227.2016年之前几道难题补充（周洋鑫）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2016年之前真题几道难题补充 新浪微博@考研数学周洋鑫 2016 年之前真题几道难题补充 配合《何止十年真题》 【注】建议作为练习使用 【1】（2011年数二，15题） x  ln(1+t2)dt 已知函数F(x)= 0 ，设 lim F(x)= lim F(x)=0，试求的取值范围. x x→+ x→0+ 【2】（2011年数二，19题） 1 1 1 （Ⅰ）证明：对任意的正整数n，都有 ln(1+ ) 成立. n+1 n n 1 1 （Ⅱ）设a =1+ ++ −lnn(n=1,2, )，证明数列a 收敛. n 2 n n【3】（2012年数二，21题） 1 （Ⅰ）证明方程xn +xn−1+ +x=1（n为大于1的整数）在区间( ，1)内有且仅有一个 2 实根； （Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为x ，证明limx 存在,并求此极限. n n n→ 【4】（2012年数二，20题） 1 设函数 f(x) =lnx+ . x （Ⅰ）求 f(x)的最小值； 1   （Ⅱ）设数列 x 满足lnx + 1.证明limx 存在，并求此极限. n n x n→ n n+1 第 1 页【5】（2000年数三，2题） 设函数 f(x)在点x=a处可导，则函数 f(x) 在点x=a处不可导的充分条件是 （A） f(a)=0且f(a)=0 （B） f(a)=0且f(a)0 （C） f(a)0且f(a)0 （D） f(a)0且f(a)0 【6】（2007年数一数二，5题） 设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数，且 f(x)0，令u = f(n)(n=1,2, )， n 则下列结论正确的是 （A）若u u ，则u 必收敛. （B）若u u ，则u 必发散. 1 2 n 1 2 n （C）若u u ，则u 必收敛. （D）若u u ，则u 必发散. 1 2 n 1 2 n 第 2 页【7】（2010年数一数二，3题） 1mln2(1−x) 设m,n均是正整数，则反常积分 dx的收敛性 0 n x （A）仅与m的取值有关． （B）仅与n的取值有关． （C）与m,n的取值都有关． （D）与m,n的取值都无关． 【8】（2012年数一，3题） 如果函数 f(x,y)在点(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 f(x,y) （A）若极限lim 存在，则 f(x,y)在点(0,0)处可微. x→0|x|+| y| y→0 f(x,y) （B）若极限lim 存在，则 f(x,y)在点(0,0)处可微. x→0 x2 + y2 y→0 f(x,y) （C）若 f(x,y)在点(0,0)处可微，则极限lim 存在. x→0|x|+| y| y→0 f(x,y) （D）若 f(x,y)在点(0,0)处可微，则极限lim 存在. x→0 x2 + y2 y→0 第 3 页【9】（2007年数一，20题，仅数一数三完成）  设幂级数a xn 在(−,+)内收敛，其和函数y(x)满足y−2xy−4y=0， n n=0 y(0)=0,y(0)=1. 2 （Ⅰ）证明：a = a ,n=1,2, ； n+2 n+1 n （Ⅱ）求y(x)的表达式. 【10】（2010年数二，19题） 设函数u= f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 2u 2u 2u 4 +12 +5 =0． x2 xy y2 2u 确定a,b的值，使等式在变换= x+ay,= x+by下化简为 =0．  第 4 页【11】（2011年数一，19题） 已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0，f(x,1)=0， f(x,y)dxdy=a， D 其中D=(x,y)|0x1,0 y 1.计算二重积分I =xyf (x,y)dxdy. xy D 第 5 页