文档内容
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数学基础过关
660
(
题目
数
学 答案册
三
)
编著◎李永乐王式安武忠祥刘喜波 宋浩姜晓千
*中国农业出版社
—CHMA AGRICULTURE PRESS
•北京•目录
CONTENTS &
I I
基础过关1阶
微积分
填空题..................................................
7
选择题.................................................
52
线性代数
填空题.................................................
126
选择题.................................................
146
概率论与数理统计
填空题......................
175
选择题....................
189
，择
| 基础过关2阶 |
微积分
填空题................................................
213
选择题................................................
230基础过关
3
答案册微积分水平自测一答案
本自测题极容易，你应当快速完成测试，毫无压力。
如果你解答这些题还有困难，请自行补课，推荐《考研数学复习全书-基础篇》。
1.【答案】D
【分析】悝（〃+指 （2 一 —以 2）+3 1）3 _「_______27 — 27〃 + 9疽一/_______
”-*8 + 2n + 1 — (w3 + 3n2 + 3n + 1)
-n3 +9n2 -27n + 27
= lim ----------n----T—5-----------
n—8 — ri — 2n — n
..9 27 .27
】 1 ~2- * ~3"
n n n
1.
=lim 2 1
”一A8 乙 _L
--1 1- -----------
1 n n2
=1.
2.【答案】C
【分析】 显然/（x）可导，则极值点必然为驻点，又有
f 愆）=a cos x + cos 3z
故 f （专）=号―1 =。，故 a = 2.
3-【答案】C
1 分析】= （z”+e，）'”> =（工'）3> + （e，）3，显然（工”）3 =n!,（e，）3> = ex.
故有 =（工” +e，）s = n! +e\
4.【答案】C
£
【分析】 In xAx = xln x 1.
5.【答案】A
dz _ 1 — [ —(Z + J7)__ 2」 dz _ Z — 了 + z + / 2«z
【分析】
dx (x — yY (x — y)2 9dy (x — yY (z — y)2
故
dz 1 dz 1 Zj/dz 1 2zd;y
dz = Y-clz +I — aj/
ox dy {x — yY
(z —y)2
2(xdy — ydx)
Cx-y)2
6 .【答案】D
【分析】由赛级数的收敛半径计算公式可得
• 3・_ r （" + 1严 3” ・ 〃!
p 一挡 3*3 + 1）! nn
=lim f 1 + — _e^
n T
» 8 \
故幕级数的收敛半径7?=-=-
P e
7.【答案】1
【分析】由洛必达法则和变限积分函数求导公式，可得
sin tdt
lim 土------- = lim = 1.
X—0
8.【答案】f
【分析】 显然了(抄在(一 8,1)和(1,+8)上均连续，下面讨论Z = 1处的连续性.
/(I-) = lim = limn • cosEk(x — 1)] = k
a-
/(1+) = lim (arcsin x + k) =戋 + &
h-i+ . 2
若要使fG)在x = 1处连续，则应有/(1~) = /(1+)，故= y.
9 .【答案】V =于+ 1
【分析】/ = 插,则J 1 = 4时以=2,/ = £■・
2“ 4
可得切线方程为丁一2 = j(z — 4)=千一1’即$ =于+ L
1。・【答案】/(x,>)dx
【分析】 根据二重积分画出来积分区域为右图，于是直接交换积
分次序为
「e fin y
J]djJo /(x，3/)dx.
凡事萄副立, 不予页则废。
一《中庸》
・4 •微积分水平自测二答案
本自测10个小题都是基本的概念与计算，难度不大。同学你应当在规定时间内完成解答，并且不感到有什么困难。
如果确实有困难，请自行补课，推荐《考研数学jt习全书-基础篇》。
1.【答案】C
【分析】四半了2 =lim lim(气：化+?” 2_
4^ =
x3 — 1 (X — 1) (x2 +1+1)
X-*1 1
2.【答案】A
【分析】记U = X2，则X =— 1时u = 1 ,
学 =「与(“)]| .半 =§x(—2)=—1
dr \_du J | M=1 dz 2
x=-i x=-i
所以 d, =—dr.
x=—1
3.【答案】C
【分析】~t~ f sin tdt = sin x2 • -p-(x2) = 2xsin x2.
dx j dz
o
4 .【答案】D
【分析】 由已知= ln2x + C,/(jr)= 背
Jx/Z(x)dj： = Jxd(/(a:)) = xf(x') 一 J= 21n x — In2x + C
答案选(D).
5.【答案】B
【分析】令卜= =2e3,所以选（B）.
6.【答案】A
【分析】f(.x + y,xy)=工 +了 2Xy ,
2 2 = & + /)2 —
记以=x + y,v =工y = u2 — 2方或改记成 工、y) = x2 — 2y.
=2x — 2,
dx dy
7.【答案】一+ lln 一 | (arctan x)2 + C
■八 「 arctan x 」 f / 1 1 \ , 「arctan x . f arctan
【分析]J ^(lW)dx = J arctan 了 (/―讦巡川 了 = J 丁―血一J
• 5 ,arctan x A arctan z〔 1
QJ7 arctan zd z(l+3 产
x2 x
arctan x , 1 1
+2 --------------dzr^
x ^2(1 + ^2)
arctan sc rqh?)M
+ T
x
arctan z
x I+C， + G.
[弩半％'dz = ! (arctan xY + C2，所以
J 1 十 z' L
f arctan 工 & =_ arctair 工,Xln ____X (arctan tY + C
z + 2lni+^2 2 3ctanz)十。.
L"l+*2)&
8.【答案】一9,13
【分析】由题设可知
y(l)=a +5 + 1 = 5,
(1) = 3az2 + 2如 + 11 X=1 = 3q + 2b + 1 = 0.
即
fa + 6+1 = 5 J 2q + 25+ 2 = 10 \a=— 9
〔3。+ 23+1 = 0 [3。+2b+1 = 0 \b = 13
9.【答案】0
r2 「 2 2 C2
【分析】 xfr {x) Ax = xdf(x)=工f(£) —/(j：)dj： = 4 — 4 = 0.
J 0 J 0 0 J 。
10.【答案】2巧2cos(2z + y) — 2x2y2+ y) ,2x2ycos{2x + jO — y2sin(2^ + y)
【分析】 由二元函数求偏导的链式法则
dz dz du , dz dv o 9 - c
—• -----— • — = Zucos v • y ——u sin v • 6
dx OU dX dv dX
=2^3/2cos(2+ /) — 2a:2 j;2sin(2jc + y)；
dz dz du . dz dv Q 2 - i
dy du oy dv oy
=2x2 ycos(2x + y) —x2 y2 sin(2x + y).
道虽迩，不行不至，
事虽小，不为不成。
—《荀子》
, 6 •微积分
埴 会 题
MM【答案】i
【分析】 方法1 由2/(x) + /(I — jc) = x2可知
2/(1 — x) + /(x) = (1 — X)2.
解方程组
(2f(工)+ /(I — x) = x2,
(2/(l-^)+/(x) = (1-x)2,
可得 /(x) = yx2 +§] — §，故L/XQdz = y.
方法2 因为2/&)+/(1—了)=]2,所以
2 [ /(j：)dx + f /(I — x}dx = [ x2dx =
o
J o J o J o
令 t = 1 —z,则[/(I — x}dx = I* f(t) (— d,) = [* /(x)d^,代入上式可得
J J J
o i o
I* f(^)dx = *・
J o y
sin z, 1 VW
2 【答案】＜
X, | z |W 1 或 I l> y
【分析】 当Iz IV 1时，
中&) arcsin x, | *.
乙
3 【答案】7
【分析】"了 + §)=工2+§= Q + .) —2,
所以 /(x) = x2 — 2,lim/(jc) = 7.
・7・数学基础过关660题•数学三（答案册）
4 【答案】e2
【分析】 lim [sin — + cos = lime*(血/+««#),
工―8 \ JC JC / zf 8
所以只要计算lim工In (sin 2 +cos 即可.
x-»oo
记.=L 则 limxln ( sin 2 + cos【)=lim 4土岂)
3C zf 8 \ JC 00 >
10
由洛必达法则，lim Kin 2z + cos t) i. 2cos 2t — sin t o
lim —: - : = 2,
t—0 D sin Lt 十 cos t
所以lim (sinA2 + cosl
工一>8
5 【答案】 1
【分析】方法1 分子有理化,
1皿(+ z — g _%)=呼 了 工(工厂，Z)
~ ，-+8 JZ "
_____ 2x
lim
1 + — +
x
【）.由泰勒
方法2 泰勒公式，lim ( J那+ z — ^/x2 — x ) = lim
X-*4-OO X /
公式,Jl +手=1 +当+。 ! 1 1 1 .
1 1—板=1 —元 + °2 ，所以当x ->+8时,
lim x 1一手 E 肾[(i+土+/ 1_上+°2(§))]=1・
x-»4-oo
【评注】 考虑 lim ( a/ Xx-» 2 — O + O x— \/x2 X — — »00 x) , lim(+ ）是否存在.
6 【答案】0
【分析】 这是号型极限，先作如下变形:
j _ ]血 Hsin t2 — 2sin x + sin 2x
•I?
x-*0
可用的方法是洛必达法则（计算较繁）与泰勒公式.
注意泰勒公式
sin x = x----x3 + o(x4) (z —0) (z"项系数为 0)
b
xsin x2 = x(x2 + o(x4)) = x3 + o(j:4 )
X — -^-x3 + o(x4)
—2sin x =— 2 =—2x + yx3 + o(x4)
0
2x — 4~(2z)3 + O(X4 ) = %工一 + O&4 )
b 3
相加得
xsin x2 — 2sin x + sin 2z = 0 + o(x.4) (x 0)
・8・微积分
因此 I = lim = 0.
x-*0
【评注】如果求
lim zsin — 2sin x + sin 2x
x—0
就要把sin工展开到z，项:
sin x = x----x3 + + o(xs) (x 0)
然后可得
xsin x2 — 2sin x + sin 2x = -^-x5 + o(x5) (x
0)
4
于是
+O(X5)
1 , n _ 1
I = lim =j + o =—.
x5
x-*0
7 【答案】 穴
T
n 1
【分析】 S Hl = 而
y ±1______ 1 ____1_____ < y 1 1
窑
n i+(£ + l)2 n i +日二工 n i + -4
1 = 1
n2 n2 nl
1 1 1
由定积分的定义知，lim、 1+营丘=孕,且
18 ,=] n o
1 +疗
1 1 1 1 1
(i + 1)2 = 23
1+ l十尹 ,=1 n 1 + —
n' 十〃2 n2
lim、
1 1 =些纣+今1
—lim — —- - lim -------7—
1
| 1、2 T 7t
18 j=l n 1 + G + I)z n—8 n ]+ 上 一8 n ] +(〃 十 1)
n2 n n2 n2
n
所以lim、 _7t_
L8 -=1 n2 +i2 + 1
【答案】
【分析】 这是8。 型极限，先作恒等变形
e"l + ? lime 力“(咔)
I = lim e
x-*°° •1—8
又
等价无穷小
lim#ln(l +营)
因子替换llm
e-
x—*OO
・9・数学基础过关660题•数学三（答案册）
oo
OO 1
lim =0
洛必达法则 ■Z—>8 2xe
ln(1 + ?)
其中 (X -* 8)
因此,
=e • e° =e.
9 【答案】1
sin（衣）出成=$
【分析】
_0_ 蜉X2工-衅X3^
V
=>1 lim
洛必达 2x
x—0
法则
v siWn x' - lim 4 x sin 、/ ■, 3
lim 亍X*=1—2 X 1 X 0 = 1.
x x—o Z
Hf 0
10 【答案】In 2
【分析】 lim x2(2x —2出) =lim 2击f/Ti _ i)
x-»4-oo x-*4-oo
= lim 工2[2工&)— 1]
In 2
lim x2 =In 2.
x(^x + 1)
_r—+8
H
【答案】i
lim x^lnCx^+x)
【分析】lim (x2 +z)' = lime'lG+z) = ex^o+ = e° = 1.
12 【答案】2
【分析】
方法1 这是8.0型的数列极限，转化为求*型的函数极限，然后用洛必达法则.
arctan A-arctan 2
n
n 1 + -)
n )
I lim
“—8 1
arctan 2x — arctan
1 X
lim
x2
Hf()+
____2___ ] 2(1 + z) — % 工
1 + 4二2 4 j;2 ~(1+Q2-
十(l+l)2
lim
2x
x->0+
.10.微积分
=「 (1+打 一1
_ 嚣
z(1+4/2)[(1+Q2+4z2]
_ 1. 2 I 3C _ ?
=理
(1+4®)[(1 + G2+4z2] =
方法2 这是8 . o型极限，为简化计算设法寻求arctan — n — arctan n - +j- t1 的等价无穷小,
它是f （工）=arctan x的改变量f 由拉格朗日中值定理，它可改写成
arctan A-arctan 2
n n + 1
1 + f2 n{n + 1) n(n + 1)
其中—T7T VSV，,当 72—>8 时,—J—2 —► 1.
72 十 1 n 1 + S
因此，1 = limn2 • 七 =2.
【评注】 设 limx„ = 8, limy, = limzn = a.
"—*8 n-*©o 7j—*oo
求形如
I = limxw[/(^„) —/*(%)]
n-*8
的数列极限(8 • 0型)，可考虑用拉格朗日中值定理，转化为求
I = limz”(;y” — %) • /(&)
n-*-oo
其中&在叫与Z.之间.
1+妨
13 【答案】
2
【分析】 显然
0 ＜工” 2(1 打 li) — 1 = 2 _ < 2 (« = 1,2,3,-)
1 十 ^n-l 1 十-Xn-1
即工”有界.
=2— 土=心）（〃 =1,2,3,…）单调.
令，（工）
因此｛]”｝收敛，记limz” = a.
”f 8
对递归方程％ = 1]*由.两边取极限得a = 仁奕，即
1十石一1 1十Q
a2 — a — 1 = 0
解得a =耳亚.
【评注】 也可按定义证明｛%｝单调.考察
—xn = （2 — ―-—｝— （ 2 ———-——）=——-———―-—
\ 1 + Xn / \ 1 + Zl / 1 + X„-l 1 + 石
（1=很,3,…）
又工1 = 1 V Z2 = ； „ = •，由归纳法可知｛%”｝/・
X I -1 乙
. 11・数学基础过关660题•数学三（答案册）
14
ln（l+z +久归）
【分析】由 lim -------------- = 3 （1）
工
x-»0
当* - 0时，分母为无穷小,所以分子也为无穷小，进一步有既（工+ 岑2） = 0.
因此，当了― o时
虹1+" 也）〜工+ 血
\ X / X
I /（X）
—（―------
所以（1）可写为lim------------ = 3.因此lim 号 =2.
OC
X—»0 x—»0
15 【答案】 o
ex arctan —
【分析】 lim ---------- =y lim —~r = y lim ~~- = 0 ；
2 -»+l + e7 2 -o+e-+ev
J* 1 + e7
7 1
e arctan —— limex
H i • m ~2_ 3D =—奇 lim ex T ~ 7 2 t x->0 — 0
7 1 + eT l + ex 1 + lime1
7 1
e arctan ——
所以lim----------=。・
z l + eT
16 【答案】In 3
1 In x Hm - e，牛>■ b(In .h)'
【分析】 先求出 lim = lim e~ = ei°°
X-»+oo x-»4-oo
7 o i
=ex—+°° = e = 1
由函数的连续性得 lim 了(拱)=/(l) = 1, lim ln[2 + = In 3.
17 【答案】一 i,o
【分析】 由泰勒展开，当£ — 8时，
"T =T （1-7）3 =_*'（1 一 * + ° 只））
所以 a =— 1,5 = 0.
18 【答案】—P
【分析】 因为I X |是分段函数，分界点是z = 0,又lime*不存在，但lime# =+°o, lime-=
a*0 Hfo+ x-»0~
0,所以要分别求左、右极限.
. 12 .
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微积分
. i -± ,,
Hm "十 be* . sm pe _〔血 oe 工十 5 . px 0 + b
P =— P
工-。+ a — be7 I x I 工-o+ a e~* — b x 0 — b
lim 士琴•平多=lim 士马•竺 Q + 0
• (— p) =— p
。一 a _ 6eT ' x ' x-*o- a — b宜 ~ x a — 0
因此I =— p.
19 【答案】1
【分析】方法1分子有理化,
lim J】+ tan 刀 ~~ a/1 — sin z =临 Jl + tan 工—J\ — sin %
x—o ex — 1 a。 x
__ ]jm (1 + tan z)—(1 — sin z) _ J_〔面tan z + sin i 】
zz ( y 1 4- tan x + a/1 — sin x) 2 X
方法2等价无穷小替换，当z - 0时，
a/1 + tan x — 1 〜—tan x, a/1 — sin x 一 1-----志sin x,ex — 1 〜工
乙 z
所以 lim 乂 1+tanz— Jl — sinz hm(』\ + tan z — 1) — ( J\ — sin W— 1)
ex — 1 x
x-*0
hm a/1 + tan 工—1 _〔血 J\ ― sin z — 1
JC x
H—o
1 + 1 •
-r-tan x ----sm x
lim----------— lim-------------- = 1.
JC 3C
■r—O x->0
【评注】(1)本题的另一种题型为：
当z — 0时，函数/(x) = \/1 + tan x — \/1 — sin x的等价无穷小为.
答案为：工・
(2)若本题改为：
lim』\ + tan z — + sin z =
x-*o (ex — l)3 ------------•
则分母还能用等价无穷小替换，(e，一 I)3〜x3 ,x — 0,分子则只能用分子有理化方法.
hm Jl + tan 工— J\ + sin 工 =〔血________tan 工—sin z_______
x~*o ((eb1 —-! l))，3 x-*o x3(』[+ tan z + a/1 + sin x)
1
l sin x cosx-1
1 r 1 — cos x
y lim------------j------- =i■些 Erm
乙 X
x-*0
1 r 1 — cos x 1
V hm-------z— = T
L x-o x 4
20 【答案】n + l
f(工) [fCOdt
已知既？人方⑶，求正数罹得史』。⑶.
【分析】
• 13 •数学基础过关660题•数学三（答案册）
这是号型极限，用洛必达法则得
/")& f (:r) 取 k = n + l f&)
lim ------ v = hm 7-7^—~—— lim 7-―带-----
y
x-*a (X — a)k x—a k\X — a) X—a ("+1)(Z — Q)
=4•尹 0(m)
=>j f(t)dt 是(z —。)的(n + 1)阶无穷小.
21 t答案】6
【分析】 确定n>0使得
x c
r 1 2
ln(l +1)At -Q- ln[l + (z — sin x)](l — cos z) (x — sin 1) fl
11m-----------------------— lim =lim 心
JC n X—0 1
X-*0 H—0
_0_
1 ]. re — sin 1 0 1 y 1 — cos) ===== J_
2 zT 心1 n > 3 2 n(n — 3)xn~4 取 〃 =6 72
其中
ln[l + (1 — sin x)]〜工一 sin x (z -► 0)
1 — cos x 〜-^-x2 (z f 0)
u
应填n = 6.
22 【答案】2
【分析】 当:c —► 0 时,tan :c 〜z, 1 — cos z 〜号■, ln( 1 — 2x)〜一2z, 1 — e~x 〜了?，所以
lim atanf (l — cosz)厂=临 = 2.
x—0 cln(l — 2z)+刁(l-ef ) l。—2成
23 【答案】一1
【分析】 lim/(j7)= 6. i己仑= arcsin 1,贝。
x-*0-
e^-l r e"静'一1 ，- asin3i
hm/(x) = lim -----------: = lim —：--------- = lim —------- lim —
ao+ lo+ x — arcsin x —()+ sm Z — i ~o+ sin t — o+ sin i — r
V 3at2 &
=lim----------- =— 6q.
_o+ cos z — 1
所以当a=— 1时/&)在z =0点连续.
24 【答案】（l,e）
【分析】 f&）只有间断点z =a,x = b.
当。= 1 ,b = e 时
1 r ex — e e
"工）=&-'）（；—e）》四（x-l）（^-e） E野 7=r
1 — e
・14.
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工=1为可去间断点.
lim —= oo
…(z—l)&-e)
* = e为无穷间断点.
当 = e,b = 1 时
q
“ \ __ e'—]
7 _ & — e)(z—1)
lim/(x) = oo ,lim/(x) = oo.
x-*l x-*e
z = l,i = e均为无穷间断点.因此,(a,b) = (l,e).
25 【答案】（一8, +8）
【分析】先求出f（工）.
x + 0 _
工 < 0 时,/(z) = lim
8 TTo =
1 = 0 时，/(0) = 0,
*>0 时，/&) = limZ + 'e* 0 + x2
=X2,
n-*oo 1 + e心 T+o-
x, re W 0
因此 fM)=
X2 z > 0
f （工）处处连续，即连续区间是（一8, 4- OO）.
土， zb
26 【答案】
号(2制T — l), X > 1
【分析】 注意在x = 1处arctan x = § (e，、一工)+ ..易得
f'(工)=(arctan xY = ―，工 W 1
其中 X = 1 处是 /I (1) = : 2 I = 4-
1 x I x=i Z
f'(工)=传(或-1 —z) + 螺 J = -j-(2xex2-1 — 1) ,x > 1
=§(2圮2-1 — 1)1 = 1
其中x == 1处是/+（1）
Z | X— 1
因为代（1）= f-（ 1）= - ： n f‘ （1） = -y.
乙 乙
1
•Z W 1
因此/（X）=
- 1), X > 1
—z — (1 — z)ln(l — z)
—8 < 工 v l,z 尹 0
x2 (1 — x)
27 【答案】
1
1 = 0
~~29
・15・数学基础过关660题•数学三(答案册)
【分析】 首先由了(工)在* = 0连续确定》值：
lim/(x) = lim lnd + 妲=lim — = & = /(0) =- 1
3C JC
x-*0 x-*0 x-»0
=>b =— 1.
1 n (1 oc) _/ r\
-------------,_8VzVl，z 子 0
/(x) = < z
、 —1, i =。
z 乂 0时
-————ln( 1 — x)
—1 — (1 — i)ln(l — z) , —
3 = ----------- --------------------------------I-- OO V z V 1 口 尹 0)
]2 (1 — X)
下面求/(0).
r(o).
按定义求
ln(l — z) | ]
/(0) = lim — r皿=lim —— ------------
3C JC
x->0 x-»0
A ^- + 1
y ln(l — x) x____ 2____ i- 1 — x
氏 p 洛必达法则-氏~27"
一 1 + 1—1 上)T
lim
2x
x—0
或用泰勒公式
—x----x2 + o(x2) + 工
f(O) = limln(i)+z 1_
职----------P---------------
x— x2 2
0
【评注】 求形如r(z)=(g?)' 丁关五分段函数在分段点处的导数时，一般要用定
(A, x = x0
义来求，或函数在分段点连续的条件下求导数的极限.即用下面定理求分段函数在分段点的
导数：(l)/(x)在工。处连续I (2)/(x)在毛，的某空心邻域内可导；(3) limf(z)存在，则
f &o)= lim f (x).
28
【分析】 只要考虑/(X)在1 = 0点的情况.公众号：旗胜考研
若f (工)在x = 0点可导，则
/z(0) = f-f (0) = lim f(h)f ⑹=lim/i = 0
a—o- h a—o_
所以 /+(0) = lim : = lim----=。妆 > 1
九
A-*0+ ft—0+ "
若f (工)在X = 0点连续，则当1 > 0时，
f (z) = ozLi sin -----x0^2 cos —
x x
lim/z(x) = lim (arisin § _了1 cos §)= f (0) = 0
研电子书网站：www. pdf2book. com ・16 .微积分
所以a >2.
29 【答案】
~2
【分析】r(z)以3为周期且是奇函数：
/(5) = /(2) =一，(一2)
现按导数定义求此极限.
］血顶(5 — 2、匝九)一顶(5) 5 — 2sin h) — /X5) 乂 — 2sin h
=lim
h —2sin h h
A—0 A—*0
=-2/(5) =-2X[—f (—2)]
=2X (—1) =一2
因此,原极限
30 【答案】e'
【分析】 这是指数型的数列极限,先化为
_i_
I = lime 氏 w中
Jl—8
转化为求
J1_ g)= 1_
•/( +1 )Tn /(O)
lim limTT In
n
n—8 1 — cos 二
n ~2 7
In /(0)
2 lim------------------------ = 2 X (In f(x)Y
"―8 1_ o
n
2 X = 2X3 = 6
I = e6.
【评注】下面方法是错误的.
ln，(§)-ln /(0) f(t)
职淄If碎=滞
lim n,
n-»oo
n
这是因为题设中没有假设/(x)在1 = 0某邻域可导及在x = 0连续.
31 【答案】 y/(a)
]im + /i) — >(「)一 hf' (a)
【分析】方法1 I (1)
入一＞ h2
0
liui/(a + A) - /(a)
2h
10
岑 f(a)
(3)
u
. 17 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
（1）式到（2）式用了洛必达法则，（2）式到（3）式利用了广（了）在工=a处的导数定义.
【评注】 由于题设中没有/（x）在z = a的某邻域内存在及/'（工）在x = a是连续的
条件，所以（2）式到（3）式不能利用洛必达法则.由Aa）3^/（x）在z = a某邻域有定义,
对（1）式可用洛必达法则.
方法2 用泰勒公式.
f(a + 7i) = f (a) + f' (a)h + 如 f (a)/i2 + o(h2) (A -* 0)
u
代入得
/(a)A + -J-//(a)/l2 +o(A2)
2
I = lim------------------------
h
A-*0
(a) + ))=岑 f(a).
h—0 '乙 /hl 2 / Z
［答案］了血了 (cos z・In 1 +迎三)
32
［分析］ r(z)= z血 / = esinx，lnx,
f (e) = esin J,,nx (sin x • In xY = j：sinx ^cos x ・ In z + 迦-"
33
【分析】 记 g(Z)=(工+ 1)2 (z + 2)2 (l + 3)2，则 f (工)=X2 ,
f'(工)=2zg(z) +］2g，&), f (工)=2g(z) + 4zg'(z) +］2g〃&),
所以 /z(0) = 2g(0) = 72.
