =-^,S2(l) =1 得 S(l) 1 e
e-l+1 e-1
e — 1
故 S （工）
X =1.
（19）［解】 设M(x ,y ,z) G C ,点M至I」zOy坐标面的距离d = \ z\ ,
令F =z2 + A (2 + 2y2 一 n — 6) +(1 (4工 +2j/+n — 30),
F； = 2Ajc +4〃 = 0 9
Ffy = 4 入夕 + 2〃 = 0， 工=4， x = 一 8 9
由y F； = 2n — 入 +〃 =0, 得 夕=1 9或 y = —2,
F\=x2 + 2y2 — z — Q = 0, N = 12 , = 66，
F； = + 2j/ + z — 30 = 0
故C上的点(一久一2,66)到xOy面的距离最大为66.
（20）【解】（I）显然J（D） (4 —工2 — ybdzcly取最大值的区域为4 一工2 — y2 > 0,
D
即 D] = {(D)| x2 + y2 W 4} 9 则
= (4 — x2 一 y2 )dO,Lo在L内，取逆时针)，设OU与広所围成的区域为
Lo围成的区域为，则
2」人2 2 | , 2
(•re" -v + y )dz + (4ye" " —)dj/
x2 +4y2
0D]
(
/
■ze
2 丄
"
d
F
2
十 y)d
.
z +(4ye」
2
+
,a2 2
— z)dy
川+3
3Di+L0
(jr er +iy +j/)cLz 十(4ye" +iy 一
x 2 + 4y2
(xer +4jz + 3/) dr + ( 4y er ^4y 一 x ) dy
jc 2 + 4y2
(, 工『2 丄4 '2 + j; )c _ l z + (4jy『 2 , , ' 2 —x)dy
x2 + 4y2
2 2 2 2
=-7 (o-eJ +o +3/)d^ + (4jeJ +o — h)*
r J
Lo
= g]J(8工 ye点+4, — 1 —azye'+“ - l)djr dy
r D2
—2心一2 r
厂 JJ r 2
D2
故 r (x er +43< +y)cLr + (4ye" —z)dy
(21)【解】(I)由
A — a 一 1 1 入 ——a + 1 —(入一a+1) 0
-1 A — a — 1 A — a 1
=
1 1 A — a 1 1 A — a
1 -1 0
(A — a + 1) -1 A — a 1
1 1 A — a
1 0 0
(A — a + 1) -1 A — a —- 1 1
1 2 A —a
=(A 一 a +1)2(入一a — 2) = 0 ,
0 得入］=4=a — 1对应的线性无关
0 '由……‘ 7
十2对应的
1 1 2/ '0
特征向量为a3
J
(a 2，卩 b
得正交矩阵P=
ia 一 1 0 0 \
使得P AP = 0 a - 1 0
' 0
0 a + 2
/4 0
(II )由 P「[(a+3)E — A]P = 0 4
'o 0
1
/4 0 °\ (2 0 °\ I2 0 °\
(a + 3)E - A =P 0 4 P 0 2 0 Pv • P 0 2 0 P
'o J 'o J I1
0 0 0
I2 0 °\
令 c=p o 2 0 P1 ,
'o J
0
/ 5 -1 1\
1
-1 5 1
J
' 1 1 5/
则 C2 =(a + 3)E - A.（22）【解】（I ）X的密度函数为
卩，0 < JT < 1,
于 xO) =
Io,其他.
=2 —X得纟二笃兰，
（H）由 y =
A
Fz(z) = jP{Z Wn} = P — 1 Wn
当 z < 1 时，Fz(z) =0；
1 =1- 2 z 一 1
当 z > 1 时,Fz(z) =P X >
2
Id j?
z + l 2 +1
0, < 1,
即 Fz(z) = 2： 一 1
$1，
Z + 1'
故z的密度函数为
0,
/z