1 1
—oo .——
34 【答案】
5 ■5
知识点链接
【分析】 /（X）在（一 8, + 8）连续，下面求/（X）与
f （z）. 《考研教学复习全书•基
f (工)=z* + (z — 1) = (5j; — 2) (z 尹 0) 础；I》高数第二章
o «J 一元函教橄分学
f (x) = — (5z — 2) J
/ / 1
<0, _ 8 < 了 <——
0
>0, — 4- < 0
□
、> 0, 0 < JC <+ 8
因此任工）的凸区间是（一8, — ,拐点的横坐标是Z =—
考研电子书网站： www. pdf2book. com . 18・微积分
35 t答案］—(1 - cosX + y))3
【分析】 将方程两边对*求导得
* = cos(z + y)(l + *)
解出
d、= cos(z + y) | d. _ ______1______\
Ax 1 — cos(j; + y) \ dz 1 — cos(z + j/)J
再对］求导得
= A/______1______)=_____ Sind 四_(1+，)
dx2 dx \ 1 — cos(j; + j^) / (1 — cos(j: + >) )2
代入1 + j/的表达式得
(Pj； __ sin(z +)) ___________y_______
dx2 (1 — cos(z + 丁))3 (1 — cos(j? + 3/))3 *
36
【分析】 直线z + v = 2的斜率为包=-1,故与直线了+、=2垂直的切线的斜率为妁=L
y' = (Inz)' = - = 1,解得* = 1.所以曲线v = In工上工=1点处的切线与直线* +
X
丁 = 2垂直.此时切线方程为y = T—\.
37 【答案】 COS z
1 + sin x
【分析】 f (工)=ln(l + sin x)
cos z
f (z)=
1 + sin x
2x
38 【答案】 2 + sin /dj：
2" (2 +sin 丁空=0,所以尊=-2+2盅x 尸心 2i
【分析】 dx.
2 + sin y2
39
【答案】薛12 + a勺=0
【分析】 方法1 '作为t的函数是v = yCx)与工=sin £的复合函数,由复合函数求导法得
心一心dz _ dy
瓦一&石_ * '万
再对t求导得
业= 希(cos 空)=cos'弟 —sin t 字
df2 ax
d2y Ax . dv d2^ - dv
cos t -r? • ~r — sin = cos t -r-y — sin l『
dx dt ajx dx dz
(1 fin% 寿— sin 性=(IT)费—晓
由原方程得
・19.数学基础过关660题•数学三（答案册）
警+ a勺=。
方法2 y =贝亿）也是）作为：的函数与t = arcsin x的复合函数，由复合函数求导法得
Ay _ dz _ ] d> dj; _ z dy
Ax At dr 龙
Jl-]2 &
再对工求导得
d勺= 工 dy
] d2j/ |
Ax2 (1 — x2) it2 (i dt
(1-X2)实 工 dy _ d2j/ , dy
—I
Ax1 dt2 — dt dt2 dz
由原方程得
耕+为=o.
at
40 【答案】 一70
1 — 2-r
【分析】 方法 1 /&) = In 工 =ln(l — 2z) — ln(l + 3x),
1十ox
3 =-土- 3
4 , 9
/ &)=一 (1一2了) 2 + (1 + 3z)2
产&) =- 16 54
(1 — 2 工)3 — (1 + 3z)3‘
所以 r(o)=-7o.
方法2 用泰勒公式.当z f 0时，
/(x) = ln(l — 2z) — ln(l + 3x)
=(-2a:) 2了尸一3z + ： (3Q2 — § (3rc)3 +o (x3)
(― 2z)2 +§ (―
U «J U
Lj
所以乎
y-y，r(O) =-70.
5!
0, 1为偶数
41 【答案】 2
n为奇数
&)= a件n 卬.“)= x 1
【分析】 ——arcsin x 十i -----x-
(IT.2){ 1 — x2
(1 —工2)，(@)—工f (工)—1=0
[(1 — x2) f (工)—xf^x) — l](n) = 0
&)](”)一 [”(％)](”)=
[(i—j：2)r o
(1 - &) - (2n + l)V(n)&) 一 n2/(n-1)(z) = 0
令 i = 0,则 / 0,于是)&)只有极值点为z=l.
它是极小值点.
43 【答案］(—8, — 1］,［3,+8)；［—1,1) ,(1,3］；/(—1) =—2 是极大值,/(3)
=0 是极小值；(1, +8);(—8,1)
E(x-l) + (-2)］2 1 , ,、 ■ 1
【分析】丁 =
4(x — 1) 4 x — 1
1 1 (X _ 1)2 — 4 _ (x-3)(x+D
8
4 (z — l)2 4S— I)， 4&一1)2
〃 2
y =
(z — I)3
y = 0<=^x = 3,x =— l,j/‘尹 0,i = 1 处；y 无定义.现用 x =— 1 ,x = 1 = 3 将定义域
分成如下区间并列表：
X (―8, — i) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3 (3, + 8)
y / + 0 — — 0 +
y 〃 —— — — 无 + + +
定
y -2 义 0
44 【答案】 一3,一9
【分析】 求出；y" = 6z + 2a.
(1,3)为该曲线拐点=>
>(1) = 1+a + b+U = 3
= 6 + 2a = 0
=> a =— 3,6 =— 9. X
>0, 工> 1
6i — 6 = 6(x — 1)< =0, x = 1
.<0, x V 1
=> a=—3,b =-9时(1,3)确为该曲线的拐点.
因此,a =—3,6 =— 9.
45 【答案】64
【分析】 为使 /(x) 2 20,只要 3x5+A> 20工3 即 20x3 一3工、< A.设 g(x) = 20x3 - 3x5,数学基础过关660题•数学三(答案册)
则A至少是g(z)在(0, +8)内的最大值.
因
'〉0, 02
所以i = 2是g(z)在(0, +8)的最大值点，故A至少为g(2) = 64,有/(x) 20.
46
【分析】设9(z)= 4/— 18工2+27,则
< 0, 0 < ^ < 3
(p (x) = — 3)y = 0, re = 3
、〉0, z〉3
。 平(工)在［0,2］单调下降，
叩(0) = 27,叩(2) =一13
=> 存在唯一点x0 e(0,2),甲(工°)= o.
由于 fM) = I
/(0) = 27, /Uo) = 0, /(2) = 13.
因此/Ge)在［0,2］的最小值为0,最大值为27.
【评注】(1)若求/(x)
= |衣我|在［2,4］上的最大值与最小值，除求出用(2) =— 13
外，还须求出
甲(3) =—27 ,甲(4) =—5
由中(工)的单调性知，在［2,4］上甲(h)尹0.
由于/(X)= |甲(工)| 9
/(2) = 13/(3) = 27/(4) = 5
因此J(z)在［2,4］的最小值为5,最大值为27.
(2)求在也日］上连续函数/(x)的最值时，只须求出/(x)在［>,成内的驻点，不可导
点,再将这些点处的函数值与区间端点的函数值比较，挑出最大者和最小者，不必判断驻点
和不可导点是否为极值点.
47
【分析】 方法1 若知道以下事实：由lim/(z)=3>0(V0)n lim，G)=+8(—8),立
即可得 6 = 0.否则由 b > 0(或 b < 0)=> lim f(^x) =+oo(—oo)与 f(:c)在(c, +°°)有界矛盾.
【评注】
实质上就是用反证法证明b = 0,不妨设6>0,取&满足0 V&V们由
limfa) = 6>a,则存在毛)>0,使得当x > x0时f (工)>Q，在［孔，了］上用拉格朗日中
值定理，
/(x) — /(x0) = f (&)(工 _ 工0)> a{x — Xq) (E £ &0，工))
即 /(x) > a(x — Xq) + /(xo) » 因
lim ［a(x —x0) + /(x0)］ =+8
工-*十8
所以lim /(x) =+8,从而/(x)在(c, +8)上无界，这与六抄在(c, +8)上是有界函数矛盾.
X-H-CO
方法2 因f3)在(c, +8)内可导，有界.则
考研电子书网站： www. pdf2book. com ・22・■
微积分
lim 心=0
X
x-»4-oo
又 lim 久U = lim =lim/G) = 6 => 0 = 0.
JC. 3C
H—+8 x-»+°O Z—+8
【评注】事实上有如下结论:设
(l)/(x),g(x)在(C,+8)可导，且 g'a)尹 0；
(2) lim g(z) = 8；(3) lim =A (A为有限或8),
x-*4-co
贝！］ lim = lim =A.
工一+8 g\x) l+oo g («z)
也就是，在上述情形下,我们可不必验证分子/(x)是否为无穷大量.方法2中用到了这个结论.
【答案】 x =— §y =(21n 2)i + -yin 2 + l(x -►+ 8),
48
U T：
y =— (21n 2)x — -^-ln 2 — l(x -►— 8)
【分析】 函数的全部间断点是工=0,z =—牛.
乙
因 limy = lim [ 4j?2 + x 1 n(2 j; + 1) — J4Z + 1 V^ln x~\ = 0 — 0 = 0
x—■00++ X—0■+0+
lim y = lim =oo
X
— i-
h—2 x^~2
于是铅直渐近线只有z =-号.
lim — = lim '，' /4 + —In(2 +【)=± 21n 2,
JC 工)
x->±oo H—±8 JC V JC \
4 + §ln(2 + M1 )—21n 2
X
又 lim [3/ — (21n 2)z]= lim
H—+8 工f+8 T~
7
lim jmin(2 + 2 — 21n 2 74+7 . ln(2 + ^)~
lim
t—0+ t —o+ 2+' 2 ym」
= 】+『2.
lim \_y — (— 21n 2)x]= lim — x ,/+Iln(2+l)—21n 2 =一l-『2.
因此，全部渐近线是=— -^-9y = (21n 2) lim/(j：) = 0,于是 /(0) = 0.
工—0 e — 1
x—o X—o
.23 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
/(0) = lim r&) -y(0)= lim = 2X1 = 2
x—o x X h-o e — 1 x
。曲线、=/（x）在x = 0处的法线斜率为一§,法线方程为了 =—
U U
50
【分析】 由于/（］）二阶可导，愆0,3）是拐点，则）6）= = 0.
先求群：
警=（4 -脸L宏-却=敦L ［（4 -心-扪
由制=°，虬「° =〔4-g）bW = J0.
［4 — y（j：o）l/3— y（x0） = 0
51 【答案】 yln2x
u
【分析】 先求出 f （寸「.由 ^j/（ex）dxy = ［— （1 +了）厂 +。］'=＞，（寸）=xeTx
作变量替换"=e1 （x = In t）得
f（t）=半=/（工）=
积分得
官工
/（^）= =In xdln x = jln2x + C
X
由 /(I) = 0=>C = 0 =>
y(z) = yln2x
或
感吗？不会做？可以看
/(x) = /(x) — /(I) = J fr(t)dt = J In «dln t 《考所教学 H 会书•基础篇》
高数第三幸
=Vln2fl = 一元画教积分学
L 11 Z
garcsin-|■工+ { 必一必 + C— 3arctan + -y J9 — 4X2 +C
52 【答案】
Z o Z V3 十 ZxZ
3 — 2x 1 f d(9-4x2)
【分析】方法1 4 J』9 一 4工2
呈(• d(§*) + 4 r d(9 — 5
刃 A _ / 2 ^\2 4 J J9 _ 4工z
考研电子书网站：www. pdf 2book. com . 24 .微积分
=-|-arcsin + § J9 — + C.
U
Li Cj
方法2 令t = 2 岸，& =涕京山，于是
2
=J (l+«2)2dz = Rd(i +I)
3t — 3d ~ it 7 = — 3? s — 3q arct . an Z , + cC
f+?
1 + r 1 + r
J9 — 一3arctan + C.
~2
53 【答案】 ,__2___ ~^ + C,其中C为任意常数
a/7TT 工+1
【分析】 令 £ = Jz + 1，则 x = t2 — 1, dz = 2tdt.
=2f(r2 + 2r3)d«=---4 + c=-—一一 2 +c,其中 c 为
2zdt
J t t2 yT+T z + 1
任意常数.
54 【答案】 ln(ex + J音—1) + arcsin e-i + C 或ln(e* + /职一1) — 2arctan
+ C
dex一
【分析】 方法1 I = +1
J J(e，)z-1 」 -1 J Jl 一(e~)2
= ln(e，+Je、l) + arcsin e--，+ C・
令/渴= _ 1 + r2
方法2 t,则 F(W + 1) = e1 -l,ex
1-i2
2r . 2i \ ,
x = ln(l + i2) — ln(l — i2) ,dx = iT? + iz:7)di,
于是E(备+当g= A 土)
dt
=—2arctan i + In ? * ' + C
1 — t
""胃+c
=—2arctan
=—2arctan ^ + ln(b + Je&-1)+C.
-cosx + x+l+C, C 其中c为任意常数
55 【答案】 F(x)=
arctan x + C, x 0,
【分析】 方法1 ie/a)的原函数为 f&),则
当 x>0 时,F&) (sin 1 + l)dz =— cos x + x + C2
当 z<0 时,F&) —2(ix = arctan i + G .
1 + z
• 25 •数学基础过关660题•数学三（答案册）
因为FG)为/(x)的原函数，所以F(z)在z = 0点连续，即
lim (arctan i + G ) = lim (— cos + x + C2),
z—0 _r—0
-cosx + . + l + C,，己:其中c为任意
G =C2 - 1.故r（z）的所有原函数为F（z）=
arctan z 十 C, zW。，
常数.
方法2 先求/(x)的一个原函数F0(x) = £/(z)d«.
当 z > 0 时，F° (z) = (sin t + l)dz =— cos t + z = 1 — cos z + re；
Jo 0
当 z V 0 时,F° (z) =f. ] F w = arctan t = arctan x.
J 0 1 十： Q
于是，(z)的全体原函数为
1 — cos x + z + C, zN。，
F(«z) = F。&) + C =
arctan z + C, z < 0,
其中C为任意常数.
56
【答案]―1—
2 — 1
Tt 1
3 3
【分析】 方法1 因为
x V— 1
心 -1 1.
1〉1
所以这是求分段函数的变限积分.
当 z V—1 时 »J = J /(z)dz + J = J Ick + J t2 At
=_2 +七=上
Z 十 3 * t 3 z
当一1 时,j fCt^dt = J ldt = x — 1.
当 z > 1 时 JyQ/ =(〃出=—y.
因此,
1 3 5
——x ~~—— X V— 1
3 3
fCt)dt = y X — 1 9 —1 < z < 1.
1 1
3 ■I > 1
3 3
r x
(ip)
方法2 —F(^)是/(x)的一个原函数，满足F(l) = 0.因而，也可用拼接法
求得分段函数/(X)的一个原函数，记为F°G),则有
， X V— 1
Fo &) = x + Ci, —
y
+ C2, z > 1
其中 g,c2满足
土？ =(i + g) =寻
j x=-l X=-1 5
& + G ) = (^-x3 + C2) =>C2 = §
x=i 3 x=i 3
=]/&)& = F°(z)+C.
现定出 C 使得 0 = Fo(D+C= l+g + CnC=—
o 0
因此
考研电子书网站：www. pdf2book. com ・30・微积分
1 5
3 X <— 1
3 3
河=F°&) x — 1, —1 W z V 1.
1 1
3 冷1
3 3
【评注】 若求分段函数，(z) = max{l,x2}的不定积分j/(x)dx,或由变限积分法先求
得一个原函数F(z) = J7(«)d«(这时要用分段积分法如方法1)，然后就可得
Jy(x)dx = F(x) + C
或由方法2中的拼接法，先求得一个原函数，同样可得J/(x)dx.对于多个连接点的分段函
数，也许拼接法更简便些.
66
【答案】I
【分析】A】。)=| (产一 )8,A?(7) —产)dz
]2 = J (%2
A(z) = A】(z) + A2 (z) = 2 [ (tz — a：2 )do： + [ (x2 — t2 )dz
J 0 J 0
=— 1,
o o
<0, 0<^< J
A’(r) = 2t(.2t— 1)< =0, t =
> 0, § V t V 1
因此《 = §时,A = A】+ Az取最小值.
67 【答案】 7T
7
【分析】方法1
・31・数学基础过关660题•数学三（答案册）
1 sin t
1 1
^2 :讪=
方法2 CQS2^ = 7T_
矿
T
cos「l
68 【答案】 2(e-l),2(e-l)
【分析】I =
2jc2 bx a — 2a:2 l ar 丑 (b — q)z +
x{2x + Q) x(2x + a)
积分I收敛，则b = a（否则I发散）.
1 = F ,（2-整& 2 2
方法1 Ax
X 2z + Q
4-00
=恒I | =]n----In ^-7—
a\\ Z Z +
lx
=ln(2 + a) — In 2 = 1.
a
=> In( 1 + -z- ) = 1 ,a = 2e — 2 = 2(e — 1),
2
因此,a =b = 2(e — 1).
「+8
+8
方法2 I = 1 了 (2%& =
X2 2 + -
x
「+8 d(2 + f
=Tn(2 + §)|4：-00
=—L
2 + —
x
=—In 2 + ln(2 + a)
=In(1 + i)=1-
同样得 a = b = 2(e — 1).
69 【答案】In 2
【分析】 方法1
"4-00
(I
j„o e
w
X
也
1
= lim I xA
1
0 0 1+e'
X 'b dz
lim
1 + e' 0 o 1 + 4
lim ln(l + e
In 2 + lim iT^_In(ei + 1) .
点-ln(5 1
而 lim lim D — (l + eT)ln(e' + l)
6—>4-00 6-»+8 1 I
lim I In e6-(l + e6)的圭些
e
, e ln(l + ed)
hm ln7+i---------?
考研电子书网站：www. pdf2book. c -32・微积分
In 1 — 0 = 0.
土 - ln(e" + l) 弘 1"二「-')- InLe6 (1 + 广")]
或 lim lim
7
—6
lim — 6— InCl+e-)
> 1 I e
0 — In 1 = 0.
斗8
因此 (二亍 k =ln 2-
J
0
方法2 作恒等变形后，对无穷积分作分部积分.
r+oo ze 1 +CO Eg = ,4-00 zde'
---------ax =
0 (l+e"x)2 o (ex + l)z o ( ex + 1)2
+8
「d(土) X + g &
b + 1 o e* + 1
0
f+°° Hp~x 4-oo
=— —~ =— ln(l + e x) In 2.
Jo 1 + e
o
【评注】
但不可对它直接用分部积分公式，因为
'g淫知发散.
lim [ " _三=+斗
x-*+°° 1 十 e 1 + e
o
先对匚加(£可用分部积分，然后再求
因此方法1中,
° 6 土)•
lim I xd
6-* 4-oo. o
70 【答案】 jnab2
【分析】 y = b 1*
椭圆+ # = 1绕工轴旋转一周的体积
2 Ax = ^ab2.
V = rcy2 dz 7t b
71 【答案】一1
【分析】用待定系数法将被积函数分解
x2 + /l + x2 ) dx = 0
由定积分的几何意义Va2~x2Ax = fa2 (半径为。的半圆的面积)，所以
f Va2 — X2 In *.++ £(lz =— -y7ru2ln 3.
J —a O Z
考研电子书网站： www. pdf2book. com -34・微积分
J：
【评注】计算在对称区间上的定积分时，要注意被积函数的奇偶性.利用
是圆面积的+的几何意义会迅速得出正确答案.
75 【答案】2A
「 t 「 丁
'2T 2T = 3x 1 6
【分析】 /(3j: + T)djr = /( 3 ) dx —= —
0 J 0 o J 0
== 2A.
3 J o
76 【答案】 (l+G[ln(l+z) + l]
t o,
分析】 本题实质上是解微分方程的初值问题.首先，将等式两边除以心，并令心- 注意
lim 野=+△/) = 1(可导必连续)，lim f = 1.于是得
△工 △工
40 Ax-»0 Ax-* 0
(1)
&(0) = 1
这是一阶线性非齐次微分方程的初值问题，(1)式两边乘「卜得
1十1
= -J—
(2)
\ 1 + J7 / 1 + J7
积分得
T-y-— = ln(l + z) + C
1十z
y = (1 + z)ln(l + z) + C(1 + re)(z 2 0)，或代公式得其通解为
y = 而(Je + C)= (1 + i)[ln(l + z) + C]
由 3,(0)= 1得。=1,所以)=(l+z)[ln(l+z) + l]・
【评注】 我们也可将(2)式从。到z积分，并用初值3/(0) = 1得特解
由|:=匚洋，*-1 =如1+”
即 y = (l+x)Eln(l+x) + ll
77
【分析】以丁危)为因变量，这是一阶线性微分方程，用积分因子法先解出J&),方程两
边同乘e网=e«得
积分得 e%'(z) = C。+]枝以£)位 (Co = /(0))
J(])=。。厂"+ ~~-—,
35数学基础过关660题•数学三(答案册)
于是 limj/(z) = lim Coe-al + lim -------------
•I-*+8 X-*4~OO 丁―+8 。心
=0 + lim ^4^ = -•
l+8 q e皿 Q
再利用方程得
lim _y〃(x) = lim [/(z) — ay\x^~\ = b — a • — = 0.
Q
工-*+8 x-*+©o -
78
【分析】 曲线y =贝上)在点(工,v)处切线的斜率即函数y =贝工)在点工处的导数J.
由题设知函数火*)是如下微分方程初值问题的特解：
Jj = i + a 十(勺z
< X \jc/
我⑴=0
这是齐次方程，设“=乏即了 =皿，字=工半+ "可将以上问题化为"(Q满足的可分离变
x ax dz
量类型的初值问题
x^ + u= l + u + u2 / 〈分.变量〉、 r_dzz = dz
< & 一“"…一〈 1 + 必 x
、"(1) = 0 1以(1) = 0
求积分即得方程的通解arctan u = lnz + C,由"(1) = 0可确定常数C = 0,故上述初值问题
的解是公众号：旗胜考研
arctan u = \n x arctan — = In a: <=> 3/ = i:tan(ln z).
T,
【评注】 严格地讲所求曲线的方程应是' =ztan(lnz)(e2 Vz V 2),这是由于当
z E (eT，苔)时;y = xtan(In x)的图象才是一条通过点(1,0)的连续可微曲线.
79 【答案】z = y(Ce+ +1)(为任意常数
【分析】 当> 0时方程可改写为字+ (^2 — — = 1,这是以;y为自变量为未知函
ly \y y /
数的一阶线性微分方程.
上式两边乘//(了)= e』(，2 y)" = e-y-2iny = J-e-7 得
7
积分得 = f -Xe~> dj/ + C = e-> + C
y J X
± _ 1 1
通解为 x = j;2e>(C+e">) = >2(Ce^ +1),其中C是任意常数.
【评注】此题给我们的启示是:在解微分方程时，变量工以地位可看作相同的，既可把
y看作工的函数，又可把丁看作v的函数.
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80 【答案】> =+*
【分析】 这是可降阶的二阶方程(方程不显含少，先求々=寸,它就是P的一阶方程
(3x2 +2)华=6工p
dr
变量分离可变形为率=£|半»积分得In |力| = ln(3z，+2) +C,于是J =力=G(34 + 2),进
p 3了 士 2
一步积分得v = G/+2G^ + G.
-i* 又由lim —= lim 乏=1=/(0) = 0, J(0) = 1
■I—o ex — 1 x—o x
=> C2 = 0 且 j/(0) = (3Ci j;2 + 2Ci) = 2Ci = l=>Ci = -y,
x=0 Z
故特解为y = +z.
81 【答案】 &z+2)e' + ef
【分析】 题设二阶常系数线性微分方程的特征方程是A2+A-2 = 0,特征根是“ =1与
A2 =一 2,从而对应的齐次线性微分方程有线性无关的两个特解e，与厂2，.且对应于方程非齐
次项fCr) = (6z + 2)e。可考虑非齐次微分方程具有形式为W +B)e，= (Az2 +
Bx)e的特解.
把 V = (Az2+B^)eI,(j/- )z = (Az24-B^+2Az + B)ei 与(/)"= (Ar2+B^+4Az
+ 2B + 2A)e，代入方程可得
令
3*)"+3*)' — 2.* = [3(2Az + B) + 2A]ex == (6x + 2)ex
可确定常数A = l,B = 0,故非齐次方程具有特解=^2广.
按通解结构定理，应设通解为)= Gb + C2ef+^2^,其中G与C2是两个任意常数.利
用初值/(0) = 3和j/(0) = 0可得
j/(0) = (Ci ex + C2 e-2x + j:2 ex) = Q + C2 =3
x=O
< ,
j/(0) = [Ci ex — 2C2 e~2x + (j:2 + 2z)e。 = G — 2C2 = 0
x=O
、
解之即得G = 2,C2 = 1.故所求特解V = (®+2)e，+ef.
3 1
82 【答案】争工+ j(sin z + cos z)
【分析】用变限积分求导法将方程两边分别求导，转化为微分方程.
先把— Qdz转化为如下形式：
fx X — t = u f°
J tf (x — t)dt — J (z — u)/(u)(— du)
=I (:c — w)/(w)du = x I /(u)du— I uf (u) du
J 0 J 0 J 0
=x [ /(i)dr — [ tf (t)dt.
J o J o
• 37 •数学基础过关660题•数艺三(答案册)
代入原方程得 [/XQdz = 1 + sin z + 打 /(z)dz — [ i/(Odz. (1)
J 0 J 0
J 0
由 3 连续可知(1)式中各变限积分均可导，将方程(1)两端对"求导有
f (工)=1 + cos z + j + jcf (jc)—工f (e)
即 ，(了)= 1 + cos z + [ /(Odr (2)
J 0
(在(1)式中令z = 0得0 = 0,不必另加条件，(1)与(2)等价).
在(2)式中令z = 0可得/(0) = 2,由(2)式还可见 g)可导，于是将它的两端对z求导，又得
f (工)――sin x + j\工)
故丁 = S 是一阶线性微分方程初值问题
{y ~ y =— sin x
U(0) = 2
Q 1
的特解.解之可得y = f (工)=万e* +万(sin z + cos z).
【答案】 \(.2ma + 6)
83
【分析】y + 2my' + n2y = 0的特征方程A2 + 2/ziA + n2 = 0的特征根是
Ai =——m + a/tw2 — n2 =— (m — a/tti2 — n2 )<0,义 2 =——m —』希 —疽 V 0.
由此可见微分方程的任何一个解> =C.^+C2^都满足lim ) = 0.
x-^-4-oo
又因 j/ = + C2A2eAzx，从而又有 lim y = 0.
X-*-J-oo
故对于特解y = 满足j/(0) = =们有
0 = J G〃(x) + 277ij/(z) + 〃勺(=)］&
=j/(z) I「+ 2mjy(z) I ：8 + 必］)&)&
f4-oo
=—j/(0) — 2my(0) + ^2!
C4-oo
=一 (2ma + 6) + n2 \ y(z)dz
即］j/(z)dz = + b).
J n
0
84 【答案】y" — y' — 2y = (1 — 2x)e.x
【分析】Vi —弘=厂与Ji —=身一厂都是对应齐次方程的解，(>1 — 3^3)+(>i —
*)=子也是对应齐次方程的解，e-，与的是对应齐次方程两个线性无关的特解；而— =
工e。是非齐次方程的解.
下面求该微分方程：
方法1由广七身是对应齐次方程线性无关的两个解知A =—1,义2 =2是特征方程的两
个根，从而特征方程为Q + 1)(义一 2) = 0即Az-A-2 =。，故对应齐次微分方程为
y" — y — 2/ = 0
设所求非齐次方程为寸'一/ —2、= /(X),把非齐次解共工代入，便得
f(x)=(工矿)"—(xe1)' — 2(j?ex) = (1 — 2x)ex
于是所求方程为y" — y' — 2y = (1 — 2z)eL
方法2由前面求得该微分方程的一个特解工矿及相应的齐次方程两个线性无关的解：
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e-，，十，于是该微分方程的通解为v = G广，+ Ge" + zb ,求出
y =-C, e-工 + 2Cze2i + (工 + l)e' , J' = G 广'+ 4Ge?' + (工 + 2)e'
并消去C,,C2
y" — y = 2(C[ e-x + C2e2z + xex) — 2j?ex + ex = 2> + (1 — 2j：)eT
便得微分方程y-y-2y = (1- 2x)e\
85 【答案】c,cos+y+c2sin+y+^2+y-2(g,g 均为任意常数)
【分析】“(J狞+ J)是一元函数M = M(r)与二元函数r= +y的复合函数，由复
合函数求导法则得
du _ du dr _ diz
jc
djc dr dx r Ar
d2 U _ d2u x2 , di/ / 1
密 =萨孑+石
d2 u =五M +业一寸)
同理
房 =砂1 2 ■2 W石 r3 )
J_ du 1 du
=扑
X dx
于是原方程化为二阶线性常系数微分方程
d2 w , 1 du 1 du . 2
w正十 H---2----击----—；石+ “ =,
d2u . 2
即 萨+"
通解为 w = C)cos r + C2 sin r + r2 — 2
因此
iz( \/x2 + >2 ) = Ci cos』£ +丁 2 + C2 sin J £ + 丁 + j:2 + >2 — 2.
86 【答案】2
2 I 2
【分析】 由 fl工、y) = -------------? 知，/Xz,0) = x2,贝lj
e巧 + xy y/x2 + y2
，；(l,0) = 2x |x=1 = 2.
87 【答案】一 2
【分析】 由题设知/(0,0) = 0,且
f(工以)+ 3〉一 4、= iim
lim ______
^x2 _|_ y2
(x,y)-(0,0) (z»y)-*(0.0)
则 f (jc , y) + 3z — 4)= o( J寸 + 丁2 )，即
— /(0,0) =— 3z + 4)+ o( J寸 + 丁).
由全微分的定义知 71(0,0) =-3,/；(0,0) = 4.从而 2/；(0,0) +/；(0,0) =一 2.
【答案】会
88
sin x \/x2 + l
【分析】2(工，1) = [ 1 +
V-r2 + 2
. 39 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
令 z{x, 1) =(P(JC),则
李 =妒(0)
I
dX
I (0,1)
，(0) = 1血 g)F°)= lim 一如+2)——
3C JC
x—>0 x—*0
sin z
+ 2 1
=lim
X
X—0
7t(2 + 7C)
89 【答案】
(1 + k)2
【分析】按一、二阶偏导数的定义直接计算可得
df 1 '、
子=—:——ycos^xy)
dx x~\~ y
d2f 1
, j -=—-——:——-y — cos(xj/) 十巧sin(巧)
dxdy (j： H- y)
从而
^2 r ]
.， =—-77—.~— cos 7t + 7tsin 7t
3^3y d^
=J(2j: + y) de 并，
=(2z + y — 2)『~、+
即 + y) = (2z + 3/— 2)e* + 夕(夕),
由 /(0,v) = (77 — 2)eu 知
/(0,>) = (jy —2)e，= ()—2)e、+v(jO
则 0)
由可微性概念=>
= bAx + cdy.
I (0,0)
・43・数学基础过关660题•数学三(答案册)
MMMMK9M
99 【答案】3 ； — 2；x3y2 — x2y2 + y C,C 任意常数
【分析】 方法1 若d/Xz,))=(皿勺2 — 2勺之)五+ (2飞3丁 +况2了 + 1)心，则
f'q，/) = ax2y2 — 2xy2 = 2x2y + bx2y 1
由于U与乙仍然可微，从而
fxy (z,;y) = 2ax2y — 4巧，矿沪= ^)x2y + 2bxy
由于对任何常数。，们与都是连续的，所以两者相等，即
2ax2 y — 4xj/ = 6 a:2 y + 2bxy
比较同次暴系数，得a = 3,b =— 2.
现由
夺=3工勺2—2*
(1)
dx
争=2x3 y — 2x2 y + 1
(2)
oy
将(1)式对z积分得
f6y)=打—利2+。3)
对丁求偏导数得
孥=2® 丁 — 2x2y + C'(j0
再由(2)式得 C'(jy) = 1 »C(j/) = y + C.
因此
f(x,y) = x3y2-x2y2+y + C(C^ 任意常数).
方法2 由全微分运算法则得
{ax2y2 — 2xy2 )dj： + (2® y bx2y Ddj/
=yj/2 M + x3 Ay2 — y2 d® + 哥 f Ay2 + dy
——d^y2-x2y2+y + C)
因此 a = 3,b =— 2, = jc3y2 — x2y2 + _y + C,C 为任意常数.
【评注】 设P&,jO，Qa,少具有连续的一阶偏导数，则FG,少dz + Q(z,/)如为某
函数的全微分的必要条件是羿=祭.
dx dy
100
【分析】 由题设可知/是］和,的函数，所以，在求/：(0,1,1)时可将丁= 1先代入然后
再求，由于 /(x,l,z) = e&2,贝Ij
(j：, 1 ,z) = exz2 +2e&z：.
将 1 代入 J： (y — l)zx +2z + xyz = 2 得
x 2z xz = 2. ①
①式两端对z求偏导得
1 + 2zx-\- z-\- x.zx— 0. ②
将x = 0,^ = 1代入②式得
匕(0,1) =— 1.
故 71(0,1,1)= 1+2 X (—1) =—1.
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【答案】一号（dz + 2d＞）
101
【分析】方法1 将1 = 0,丁 = 0代入e*计 xyz = 1中，得/ = 1,则z = 0.
3z +
方程+巧之=1两端微分得
efgz（8 + 2dy + 3dz） + yzdz + xzAy + xyAz = 0
将z = 0,3; = 0,z =。代入上式得
Ax + 2 Ay + 3dz = 0
则 dz =—?（di + 2d;y）・
（o,o） 3
方法 将x 代入汁 XyZ 中，得。，之= 则之
2 = 0,j; = 0 3z + = i i, =0.
由隐函数求导公式得
dz 计 贝 如
=_ e* 3z + =_ 2e^2#3z +
dx ~ xy ' ~dy ~ + xy
3e^23d-3z +
将z = o,、= o,z = o代入上式得学 =—W■，字 =-~
危 oy
（o,o） 3 （0,0） 3
则 dz =—§（dz + 2djO.
（o.o） 3
方法3 将］=0点=0代入e*汁3z +z* = 1中，得e3z = 1则2 = 0.
将 0代入广井 + xyz = 1中，得 1,该式两端对X求导得
7 = 2 3z efz =
严（］+ 3匕）=0
将工=0次=0代入上式得李 =一!，同理可得孚 =-4-
oy
（o,o） 3 （o,o） 3
则 dz =—«-（dz + 2dj/）・
（o.o） 3
【评注】对于隐函数求具体点偏导数和全微分，仍然可采用先代后求的方法，即方法
3.如果本题改为：
若函数N = Z（X,J/）由方程疽汁 _&[_=,= = 1确定，则dz = ________.
2 3%+
+ 了
J 2 + / （0,0）
此方法的优越性更加明显.
102 【答案】一k + 2心
【分析】 等式（z+ 1 ） Z — J/2 =工2 f （工一 两端微分，得
（j; + l）dz + zAx — 2ydy = £ AfQx — z9y） + f （工 * z,y}2jcAjc
当 j： = 0,y = 1 时，由（x + l）z — y2 = x2 ~ z9y）知 z=l,所以
dz |（o,i）+ dz — 2dy = 0
即 dz |（o,i）=—dz + 2dy
103 【答案】j-[f（y）~fa）J-（T + y）
【分析】 将积分作变量替换，令x + y-t亍5,则
J fCx + y — Odt =—J /（s）ds = J /（5）ds
原方程化为 x2+y2+z2 = ]"7（5）ds
①
・45・数学基础过关660题•数学三（答案册）
方法1 方程①两边分别对工，'求偏导数，得
2z + 2z 癸=—/&)
dx
了
2y + 2z — = fCy)
3y
=> z(夺+ 学)=如/3)- r&)] — & + jy).
\dx dy / 2
方法2 将方程①两边求全微分得
2xAx + 2yAy + 2zAz = fCy^dy —
移项，得
zd^ =— [z + §/(%) ]dz + [— y + ]d;y
于是
z p +
(繇 + 亲)—— 扣，)]+[-」+ #3)]
=— /(z)] — (z + y)・
x
104 【答案】
e
【分析】 X = 2x(.2 + y2) ,f'y = 2x2y + In y+1.
X = 0，解得驻点(°，+)・
令
f =。
A = /L(O,|)=2(2 + y)| = 2(2 + §
= ^(°4
b =0
（。结）
C = 已(°
4)=倍 ＞）l（
=e
。，4)
所以AC-B2 2e（2 … + m 1 \ ）＞ 0,A ＞ 0,则以。 - ，土 1 ）是f5）的极小值，极小值为
e* e
44
e
105 【答案】 大;（1,1）;6
【分析】 按隐函数微分法求偏导数.
2z + 2z^ — 2 — 4 祭=0
dx OT
解得
dz _ ] — z
(1)
dx z — 2
由x,y的对称性知
dz _ 1 — y
(2)
dy z — 2
由祭=0,祭=o得唯一驻点(工,、)=(1,1).
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将= (1,1)代入方程中得到
z2 — 4z — 12 = 0, (z — 6)(z + 2) = 0
由于 z > 0=>z(l ,1) = 6.
为判断(1,1)是否是极值点，进一步求2(了点)在(1,1)处的二阶偏导数.
注意夺| =李1 =0.由(1)式得
ox ay
I(1,1) I(1,1)
苹 —2) — (1- -、故
3 z _ ______________ 些 I =__ I =_1
3? = (z—2注 da:2 I (i.i) z — 2 I 4
(1,1)
同样由(1)式得
(7- — 1)—
有=一必=泠 =0
oxoy (z—2) dxoy \
(1,1)
由(2)式得
)2 —(Z — 2) — (1 — 3,) 2 . . 1
脂=____________________ ,c = W =____L_ =— L
dy2 (z — 2)2 dy2 z 一 2 I 4
I(i,i) (1,1)
于是在(1,1)处AC-B2 = A>0,A =—； V0,(l,l)是 z(z,j)的极大值点，相应的极大值是6.
10 4
Pa r2a—x
106 【答案】上叫了 以）如
【分析】 由题设知,对应的二重积分域由丁 = W,z + j, = 2a及y轴
a
所围成（如右图），按先y后*重新定限得
Ca C2a—i
原式=J dzjy
fl f3-2y
107 【答案】 dy\ fQxyy^dx
-/y
J 0 J
【分析】 由题设知对应的二重积分j]/（z，V）d。的积分区域D = Dt U砺，且
D
Di = ｛（x9y） | o w z w 1,0 W jy W 衣｝,
D2 = | l
I = dy
4y
J 0 J
【评注】二重积分击可化为累次积分匚&p(X)
f(x9y)dy f(x,y)dx.
(x)
累次积分的基本特点是外层积分限为常数，内层积分限为函数，而且积分上限总是不小
于积分下限.
. 47.数学基础过关660题•数学三（答案册）
【答案】口亦-喝-如『顼）
108
I是二重积分jeT—+竖）击的累次积分，其中
【分析】
D = (们))I o《丁 W *R,o W z W 丁 U (z,y) |
o Vz v VR2 - y2｝，。如图所示，应作极坐标变换
x = rcos 09y = rsin 9, 可得
D = {&以)| o < 厂 W R 号 V ° W 寺}
于是 I =「(1。「。一七打=-# X = ^(l-e~R2).
Jt Jo Z 4 o U
■arccos
109 【答案】 /（rcos 们rsin 9）d0 +
【分析】由原题知积分域上右图，则
「
arccos y
原式=’ jJ 。 rdrj /（rcos。，厂sin 9）d9 +
•arccos y
/(rcos。，厂sin 9)(10.
—arccos y
110 【答案】2一号
【分析】 本题在直角坐标下不易计算，利用极坐标计算.
「 J\ 3
1 r 一 X y . =w,
](cos(94- sin 9)dr
+ y J。 Jecos H-sin 6
= (cos。+ sin 9)d(9—告
J o Z2
9 7T
=2—云
nn【答案】一§(2媚一i)
【分析】交换积分次序得
J d j:| 2 xy Jl + J/3 d；y = J djJ ^_xy Jl + 氏 dz =- y2 a/1 + j/3 dy
= _£[ Jl +)3 dj? =— -^-(272 — 1).
6 J o 9
【答案】华
112
0
【分析】 原式=Fd0[,dr =华.
Jo Jo 0
考研电子书网站： www. pdf2book. com ・48・微积分
【答案】罗仔-】)
113
原式=In 2 • J dzj e~y2 dy
【分析】
=—In 2 • 'dy “e- 竖 Ax
o , 0
4 -/I
=—In 2 • ye y dy
o fl).
In 2
2
o
114 【答案】2k
【分析】 本题直接用直角坐标或极坐标都不易计算，应考虑平移加极坐标，或奇偶性的
平移.
方法1 令 z = 1 + rcos 9,y = 1 + rsin。，则
腥心心=「'2jrd" 、匝
(1 + rcos。)( 1 + rsin O') rdr
D o
'2n
=[ d。[ (1 + rcos 0+rsin(9 +r^sin 9cos。)厂dr
J J
o o
「2k fVF
= d。 rdr = 2丸,
J o J o
方法2 由于区域。关于％ = 1,丁= 1都对称，则
JJ[(巧-z) + JC~\AxAy
JJzj/dzdj;=
D D
=- 1) 4~ (x — 1) +
D
=JJldzdj/ = 2tt.
D
115 【答案】21n(l+4)
【分析】 由于区域D关于直线丁=工对称，则
rr d-dj _ ?rr &心
其中区域D如右图，为下半三角形，则
『虫dj =2两疗打=2［号孚
0
JJ+ J Jo Jo Jo COS
I ¥
=21n(sec 0 + tan 0) 4
=21n(l +V2).
49数学基础过关660题•数学三（答案册）
【答案】 l + f
116
【分析】这是带有绝对值的二重积分，可通过分割积分区域的办
法去掉绝对值符号.
如图所示，将区域D分成卧和0两部分，其中
Di = ｛（z,j0 |—
D2 = ｛（z,j0 |—
（z，V）£。】时,^1 y — ^2 I =』■ — y、
（i，x）£ D2 时，yi y — ^2 I =』y — £.所以
jj y/ \ y — x2 | dxAy = JJ y/x2 — y d j:dj; + jj y — x2
D % D2
=L dzjo yjc2 — ydy +dzj 2 3 d)
=£[ 丁3& + §「(2 — 了2)2如=! +栏「cos。tdt
O o O O
J 0 J 0 J 0
=立+匹
3 2 .
其中 j： cos，屈=f ( L+；os 2t) d = y (1 + 2cos 2, + g
= K(l + 2cos2z+icos4z)di = ^+T-
【评注】在计算中利用了积分区域G与Q关于、轴的对称性以及被积函数辰=3
与石二^都是z的偶函数.
117
【答案】e +号
【分析】交换积分次序得
f(t) dx = [ ye'y2 dy —
= f dj> [ e,y2 T^e'U = J-(e'3 — 1)
Jo Jo J o Zt oZ：
『一 +烈
E)=-—(e 1)
/(l) = e+§.
118
【答案】乎g + y + 丁
【分析】 因连续，从而f（x,y）在区域+丁 v 1上可积，设
. 50 .微积分
= A
x2+?2 da y2 da
A 仙+"小滂 + jj
x2+7JL f
", 次如。「户dr =4^ + 4
sin'___
0 JJ o o 4
I =芸.
故 fCx,y) = + y2 + y2•
119 【答案】4(3e4 + l)
o
jjr2ln(^2 + y2)da,J = jpy2ln(jr2 +jz2)d(7,由于积分区域 D= {&以)|
【分析】 令I =
D D
i2)ydr = H3pln(/)d(rZ)
m「ln / =习：恒 Ld卷) = ¥•』： - J")
-^-[e4ln(e2) — Y(e0,/(— Z)= (― z)2 + (― z) = X2 — JC；
当工2。时，—工 V 0x) = (— x)2 = x2.
•z < 0,
所以 /(-x) =
(D)选项正确.
122
【分析】 若极限lim石存在，则石有界.这是我们应熟悉的基本定理，即①正确.关于②,
71—8
③的正确性，从直观上理解即可.
，飞 ，二 ，…，石，•••
Z” ：4 2 3
^n+l
，^3+/，•••，］„+/，
一
: Zi+"Z2+,
祺吗？不会做？可以寿
｛.｝中去掉前/项即｛5.
《考所教学复习全节•钢篇》
l2n-l ：Z1
，工
3，^5
，…，％2l1，…
高数茅一辛
JC2n :工 ，工 ，，工 ，"•
2，^4 6 2” 函教极限连续
它们一起涵盖了％的所有项.
命题④是错的.例如z” = 72, lim丑也=lim " * ' = 1
JCn 72
”f 8 n-*oo
但limz, = 8(不存在极限).
n—8
因此选(C).
【评注】设limz” = □，若a丰0,则
“f 8
lim = — = 1
Xn Cl
n-*°o
若a = 0,则lim 冬可能存在，也可能不存在.
〃-*8 JCn
若lim — C存在，则必有C£ 因为若| C|＞1,必有lim% =8).
n-*°° n-*oo
例如 xn = g( I / I ＞ D=＞ limxn = 0,lim =二.
L n-»oo 8 JCn /
123
【分析】因为。＞1,所以 Z2=Q'】＞Q = Zi・
设％ ＞石-1，则而土 = aX- ＞武I = Xn，所以数列｝单调增.
因为QWe*,所以ii = aVe.
设z” V e,则= a1-《e.所以数列｛z”｝有上界，故数列｛石｝有极限.
124 【答案】B
【分析】 举反例说明①②③均错，例如
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・52.微积分
1，工〉0 i、 —1 » 1 > 0
g(z)= 1 / c，心)=
一 1, z V 0 1, z v 0
贝!jlimg(x) ,limA(x)均不存在，但
x— 入
0 x-*0
lim(g(x) +/i(z)) = 0,lim(g(x) . A(x)) =— 1
x-*0 x—0
故②③不正确.
若取 /(x) = 0,则= 0,lim/(a:)g(x) = 0,故 ①也不正确.
工
f 0 x-*0
按题设，易知lim(/(x)+g(x))不存在.(否则，若lim(/(x) +g(x»存在，则limg(x)
x-*a x—*a x-*-a
lim[(/&) + g(z)) — y(x)]存在，矛盾).故④正确.选(B).
工—a
【评注】(1)若= A,limg(z)不存在，则+g(z)]不存在，当A尹0
x-»a x-*a x-*-a
时，又有lim(/(x)g(j;))不存在；当A = 0时，lim(，&)g(i))可能存在，也可能不存在.
x-*a x-»a
(2)若limf (x) ,limg(x)均不存在，则lim(/(x) + g(x)) ,lim(/(x)g(x))可能存在，也
x-*a x-*a x->a x-*a
可能不存在.
125 【答案】B
【分析】=+ oo,lim/(j：)= 1, lim f (工)=0.
L1+ 12 X-*+oo
所以3在(2, +8)区间有界.
126 【答案】B
【分析】先求lim「sin(亨+ §)]".当”>4时，：<学+ 4〈专，所以孝V
n—8 L \ 4
S3(号+ 4)< 亨,所以回[sin(于+ §)]' = 0.
=lim 1+( cos
n-*oo \
1 1
1 -r—2
, 1 — COS —
而limzz(cos — — 1) =— lim------------- =— lim = 0，所以lim sin =1 ,
Tl
n—8 / 8 1 71—8 1 H-*OO
n n
lim sin + [sin(^ + 1.
n—8
127 【答案】D
【分析】 该题就是要计算极限
(1 + ^r-e 0
I = lim —— ——(4型数列极限)
8 1 U
n
53WM
数学基础过关660题•数学三（答案册）
方法i直接转化为求¥型函数极限，然后用洛必达法则.
l+
【 —e
n =lim+ lim
I = “ l f im 8 ~T JC
lo+ lo+ %
x
—ln(l +1)
=lim (1 + x)* 1 + x e lim 工一(l+z)ln(l + Q
x—0+ X—0+ x2
elimfd) e
2x 2
Zf o+
因此.选（D）.
方法2 先用等价无穷小因子替换，再转化为求骨型函数极限，然后用洛必达法则
1+1 1+1
n In n
-1
e e
I = lime e lim
~~r rjf 8 x
n n
nln^l + § )- 1 MT)-
n
e lim e lim
n-*o° T n—8 1
n n'
1
e lim 1 =— -f-
i- ln(l x} — x
e lim --------- ---------
- 充 2 工 2
H_o+
1+々
n =nln^l + + )— 1.
其中 —1 〜In n
e -1 + 1
e
因此选（D）.
方法3用泰勒公式.公众号: 旗胜考研
转化为求
nln (1 +【)-1
e lim
T
n-*oo
n
后用泰勒公式：ln（l + x）= X — ~X2 + O&2 ) , (] -► 0)
1 1 1 , 尸+。
n ----亏"十。 -1
n-----Z 〃 Z n n
I ~ e lim — =e lim
n-»oo 1
“—oo
n n
e
I
因此选（D）.
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・54・微积分
128 【答案】B
i -i__L_
【分析】 Wh-1 = un 于2+ >U„,所以｛“”｝为单调增数列.
记 /(]) = e，— 1 一工,则 fG) = b — 1〉OCz〉0),而 /(0) = 0,所以 f(Q > 0(x > 0).
1+1 •••(1 + £ 1 )<云京.“疽=eX^)Ve
2 2”
所以3“｝为单调增且有上界数列，收敛.选(B).
129 【答案】D
【分析】 Iim/(J7)= lim 5UL夸©心户 =—oo
ji+ x-i+ z — 1
lim/Xz) = lim 业空^e『i)3 = 0
x — 1
其中lim = hm^cos =—7t, lime(Li)3 =-|- oo, lime<^-i>3 = 0.
X-1 X —1 j i —1+
所以选(D).
【评注】 注意 lim ex =+ oo, lime1 = 0=> =+ oo, lime^^ = 0,因而
工-
1+ x-r
lime-"不存在.于是考察lim/(x)时需要分别考察与lin^(z).
x-*l X-*l+ X-*l—
130 【答案】B
(2 t e"心5'),而 lim 2 、
【分析】 —arctan x —arctan x = 1,所以
\ 7T
工—+8 TC
lim zln —arctan z )= lim xln 1 + Jan lim x —arctan x-1
7t
x-»+oo 7C
_2_ ]
—arctan x 一 1
i. 7t 1 + 2
lim " lim ------------
_1_ X-*+oo 1 7t
x —挪
Jan z
所以lim e~^
7V
x-*H-oo
131 【答案】D
cos —』cos 2z (cos 2z)2 — cos 2z
【分析】 lim
x—0'xk (cos 2x +』cos 2%)
1 i・ cos 2«z — 1
lim-------
2 X7-------------
lO
—y(2z)2
1
lim--------7------ 尹 0
2 x = q
x-*0
所以 k = 2,a =— 1.
. 55 .数学基础过关660题■数学三（答案册）
132 【答案】c
v cos(sin x) 一 cos x o cos(sin z) — cos x
【分析】 四(1-cos.) sin2. = 2 凹-------P-----------
由三角函数公式可知，cos（sin x） — cos x = 2sin三土尹Msin — ，所以当z -► 0时,
cos(sin x) 一 cos x + sin z)— sin z)
i. cos(sin x) — cos x x — sin x
四(1 —cos "sin弓 =2 lim
x-*0 I’
2 lim 1 一 ？s 工 J.
3 X I
X—0
133
［分析］ li 1 m - -- \ - ------ T -- - / - -- = l 1 i . m ------------ = lim e x 2j z' 1十+l\" 七
Hf+8 e” e" +8
而由泰勒展开 9x2ln(l + — t = x2 (― — + o(x~2) x =— + o(D yX — + 8,
\ x / \ x / 2
lx
(/ 1 + 板1 )\ _±
所以 lim -------------- = e 2 .
l+8 e
134 【答案】A
【分析】 将已知条件改写成
T I 1-况 +1 — ex ~2x 9
Z = + lim----------5-------- = L
q X
x-*0
即 L =2 — a
其中L=既土芦堂存在，由此定出参数。与们
方法1 用洛必达法则：
_0_
, 6 .. 〃一（2工一 2）*f
1, ===== lim-----------------------
洛必达法则 2.x
w-o
分母极限为0,分子极限为》+ 2,若$ + 2夭0,则极限L为8,但极限匕存在,故必有3 + 2 = 0,
即b=—2,于是代入b=- 2后该极限为骨型，可用洛必达法则得
T b=-z — (2j： — 2Ye~2x — 2^~2x 代入z = o —6 Q
L ---------- hm-----------------弓------------—=^= 丁 =_ 3
x-*o Z Z
因此 2 — a =_ 3 ,b =— 2,即 a = 5,6 =— 2.选(A).
方法2 用泰勒公式：
由极限与无穷小的关系
T 1-波 + ］ — ex ~2x o
ii = lim----------5-------- = 2 — a
x
x-*0
可写成
如 + 1 — ex2-2x = (2 — a)x2 + o(x2)
・56・
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由泰勒公式
e‘ = 1 + 仑 + yr-^2 + o(i2) (i —► 0)
乙!
令 t = X2 —2x,则
t2 = &2 — 2z)2 = X4 — 4j?3 + 4^2 = 4工2 + o(]2 ) (x -* 0)
0(/)=0(了2) (Z f 0)
e j = 1 +(一2工 + *2)+§(4丁2)+心)
=1 — 2x + 3x2 + o(x2)
于是 况 + 1 — ex2-2j = Cb + 2)x — 3x2 +。(％2 ) = (2 — a)x2 + o(jc2 )
由此得 6 + 2 = 0,-3 = 2 — a,即 = 5,5 =— 2.选(A).
q
135 【答案】B
sin 6z —(sin z)/(z) _ sin 6z — 6sin z + (sin z)[6 —，(z)]
【分析】
jc3
V li m- s - i - n - 6z — (sin z) fS) _ ]而 sin 6二—6sin x + limF si X n x . 6 — X f 2 ( jc) J = 0,
x—o x—0 x3 x-*o L
由既专==
1三临6-心 i. 6sin x — sin 记 T
lim---------- 1
x2
X3------------------ 1
x-*0 x—0
方法1 用洛必达法则求/i
l T i = i h . m 6cos x — 6cos 6z c 2 lim — ---- s - i - n -- - x - - + -- - 6 -- s - i - n -- - 6 -j-c =— 1i + , 36 = 3 O 5 r-
3x2 Lx
x—o
因此I = 35.选(B).
方法2 用泰勒公式
sin x = x — -yrT3 + oCjc3 ) ,6sin x = — x3 + o(j?)
6
sin 6z = 6z — -^-(6j:)3 + o(j? ) , — sin 6z =— 6i + 36j73 + o(x3)
6
= - > * li m- 6 - s - i - n -- - x -- - — 5- - s - i - n - -- 6 -j- ; = rh m- 3 - 5 --j-c- 3 -- + -3 - o -- ( - x -- 3 - ) = 3 Q 5 f- .
SC
x-*0 x-*0 JC
因此I = 35.选(B).
136
【分析】（A）若用洛必达法则计算,lim工+ ‘in专=iim（l + cosz）不存在，而显然，
工—8 JC
X~*OO
]im工十迦三= lim（l+ 住）=1.
H-*8 JC. H-*8 \ 工/
故（A）不能用洛必达法则计算.
（B） 由洛必达法则，lim彳二J：. = lim 尹;，而等号右侧的极限计算与等号左侧的极
工一+8 e + e e — e
z-4-oo
限计算难度一样.故（B）不能用洛必达法则计算.
2 • 1 Q • 1 1
x sin — Zxsm — — cos —
（C） 由洛必达法则lim —:---— = lim-----------------------不存在.而显然
sin x cos x
x-*o x—o
・57数学基础过关660题•数学三(答案册)
2 . 1
x sin —
lim ——:------=limzsin — = 0.
sin x H—O JC
lo
故(C)不能用洛必达法则计算.
(D)由洛必达法则
[. ex — esinx ]. e — cos xe 危一*""'+血 L
lim-------:---- =lim ——--------------1--
x — sin X 工一0 1 — cos x sin x
lo x-*0
馈一COS?圮” i. ex — cos2o:esinx ..
lim + esin =lim--------:-------------F 1
\ sin x x—o sin x
x-*0
i. ex — cos3j：esinx + sin 2j?es,nx .,
lim---------------------------------------1 = 1.
，一 cos X
x-*0
故(D)能用洛必达法则计算.
137 【答案】D
【分析】
---- 1 --- +----- 2 ---+ ... V____1_____ I--------仁 2 _________... -|------- n
722 + 72 + 72 7Z2 + 72 + 72 n2 + n + n^ n2 + n + l 必+〃 + 2 n2 + n + w
1 2
+ ... +____/____,
“疽 + 7? + 1 + 7/
:2 + 7i + 1 n2 + n + 1
所以1 -i-------- 2 2_____ ... 4-_____ 丑____v 1 + 2 + …+ 〃
n 十〃十〃 n2 + 72 + 1 n2 + n + 2 n2 + n + n "2 + - + 1 •
扣"1)1 i： 1 + 2 + ...+” yn(n + 1) ]
而 lim1+22/--"-±n
lim
8 n n-\- n ~ n2 +n + n ~ 2 zz2 +n+l g + 〃 + ] = W
/ 1 , 2 n
所以由夹逼定理，lim ---------------I----------------4— • • • -I—--------------
n2 + « + 1 n2 + n + 2-----------n2 + n + n
138 【答案】C
【分析】 逐一分析它们的阶.
(A) (考察等价无穷小)
(1+z)''—1 〜ln[(l + z)> —1 + 1] = x2 ln( 1 + ^:)〜工％工—>o)=>(l+z)，—1 是z
的三阶无穷小.
(B) (考察等价无穷小)
ex，-2i 一 1〜£，一 2工-2丁(z — 0)。成一端一 1是工的一阶无穷小.
(C) (待定阶数法)
■X2
严而'
2zsinz— = 6 i. x • si. n x 4
lim lim
----------7 = lim -------------
xk------- 奴I 3z • a:4
x-*0 l0 x-*0
=^>£ sinz2dz是z的六阶无穷小.
(D)(待定阶数法或泰勒公式法)
§(1 + 2i)T X2 —§(1 + 3%)一奇 X 3
lim = lim
奴i
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1 2
-4<1 +2x)-23 X2 + 4(l+ 3^)-35 X3 — [
i. Z 3 相—乙 1
hm L/i k—2
k(k — i1 \) T^Z 9Z
lO
=> Jl + 2工一 #1 + 3*是工的二阶无穷小.
或用泰勒公式.已知
(1 + t)° = 1+” + 号a (a — l)f2 + o(i2 )(Z —*■ 0)
=>(1 +2z)* 一 (1+3Q*
= 1 + |X2x + |x|(|-l)(2^-[l + f X3x + |xl(|-l)(3^]+0(^)
=(----+ 1 )/ + o(x2 ) = ~-x2 + o(x2 )
=Jl+2工一*l + 3z是H的二阶无穷小.因此选(C).
139 【答案】C
【分析】 此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义分析：
lim ”工）（=A关0（存在），lim甘危）、折=B尹0（存在）
x-a（Z — Q） x-a（J7 — a）
n lim)g?R = hm / . lim 卢R
A • B■尹0(存在)
X—a (z — a)Tt^m X—a (z — Q)" x—a(Z — Q)
x-*-a
=>r(z)g(z)是(i —〃)的 n + m 阶无穷小；
又，若〃〉m,
lim岷 -* =四廿岑 lim产头 A
=百■夭0（存在）
La g(Z), X—a (z — a)
=> 是(z — q)的n — m阶无穷小；
g(z)
因此①②正确.再考察
lim，顼)+ 气孕)=hm - + lim 吕壮一 K
\X — a)n — a)n
x—a x—a X—a
JA + B • 0 = A 夭 0(存在)(n < m)
\A B (n = m)
由此得，当n <.m时f (工)+ g(z)是x — a的〃阶无穷小.
当n = m时f(jc) + g(z)是i — 的72阶(A + B # 0)或高于n阶(A + B = 0)的无穷小.
q
例如，z f 0时,sin x与一z均是x的一阶无穷小，但
i. sin X — x 1. cos X—1 1
hm----------- = lim----—5----
X6
x-0 X—0
即sini+(—z)是z的三阶无穷小；因此③不正确.
最后考察
'（'）由 A fx
四3+ 5 （；二所=厂日尹0=>J/a）血是工一的” + 1阶无穷小.
四（Z-Q）+ =
因此④正确.选（C）.
・59 -数学基础过关660题•数学三(答案册)
【评注】本题是讨论无穷小阶的运算规律.再补充一条：
设y(x)在X = a处?：阶可导,z f <2时/(x)是X — a的"阶无穷小3 2 2)，贝！j f 5)
是卫一。的〃一1阶无穷小.
【证法一】/(x)在X = a有泰勒公式且为
f(x)= (x — a)n + o((x — a)n) (z — q)
n\
其中产)(q)尹 0/(。)= /(a)=…= ./B~1)(a) = 0.
记g(z) = f (工)在x = a处〃一1阶可导，有泰勒公式
g&) = g(a) +gz(a)(x —a) + …+ ---- g (a)(x — a)"-1 +o((i — Q)i)
Qn — 1； !
即 ，
f (工)=7 舟)(£Z)(z — +0((Z — G)l1)(z f G)
因此，z f Q时f (工)是X — a的处一1阶无穷小.
【证法二】 连续用n 一 1次洛必达法则.
f (工)在工=a处〃阶可导(〃 2 2)=>/(x)在x = a某邻域〃 —1阶可导且/ (x)在
x = a连续.
lim= lim，矿(°、i(分子极限为/(a) = 0,否则该极限为8,这不可能)
X—a (X — a) x-*a nvx — a)
=...=lim』 (G、(分子极限为L(Q = 0,否则该极限为8,不可能)
x-*a n! (x — a)
=limff(R—尸= *(a)丈 0
f n\kx — a) n!
因此r'&)是了 a的n - 1阶无穷小.
140 【答案】B
【分析】 当0时，设r(工)为H的力阶无穷小，则
严'腿 帝" 1
lim 传=lim -0- -------- = l1 i• m —C — =__ [l i• m —J-—T
L。 Xp X—0 xp x-*o px^~ t lO px^
当p = 2时，临件=鼻为非零常数，所以当z-O时,fM)为了的2阶无穷小.
乙
lO
141 【答案】D
【分析】 易知(A) ,(B)中/■(")在(一8, +8)内连续，&(工)在(一8,+8)内连续=>
复合函数/(g(Z))在(一8, +8)内连续.因此只须在(C),(D)中选择.
方法1 考察(C)
lim/(g(a:) ) = =
4 )
lo+ lo+ \
=11 一 cos —7t = 11.
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lim/(g(j?)) = lim f(.x) = lim ---- sin —
x-*0~ x-*0- x—O- 1 X
—工
2 . 1
=lim ------sin — = 0.
X-O~ X X
f = o是/(g(x))的第一类间断点.选(D).
方法2 考察(D)
lim /(g(x)) = lim/(sin — ^ = lim(e"*+l)
工)
x—0+ x-*0+ \ x—0+
该极限不存在=工=o是，(g(z))的第二类间断点.选(D).
或考察
lim/(g(^)) = lim= lim (e* + 1) =4- oo
X—0~ x—O- \ H / x—0-
m = 0是了(g&))的第二类间断点.选(D).
142
【分析】 lim -----=干 8 => limarctan ------=干普
a：—o士 z if。士 1 Z
=> lim f(jc)=干—x = 0是f (工)的第一类间断点.
—0士 7C
又 lim ------ = 0 => limarctan ------ = 0 => lim/(x) = 8
3C> x~^
1 1 1
。= 1是/(x)的第二类间断点.
因此选(C).
143
【分析】方法1 若f (工)+ sin x在z = x0连续=>
f (工)=(/(x) + sin x) — sin x
在x = x0连续，与已知矛盾.因此/(x) + sin 1在了。必间断.选(B).
【评注】 设/(x)在x = Xo间断,gG)在x = Xo连续，则/(x) ± g(x)在x = Xo间断.
方法2 举反例说明(A)(C)(D)不对.
设 f(jc) = (°’ ％ ' 则 ,(工)在 z =。间断,/(]) • sin j; = 0( V x)在= 0 连续.
(1, x = 0
I 1 z > 0
设 /(X)= / nf(工)在 z = o 间断，但尸愆)=i( Vi), I /(X)| = i( Vi)
[—1, x < 0
在i = 0均连续，因此不选(A)(C)(D).
144 【答案】A
【分析】 由''若 lim/(z) =a，则 lim|y(z)|= |a|” 可得“如果 lim/(x) = /6),则
4-气 工-气 工―气
lim | f(x) | = | f (瓦)I 因此，/(X)在Z。连续，则I /(X)I在工。连续，但I /(X)I在Z。处连续，
H—*0
/GO在工。处不一定连续.
©
・61 .数学基础过关660题•数学三(答案册)
/— ] Z > 0
如f（jc）= ' " 在1 = 0不连续，但I，&） I = 1在Z = 0处连续.于是应选（A）.
（1, % V 0
145
【分析】 若存在N” G也，+8）使得limz” =+oo,lim/（j；n） = 8,则f（jc）在也,+8）
8 n—»oo
无界.因为若，&）在也，+8）有界，即 |/（了）| n
=limx„ =+8, lim/XzQ = °°.
n—*oo jj—*oo
因此选（C）.
146
【分析】先分别考察左、右可导性.
显然,/(0) = 0.
4(0) = lim 二= lim 1 二..罕.寸=lim ； = 在 z = 0 右连续)
工 L
x-*0+ Z x-*0+ x-*0+ Z
£(0)=1血/8_六°)=临8愆)眶地 有界变量与无穷小之积0(》了&)在工=0左连续)
^0- 工 A。- 工
/；(0)尹/1(0),因此/(X)在£ = 0连续，但不可导.选(C).
【评注】 函数心在N = Z。左可导且右可导，则/(X)在Z = &连续，从而它在百
处的极限存在.
147
【分析】I z I夭1时显然可导.由于r(z)是偶函数，故只须考察1 = 1.
首先要求f旨工)在z=l处连续，即lim f(x) = lim f3) = /(l)，也即
L1 +
lim e/-i = 1 — 6 + c,0 = 1—6 + c
又 （1） = （x4 — bx2 + c）' 4 — 2。
■r= i
i 0
lim eJ — 0 0
仁⑴
丁* x—1 （洛必达法则）
ex2-l x2 -1 ,
=— 2 lim -r—2----77? ==^^= — 2 lim 产甘 = 0
现要求 A（l）=《（1）,即 4 —2A = 0.
因此，5 = 2,c = 1.选（A）.
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【评注】有一类如下类型的分段函数：
设/（x） = z°—为大于零的常数，从工）在血无定义，又g：S。）,
（n（x） 9 x0 < x limA(x) = limg(z) = g(x0)(g- (x0)存在，则 g(x)在 x — xQ 左连续).
<=>a = g(io).补充定义h(工o)= Q，则
,,,、 r h(工)一h(工 o) v A(x) — a ,
n+(x0) = lim ------------------ = lim ------------ = b
L持 ―持Z —女
当 g&0).= a 时，
y()_ (g(z)，Zo — 3 V z V Zo
[hCx)，工o W z V io + 8
f (工o)存在 (a:。)= f+(x0)^g-(x0) = A+(x0) = b.
因此在题设条件下,f (工)在z = Zo可导<=>g(x0) = Q,g〔&o)= b.
148 【答案】A
/(0) = lim fE) - f(0 = 麒尧w.由洛必达法则,
t分析】
Zlr-*O
△jc
r(0) = hm g'(^： + l = lim g”(△弓一己 g〃(0) — i
L △工 Ax~*O u 2
zg'(z) — g(z) + (z + 1)厂
z尹0
X2
g"(0)—]
z = 0
2 ，
i. 祁,&) — g(z) + (z + l)e— _ ]. g/(z) + zg〃&) — g/&) +— (z + ])厂
11 m 2 ] ] m
q
X—*0 3C, x—*0 LiJC
= £^ = f（°）
所以/（X）在（一 上连续.
8, +8）
149
【分析】 当/(0) = 0时，
/■'(0)存在 0 lim ,3)一如〉=lim 存在
x-*0 OC x-*0 3C.
lim 冬2 存在 e lim & = lim 和)一如.>存在<=>/；(0)存在.
10 1 (=必 —o+ t f 0+ t
若f (0)存在=> f+ (0)存在=• lim '(言)存在.反之，若lim，,匕)-存在=>/^. (0)存在冷f (0)
lO X x-*0 T
・63・数学基础过关660题■数学三(答案册)
存在.因此选(B).
【评注】 例如/(X)= |工| ,Iim =1,但yo)在藩=。不可导.
x-*0
150 【答案】c
【分析】/(x)也以3为周期=>/(1) = /(4),我们可由/(I)求得极限值I.
j = is LAI + 九)一八1)] — Lfd — 3tan h) 一 /XI)]
h
0
_ /(I + A)—/(l) .1. /(I — 3tan A) — /(l) 3tan h
a-*o h i A o -*0 — otan n. n
=(l + 3)/(l) = 4
应该选(C).
【评注】 设/(a)存在，lim^G) = 0
》lim r(a + M)) -y(a)七=3 jim /(a + £)—/~(a) = f j).
(p(x) t
X-*XO t-*0
本题就是利用r(i)来求
临也土** "⑴
册)
A-*0 '
其中lim甲(h) = 0,这里是=自或甲(h) =一 3tan h.
h—0
151 【答案】C
【分析】 因为fM) =\ JC — a \ g(x)在]=Q点处可导，所以
lim = Rm 牛Lg (a + 九)
o hh aA--**0o n
存在.而函数g(工)在X = a点处连续，limg(Q +龙)=g(a)，lim=士 1,所以g(a) = 0.
152 【答案】C
【分析】 f(x) = X2 e3x = xz 1 + 备q + 祭 o2 2 + …+('on —2一广 *)
1! 2! (n — 2)!
=/ + 土9 工3 * o2 * ... * -on —2 寸+。(寸), 〃 -8
1! 2! (〃 一 2)!
n
所以% =(S—2 )T'^)(0) = (Sh = 3f 3—i)・
153 【答案】B
【分析】 方法1当，(a)关。时(不论/(a)是正值还是负值)，由连续性，在z = a附近
或I /(x) I = f(x),或| f(x) | =—/(x),于是| /(x) |与/(x)在x = a有相同的可导性.由
/(a)存在=> I /(x) f, 存一在 ,(C)(D)被一 排一除.
x=a
I
当/(a) = 0,/z(a) =0时曲线j/ = f(工)在(a,0)点与z轴相切=>y = |任工)|同样在
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=
it
3 可导，由复合函数的导数法则，有［I /(x) 芬
J
I I
若 f(a)寄。,则有［|/(x) =#g%f(a),因此不选(C)和
(D)(当f3)在x = a可导，且f(a)云0时，| /(x) |在x = a点可导).
当/(a) = 0时
lim _愆)1一 顷。)| = lim f*)fa)= |/(a)|
J a+ X — a —a+ X — a
lim = g)L IS | =_ 临 f (工)一 f(a) =_ j) |
一 x-a x-a
上两式分别是| /U)|在工=a点的右、左导数，因此，当/(a) = 0时，| /(x) |在了 = a点
不可导的充要条件是上两式不相等，即/"(a)尹0,于是选(B).
【评注】 设/(x)在x = a可导，关于I /(x) |在工=a是否可导有如下结论：
若/(a)关0,则I /(x) |在x = a可导.
芒,()=o /〈a) = 0,则 | /(x) | 在 X — a 可导•
a ' lf(a)尹 0,则 | /(x) | 在 x = a 不可导.
154
【分析】 首先将/(T)在X = X0处的左右导数/-(XO) , f+(工q)与f (工)在X = Xq 处的
左右极限limXCx) = lim f\x)区分开来.
X-*X0 J4
lim f'(工)=limf (z) = Q,只能得出lim f (工)=a,但不能保证/(x)在处可导，以及
X-*Xo" 工—和 Hf和
在X = Xq 处连续和极限存在.
例如/(J；)=广* 2，％己?.显然/尹0时,f(z) = 1,因此
\ x, z w 0
, 65 •数学基础过关660题•数学三（答案册）
lim/(;c) = lim/G) = 1
:Ef()+ X-*0~
但 = 2 夭 lim f (工)=0,因而lim/(^)不存在.
X—o+ X—o- 工 f°
因此f (工)在Z =。处不连续，不可导.
因此选(D).
【评注】 ⑴八工）在*。可导，则八工）在工。处连续，但limfS）存在，不一定有尸（工）在
f0
处连续.
（2）本题讨论的一个问题是,lim/（x）与f（z。）的关系，我们有如下结论：
设/（X）在X = Xo的某空心邻域内可导
若/（X）在X = Xo不连续=>广（工0）不存在.
① lim，(x) = A
若 /（x）在 x — 连续 nf （工o） = A.
xq
（此时可用洛必达法则求得Z（Xo）= lim /（X）~/（JO）— lim/（x） = A）
' Hf X — Xq X~*Xo
② lim，（z） = oo=>/（x0）不存在.
—0
（此时若/（x）在X = Xo不连续,当然也就不可导，若顶（z）在X = 连续，仍可用洛必
达法则得
_0_
lim左与住三limf (工)=oo
H° X — XQ 气
即fa。）不存在・）
③lim/（x）不存在，也不为8,此时f （工。）是否存在要具体问题具体分析.
H-*Hq
155
【分析】 作变量代换U = x + t,则
g&) = [ tfCx + t)dt = [ (u — j：)/(u)du = f w/(w)du — x [ /(u)du
J —x J 0 J J
0 0
g (x)=工f (jc) — [ /(u)du — xf (x) =— [* /(u)du.
J 0 J 0
156 【答案】B
【分析】 设切点为（血，丸），则因为了 =工为曲线v =a，的切线,
Q 和=Xq
ax° In a = 1
ax° In a — 1 = 0
Zoin — 1 = 0
q
= ee = y0 = e.
q
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157
【分析】 g'&） =一 £ —（七 g
X X
因为/X0）= 0,所以由中值定理知，（工）=可'捋），其中o <£<工.所以
S T—E）-E）
X X
而r（z）在（o,+8）为严格单调增函数，所以g（x） o
H—气 X — XQ ,
及极限的不等式性质可知，存在3>0,当1 £ （了0—房血+3）口夭10时，
/&） — f0） > °
X — Xq
=>•当 z £ （工。，工。+ 3）时 f（x） — /（x0） > 0,当 z G（五—8>Xq ）时 /（x） — f（xa） < 0.
因此，选（C）.
【评注】（1）前面的分析方法，给出了证明如下结论：
_____ ■ .. — . — •
设f （工。）> 0,则存在3> 0,当z £ （瓦，女+8）时/（x） > f （工o）,当z € Go — 8,女）时
yXz） V f（工o）・ _________
作为选择题，有时我们可选用特殊选取法.即特殊选取某 \y
具体的/（x）满足题中的条件,若四个选项中，有三个选项不正 /
确，一个选项正确，就选该项即可. /
如取/（X）= x — x0,如右图，则f .工）=1 >0,满足条件.
对此/（X）在怎。一8,女+8）上单调上升，且 ------- oH/%--------------X
/（X）> /（x0） = 0 （z e（Zo ,Zo+8）） ,
/（x） < /（x0） = 0 （x G（zo — 8,女））. /\
于是选项（B）（D）不正确，对此/（x）,（A）（C）均正确.但若（A）正确，则（C） 一定正确，
由“四选一''原则，（A） 一定不正确，故选（C）.
（2）若f （工o） > 0且在x = x0连续=> 存在5> 0,当％ £ （工° — 8,工0 +3）时
f （工）> 0=>/（x）在（zo — S,Zo +3）单调上升.
159 【答案】A
【分析】 因 f(a) = 0,于是有(a-l)f(a) = 1 — ,显然
_,1—a _ 1
/(a) = % 二 1 > 0
a
1 —
所以x = a是极小值点.选（A）.数学基础过关660题•数学三（答案册）
<0, z V 0
【评注】 V x, ex — 1 >工(令 FS) = ex — 1 — x,Fz(x) = b —L =0, x = 0,=>F(x)
>0, x> 0
>F(0) = 0(x^0)).
160
【分析】 方法1 因lim =： >。,由极限的保号性质，存在8>0,当0V
|^一1| V3 时>0,又因&一 1）2 >0&乂 1）,所以当 0< |了一1|<3 时,/'（z） >
0,因此 /（X）在（1 一 +5）单调递增，从而当 1 —3Vz/（1） = 0,由取得极值的充分条件,八1）是八工）的极小值.因此选（B）.
【评注】 由当0V |x-l|<^时,，（/）> 0可以断定（1/（1））肯定不是曲线的拐点，
因r（x）在x= 1的两侧没有改变符号.
方法2 由前面分析知,/U）在（1-6,1+8）为凹函数，直接由凹函数的特征知，
/（x） >/（1）+/（1）（^-1） = /（l）（x 6 （1—3,1+$）,* 尹 1）.选（B）.
方法3 特殊选取，（工）满足/'（*） = §（*—1）2.
取/（X）= ^r（x-l）4，则，&）满足题中条件,/（工）在工=1处取极小值，而其余均不正
确.因此选（B）.
161
【分析】 方法1 显然/（X）在（一8, +8）连续.只须考察拭工）在X = 0某空心邻域
如]6 （一专技），z尹。时f （工）与/z（x）的变化.
sin x < 0, —寺 VzVO
f'（工）=v ] ]
如.万>。，。<*号
cos x > 0, —^ViVO
f'G） = 1 ] _旦
—*了-了 <
o , 0 < X < y
由此可得X = 0是/•&）的极值点，且（0,1）是曲线> =/（X）的拐点.因此选（C）.
方法2 由v=cosz，v = “的图形可得y = _/•（*）的图形.微积分
因此选（C）.
【评注】（1）只须考察/（X）在X = X0处的连续性及/（X）在x = Xo两侧/（x），r（x）
是否变号，而不须考虑Z（X0），r（X0）是否存在就可判定X = Xo是否是/（X）的极值点与拐
点.本题中/（X）在x = 0处/（0） ,/（0）不存在，但/（x）在工=0处连续.
（2）/U）在工=石不可导,x = x0与（xo，/（xo））可以同时是> =/（X）的极值点与拐
点.本题就是如此.但对于可导函数,可以证明：若（XO,/（X0））是了=顶&）的拐点，则了 =女
不可能是了（工）的极值点.
162
【分析】 方法1 若在（一8 , + 8）上f（JC）> 0,则一定有/\工）在（一8,十8）上单
调增加，但可导函数顶（Q在（一8,+8）单调增加，只能有/（X）2 0（即可能在某些点上
f （x） =0）,例如/（x） = j?在（—oo,+ 8）上单调增加,/7（0） = 0.因此不选（A）.
阳）若在工。处取得极值，且f'6）存在，则有/（rr0） =0,但当_/&）在了。处取得极值,
在工0处不可导时，就得不到f'3） = 0,例如= | d在工0 = 0处取得极小值，它在XQ =
0处不可导，因此不选（B）.
如果/&）在心处二阶导数存在，且（x0,/（x0））是曲线的拐点坐标，则/（xo） = 0,反之
不一定，例如了（工）=z'在孔=0处/\0） = 0,但/（x）在（―oo, 4-oo）没有拐点，因此不选
（C）.由上分析，应选（D）.
方法2 可以证明（D）是正确的.
不妨设「5 > 0.由带佩亚诺余项的泰勒公式得
/（X）= /（Xo） + f （xo）（x — Xo） + 寿 / &0）（工—Xo）2 +土广（工0）（了 一工0）3 +
0（ （* — 了0 ）3 ）（工-* 工0 ）
/（X）— /（Xo）=（工一Co），［§/*"&<）） + 0（1）］
当X^XQ时。（1）为无穷小量.
由极限的保号性质。存在S>0,当ovl x-Xo |<5时，志■尸（工。）+。（1） >0
=>X0 一3 Vz Vlo 时 f （工）—/（^0）VO,Zo Vl 0.因此 f（jCo）
不是，&）的极值.
【评注】 可以证明满足（D）的条件的点（xo,/（xo））是了 = /（X）的拐点.不妨设
r（x0）> o.写出r（x）的带佩亚诺余项的泰勒公式
f （x） = f （x0） + 尸（x0 ） （x — x0） + o（（x — x0））
=（X —Xo）［/^（x0） +o（l）］ （x Xo）
由极限的保号性质。存在3>0,当0 viz—女IV8时,，&。）+。（1） >0
=>x0 — 3 V 1 < 工0 时 f &）V 0,zo V z V a:。+S 时 f'（x） > 0
"在X = Xo两侧/（x）的凹凸性相反
=>（x0 ,/（x0））是：y =，（工）的拐点.
・69.数学基础过关660题•数学三（答案册）
163 【答案】B
2 9 1
【分析】 ①，（1）= 2 —（Z— 1）3，定义域为（一8, + 8）, /Z（x） =— —（X— 1）一3.
O i 2
显然=—3 = 0无解，所以函数，（工）=2 —（£—1）3没有驻点.但是
f'（工）=—% 3 -13f t), X E (― oo,l),
O 1< 0, X G (1, +8),
2
所以不可导点工=1是函数严工）=2 —（工一1）了的极大值点.
故①不正确.
②f（了）=2* +玲=0,解得函数f（x）=x2--在区间（一8,0）内的唯一的驻点为工=
X X
一 2.且
2工3+16j<0， X e (-00,-2),
/(］)=
X2 > 0, 1 € (-2,0),
所以/（-2） = 12为函数心 =*z一共在区间（一8,0）上的最小值.
X
=+8,所以函数/（x） = *2 一典在区间（一8,0）上没有最大值.
3C
X-*—oo
故②不正确.
③ 记 工）=arcsin（cos z） — cos（arcsin x），则
x
/(了)=—1+ , 二， e (0,1),
z
,2
可以解得唯一驻点所以
<0, x E (0,
x
f (工)=—1 +
a/1 — x2
>0, z €
所以
—手=arcsin (cos
=arcsin cos —arcsinl sin >0
为 /(x) = arcsin(cos z) — cos(arcsin 工)在［0,1］上的最小值，所以当 x C ［0,1］时»arcsin(cos z)
〉cosCarcsin z).③正确.
164 【答案】B
【分析】 设，（工）=招口21，考察心 的单调性并求八工）在[1,+8）的最大值.
[>O,1C Ve
f Vx） = • ----- v = 0,工=e
V 0 〉e
于是1 < z < e时/&）/,当x 2 e时因此在z = e两侧的数列项是妙与君,
e是的最大值点.
比较也与版的值控=循V并=裙.
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所以数列的最大项为万.选（B）.
【评注】 不能对/（»）=异3 = 1,2,3，…）求导，因为数列没有导数概念.
165
【分析】 令f'(工)=3oz2 — 12oz = 3oz {x — 4) =0得© = 0,j?2 =4(不合题意舍去)
/(0) = b, /(—I) =—7a + 6,/(2) =—16a + 6,由于 q>0,所以，，(0)是最大值，，(2)是
最小值.
(/(0) =6=3 (6 = 3
1/(2) =— 16q + D=— 29 Iq = 2
所以选(C).
166
【分析】 由/（a） <0,/（6） > 0知，/'（工）在（。，6）上至少有1个零点.不选（入）.下面证正
好有1个零点.
用反证法，设至少有2个零点:⑥ 0,（a V & V 五）
f（x2 ） — /（X! ） =f'（&）（Z2 —工1 ）
有
f'— 0 ,（工1 < & < 了2 ）
推得f怎）。
矛盾.
167
【分析】方法1举例否定错误的命题.
g =己/怎）=-土，它们在均连续且无界.（A）（B）不正确.
f（a） — J h — a在（a,b）有界，但/"'（工）=--- 在（a,。）无界.（D）不正确.应选（C）.
2 —a
方法2联系/（工）与/'&）的是拉格朗日中值定理.取定点了（a,b）,则由拉格朗日中
值定理知，Vz e （a,b）,存在£在z与工。之间使得
/（x） — /（xo） =— x0）
于是
I f（x） IWI /"（z。）l + l /'（E）H 工一工。I W I /（-^O）\+ M \ b — a | （_r £ （a0））
其中 I f'«） IWM（* e （a,b））.因此/'（工）在（a,b）有界.选（C）.
168 【答案】D
【分析】 设Z ,则f （工）=1在（<2, + 8）有界，但f （工）在（<2 , +8）无界.
（§）
・71・IMHBMSMHMMiimiRliMBSimmOlMIHtM
数学基础过关660题•数学三（答案册）
设 /（x） = sin x2，则 在（a, +8）有界，但 f （工）=2xcos x2 在（q, + oo）无界.
（］〃 =-/tvk 时 f‘ 3Q = 2 V^Ttcos niz = （— l）n2 y/nn -► 8）.因此选（D）.
【评注】 此题说明，在无穷区间上可导函数六Q的有界性与fG）的有界性无确定的关
系.但在有界区间（a/）上，上一题说明7a）的有界性保证了六z）的有界性，反之则不一定.
169
【分析】 只须考察/〃（/ = 0的点与f\x）不存在的点.
f （工1）= f 3）= 0,在X = xx , 两侧f（oc）变号，故凹凸性相反=>（工1 ））,
&4 ,/（j ；4））是;y = f （工）的拐点.
Z = 0处/（0）不存在，但f3）在Z = 0连续，在1 = 0两侧变号，因此（0/（0））
也是y =任工）的拐点.
虽然f &3）= 0,但在X = 两侧f （工）> 0以=f （工）是凹的・（工3，，（了3））不是
、=/（X）的拐点.因此总共有三个拐点.选（C）.
170
【分析】 只须考察/"（工）=0的点，这里就是/■'（£）的驻点，即Z =工1 ,*3 ,工6 ,与f5）不
存在的点，这就是f'5）的尖点
在w =工1,孔两侧f5 的单调性相反，故凹凸性相反^（了1,/（而）），（五，以孔））是
y = /（^）的拐点，在X = X3处，虽（工8）= 0,但X = X3两侧f S）均单调上升即X = x3两
侧3- = f（x）均是凹的，&3,了（孔））不是V = /（工）的拐点.虽然f'5 不存在，但f（z）在
X =Xi连续，在X = Xi两侧fr（x）的单调性相反，故凹凸性相反，&4 ,/（JC4））也是y = y（x）
的拐点.因此共有三个拐点.选（C）.
171 【答案】B
【分析】/ = § & — 4)-奇以“=— (x — 4)-^,
O J
所以当V £ （—8,4）时，/>0,曲线凹；当V £ （4, +8）时，/<0,曲线凸.
（4,0）为拐点.
172 【答案】B
【分析】 记fS） = tanz—1+z,则，（z）在（0,1）区间内连续.
f（0）=-1 <0,/（1） = tan 1 >0,所以/（x）在（0,1）区间内至少有1个零点.
又x 6 （0,1）时,f' （h） = sec2j? + 1 >0,所以/（x）在（0,1）区间内有唯一•的零点.（B）选
项正确.
173
【分析】 方法1 为考察/（*）与了之间的关系，设F（z）=U）—z,则尸（z） =/（z）—1,
尸（工）在（1-5,1+5）单调减少,F'（1） = 0,F⑴ =0.
当* £ （1-<5,1）时，尸（了）>尸（1） =0,因此FG）在（1一旗口内单调递增,F（z）/(x)在(1一3,1+的是凸的。在此区间
上以=f(x)在点(1/。))即(1,1)处的切线、一1 = /(1)(^-1)即v =工在此曲线的上
方(除切点外).因此
f(.x) < X (工 E (1— 3,1+8),了乂 1).
174
【分析】 只有间断点Z=±l
limy = lim 工 * '- =+ 8
X2 1
X—1+ X-*1+
lim y = lim ： * 】- =+ 8
x-*—1~ Hf-厂 y je2 —1
= 1与Z =— 1为铅直渐近线.
因为 lim — = lim ------ =士 ]
X h—±8 /
■r—±8
又
同理
ni f + oo时有斜渐近线y = x.x f — 8时有斜渐近线y =— x.
因此选(D).公众号：旗胜考研
1评注】 同是1-+8(或一8),如果曲线有斜渐近线就不可能有水平渐近线，如
果曲线有水平渐近线，就不可能有斜渐近线.
175
【分析】 令— 1 =。，解得函数r(z)的驻点为B = 3.
x
函数f (工)=31nz — z在(0,3)单调增，在(3 , + 8)单调减.
lim，(z) =—8,/(3) = 31n 3 — 3 > 0, lim f (工)=—8,所以函数/(z) = 31nz — i 在
X-0+ —+8
(0,3)和(3, +8)各有1个零点.
・73・数学基础过关660题•数学三(答案册)
176
【分析】 方法1 因F(z)是，(工)在(a,3)上的一个原函数，所以F'&)=r&)，因此
FG)在(a,6)上连续，于是F(G在(aM)上存在原函数，从而八Q+F&)在(a/)上存在原
函数.因此选(C).
方法2 函数了3 在(a,b)上存在原函数/(z)在(a,6)上可能不连续，例如
j：2sin —, z 夭 0, , 2zsin — — cos —, z 尹 0,
F（z） =〈 z F （了）= f （工）=y X X
〔0, z = 0, 0, x = 0.
显然fM)在z = 0处不连续.函数任工)在(。0)上存在原函数，又因F(z)在(。,方)上连
续，因此F(z) +，(z)在(q,5)不连续，所以不选(B)从而也不选(A).
r(z)+F(Q不一定是初等函数，例如/(x) = e"2在(一8,+8)上存在一个原函数FO)=
£e,2 dt,它不是初等函数=>F(z) +/(工)不是初等函数，因此不选(D).
【评注】 关于/(x)在(a/)上有原函数F(x),要注意以下几点：在(a,A)上
(1) /(x)不一定连续；
(2) /(x)不一定是初等函数；
(3) F(x)不一定是初等函数；
(4) 由原函数定义，F'(z)=",因而FS)连续.
177 【答案】B
【分析】 心在［—1,1］有界，只有一个间断点Z = 0nf(H)在［—1,1］可积nF(工)在
［—1,1］连续，因而有界.选(B).
178
【分析】 方法1 由积分中值定理^3?e(^,^ + a^)使得
f x+Ax
f (t)dt = /(f) A^： > > 0,
Cf'(x) > 0=>/(jc)是单调增加的). V
因此选(A).
方法 2 由 /(x)单调增加=f(t) > /(j?) (了 + ^工 > £ > z)
f x+Ax f
nJ f (z)di > I ，(工)& = /'(］)△］> 0.选(A).
方法3 由定积分的几何意义来分析，曲线y = /(^)在z轴上______
f aH-^x o I X x+Ar x
方且单调增加,J fd)dt是曲边梯形ABCD的面积，片)M是矩
形 BCDE 的面积，因此J /(«)d«> /(x)Zkz>0,选(A).
179 【答案】c
【分析】由题目的设置可知，这四个命题中有两个是正确的，两个是错误的.
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・74.微积分
方法 1 由"若 lim f (工)=口，则 lim | fCx) \ = \ a \ "可得“若 lim，(工)=f(.Jc0) »则
和 气 工一工
■Z- Zf 0
lim | f(x) | = | f (工o)I ”，因此，若f(x)在x = Xq 连续，则I f(oc) |在x = Xq 连续，即②正确.
—0
由，&)在也,有界，只有有限个间断点，则I f3) I在也，们也有界，也只有有限个间断
点(因f3)的连续点必是I心 I的连续点)，因而I f3 I在也0］可积即④正确.选(C).
方法2 ①是不正确的，例如,/(x)= ； "在工=0间断，但f (x) = 1在* =
［―1, 了 W。
I 1, X为有理数 俨
0连续.③也是错的，例如/(x) = 则/'(£)&不存在(易构造两个积分
(― 1, Z为无理数 九
和有不同的极限)，但I f3 1= 1在也,切可积.因此，只能是②，④正确，选(C).
180 【答案】c
【分析】 方法1八了)在史,们存在定积分的必要条件是/(*)在［a,们有界.因此，若
/(x)在［a,们无界，则f(工)在［a,刀不存在定积分.
选项(C)中的函数在［一号，号］无界=心 在［-f ］不存在定积分.选(C).
方法2 f(x)在也,切可积的充分条件是：/( 了)在*,们有界，至多有有限个间断点
选项(A)(B)(D)中的函数在指定区间可积.因此选(C).
181 【答案】B
【分析】方法1 (B)正确.
这是线性性质的体现.若r(Q+gG)在虞，们上可积，因六Q在也，危上可积，由线性性质知,
g&)= ［，(z)+ g(z)］ — _/&)
在也可积,与已知g(z)在［a，M上不可积矛盾了.因此凡0 +g(z)在们上不可积•选(B).
方法2 (A)(C)(D)是错的.
关于(A)J&) 2 0,芝 0(不恒等于 0)Cz 6 &>。.例如
0, 工 6 也，3]\伐()} _ , r
/(x)= ，其中 JCQ E \_a,b]
1 , X = Xq
f(») 2。，4 0(i € ［_a ,6］) ,J /XQdz = 0.因此(A)是错的.
(i, z为无理数 rb / rb
关于(C) 9f(x)= 出士工R1加= 1, /2(z)&存在，但r(］)dz不存在.
［—1, Z为有理数 Ja Ja
因此(C)是错的.
关于(D),在(D)的条件下，F(z)在也,方］处处连续,z夭xo时可导.F(z)在x = 处是
tq
否可导与X = Xq 的间断点类型有关.若X = Tq 是/(x)的可去间断点，则F(z)在X = xQ处
可导.因为
) ( (
F'(*o)= lim 尸也)一 F6 = Hm (§ ;) — F3。))，= ］%/&)(存在)尹 /(x0)
•Tf 和 5C SCq X->Xo (Z JJq ) X-*X0
因此(D)不正确.选(B).
・75.数学基础过关660题•数学三(答案册)
【评注】 若/(x)在［a,6］连续且/(x) >0,芸0,则£/愆)& > 0.
【证明】 此时必存在孔C (a,W,/(x0) >0,由连续函数的性质，存在3>0,在［五一
。
+趴上f(z) >0,因此
「与+8
/(x)dx 2 /(x)dx > 0.
J a J Xq—6
182
【分析】我们要逐一分析.
结论①正确.由条件nJ f(7)ck = 0(V]£ [q，M)
[j /([)&]' = 了(t) = 0(jc € 也,》])
结论②正确.由条件。
0 W [ f(t)dt V f /(jc)dx = 0( Vz £
J a J a
=> J fcodt = o(z e *,》])》/(])= o(x e [q,a]).
结论③错误，如图所示，由定积分几何意义知，
f，(z)dz <0,1* f^x^dx > 0.
J a J a
其中["]U ["].因此选(C).
【评注】结论①、②的证明也可用反证法.
若 /(X)壬 0(x £ \_a.by),则 3x0 £ (a,6) ,/(x0)手 0,不妨设 /(x0) > 0,由连续性
=>3 8> 0,当 x £ (x0 —3,工0 +3) U (a,6)时 /(x) > 0
仔。甘 ,
=> /(x)dx > 0,
J x0~8
与①中[_a,b~]的任意子区间[a,们上j7("d工=0矛盾了，因此只能是
/(x) = 0( Vx E [a，A]).
在②中此时
[f(x)dx = f ° f (^)dx + f ° /(x)dx + f fCx)dx
J a J a J xQ—5 J Xq+3
"o+a
2 /(x)dj： > 0.
J 工0一&
与j f &)dz = 0 矛盾了.因此 /(x) = 0( Vx £ [a,5])・
183 【答案】C
【分析】下面来证明(C)不正确.
• 76.微积分
主 ，2n sin x
2” di 9
x X x
o
对于第2个积分，作变量变换，令z 7t + J 当 x 7T时t = 0 ； — 2穴时t = 7C,于是
寄些& = sin(穴 + z)dg
0 x o x 0 7t + Z
x
0 0
sin x i
------ax —
0 x 0 7t + X
KSin % dz〉0.
工& +
0 7t)
【评注】(1)考查积分厂奕时，在区间[0,2招上,被积函数心有正有负，应将
Jo X x.
[0,2招划分成两个区间，使住正、负分清，然后再用积分变量变换，将两个积分的上、下
X
限化成为相同，然后合并考查被积函数的符号，一般就可断定该积分值的符号了，这是处理
积分不等式的一个常用办法，如本题(C).
(2)下面证明(A)(B)(D)都正确.
对于(A),将1也写为0到辛的一个积分1 =「生血,于是
4 Jo 7C
「于 tan x J十(tan x _ 4
Jo F X 7t
p
记= 翌兰一.，工e (。，：)，有 (号)= 0,
/z 、 xsec2x — tan x x — sm xcos x
°(°V'V*),
所以当0 0,(B)正确.
-77.数学基础过关660题•数学三（答案册）
对于（D）,将右边1也写成积分：1 = JJ号&，为证J：弗三&>1 = j：号&,只要证
明在区间（。，奇-）上典y > 令
,、 sin x 2 尸 兀 \
甲（工）=----------如,（。'万），
有死号）=0,矿愆）=丁渴皆蛔 =cos七...（；—ta瞑）.V 0,所以当。V工V专
时中3） > 0.于是j：岑兰& > 1.证毕.
以上证明中（A）与（D）用的是同一个方法，（B）与（C）是另一个方法，这些方法希望读
者掌握.
184 【答案】 C
【分析】 M =「 (1 + X)2 1 '奇 1 + ]2 + 2工只
-f 1+厂& =面
J 一号
因为 eH21+z，N = jL 1 < K;
又因为 1 + a/cos t 2 1， z £（羊） ,K = (1 4~ a/ cos x )dz>7r,故 K > M> N.
b
185 【答案】
【分析】 比较L与¥的大小，只须比较竺M与土 的大小，故只须比较sin，工与工气
X sin x
已知（°号 时，sinzVz，
sin z , i — x
n ------\ 1 \ ~：------9
x sin x
=> Ii = f2 s，n V f2 —Ax = I2,
Jo x Jo sin x
现在进一步考察与1的大小关系.为了比较定积分，注意1 = ［ 2d*,转化为比较
J 0 7T
主M或己与圣的大小关系.
X Sin X 7T
方法1 注意也 | = £.考查业M在（0,*］的单调性
X I x=f 7C X \ z J
/sin x\/ j;cos x一 sin x
W） =p—‘
令 g（z） = zcos z - sin ing*］） =-zsin z V 0 （z £ （°，?［），
又 g（0） = 0=g（z） <0 £ （。，分［），
考研电子书网站：www.pdf2book.com ' 78 ,微积分
1 =『＜ fz 竺= L V「Id工=普.
Jo 7C Jo X J 0 Z
因此 I2>h> 1.选（B）.
方法2 比较主蛙与里转化为比较sinx与圣了.
X 7T 7t
由于丁 = sin 1在［0,亏］是凸函数.由凸函数的性质知，O与
人（号,1）的连线在曲线3 = sin z的下方（°，成））
^|x 1.因此选（B）.
J o x
186
【分析】必须逐一分析
① 冬静了仅在习上是被积函数的原函数，在:穿可上的原函数是一 *inL 因此
这里的做法是错误的.
② ［在* = o无定义，在［—1,1〕上无界，不存在定积分，这里错误地应用了牛顿一莱布
X
尼茨公式.
③ 土 arctan邑/ 不是整个区间［0,药上的原函数，它在* =普无定义，只是。，普）与
72 2 L 2 /
a/2
上的原函数，不能在［0,招上用牛顿一莱布尼茨公式.
④/'（z） = £ （arctan §）在z = 0无定义，可任意补充定义/X。）后，arctan*仍不是/Xz）
在整个区间［—1,1］上的原函数，因为它在* = 0无定义，因此不能在［一1,1］上用牛顿一莱布
尼茨公式.
因此选（D）.
【评注】改正错误.
① J •/ sin3x — sin5 =
2 sin^xdsin x — sin* xdsin x
o
=兰 sinh 2 -—sinij： £
0 o 5
② 在il］无界，它在il］上不存在定积分（作为反常积分，它也是发散的）.
③ 先分段积分，然后用推广的牛顿一莱布尼茨公式.
・79.OSUHMWBMIHMMMHIIMMi
数学基础过关660题•数学三（答案册）
2 sec x j - sec x
一.=
o 2 + tan2x o 2 + tan2x X f 2 4- tan2x
1 .
=—arctan + —arctan
a/2 o ^2
=会传—（一亏）卜乎
m
另解.被积函数以K为周期且为偶函数.
亨.W & = p sec
o 2 + tan x J -f 2 + tan4 j:
2 7C_
'=： JT
万
® I ( arctan—]dx = f -p- ( arctan — ) dx + f ( arctan ~ ) dx
J —i cLx \ 工/ j —i cLr \ jc / J o (ijc \ «x /
旷 1
=arctan ~ + arctan —■
x x
=_三+匹+匹_匹=_
2 丁 4 丁 4 2 2
187 【答案】B
【分析】 方法1 I = x | cos x | sin xdx = xcos zsin xdx — ZCOS zsin xdx
0 J 0 f
...----J2 zdcos 2x +
zdcos 2x
一 1.COS 2, | + -j-J2 cos 2xdx + -i-xcos 2x
cos 2xAx
4
= Aj-2L-j_2L = A
8 4 丁 8 2 *
工='+冷
方法2 I t + cos2 —COS4 z +亏）击
= 0+f. ,』sin々一sir?应
sin tcos tdt =戋sir?： 2 TC
7t Z o = 2,
o
188 【答案】B
【分析】 方法1 分母先配方后再作平移变换
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・80.微积分
7t
7
0
选（B）.
方法2 先改写成
—Ax
1 — x
令启I='，解出*=击=1—击，血=WW&，
，=「• 土卜 （击）
r+o° 山 iz
1 +i2 J 0 1 + f2 =arctan t 7
选(B).
方法3 令］=sin21，则
I = F sin?" 2sin tcos 池=2「sin，血=2 .辛=告.
J。ysin2^(l — sin2i) 」。 4 Z
选（B）.
189
【分析】方法1 用分部积分法.
I =— x4d(l —工)* = 8)x3(l — xVAx =—学Jo^dd — x)T
16f'x2(l-x)l0与夕
limx°ln x = 0, limx°ln^x = 0.
H—。+
X~*()+
r4XBB1 ]. a] [. Inx 洛必达法则 r X-1 1 ]. a 八
[证明J limxaln x = lim —r-...................lim -------—r =一 ——limj;a = 0
"成^ ct
x-*o+ x-*o+ N j-»o+ x_»o+
若。> 0, limxflln^x = lim (xf In x)p = 0;若 0,显然成立.
x—O+ x-*0+
191 【答案】 B
J
【分析】= jcf (工)— /( j：)dj：
z(sin xln | z | )' — sin x\n | z |+ C
(cos x\n | i |+ 主M)— sin x\n | z | + C
x
J7cos zln | x |+ sin x — sin zln | x \4- C.
In z, z： ^(Inlxl)7 =-.
其中In | x | =
In(— z), z v o 工
因此选（B）.
【评注】 若F&）是/（x）的一个原函数，则
矿（工）=/（x）,J/（x）dx = FG）+C,c 为任意常数.
192 【答案】C
【分析】 £仁"1 也= 1 (2了3)'- ]
+ 产 J\ + 4把 』\ + cosk
cos X
sin 2x
= --I--------- .
Jl + 4了6 Jl + cos'z
选（C）.
考研电子书网站：www. pdf 2book. c ・82.miiWBBWmMilCniG 二toctoiwmmmibf
微积分
193 【答案】 B
件2
【分析】 先求 F'(z) = I ln(l + i2)dr
[>O, •z > 0
F”(工)=2zln(l + ){ = 0,
再求 i = O
Ivo,
z V 0
ny = F（i）在（一8,0）是凸的，在（0, +8）是凹的.因此，选（B）.
194
【分析】 方法1先求出FG),再判断.
当 1〉0 时,F(z) = f a/4 十 zck = M[(4 + jc)2 — 8].
J 0 o
当 x = 0 时，F(0) = J f(.t)dt = 0.
当 z V 0 时,F(z) = I* a/1 — tAt = -|-[1 — (1 —z)2].
§[(4 + z)* —8]口20
所以 F(z)= < ：O
号[1 —(1 — 3 V。
（这里F（z）在z = 0处自然连续拼接）.
F；(0) = (§[(4+ 工)* —8])j =f .言(4+庆
=2,
x=0
x=0
F：（0）=（号口―（1—工馆］） =• *(1—z)土
=1 ,
o 乙
0 x=0
F；（0）义 F〔（0）,F（z）在 n = 0 不可导.选（B）.
方法2 不必求出F（z）.利用已知结论来判断：设/（x）在［a, 6］连续，则FG）
f(t)dt在[M]可导且F'(z) = y(x)(x e W，Zo是也0]某定点(这里端点a,b当然
J xo
是单侧导数，即 F；(a) = f(a),F'_(b) = f(b)).
F(j?) = I* ^4 + tAt^x 2 0), J4 + z 在[0, +8)连续=>F；(0) = J4 + z = 2,
Jo x=0
f
（z ）= ［ yi — tAt^x wo）,』\ — h 在（一8,o］连续=>fl（o）= yi — x = 1,
。
J x=0
n F；（0）尹 F\（0）,F&）在 z = 0 不可导，选（B）.
方法3按一般性结论:E （a,b）,g）在［a,6］除x0外连续且在有界，考察
F（丁）=『/（£）&,则
（1） F’（z） = G ［q,6］,z 夭 x0）.
（2） 若^ =孔是/Ge）的跳跃间断点，则F£（z。）均存在但不相等（F£（z。）=，（君））・
（3） 若％ = 是f（z）的可去间断点，则F'G。）存在但F'&o） 乂了（孔）或八西）无定义.
该题中/（］）在（一 8, + 8）除z = 0外连续,Z = 0是/（X）的跳跃间断点nF（z）=
在 z = 0 不可导（因 F；（0）尹 F，（0））,选（B）.
-83数学基础过关660题•数学三(答案册)
【评注】定积分的一个性质：
设/(x),g(x)在也,分上可积且除去有限个点外,/(x) = g(x),则
| /(x)dx = J g(x)dx,
因此］fWdt =［』4 + 必心 2 0)，这里 /(□：) = J4 + z(z > 0)，但 /(0)尹 J4 + 0.
Jo J o
f = f J\ —汕(z V 0),
J o J o
这里 /(x) = JT二T(z < O),但 f(0)夭 Jif .
195
【分析】方法1 因
J/(x)dx = j方)dz + C,C为任意常数
当y&)为偶函数时fy(t)dt 奇函数，仅当c = o时[7(«)d« + c才是奇函数.
J 0 J 0
因此,/(工)为偶函数时八工)在[一a,掘只有唯一的一个原函数为奇函数即£/(«)dt. (B)
是错误的，选(B).
方法2 因
]/&)& = j：/(Z)d£ + C,C 为任意常数，
当心为奇函数时[/X。击为偶函数常数C,f7(«)di + C也是偶函数在
J 0 J 0
[—a,a]的全体原函数均是偶函数>(A)正确.
当fdx)在(一8, +8)连续，以T为周期时，
£/(z)d«以T为周期式/(泊=0,
当八工)又是奇函数时 £/(«)dz = pT/(z)di = O,
=>£/(t)dr以T为周期.(C)是正确的.
现考察(D).
f ，&)& 收敛=> lim [ 存在=>数列极限lim] /(z)dz = /(i)dz)存在
J
0 0 n-*ooj 0 8 \ J o /
^£/(t)dz = 0=>£/(<)dz也以T为周期.(D)正确.因此选(B).
196 【答案】A
【分析】 令g分)=f(t) 一 f(一 t)，则
g(— t) = f (— t) — f(t) =— g(Q
g(t + T) = f(t + T) — f (— (z + T)) = f(t) — /(— t) = g(i)
所以是以T为周期的连续的奇函数，考察0(x)=『［顶(£)—，(一£)］d£.
(I)
电子书网站：www. pdf2book ・84.微积分
中(z) = J [/(r) — — t)]dt
=J [/(i) — /(~ + J \_f(Z)— f (— i)]di
=co +£：/(«) -/(-z)]dz.
其中G为某常数,G可以认为是以随便什么正数为周期的周期函数也是偶函数・
又]顷£)一_<(—是偶函数，所以①(了)是偶函数，而[/(t) -/(- r)]是以T为周期的
周期函数-以也有周期 «)一 /(— c)]dt = 0.
J 0 J
0
由周期函数的积分性质，并注意到[了(£)—了(一£)]为t的奇函数，有
£ [/(«) — /(— «)]d« = jZz[/(i) — /(— O]dz = °
所以中(z) = C0+jj/(«)-/(-r)]dz是以T为周期的偶函数，选(A).
【评注】 注意到LfQ) - Q]为t的奇函数是十分关键的一步.
197
t分析】因被积函数是以7T为周期的函数，它在每个周期上的积分值相等，因此,
F&) = F(0) = [ ln(l + cos2cos 2tAt = ln(l + cos2^)dsin 2t
J Z J
o o
1 i ,r 、• cl” 1「2cos i(— sin t) .今―
=—Ind +i cos 2i)sin 2t — — ----：―:-----«------sin 2tat
2 Io 2 Jo 1 + cos勺
=#「1容⑵ 出＞ 0(因被积函数连续且大于等于零，不恒为0)
Z J 1 十 cos t
o
所以选(A).
198 【答案】A
方法 1 I ' ' + 土「s|n2 Q + 7r)COs5 (t + 兀)击=—[2 sin2icos5^dz
【分析】
J o J o
=—f2 (1 — cos21)cos5tdt = I*2 cos7tdt — [2 cos5tdt
J J
J 0 0 0
_6.4・2_4・2_ —4.2 __ _8_
=7 ・ 5 ・ 3 — 5 ・ 3 — 7.5*3 一一 105*
I = J2 sin2^(l — sin2^)2d(sin 0)
方法2
=J2 (sin20 — 2sin49 + sin6。)d(sin O')
=(fsin^-fsin^+|sin^)|；n
1 2 , 1 \ 8
T + 7)=-105-
I
・85・数学基础过关660题•数学三(答案册)
199 【答案】D
【分析】 这是讨论原函数的存在性问题.我们知道，若F(z)在(a,b)连续，则F(x)在
(a,b) 一定存在原函数，这里g(z)在(-1,1)连续，所以g(z)在(-1,1)存在原函数.
余下的是/(*)在(-1,1)是否存在原函数(工=0是/(z)的间断点).
方法1 /(x)在［0,1)的原函数为§^+G，在(一1,0)的原函数为sins + G,在r = 0
处该原函数必连续:
lim + G ) = lim (sin z + G ),
x-*0+ X—0'
n G = C2.若/(x)在(一1,1)存在原函数,则应是
扣 + G , o W 了 W 1，
F(z)=
sin z + G， — lVz《0,
但此F&)在z = 0不可导，因为
#+G)，
F； (0)= =O,FL (0) = (sin z + G )' =1,
i=0
x = 0
F+ (0)尹 F- (0).
因此，(工)在(一1,1)不存在原函数.
选(D).
方法2因* = 0是/(x)的第一类间断点，所以/(X)在(-1,1)有第一类间断点
在(一1,1)不存在原函数.选(D).
【评注】(1)设/(x)在(xo,xo +5)(或(角一 3口。))可导，在女 右(左)连续，又
lim/Cx) = A( lim/Cx) = A)=>f^.(x0) = A(fL(x0) = A)
x-*x0
_0_
［证明］f+5 =
lim 丸
/(x
*
)
-
-
-
/(
五
X
'
o
* '、
)
=
——
^=~^
-
=== lim f (x) = A.
…蚌 z —女 洛必达法则.技
(2)设f(z)在Gz,Q)可导％ 6(a,b)是f (工)的间断点，则孔只能是的第二类
间断点.
【证明】若同时存在
lim f (x) = A+, lim f (x) = A~ =>f+ (血)==,/I (x0) = A~
由 r&o)存在=>/+(Xo)= yL(xo)= /(xo)=>
lim/Cx) = f (工f (工)在x = x0连续.与已知条件矛盾.
由导函数的这一性质立即得出，若，G)在(a,5)上存在第一类间断点，则它不存在原函数.
200 【答案】B
【分析】 工n =
1
H-------
(I 2
1 +
考研电子书网站：www. pdf2book. cc ・86・微积分
这是函数 s = 在［0,1］上的一个积分和:
［十Z
其中积分区间［0,1］被〃等分，"等分后每个小区间是］守，；］('=1,2,•••/),&是区间的
右端点.因此
原式=史吁=£尧= 了 ° =朱选⑻.
'"an
201 【答案】C
等于j | sin z | dz = 2 ,因此
【分析】|sin^|以穴为周期，它在每个周期上的积分相等,
DC n
sin x | Ax n | sin x | dr
_ J o 2n
(n + l)7f (n + l)7r (n + l)n
I ssii n x | dx
n l - i * m oo J o (n + l)7t =削 n + 〃 1 .2 K 2_
选(C).
【评注】(1)利用本题的方法，再结合适当放大缩小法可求得函数极限
| sin 11 At
lim 皇-------------
x-*4-oo X
'GrH)x
当 fW«tV(〃+1)7c 时,2〃 = | sin x | dr | sin x | dr | sin x | dr = 2(处+ 1),
J o J o 0
所以有
。时，当 x> j/>a 时就有 I\yfMdt.
202 【答案】A
【分析】 方法1工=0是(A)的瑕点.
1 —&=「—丑+「工如,
x x x
-1 sin J-i sin J o sin
以匚上&为例•
・87.数学基础过关660题•数学三（答案册）
d(tan 壹
1 -1-dz = f1
sin x J x z
o o 2c,t an 万cos 2 — 0 ,t an 2x
=In tan 气
=8.
0+
1 t s上丑发散.选（A）.
所以 dz发散,从而知
sin x
0
方法2 用比较判别法,
因 z -► 0 时 sin x lim —— =lim —= 1.
sin x—o sin x
x-*o
又「主发散，由比较判别法的极限形式=> :告发散,从而知 1鸟发散.选(A).
J o x . -1 sin x
dx
方法3 （ arcsin
7T.
—-xZT
+8
din X __ _ 1 =J_
(D)
ln2x In x In 2*
2
因此（B）（C）（D）均收敛，选（A）.
203 【答案】 A
【分析】 方法1 通过具体计算判别积分敛散性.
1
①令
Z = sin t
尸At
———COS— dcU 发散（同202题）
sin i J sin t
o
② — X =』(工 _ 岑)= y a/(2z— 1)2 — 1
发散（同①）.
6 人 ，r+°° dx 传 sec ttan I」， 仔 八，
③令 1 = sec t, ------； = ----5------- 业= cos tdt = 1.
x2』那—] sec itan t
J i J o J o
4-00
=1,收敛.
1
发散.
= +8,
故选(A).
・88 .微积分
方法2 用适当放大缩小法与比较判别法.
①* > 1时
1 > 1 _ 1
2 -d^发散，由比较判别法=> 广*4-00 -产=发散.
又
1 Z M 一 1
②同理，当］>1时
1 >
— 1) x
,4-00 1 C4-OO / & 发散.
又 —Ax发散=>
1 x J 1 \JT(X — 1)
③当z> 2时
0 < ------F V -2 ■，
收敛，由比较判别法 — 收敛.
x2 y/X2 — 1
当1Vz<2时
o <------] =------ [1 ~ ― 1 ,
x2』* — ] jc2 Jz + ] \/x — 1 \[2 \/x — 1
又f2 l & 收敛,由比较判别法n [2 -一——收敛.
J1 V2 x2 一1
f+°° A 丁
综合起■ 来■ — 收敛，
x2 y/x2 — 1
④当1VzV2时
1 - 11 > 1
x{x2 — 1) x{x + 1) (x — 1) 6& — 1)'
又£ 6(^1)发散'由比较判别法=> '"佟卞发散，于是 '4-00 ___ ----- 发散
1 X — 1) 1 x(x2 -1)
因此选(A).
204 【答案】A
【分析】我们要逐一分析各命题是否正确.
命题①是错误的.因为
_/■(工)在(—00,4-00 )连续令［/(x)dx收敛，如［
sin xdx 发散.
J
J —oo —oo
'R
,4-00
命题②也是错误的.如 sin xdx 发散，但 lim sin xAx = 0.
-R
■OO Rf+8.
,r r+8
lim fCx)dx存在会 /(J；)dx收敛.
—R
R~*+8, J _8
命题③是正确的.
命题④是错误的.在④的条件下/'(Qdz是发散的.
总共只有一个正确，选(A).
. 89・数学基础过关660题•数学三(答案册)
【评注】(1)若「°°/(x)dx收敛，则
J •—8
0, f(r)为奇函数
心& = ]2「(g
/(x)为偶函数
CA
,4-00
f{x}dx = lim /(x)dx (存在)
—oo A-*4-coJ B
B —：oo
/(x)d^ 存在
(3)J /(x)dx
[，&) + g&)]dz
收敛 收敛 => 收敛
收敛 发散 = 发散
发散 发散 。 敛散性不确定，要具体问题具体分析.
(4) f f(.x)dx 「+8 「+8
f(x)dx /(x)dx
J —OO J J
—oo
收敛 收敛 => 收敛
收敛 发散一
发散 收敛 => 发散
发散 发散一
205
【分析】 先求y = cos z与j; = asin x的交点的坐标
由 cos x0 = Qsin xq =>tan xQ =—.
rf i
因 cos xdx = sin x = 1,故
rJo 0
xo
(cos x — asin z)dz = (sin x + qcos z) =sin Xq + qcos xQ — a
o
=(tan x0 + a)cos x0 — a = (----a )— …,———a
、Q ' Jl + tan&o
1+q2 a 1
Jl + 乞2 一 a
a J] + / T
由 yi + a2 — a = *•=> yr+ a2 + a = 2,两式相减得 Q =亭.选(C).
206 【答案】D 知识点链接
【分析】 把曲线表成x = x(y),要分成两条:
《考稣数学史习会书•基砒篇》
■z = 1 士 V1 — y (0 < v < 1)
高数第三幸
看成两个旋转体的体积之差： 一元函数秋分学
. 90 .
考研电子书网站：www.pdf2book.com微积分
V1 =』(1 + — 丁) 2 心,v2 = Tcf (1 — a/1 — y)2dy.
J 0 J 0
于是 v = Vi-v2 = k£[(
i
+ ^/^=7)2 —(i — vT^rjdy,
因此选(D).
【评注】(1)按公式计算得
V = kJ 4 口2。,曲线；y = /(x)(a W 1 W 5)与直线cc = a,jc = b及z轴围成图形绕y轴
旋转所得旋转体的体积 V = £2欠"(了)&
我们也可求出
V = 2?rj 式1 — (x — 1)勺丑=2xJ x(.2x — x2)dx = 2客(音逮—x4 )[=奇尊.
207
【分析】a„ = 3 • J-f ' (l+z2”)d(l+工")=3 • • •|(l+z2”)号
ZnJ o Ln o
因 lim (1 +【)=e,所以 limmn = (1 + e2)7 — 1.因此选(B).
n—8 \ Z2 / n-*oo
208
【分析】 变限积分函数F(t) = 是积分变量，被积函数处)
又含变限积分函数['/(/&,作为的函数
y
J
(f f (^)dj?), =— /(>)
J 3*
于是
F(t) = J [/(jy) j f (^)dj7]dj/ =— J (j f (j：)dj：jdQ /&)&)
=_扣:心可r=扣7(腿「
FV) = /(^)| f (j/)dj/,
F'(2) = fC2)^fCy)dy = /(2)
选(B).在后面的二重积分中，还有其他办法.
・91g ------- =
肥 数学基础过关660题•数学三(答案册)
209
记 件 fl
【分析】 考察 F(z) — a:f(t)dt=>
J
0 J 0
F'&) = f(x) -£/(z)df 在［0,1］连续且
F'(z) = /(x) <0(x e (0,1))
》F'(z)在［0,1］单调下降.
又 F(0) = F(l) = 0,由罗尔定理e (0,l),F'(Q = on
>o, o F&) > F(0) = 0(z 6 (0,Q)
F&) > F(l) = 0(j? G
nF(z)〉0(z £ (0,1)).选(A).
【评注】 该题的分析中，实质上已证明了如下结论：
设F&)在也面连续，在S0).可导,FG)在言,刁为凸函数，且F(a) = F(b) = 0,则
F(x) > 0(x £ (a,b))・
210 t答案】A
【分析】 设总收益函数为R = R(Q),则R(0) = 0,且边际收益函数
MR = — = -------------k
dQ (Q + 6)2
于是
ab Q
R(Q) = R(0) + q 卫 + — b)2 -k ” 嶂 do =- q+b + kq
o
ab b
+ kQ )+ a — a 1 — ~kQ
\Q + b Q + b
□Q
a -k
Q +》"Q = Q
Q + b
又因R(Q) = pQ,从而力=寿1台。=币2
故应选(A).
211
【分析】 由于Vi(了)和yz(工)是方程J + ?(*)、= 0的两个不同的特解，故(x)—
队危)为该方程的一个非零解，则v = C(少(工)一戮(工))为该方程的通解.公众号：旗胜考研
【评注】 由于yi(x)和,2(工)都可能是原方程的零解，则(A)和(B)都不正确.
212 【答案】C
【分析】 先求题设一阶线性方程的全部解.两边乘e』/""'得
・92・
考研电子书网站：www. pdf2book.微积分
z 「 、, 八
（^eJo P（£）d£） =0,
积分得
V = CeTg"',C为任意常数
方法1方程的解了怎）养0,且以T为周期= C^PMi，且C尹0,
y（x + T） - y（工）=C[e 九— e 1产”& ]
=CeT：g'[eTS'"' —1] = 0.
P（t）dt = 0,故选（C）.
方法2 了 = Ce」产'>&,c夭0以T为周期e「PQ）dz以T为周期0「P（t）dt = 0.
J 0 J 0
故选（C）.
【评注.】 注意周期函数的积分性质:设P（£）在（一8,+8）连续，以T为周期，则
MT CT
（1） J P（t）dt = joP（t）dt （ Vx）,
（2） 「PQ）dz 以 T 为周期 ^[Tp（t）dt = 0.
J 0 J 0
上述方法1中用到了性质（1）,方法2中用到了性质（2）.
213
【分析】y" + by' + cy = 0是二阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程是
A2 + &A + c = 0,特征根为 Ai,2 =（―》士 J序—4c）/2.
它们或为相异实根，或为重实根，或为共辗复根.但不论哪种情形，在们c为正数的条件下特征
根的实部总是负的.
注意当常数 a>0 时，lim e-aI = 0, lim jre-ar = 0, lim e-az cos = 0 , lim e-aI sin /Jr = 0.
X-*-+o° rt—>+8 Hf+8 X-*+°O
因此对 y〃 + byf + cy = 0 的任一解 y = j/（z）均有 lim = 0.
X-*+o°
故应选（B）.
214
【分析】 方法1由二阶线性微分方程解的性质与结构知，相应的齐次方程yf + ayf^by
=0有两个线性无关的解：夕1 = e-2x ,y2 = e\于是相应的特征根是义i =—2,A2 = 1,特征方程
是
(A + 2)(A — 1) = 0,即 A2 + A — 2 = 0
故 a = l.b =—2,y* = x2ex 是方程
y" + y — 2j/ = {ex + cZ)ex
的解，;y *' = + 2z)b ,)*" = {x2 + 4z + 2)ex，代入得
*" + jy* ' — 2丁* = (6j: + 2)ex = (^cx + 0)
x
(原方程中令z = 0,等式自然成立，不必附加条件).
方程两边乘//(])=广住* = 土得
积分得 =—31nz + C,
x
/(x) = Cz2 — 3x2ln x (x > 0),
由连续性 /(0) = lim f(jc) = 0,
x—0+
e “ q•/口 ~、 (Cx2 — 3x2ln x9 z > 0,
因此求得 r(z)= < 0
x = 0.
c为任意常数，选(C).
216 【答案】c
【分析】 设L的方程为了 = yCx),由题设知贝0) = = 0.又因L是连接A,B两
点的凸弧，从而当0 0成立.
设点Q是点P在z轴上的投影，则点Q的坐标是&，0),且曲边梯形OQPA的面积为
伙Qdz,梯形OQPA的面积为音[1+贝抄],于是凸弧L与弦AP围成的平面图形的面积
o Z
yMdt —告[1 + 丁(了)] = x4 (1)
o Z2
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因连续，于是可导，由等式⑴知北工)当0 Vz W 1时可导.将(1)式求导即得
）（］）—-y［l + 伙％）］ — = 4®
乙 乙
整理得V = J&)满足一阶线性微分方程
y — — =— 8x2 ——,
x x
((1)式令Z = 0,得0 = 0自然成立，不必另加条件).
用积分因子-fe-^ =上)同乘方程两端，得
x \ x /
刃' =一 8工—\
积分得方程的通解 y = — j(8z + §)2（x）或者满足 ->13^2 =0或者满
足->! y'z丰0,前者对应》（*）与M&）线性相关，后者对应网（2）与M（Z）线性无关・
（1）式的证明如下：已知 Z+/>（x）y； +q（x'）y1 = 0, （2）
3/2 + p{x）y't 4-g（x）>2 — 0, （3）
用队乘方程（2）,用叫乘方程（3）,然后相减即得
（招北—>1>2）+/>（x）（yi>2 - >1>2）= 0,
即 （>如2 — >1乂）'+》（了）（挤力一ryij4）= 0，
这表明孤队一少邳是一阶线性齐次微分方程y' + p^y = 0的一个解.由通解公式即得存
在一个常数C使得仙乂 一 Ju；=Ce-Jg>&,常数C可用力&）与北（z）在某点工=女处的
函数值与导数值确定.
220
【分析】 如果尹1,对于（A）选项，该非齐次方程的特解形式为Asinz + Bcosz,代入方
程易得特解为寡「"cos z,即A = 0,B = 2 1 .而根据题设A9B均为非零常数，说明它不符
k 一 1 K — 1
合题意，故选项（A）是错误的.k尹1时特解的形式不可能是（B）（C）（D）选项中的解，所以只能
是互=1.
如果= 1,则特解应具形式Ar sin x~\~Bx cos z,代入原方程可知:A = = 0,由此可
见应选（C）.
221
【分析】 微分方程V — 2J + 5丁 = 0的特征方程是义之一2义+ 5 = 0,特征根是Ai = 1 +
2i,义 2 = 1 — 2i,方程的非齐次项 /（jc） = excos 2x = e01 cos 位:，a 土 i/? = 1 ± 2i 是特征根.
按照选取特解的规则应设非齐次微分方程必一 2丁 + 53； = e，cos 2z具有形式为3* =
zUcos 2z + Asin 2z）的特解，其中a与b是待定常数.
记 3^i = excos 2x,y2 = exsin 2i,则
y* =水时+如2）,
y*f = z（狒+S）+ （时 + 如2）,
y*" = i（。必 + 如'；）+ 2{ay： + 如；），
从而
y 〃 —2V' + 5y
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=了也(必一2弑+ 5yi) + b(y〃2— 2我 + 5% )] + 2a{y\—少)+ 2b{y2— y2)
=2a(y\— yO + 2b(j4—以)
=2aex(cos 2x — 2sin 2x — cos 2x) + 2Z?ex (sin 2x + 2cos 2x — sin 2z)
=—4aexsin 2x + 4如 cos 2x.
要使y*是方程的特解，待定系数应满足 = 00 = §，即微分方程
q
y〃 — 2y + 5了 = excos 2x
有特解
v* = -^-xexsin 2x.
) 4
故应选(D).
222
【分析】 方法1 不论以Z还是以V为自变量方程②与③对未知函数都不是一次的，即
它们是非线性微分方程.故选(D).
方法2 方程①对未知函数v及其导数学是一次的，故①是线性微分方程.
ax
方程④可改写成学------X = 0,它对未知函数z及其导数尹是一次的，故④也是
ay cos 了十 1 dy
线性微分方程.选(D).
223
【分析】 方法1 按题设，存在某二元函数以&以)，
du = [/Xz) — ex]sin yAx — /(j:)cos ydy
即祟=E/(^) — ex]sin y,半=—/(x)cos 丁.
dx dy
由于,&)有一阶连续导数，可知我愆以)有连续的二阶偏导数，于是
dxdy dydx
即M(— /(x)cos y) = — ex]sin y).由此得 f 3) + _/&) = e，,解此方程得
ox dy
顶(工)=e~x (-ye2x + C\ ,由 /(0) = 0 得 C =— 故 fS) = -~ ・
'乙/ z z
应选(D).
方法2 按题设，存在某二元函数“&,少使得
祭=[f(z)— e，]sin y ①
dx
=— /(rc)cos y ②
3y
由式②对夕积分得
u(x,j/) =— /(x)sin y + C(x)
再对z求偏导数并由式①得
祭=—y，(x)sin y + C'(i) = E/(x) — ex]sin y
・97・数学基础过关660题•数学三(答案册)
于是得
[/"'(£)+ f(x) — e，]sin y — C'(z) = 0
即
f'S + 心=eSC(x) = C(任意常数).
由此及，(0) = 0解得八丁)= 土芸，选(D).
224
【分析】 这是一阶线性微分方程，标准形式是丁一箸^了 =「&
1十Z 1十z
用“(z) = eT寿* = —同乘方程两端即得
y 2x _ x
1+^2 — (l+x2)2> = (1+X2)2
即([¥揆)'=(i 4^? )2，积分并用:y*(。)= 1求出特解:y* (]):
[( ~~ [ -■ --g
Ax
Jo / Jo (1+x2)2
1+^2 2 1+^2 十 2
于是所求特解V* &) = *(1 +0 — 4 = 1 +孔，求定积分可得
乙 Z U
f)*&)丑=[(1 + ^-JC2 )dz=l + ! = g
J o Jo Z Z Z
故应选(A).
225 【答案】A
【分析】 在题设的积分等式中令z = 0可得/(0) = 1,又题设积分等式可改写成
y(z) = cos 2z —f(t)dt + 4[ tf(t)dt
J 0 J 0
因 3 连续，于是上式右端三项都可导，即/(Z)可导，将上式两端求导数，得
f'(工)=—2sin 2x —寸 /(«)df — ixf (x) + 4a;/(x)
即f'M) =-2sin 2^-4£/(Odt.在所得等式中令工=0又得/(0) = 0,不难发现所得等式
右端两项还可导，这表明/(z)存在，且满足(z) =— 4cos 2x — 4/(j：).
由此可见y = /&)是如下初值问题的特解：
(yf + 43/ =— 4cos 2x, ( * )
1jy(0) = 1 $(0) = 0.
方程y+^y = 0对应的特征方程是E + 4 = 0,特征根是万=2i与A2 =— 2i,从而可设方
程 y + 4^ =—4cos 2x 的特解形式为 = z(Acos 2x + Bsin 2z).记 3/ = Acos 2x + Bsin 2z,求
导可得3* Y = xyf + y, (y* )〃 =巧" + 2j/,于是
3*)" + 4y* = xyf，+ 2yf + 4巧=z(j/' + 43/) + 2y = 2yr
=2(— 2Asin 2x + 2Bcos 2z)
考研电子书网站：ww. pdf2book. -98 -微积分
. 令
=4(一 Asin 2x + Bcos 2x) ----— 4cos 2x9
可确定常数A = 0,B =- 1.综合即得(*)方程的通解为v = Geos 2z + Gsin 2工一
工sin2z.利用初值、(0) = 1可确定G = 1,利用初值/(0) = 0可确定G = 0,故所求函数
f(.x) = cos 2x — j;sin 2x.应选(A).
226
【分析】由于
lim /（x，3^） = lim sin（：:七'）
（工，/）— 3c y
（o,o） （x,y）-*（o,o）
=lim 了（等价代换）
力十/
•X 十了 X -T y
则 lim = 0 =顶（0,0）,所以 f（.x9y）在点（0,0）处连续.
（x,y）-*（0,0）
y；（0,0） = lim r（0,△刃 T•也也
50 2
=lim sin（3）： -。
△f （3）
=0.
故应选（c）・
227
【分析】 由于 临了（工,'）=lim 丁工、=0,
y=x 工— 30 ~T~
0 1
x—0
丁
4 1
lim/（x，3/） = lim 歹才=
1 h-o Lh 乙
X—
0
则lim /（x,y）不存在，从而f6y）在（0,0）点不连续，从而不可微，故应选（D）.
（x,y）-*（0,0）
【答案】C
【分析】由于
0<| ^ln(x2+y)K-j(x2+y)ln(x2+y)(当 0 Vz'+y <1 时)
令x2 + y2 =厂，则
lim (护 + jz2)ln(x2 +J) = limrln r = lim
(x,y)-*(0,0) r-*0+ —°+ _L-
r
=lim —(洛必达法则)
一。+
_ JL
r2
=0
则 lim----(x2 + ) ln(x2 + y2) = 0,故 lim xyXn^jc^ + y2) = 0.
(x»y)-»(0,0) Z (z,3)f(0,0)
99 •数学基础过关660题•数学三（答案册）
应选（C）.
229 【答案】C
ow
y
【分析】由于 WI y I — 0,则
T2+y2
X2 y
lim 一 =o
少 XN7?
G, f (0,0)
则fCx9y）在点（0,0）处连续，（A）不正确.
g(0,0) = lim yg,。)一 y(0,0) = lim 0^20 = 0
△工
Az—0 Ax-*0
/；(0,0) = lim/(°，°)= iim = o
△L。 3 Ay—0 3
所以，，(z,少在点(0,0)处偏导数存在，(B)不正确.
又 lim /(△%，△)) —，：(0,0) △丁一顶；(0,0) = £m (△折明
p (△丁)
(Az.Ay)—(0,0) (Az，2)f(0,0) [(△z)2 + 2]3/2
_____(△•Z)?"____ (Ax)3
由于 lim =lim 不存在,则
(Ax, △、)-♦ (0,0) E(a^)2 + (a^)2]3/2 2-。2V2 I Aj: I3
3= Ax
3加。，。>亦*备*不存在，故ga在（。，。）点不可微,故应选（C）.
【评注】 用定义判定$5）在点（孔，协）是否可微分以下两步进行：
（1） 用定义判断gCr。以。），£（孔以。）是否都存在，如果都存在则进行下一步，否则，
f（x9y）在（工0,弘）处不可微.
（2） 考察极限 Hm "工。+ 心,弘 + △"） — f （工。，/o） — ，:yo ）心 + £（西,弘）徵]
（。，。） p
（Ar，Ay）~*
是否为零.如果此极限为零,则函数fCx,y）在点（xo,>o）处可微，否则不可微.
230
【分析】 71（0,0） = lim r（M,0’，（0,0）= 1血 U = 0
、工 心一 △Z
Ax-*0 0
由对称性知，/;（0,0） = 0,而
lim，（△*，△「）—• /~（。，0）— [/!（0,0）&i： + 顶；（0,0）3] _ ]血 △*△>»
k /（△z）2 + （△/）' _ （△*）' +（△'）'
不存在.
由w i- A^cAv 1. 奴△ /（x,＞）在点 => /（］,/）在点
、）与fy（.x,y）都在点
A= （处,为）处可微 （Xb，/o）处连续
（孔，弘）处连续
/l（io,/o）与 都存在
（2）按定义,/&,'）在&0，/0）可微，即
f （工o + △z，y）+ △，）— /（x0 9yo）= A'x + + o（p）, （p =』圣2 + △寸—0）
其中A,B与&C,3无关为常数.特别是，若有r（Zo+&c,;yo+3）-，&0,丁0）= o（p）（pf
o）,则/'O 在（女，弘）可微，且咨 =。浮
=0.
OX 、
&0， 0） dy 0）
232
【分析】 ，；（。，0）= lim = lim = 0
JC
•i—0 JC z-»0
或 /x（0,0） = ^-E/（x,0）］l = y-（l）I =o
G.T ax
I x=o I x=0
由对称性知/；（0,0） = 0,则命题（1）是正确的.
又= £［了（1,0）］ = £（i）= °，
则limX（x,0） = 0 = f：（0,0）.
x—0
.101・数学基础过关660题• 数学三(答案册)
由对称性知limg(0,y) = /；(0,0),则命题(2)也是正确的.
y-*0
当工壬0时
/；(x,0) = lim = lim = 8,
y y
y-*o y-*o
则lim fry(X,y)不存在，从而f'Sy)在(0,0)点不连续，由对称性知且愆以)在(0,
—(0,0)
0)点不连续，则(3)不正确.
由于lim/(x，3z) = limx2 = 0.而 /(0,0) = 1,则 f (工，/)在(0,0)点不连续，从而 f (工，y)
y^x 工―
0
z—O
在(0,0)点不可微，则(4)不正确.故应选(B).
233
【分析】 由 232 题知 f(工，y) = Xy * :满足lim/lCz,O)=工(0,0) ,lim£(O以)=
\ 1, j?y — 0 x-*o y*o
/y(0,0)，但 fix.y')在(0,0)点不可微，则limq(z,O)=《(0,0) ,lim/y(O,j;) = /^(0,0)不
工―
0 x-*0
是在(0,0)点可微的充分条件.
f(x2 + >2)sin 2, (z,y)尹(0,0),
令 f(x9y) =〈 z +/
0, (z,;y) = (0,0).
2 • 1 n
x sin — — 0
则 U(0,0) = lim---------------- = 0,由对称性知 /；(0,0) = 0.
X
H—0
Km，(△工，2)一，(0,0) — [g(0,0)&c +，；(0,0)明]
翌 丁(应汗项(亳厂
=lim J(△])、+ (△jO'sin 7 —厂P = °，
心― (Ax)z + (A^)
0
则/(x)>)在(0,0)点可微，而当z夭0时，
rf( Ax d / 2 , 1 \ « • 1 2 1
八(7,0) == — (sin — I = Zxsin — — —cos —,
Cl«2z \ OCf J CC
则limg(z,0)不存在，从而lim/：(x,0) = /；(0,0)不成立，由对称性知
x-*0 x-»0
lim/；(0,/) = j^(0,0)
y-*0
也不成立，贝!llim/l/z,。)= /l(0,0) ,lim，；(0,j/)=顶；(0,0)是 f(x9y)在(0,0)点可微
h—0 y-^0
的既非必要也非充分条件.故应选(D).
234 【答案】D
【分析】 先求《和了；.
x2 + y2尹。时
rf = 4工3 (水 + 寸)一2](]4 —夕4 )
A" S+N
F = — 4了3 3 + J ) — 2;y(J? _ J )
Jy (x2 +y)2
由 y(x,o)=衣(v z) /(0,))=— 丁( v ))
71(0,0)= 0/(0,0) = 0
》
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2 2
注意 x2+ y vi' *2%一 \ ffx 4： \ x \+2 \ x \+2 \ j: \ = 8 \ x \
1，；1<4|丁|+2|刃+2|/|=8| 刃
=> lim X = 0 =，；（0,0）, lim g =。=，；（0,0）
（H,；y）f（O,O） （z，3）f（0,0）
因此 f'*（x，y），f',S，3）在（0,0）连续，从而 fdx,y）在（0,0）可微.选（D）.
235
【分析】方法1 直接法•
由 lim 了皿口2(也+2—=],且 Em y^+7=0 知
_|_ y2
(x,y) —(0,0) (x,y)-*(0,0)
lim — /(0,0) + 2z — = 0
(x,y)-»(0,0)
则 lim f(z，v)= y(0,0)/(z，v)在(0,0)点连续，又
(x,y)-*(0,0)
lim /&，一)一/X0,0)+2z —w = lim f(z,。)一—(0,0) +2x =]
+ y2 z 4^
lim (— 1) =0, lim f （工，y） = y（0,0） = 1.
(0,0) （x,>）-*（0,0）
再由极限与无穷小的关系得
八3）—，（0,0）=2 +
I? + y2
其中 lim a = 0=>
（工，了
） —（0,0）
・103・数学基础过关660题-数学三（答案册）
^您以）—，（o,o）= 2（j：2+y）+（x2+y）•以
=o（p） （p =+ J f 0）
=0 .△% + 0 ・△）+ o（p）
由可微性概念知：顶&,、）在（0,0）可微且"乎，0）= 0,籍，。）=0.选（D）.
dx dy
【评注】此类选择题可用特殊选取法，即取满足条件的特殊的f（w）,易看出其中某
选项成立，而其余三项不成立，就可选出正确选项.这里取
f（.x,y） — 1 = 2（了2 + y）
即 fa,y） = 2U2+y）+ l
满足题中条件，显然此f（^,y）在（0,0）可微且3气。，。）=可$'°）= 0.
dx dy
因此选（D）.
237 【答案】D
【分析】 由lim = /I（0,0）和lim £=九（0,0）可知f（工，y）的两个
一阶偏导数Ka,y）和fSy）在（0,0）点连续，则了（了以）在（0,0）点可微，故应选（D）.
238 【答案】 B
由必在（0,0）处连续可知，如果lim 4^4存在，则必有
【分析】方法1
x-o X + y
/(0,0) = lim/(j：，37)= 0
X—0 ,
j>->0
lim 竺必=lim -----------1一
x-*0 X'' + J Fxy--**-00 岸+ 丁 g十寸
j->0
由于 lim 4^4 存在，lim 1 = 8,则lim 心夕）=0,或 lim f〈M，W
=0,
二注 + / 二。E 2 g + > 嚣M + （△、），
即 y7（△⑦，△:y） — /（o,o）= o “
m
+ o ・徼 + o（p）
由微分的定义知了&以）在（0,0）处可微.
方法2 排除法：取f （工= | jr | + | > |，显然lim广心；产）〔存在，但= | z | +
D I Z I十E I
y-*0
I在（o,o）处不可微.这是由于/（^,o）= I z |在1 = o处不可导，则X（o,o）不存在，从而
r（W）在（0,0）处不可微，排除（A）.
取显然六W）在（0,0）处可微，但晚代—=四泠 =8不存
7~*0 y-»0
在，则排除（C）和（D）,故应选（B）.
239
【分析】 由于偏导数/l（^o，3/o）就是一元函数fg。）在1 =工。处的导数，则由《愆。，》）
存在可知，一元函数在x = Xq 处连续，从而lim f（x,yQ） = f（xQ ,j/0）,同理
x-*x0
lim 点0）.故应选（C）.
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240
【分析】 由二元函数f（x,y｝在点（灰，%）的可微性和它的偏导数的关系可知：函数
fCx,y）的两个偏导数在点（孔，北）处连续是函数f^,y）在该点处可微的充分但非必要条件.
因此选（A）.
【评注】（1）要熟悉基本定理.若z=f（x,y）的偏导数契，技在（孔，丸）连续，则fg）
在6 必）可微，即孕，孚在6,弘）的连续性是fg）在（xo,＞o）可微的充分条件，但
dx dy
fg）在6,北）可微不能保证学淬在6,丸）连续.例如
ox dy
、 J（x2 +＞2）sin 2 1 z ＞ x2+y2 ^0
0, x2 + y2 = 0
易求
Bf = f2^sin^7-?T7COS' 衣+/尹°
M I 0, x2+y - o
dy I 0, . j? +;/ = 0
咨，孚在(0,0)不连续，但
ox dy
f(x9y) — y(0,0) = (x2 + >2)sin ~~= p • psin \ = o(p)
z十7 p
其中 p = a/x2 + y -► 0,即 /（x,jz）在（0,0）可微.
（2）若想通过考察|Z,咨在（Xo,^o）的连续性来讨论Sy）在愆。，外）的可微性时，只
dx dy
能由手，学在（Xo，＞o）连续时，可知在6,北）可微,但若咨浮在65）不连续
dx dy ox dy
时，此时不足以判断f寸工7）在（初，V。）是否可微,该方法失效.
241
【分析】 由于偏导数本质上就是一元函数的导数，则由吁乎龙）＞0,¥皓以）v。可知,
dx oy
，（］，））关于变量］是单调增加的，而关于变量了是单调减的.因此，当乃V0，史 ＞关时
f （工1，少）＜，（工 ，f】0 必）＜ f （工2，丁
2 5） 2）
从而有 《/（了1，少）＜ /（^2 ,3^2）
故应选（D）.
242 【答案】D
【分析】/(1.-1)= /(i,-i)-y(o,o)
=E/(l,-l)-/(0, - 1)] + r/(0, - 1) - /(0,0)]
-105 ・数学基础过关660题•数学三（答案册）
=，；(£，一 1)+"，/(—1)
> 1 + (-1) X (-1) = 2
故应选(D).
排除法，令 /*&,/) = 1. M — 1. ly.
显然咨=1・ 1 > 1，弘=—1・ 1 v—1,/(0,0) = 0,但
dx dy
/(1,1) = 1. 1-1. 1 = 0
则(A)不正确.
/(- 1,1) =一1. 1-1.1 =一2.2 V-2
则(B)不正确.
/(- 1, -1) =-1. 1 + 1. 1 = 0
则(C)不正确，故应选(D).
243 【答案】c
【分析】f',（0,0） = 1血八°，刃二八°，°）= 1血已 =0,
L0 y y-*0 y
当 夭。时，
1
E（z,O） = lim^^^^
f y
r x{x2 — y2）
= lim ——―5— = x,
LO X + y
即，;（了,0）= 了（对一切x都成立） 、
（0,0） = I，
| _0 =
由对称性知/；（0,0）=-i,故应选（C）.
244 【答案】D
/ = - 丁 JT +/ fdy_\
【分析】
务洁洲9+亏弓(9
3z dz /—z E（/，
z 3- 十I ；y u x 则
ox dy
=~ 9
y_
2 ■Z ,
八掘1 +
2
(7
，&) = TT?-
则 /(l) = b/d) = 1,故应选(D).
・106.
考研电子书网站：www. pdf2book.微积分
245
【分析】方法1 直接法.
令 gCz) =xln(l+ 工)(z + l)5>,/i(z) = &一1)&2—1)了2<1> ,则
f\_x + 1 ,ln(l + z)] = (1 4- x)3 + g(x)
顶；[z + 1 ,ln(l + *)] + £[工 + 1 ,ln(l + z)]]]上=3 (1 + x)2 + g'&)
将了 = 0代入上式得
/(1,0)+/；(1,0) = 3 + gz(0) (1)
其中 g'(0) = limM^ = 0.
z—0 JC
/(x2 ,x— 1) = x^e*-1 + ♦&)
2x/i (x2 ,x — 1) + /I (x2 ,x — 1) = 4a?eZ + ^e1-1 + h'(h)
将z = 1代入上式得
2g(l,0)+/1(1,0) = 5 + //(l) (2)
其中 7i'(l) = lim = 0.
X—i x — I
由(1)式和(2)式得
71(1,0) = 2,£(1,0) = 1,即 U(l，0)= 2/(1,0) = 1,
则 d/(l,0) = 2dz + d/.
方法2 排除法.
由 /[x + l,ln(l+x)] = (1+x)3 +zln(l+z) & + 1)虹虫>
f(x2，了一 1) = + (工 一 1) (*z — &—>
可知f(x,y) = xzey + (x — l')yxy符合题设条件，则
f(x,0) = x2,/(I ,>) = ey
工(1,0) = 2,/；(1,0) = 1
好(1,0) = 2位 +心,则排除(A)(B)(C),故应选(D).
246 【答案】C
【分析】方法1由题设知
翌=2：/ + 2巧+ 3衣淬 =4巧+/
dx dy
由咨=2y2 + 2xy + 3x2 知
dx
= J(2>2 + 2xy + 3x2) Ax = 2xy2 x2y + x3 +(p(.y)
由咨=4巧 + j?知,4功 + / = 4巧 +1? + 妒(了),"(v)= 0,甲3)= C,
则 f(工,y) = 2xy2 + x23/ + x3 + C.
方法 2 dfCx^y) = (2y2 + 2xy + 3x2)dx + (4巧 + )d；y
=(2y2 Ax + 4 巧 dy) + ( 2xy dx + x2 d>) + 3x2 dx
=d(2 巧 2)+ d(x2y) + dx3
则 = 2xy2 + x23/ + J；3 + C.
. 107 ・数学基础过关660题•数学三(答案册)
【评注】 方法1是利用偏积分，方法2是利用凑微分.这两种方法是已知某个函数的全
微分或两个一阶偏导数求原函数的两种常用方法.
247 【答案】 C
件令一：
【分析】 方法1 由lim =-2,及六丁,少在点(0,0)处的连续性知/(0,
("f (0,0) 1 __ 海』£ + J
0) = 0.
/~(工，3>)
由 lim ,_______=一 2 <。，及极限的保号性知存在(0,0)点的某个去心邻
3>1。，。> 1 - cos 岸 + 寸
域，在此去心邻域内
_______ <0
1 — cos jc2, + y2
而 1 — cos J® + J〉0,则 V 0,又 /(0,0) = 0,由极值定义知 在点(0,0)取
极大值，故应选(C).
方法 2 由于当(z,jy) 一(0，。)时，1 一 cos J寸 + 丁2----(j；2 +/).
取f(x,y) =-a2+>2),显然满足题设条件，但71(0,0)=0,且由极值定义知在
点(0,0)取极大值,则排除(A)(B)(D),故应选(C).
【评注】方法1是利用极限的保号性和极值的定义，方法2是利用排除法，这是解决此
类问题常用的两种方法.
248 【答案】D
【分析】 由^&点)在点&。，弘)取得极小值及极值的定义可知，/(z,北)在％ X0取极
小值,r&o ,丁)在y = yo处取极小值，故应选(D).
【评注】 极值点不一定是驻点，因为在该点处偏导数不一定存在，例如fg) = I工I
+3 I显然在(0,0)点取极小值,{0/1(0,0)和_4(0,0)都不存在,则排除(A)；驻点不一定
是极值点，排除(B) ； (C)选项的结论对一元函数是成立的，但对二元函数不成立.
249 【答案】B
【分析】
F y\jc 9 y)
又F； &o,又)=0,则y (务)=0.
加)=_(« + ")F；—(乙 + 财)旺
(F)
〃/ 、 Fxx(%。，yo)
若F'n (io ,%)<。，则《y"(z()) > 0,及是丁 = :y&)的极小值点，故应选(B).
・108・
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250 【答案】D
【分析】f'x = 2kx,f'y = 3y2 — 3,显然
/L(O,1) = 0,/；(0,1) = 0
A =乙(0,1) = 2k, C — /^(0,l) = 6,B = /^,(0,l) = 0
AC - B2 == 12加则/&,》)在点(0,1)处是否取得极值与％的取值有关.
251 【答案】A
【分析】 显然= 1+x + y在区域x2+y <1内无驻点，令
F(工，了，义)=l+a： + J； + A(x2 -V y2 — 1)
'F； = 1 + 2k = 0
令Y F； = 1 + 2叔=0 得驻点
F'x = / +一 1 = (J
，(会■，会)=1+V2为最大值,f侦成~~盐="压为最小值,(1+72)(1 —72) =— 1.
故应选(A).
252 【答案】C
【分析】 令g(T，v)=巧，问题可转化为求函数g(x,>)在区域D = {(x,y) | 4工2 + y2
<1}上的最小值.
由于函数g(x,>)在D内仅有唯一驻点(0,0)且g(0,0) = 0,从而为求gCx,y)在D上的
最小值，只需比较gCx,y)在D的边界+ y = 1上的最小值与g(0,0) = 0的大小.
方法1求g(z,、)=巧在4x2+y2 = 1上的最小值可用拉格朗日乘数法.引入拉格朗
日函数F(x )5),A) =^+A(4xz+
/
y
F /
X
-
=
l)
y
, 求FGc
=
，v
0
， a)的驻点，解方程组
(1)
F/•
V- =]+ 2泌=0 (2)
F /
A =4x2 + >2 - 1 = 0 (3)
8义] -I
显然&,少=(0,0)不是解，由(1),(2)求它的非零解，必须有 =0“=士土，
1 乙人 4
Y
、
E =±湛于是可解得四个驻点R(&'会)，
即 y = ±2了，代入(3)得，8^2 =
R (一矗切P， (备l会)与R (-蜀-会)，经计算知在巳与R处g(w)= %
在 R 与 P3 处 g(H,jO =— y.
比较即知函数f(x,y) = e-，，在D上的最大值在F,与P3处取得，且最大值是e+.
应选(C).
方法2化为求一元函数的最小值问题.
椭圆4^2+y = 1的参数方程为
x = -
乙
ycos t,y = sin t (0 < L < 2k)，
则 g(x9y) = -ycos tsin t = -^-sin 2t (0 W Z W 2k).
u q
.109・数学基础过关660题•数学三(答案册)
sin 2t在上的最小值为一1,则g(z,夕)在D的边界4工。+ y2 = 1上的最小值为
一§.故= e"在区域D上的最大值为eT.
【评注】(1)设函数z = /(x,>)在有界闭区域D上连续.求其在D上的最大值或最
小值的步骤如下：
① 求出函数z = /U,>)在D内的所有驻点处或至少一个偏导数不存在的点处的函数值.
② 设D是由边界曲线F.(x,>) = 0(i = 1,2,•••,«)所围成，求出函数z = f(x,y)分别
在约束条件F.(x,>) = 03 = 1,2,•••,”)下的所有可能的驻点，并计算出其函数值.
③ 比较①，②两组中已计算出的函数值,其中最大者就是函数z = /(x，v)在D上的最
大值，最小者就是函数z = f(x,y)在D上的最小值.
(2)条件极值应用问题的求解方法.
条件极值应用问题的求解常用拉格朗日乘数法.
例如,求函数z = fdx,y)在约束条件= 0之下的条件极值的程序为：
① 引入拉格朗日函数F(x,>,A) = f(x,y) +衡(z,R.
② 求拉格朗日函数F(x,y,A)的驻点，即解方程组o
”E =已+ 部；=
V F； = fy + X(p'y = 0
F'l =乎=o
③在考研试题中通常是条件最大值或最小值的应用问题，常由问题的实际意义可知存
在最大值或最小值.若驻点唯一即为所求.
又如，求函数"=f(x,y,z~)在约束条件0,所以点(0,0)是极大值点.
注意 /(0,0) = 0,在。的边界上点(4,1)处 /(4,1) = 7 > /(0,0),即 /(0,0)不是f(x,y)
在D的最大值，(0,0)不是fM,y)在D的最大值点.因此选(B).
・110・
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【评注】（1）本题考察当二元函数的两个偏导数都存在的条件下取得极值的必要条件
和充分条件.
（2）该题表明了多元函数与一元函数的一个区别：区域D上的连续的二元函数顶（*点）
在D内有唯一的极值点，若是极小（大）值点，不一定是的最小（大）值点•
254 【答案】A
由 lim 匕二」=1 可知,f（0,0） = 0 且
【分析】
（了, 工 X y y
V）f （0,0）
+ 4x2—y2 1 , f 、
-―4 土 为”厂工X = ] +a（W），
r + X y + y
其中lim < = 0,则
(x，3»)-*(0,0)
= y2 ~~ + 了 丁 + 了 、
4x2 + 2 ,4 + Q（z,y） • （—4 + 2 2 + -4）.
又，（°以）=丁 + 丁 + 寸），
2 0（ /（^,0） =— 4x2 + + 0（]4 ）.
由此可知在点（0,0）的任何去心邻域内都存在点（0,3/）和危,0）,使得
fCO.y） >0,/（^,0） <0.
又/（0,0） = 0,由极值定义可知点（0,0）不是了&点）的极值点.故应选（A）.
255 【答案】D
【分析】此问题归结为求函数
u = xyz^x >0,y>0,N>0）
在条件x + y + z = a下的最大值.
方法1 用拉格朗日乘数法.
令 xyz + y + z — a}
F(^, j,,z,A) =
解方程组
'羿=JZ+义=0
dx
|^ = xz+A = 0
ay
寡=巧+义=0
dz
3F | i 八
—= x-ty-r-z — a = 0
I oA 『
用i点次分别乘第一、二、三个方程得1 = 〃 = z,再代入最后一个方程式得
a
x = y = z =—
由题意最大值一定存在，因此当x = y = z = 时以取最大值（言）=专.
方法2 化为简单最值问题.
从条件z + 丁 + z = 中解得z = a — X — y9代入u = xyz得"=xy（^a — x~ y},转化为
q
求函数u = xy{a — x — y}在开区域
D = {（z,jO |i>0,;y>0,z + ;yVa}
中的最大值.这个最大值一定存在，它在。内的驻点达到.令
111・数学基础过关660题•数学三（答案册）
—=y^a — x — y} — xy = 0
dx nJ % = 丁
du / 、 A \2x y = a
—=x\a — x — y） — xy = 0
dy
解得 ％ =号，，=言
是唯一驻点，也就是最大值点.因此"的最大值是以=刍・刍（。一导一导）=襄・
5 o \ o o / 乙/
256
【分析】 连接OB ,将原积分域分为两部分，
△CBO,记为 D2 ‘△BOA ,记为 D3.
由于关于x轴对称，而xy + cos zsin 丁是X的奇函数，则
JJ （功 + cos j;sin jDdtr = 0
D2
而D3关于；y轴对称，可是
z
的奇函数，
cos
xsin ;y是］的偶函数,
则
jjxj/dcr = O,jjcos xsin ydo = 2jjcos zsin jydcr
D3 D3 D1
故应选（A）.
257 【答案】 c
【分析】 原积分域为直线V = + y = 2,与J轴围成的三角形区域，故应选（C）.
258
【分析】首先确定被积函数，由于在极坐标系3,。）中面积元
de; = rdrdd,从而题设二重积分的被积函数应是y/（rcos （9,rsin O'）.其
次由题设知二重积分的积分区域D在极坐标系3M）中的不等式表示是
D=（3,。）《奇,一 i = {| OVzMLOWvWz},
D2 = {（了，夕）I OVzWl,zWyWl} = {（了，丁）I 0rr_____
da da
D（i+^2+y）i — 2-
R （1+/+/）*
U1
设z = rcos 0,y = rsin们在极坐标系3,。）中玖可表示成{（厂,。）I 0 》，。—^）,
4 cos 0
所以
.A
用d（l +产）
1 = 2 4 de de
o . 0 （1 + r2）7 0 . 。（l + r2）i
=-2 ] cos 0 d0 = 2 L1 一 cos'脚
0 Vl+^ o 0 yi + cos2 9
I-2 d（sin。） 告—2arcsin S*n ^
0 J2 — sir?。 2 V2
0
=~ — 2arcsin 牛 7t K_ _
乙 乙 2 § 一亏
即应选（D）.
考研电子书网站：www. pdf2book. c ・ 114 -微积分
【评注】 若区域D关于直线> 对称，则#(工,少扬=J?3，Qd6
D D
264 【答案】B
【分析】 因D = Di —。2，其中
Di = {&,/) | | z | < 1, | 刃 W 1} y，i
1R
D2 = { | + J《z}
于町 xy \ da = ^ \ xy \ d(y—jj
I | d(j.
D D1 D2 -1 y 1 x
由于I巧I对于Z和v都是偶函数，玖关于工轴和丁轴都对
称，从而I巧I在9上的积分可化简为区域Di在第一象限部分
｛(工，力| o w工V 1,0 1｝上的积分的四倍，即 -1
JJ I xy | d<7 = 4)I xy | d>
»1 0
41 Ax | xyAy = 4J xcLtJ ydy = 1
0
由于I巧I对于V是偶函数，。2关于工轴对称，从而I巧I在。2上的积分可化简为区域
D2在第一象限部分｛&,)) | x2 +y2 W%,;yN。｝上的积分的两倍，令z = -cos 9,y = rsin。引
入极坐标，则有
\ xy \ da = 2 '(I。 ■cos 6 r3 sin 0cos 9dr = 2 sin Ocos OdO *cos 0 r3dr
D2 0 ・ 0 ■ o ・ o
1 ff _ t
=—sin 0cos5 0A6
Z J
o
故jj I I也=1 —佥=奇.应选(B)・
D
265 【答案】C
【分析】 积分区域D如右图.由被积函数的特点，应选择先
后丁的积分顺序，。表为
0Wjy）d<7, fCx,y）是了的偶函数
d *y
> ,■
}.
d no
其中o2 = n⑶
③ 若区域D关于直线> =X对称，则
k&，v）击=*（、,工）费=§]}[■/'（]，'）+/（>.x）]ir
D D D
除此之外,在计算二重积分时还要注意利用二重积分的几何意义』'也=D的面积.
（2）我们也可利用三角函数替换来计算本题中的积分.令h = sin七,则
f Vxd — Vx）2dx = P sin2icos4i • 4sin3rcos tdt
J o J o
=却:sir?2® =寿匚血彻=制:sin物
1 S/4X2 _ 1
一步 X 55^3 — 15*
268 【答案】B
【分析】 引入极坐标（厂,。）令1 = rcos 9,y = rsin。，则
D= 3/) |余＜0＜亨,1。《3 ,且arctan子=们故
6 *
269
【分析】直接计算是不方便的，这是二重积分
JJ 左Wda的累次积分，其中
D
如图所示，现改用极坐标变换，。的极坐标表示
yyjyy矗
于是
方法1
『专 _J_jn = 『十 d(sin 8) = d(sin ff) _ ['方 ck
Jo cos3^ Jo cos"。 Jo (1 — sin2^)2 Jo (1 — i2)2
117 •致学基础过关660题• 数学三（答案册）
=+ [2VF+21nG/F+l)].
方法2
sin2^ + cos2^ _ 1 ysin 0d
- d9 =
o Z
=#+ j：
£
=乎+§£拦湍 （日两十 品商^曷1^
V2 , l^l + sing|i 孝 + -yin(7^ + 1)
2 + 4 1 一 sin 儿
乙
Li
因此
I = #+|ln(V2 + l)
应选（C）.
270 【答案】C
【分析】 显然在D上0） 2
0,壬0,而在Dt之外f（x,y） W 0,老0.
考研电子书网站：www. pdf 2book. com ・ 118 .微积分
因以D > A.D4与玖 的公共部分是，0的其余部分fg） <0,^0=
h > I2.D4与以的公共部分记为。.，n的其余部分f（x,y） >0,芝0,而D3的其余部分
/（x,y） V 0,芝 0=>14 > I3.
因此 max{L，L,L，L} = L.故选（D）.
272
【分析】 由于平面域D既关于z轴对称，也关于v轴对称，且tan xj，2是工的奇函数，了勺
是'的奇函数，则
jj tan xy2 Axdy = 0, = 0,
D D
=jj^x2 AxAy^ I2 = jj2tan Jdzd/,
D D
又由于平面域D关于丁 =z对称，则
，
jj 2tan y2 dxdy = Jj 2 tan x2 dxdj/ > =I］
D D D
=JJ( | 巧 | + /)dzd;y V + y2 dxdy = JJ+ x2 )dzd;y
D D D
=°2%2(1］心=Ii ,
D
则I3 VI1 V【2,故应选(C).
273 【答案】c
t分析】由积分中值定理知
jj f(.x,y}dxdy = k,
x2-l_y2 -|
【分析】 o g(脸 g(Qd“& (利用分部积分法)
=打 g(£)d』—[•zg[/'(z)]，'(z)dz
Jo I 0 J 0
、 =0 — J x2ff {x')Ax =—J x2d[/(x)]
=—x2 fCx) + 2 f xf^x^dx
0 Jo
=2 x/(x)dx = 2024.
0 雄吗？不会做？可以肴
《考所数学差习全书・*篇》
高教第六幸
多元函教积分学
不积畦步，无以至千里，
不积小流，无成成江海
—《荀子》
考研电子书网站：www. pdf 2book. com ・120・线性代数水平自测一答案
本自测题极容易，你应当快速完成测试，毫无压力.
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1. 【答案】D
【分析】2 | A | A =—4A,则 |-4A |= (-4)4 | A | = 28 | A |=-29.
2. 【答案】C
【分析】 若矩阵4的秩为r,则A至少有一个r阶子式不等于0,且4的所有r + 1阶子式
均等于0.故选项(C)正确.
3. 【答案]C
11-1
【分析】 显然0 2 2 尹0,于是矩阵(O1 ,a2,a3)的秩为3,故a, ,a2 ,a3总线性无关.
0 0 3
4. 【答案】A
【分析】 显然有Ajji = b,Aij2 = 6,则
A(可 1 + fj2) = Ar/i + Aij2 = 2b,故 iji + 功不是Ax =0 的解.
■邛z)= = 4 + V =》，故 是 Ax = b 的一个解.
\ u u f u 乙 乙 乙 u u
A(iji —可2)= A邛i — Ai)2 = b — b = 0,故邛i —邛2是如 =0的一个解.
A(2iji —邛2)= 2Af|i — At]2 = 2b —b = b,故 2坝一邛2 是 Ax = b 的一个解.
5. 【答案】B
【分析】 已知实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，因为I A |V0,故4有两
个不同的特征值.而(；)与(]3)相互正交，故(；)为4的另一个特征值所对应的特征向量，应
选(B).
而对于(A)选项，当& = 0时显然不是A的特征向量.
对于(C)选项，不同特征值对应特征向量的线性组合显然不是特征向量.
(D)选项包含(C)选项，(D)也不正确.
6.【答案】C
【分析】当4是正定矩阵时，二次型/(x) = xTAx的正惯性指数为"，故4合同于单位矩阵.
. 121 .7 .【答案】 一5
【分析】| 4y — a,p—2y,2a | = | 4y,p —2y,2a | —I a/—2y,2a I
=I 4y,p,2a | —| 4y,2y,2a |
=8 | y,p,a | =— 8 | a,p,y | = 40.
故 I a,，,7 I =— 5.
8. 【答案】一32
【分析】AA# =| A | E,A* = I A | 妒】，| A* | = | | A | A—】| = | A F | A—】| = | A | = 2
|一 2B | = (— 2T | B | =— 8 X 2 =— 16.
_? A = (—1)6 | A* | |—2B |= 2X (-16) =-32.
9. 【答案】A丰—£■且A 7^ 1
5
【分析】线性方程组的增广矩阵为
一 1 -2 -r ~1 -A -2 -1 " 一1 -A -2 -1 _
1 -1 A 2 —>• 0 A-l 2 +人 3 —► 0 A-1 2 + A 3
_5 -5 -4 A _ _0 5A-5 6 5+A_ _0 0 -5A-4 A- 10_
当一5A — 4 t6 0,A 夭一£■且 A — 1 # 0,A # 1 时,r(A) = r(A) = 3,显然只有唯一解.
0
10.【答案】一［<：<【
V2 72
【分析】 若要使二次型，是正定的，则应有系数矩阵的各阶顺序主子式全为正.
二次型的系数矩阵为
一2 1 0-
A= 1 1 t
0 t 1_
其各阶顺序主子式玖=2,玖=1,
2 1 0
D3 = 1 1 t = 1 — 2z2 > 0
0 t 1
故—A < y
72 V2
志不强者智不达。
—《墨子》
• 122 .
考研电子书网站：www. pdf 2book. com线性代数水平自测二答案
本自测10个小题都是基本的概念与计算，难度不大。同学你应当在规定时间内完成解*，并且不感到有什么困琳.
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1.【答案】A
【分析】构造行列式
1 0 4 0
2 -1 -1 2
Di =
0 —6 0 0
1 1 1 1
则。1 = 1 • An + 1 , Ai2 + 1 • A” + 1 • A44.
而对D按第3行展开，得
1 4 0| 1 4 0
Dj =-6 • （一 1严 2 -1 2 =6 ° -3 0 =一18
1 1 1 1 1 1
故选(A).
2. 【答案】D
【分析】A + B = (a +，2?3，2为).
| A + B | = | a + jJ,2y2,2竹，2y< I
=8 I a + p,% ,为，"
=8(I a,y?，为，I +1 夕，72，为，7< I)
=8(| A l + l B I)
=40.
3. 【答案】D
【分析】本题相当于讨论方程组
X1O1 +了2如 +工 3<»3 +na< = fl
无解时,a,6应满足的条件.
对方程组的增广矩阵A作初等行变换，
"1 -3 4 -1 0 - 一］ -3 4 -1 o -
-1 4 -5 a b 0 -1 1 一 1 -1
—►
2 -1 3 3 5 0 5 -5 5 5
-1 2 -3 0 -1_ _0 1 —1 a — 1 b _
~1 0 1 2 3
0 1 -1 1 1
0 0 0 a-2 b~l
_0 0 0 0 0 _
. 123 .当a = 2且》尹1时,r(A) = 2丈r(A) = 3,方程组无解，即p不能由ai ,a2 ,a3 ,a4线性表
示.选(D).
4.【答案】A
【分析】n个方程n个未知数的齐次方程组Ax = 0有非零解<=> | A | = 0,
1 1 0 1 0 0
_ 1 1
A = 2 3 1 2 1 1 =1 • (-1)1+1 =2 — a.
a — 1 1
1 a 1 1 a — 1 1
5.【答案】A
【分析】本题考查判断矩阵相似对角化的原理：
「1 11
矩阵" J的特征值为1,1,且4 = 1只有一个线性无关的特征向量，故(A)不能相似对
角化.
■1 11 ri 9'
矩阵「9的特征值为1，2,矩阵1 _的特征值为3,0,都是有2个不同的特征值，必与
乙」 LI Z _
ri n
对角矩阵相似，而 是对称矩阵必与对角矩阵相似.
_ ■! 乙 _
6. 【答案】B
【分析】由已知有
PA = B,BPT = C
故 PAPr = C,选(B).
7. 【答案】a*-3a2b + bz
【分析】直接展开
a 1 0 10 0
D = a(-1)心 b a 1 + 6(-1)1+2 b a 1
0 b a 0 b a
=a(a3 — 2ab) — 6(a2 -b)
=a* 一 3a2 6 + b2
或各列的倍数加到第1列，有
0 1 0 0 0 1 0 0
b-a2 a 1 0 0 a 1 0
LnJ —―
_ ab b a 1 —ab + a(a2 — b) b a 1
0 0 b a b3 — b) 0 b a
0 1 0 0
0 a 1 0
= =a4 — 3azb + b2.
0 b a 1
—a4 + 3a2 b— b2 0 b a
o 2 r
8.【答案】 0 0 0
0 0 0
. 124 .
考研电子书网站：WWW. pdf2book.【分析】由A2-AB = E，W
AB = A2-E
因I A |=-1,矩阵4可逆，上式左乘A-。所以
-] 1 -1_ _1 1 -r -1
B = A-A1 = 0 1 1 — 0 1 1
0 0 -1_ _0 0 -1_
_i 1 - r —] _ 1 —■2_ o 2 r
=0 1 1 — 0 1 1 = 0 0 0
0 0-1. _0 0 — 1_ 0 0 0_
9.【答案】一言
【分析】（01，。2，夕 3）=（。 1 + 2 必，2。 2 + kd3，3 。 3 + 2 。 1）
"I 0 2「
=( A31 = 0»A32 = 0,人33 = 2,
3
从而习= 11.
3=1
'An A21 A31 3
A22 A32 ,所以£劣为A*
方法2 对于三阶矩阵A,其伴随矩阵A* = A12 所有元素之和.
M A33J “I
一A"
-1
_1 1_
由于A = 2 ，于是A"1 = 2 ,|A| = 6,所以
3 1
7_
-1 0 0-
「6 0 O'
0 1
A* = |A|A-1 = 6 2 0
1 0 0 2
0 0
3
从而、A“ = 11.
【评注】第一种方法比较直接，易于理解，但计算量比较大，相比之下第二种方法考核
的知识点略多，但计算量比较少.如果给出的是4阶行列式,建议用第二种方法.
281
【分析】由行列式的定义知含的有两项，一项为 。11°22。33口44 = 3^2，符号为正，另一项
为口"22口33口41 = 16了2 ,符号为负，故/项的系数为一13・
本题也可以通过计算行列式的值求得项的系数，不过计算量较大.
282
【分析】因为
A + 2B = [a, y2 ,y3，r4] + [2fl ,2rz ,2y3,2y4] = [a ~b 2fl,3y2,3y3,3yt]
故有 | A + 2B | = I a + 2^,3y2,3y3,3r4 I = 27 | a + 2fl,y2 ,y3I
=27(I a,y2，y3,y< 1+2 I p,y2，y3，y4 I)
=27(| A 1+2 I B I) = 108.
【评注】 矩阵行列式在考研中多次出现，当A,B均为”阶矩阵时，有
I AB | = l A !•! B 但 | A + B | 尹| A | + | B | ,而 | a+p，Y，S | = | a，Y，S | + | P，Y，S |
两者不要混淆.
又若三阶矩阵A = 则kA = [M,孀，时],那么|姑| =史| A | ,
而\ ka ,p，Y \ = k \ A \两者也不要混淆.
2
283 【答案】（一1）”+】
§
【分析】 由 | 姐 | =妙 | A | , |AB| = |A|.|B|,|At| = |A|, I A" | =匚% 有
脂二） -128 ・线性代数
|-ATB"1 | = （- 1）" | ATB 1 | = （一 1）” | at | • | B 1 |
1）”|4|.由=（-1冲.条
=（一
284
【分析】
【评注】 由本题可引申到:
设A =［鬼］是n阶矩阵= ，则 AA = CAjdij ] 9 AA =
\_Xidi）J.
■ 8 0 0
一
【答案】 24 0 0
-16 0 0_
~ 1 ■ ■ 2 0 0
一
【分析】因为A = afi『= 3 [2,0,0]= 6 0 0
i-2_ -4 0 0_
~ 1 -
又因 pFa = [2,0,0] 3 = 2,所以
2_
A3 =（必T）（啤T）（（4T） = a（pTa）（pTa）pT = 4晰=4A.
【评注】 矩阵的运算要正确、熟练.注意，若a=（山，口2，&3）'。=（缶02,缶）T，则
d\ b\ Q,\ bz
4 =妒= a2 ,、2，缶］= CI2 b\ 口2、2 么缶
«3_ _。3缶 已3缶 口3缶_
B = jJTa = [_bi，缶，、3
] &2 =
a\b\ + azbi + a3b3
前者"T是秩为1的三阶矩阵，而是一个数.
当秩 r（A） = 1 时,A2 = IA，其中 I = flTa = ，进而 A' =/z
.129・数学基础过关660题•数学三（答案册）
286 【答案】一3M
【分析】 由r(A) = 1,有A。= ZA,其中I =、a„,则A” = l^'A.
现在 / = 2 + (— 2) + (— 3) =-3,所以 A10 =一 39A.
-0 1 0 o -
1 0 0 0
287 【答案】
0 0 24 ~24
_0 0 -24 2’ _
A O'n ~An O'
【分析】
_O B. -O
■0
(1) 是两行互换的初等矩阵
-1
■o
r2n
ro
r
2/H-l ■0 r
=E, =
.1 o_ o_ 一 1 0.
(2)如 r(A) = 1,则 An = =、叫.
288 【答案】E
【分析】 因为矩阵F可逆，由PA = BP得A = P^'BP,那么
A2 = = P~lB2P
归纳地 A】。。== P-'EP = E.
【评注】
2 0 O'
3 4 0 0
289 【答案】
0 0 0
~2
0 0 0 2.
【分析】 因为AA • — A E,故， I A | (A*)'1,由已知得 | A* |=—8,又 | A*
I A F,得 | A |=-2.
_ 1 0 0
~~2
「4 -2 0 0 - -i
__3_
-3 1 0 0 -2 0 0
又 (A* ) -i — ~~2
0 0 -4 0
-0 0 0 —•1. 0 0 一 T 0
-o 0 0 -1_
1 2 0 0~
3 4 0 0
所以A = \ A (A-)T = .
0 0 0
~2
_0 0 0 2_
考研电子书网站：www. pdf 2book. coi ・ 130 •线性代数
【评注】 由A可求A*，由4*也应会求A.本题求(A* )T时，既可用初等行变换也可用
分块矩阵求逆公式.
-1 1 1 _
290 【答案】 1 —1 1
_ 1 1 -1.
【分析】 由 AA- =| A | E,有
(A* 尸=r^A=\ A"1 I A
I A I
因为(A-1)'1 = A，求出A-】的逆矩阵就是求出矩阵A.
0 1 1 1 0 0- 1 0 1 0 1 0 一］ 0 1 0 1 0-
一 一 一
(AT' \ E)= 1 0 1 0 1 0 —► 0 1 1 1 0 0 ―► 0 1 1 1 0 0
_1 1 0 0 0 1_ _1 1 0 0 0 1_ 0 1 -1 0 -1 1_
J. ]_
1 0 0 I
~2 2
_1 0 1 0 1 0-
1. 1
0 1 1 1 0 0 0 1 0 F
2 2
0 0 -2 -1 -1 1_
1_
0 0 1
2 2 2
=(E I A)
r-1 i i
可知 A = § 1 -1 1 又因I 2,故
妒】|=
1 1 -1
-1 1 1
(A* A- A = 1 - 1 1
)-】=| 】|
1 1 -1
291
【分析】 因A,B均为72阶矩阵，且AB = E,于是A,B均可逆，且AB = BA = E，进而
AtBt =BtAt = E.公众号：旗胜考研
从而 (E + BA)[E — B(E +ATJBT)-/] = (E + E)CE - B(E + E)""1 A]
= 2E(E—*A)
=2E •乒
=E・
■ 1 0 O'
292 【答案】 一2 1 0
_ 0 0 1_
'1 0 0
一
【分析】 由初等变换与初等矩阵的关系可得2 1 0 A = B,于是
0 0 1
・131・数学基础过关660题•数学三（答案册）
'1 0 0 -1 ■ 1 0 0-
一
AB 1 = 2 1 0 = -2 1 0
_0 0 1_ _ 0 0 1
■ 0 0 3
293 【答案】 -2 1 0
3 0 0
【分析】 (M)"1
=34
一】
=3 0
L0
记住初等矩阵逆矩阵的3个公式，以及左乘行变换右乘列变换的法则.
294 【答案】27
1 0 0
【分析】 由初等矩阵知,4 -5 1 0 B.于是
0 0 1
'1 0 0 ■ 1 0 0~ _ 1 0 0-
一
AB = A* A -5 1 0 =1 A E -5 1 0 =3 -5 1 0
_ 0 0 1_ _ 0 0 1_ _ 0 0 1_
1 0 0
故 I |= 33 5 1 0 = 27.
0 0 1
_ 3 0 0~
295 【答案】 -4 3 0
0 0 3
【分析】 由 BA = A + 2B 有
BCA-2E) = A
0 0'
因 A — 2E = 2 1 0 可逆，故
_0 0 1
B = A(A —
注意A-2E是初等矩阵.
留1） 考研电子书网站：www.pdf2book.com ・132.线性代数
一2 5 二
］
296 【答案】
_1 -3
【分析】 利用分块矩阵，有
-2 — 1 3 -
A[ai ,%，口 3 ] =[&i ,Aa2，& 3] .1 1 -4.
1 1 - 1
其中 (X1 9(X2，。 3 0 2 1 = 1 # 0 , ,。 2 ，。 3 〕可逆•上式两边右乘，。 2 ，。 3 ］ 1 .
0 -1 0
一］ 1 一 r
一2 _ 1 3
那么 0 2 1
_1 1 一4-
0 _ 1 0 _
-1 1 3 _
■2 -1 3 2 5 13
——
0 0 —1
1 -4- _1 -3 -6.
_0 1 2 _
【评注】 当|。】02，。3 1= 0，［。1血，（»3 ］不可逆时，你能求出A来吗？
r? — t 3 — 7/I
297 【答案】 ，顷为任意实数
_ t U
，故可设人=心，'，于是
【分析】 由于矩阵9 9不可
■1
_2
'X\ + 丑=2 T\ =2 — t
,, , 2%1 + 2x2 = 4 X2 = t
得方程组9 =
十， yi = 3 — u
V1 2 = 3
&1 + 2力=6 .% = u
a = 「2 —「 3 —
所以 ，项为任意常数.
【评注】由于方程组4与秘艺工6的系数矩阵完全一样，区别仅
在常数项，所以解这一类方程组可以合并在一起加减消元.即
■1 1 2 3' 'I 1 2 3-
―A
-2 2 4 6- .0 0 0 0-
请你用这种方法判断矩阵方程
_1 1 1 _ ■ 1 2 2 '
X =
0 1 -1 2 1 1
.2 3 a + 2_ a + 3 a + 6 Q + 4_
无解的条件. （答案a=—l）
. 133 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
_ 2 -4 0 0-
-2 -2 0 0
298 【答案】
0 0 2 2
0 0 _ 1 2
【分析】 化简矩阵方程，矩阵方程两边左乘、右乘A有
2B = BA + 6E
于是 B(2E —A) = 6E.
_ 1 -2 0 0
-1 -1 0 0
所以 B = 6(2E —A)"4 = 6
0 0 2 -2
0 0 1 2
2 2
0 0
I
i _ 2 -4 0 0'
0 0
3 -2 -2 0 0
=6
1 i 0 0 2 2
0 0
3 3 0 0 -1 2
1
0 0
6
【评注】 求二阶矩阵的伴随矩阵有规律：主对角线对调，副对角线变号，即
a 叮 「d -bl
c d - a
因此二阶矩阵求逆用A'1 = 是简捷的.
I A I
对于分块矩阵，要会用两个公式
'A O' A】 O O AT] B1
-O B. -O B~l B OJ
另外kA =[奴门不要出错，不要与行列式性质混淆.
由这4个求矩阵A和B的题目可得两种思路：
（1）求逆矩阵和矩阵运算得到矩阵A；（2）解方程组，用方程组的解构造矩阵A
2 0 Q 3.
故 A M B<=>a =— 3.
源・)
・134・线性代数
300 【答案】3或4
【分析】 矩阵A和B等价0r(A) = r(B).由
1 2 1
A | = 2 3 a + 2 =—(a + l)(a — 3)
1 a -2
1 1 6
1 B | = -1 a =(a + 1) (4 — a)
1 —1 z
当 a = 3 时，r(A)= 2,r(B) = 3,当 Q = 4 时，r(A) = 3,r(B) = 2,所以 a = 3 或 a = 4
时，矩阵A和B不等价.
301 【答案】5
【分析】 〃个72维向量。1 ,a2 ,・・・,。〃 线性相关D I ai ,a2，…,a” I = 0.
1 3 2 1 3 2
ttl 9。2 9。3 2 -1 3 = 0 -7 -1 = -7(t-5)
3 2 t 0 -7 z- 6
所以t = 5.
302 【答案】(一°9 9 + °°)
【分析】 由于本题向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而要用齐次方程组
只有零解，或矩阵的秩来进行分析.
_ 1 2 0 ■ 'I 2 0 一 1 2 o _
2 0 -4 0 -4 -4 0 1 1
A = ,。2，化］= —A
-1 t 5 0 ：+ 2 5 0 0 3 — t
_ 1 0 t _ _0 -2 i _0 0 f + 2—
由于Vz,恒有r(A) = 3,所以向量组ai,a2,a3必线性无关.
【评注】,。2 线性无关0秩厂(。1 ,。2,…，＜Xs)= S0方程组+x2a2 H------
+ xsas = 0只有零解.
〃个花维向量a】,a2，…，a”线性无关＜=＞ I，…，a” |尹。.
303
【分析】〃个72维向量a】，处，•••，。〃线性相关| a】…a I = 0.
q + 1 a a — 1 2a+ 2 0 0
a 】 ,(X2 9U3 1 = 1 -2 -3 = 1 -2 -3
a 2 — a 4 — Q a 2 — a 4 — a
= -2(a + l)(a + 2)
本题把每行都加到第1行略简便.
304 【答案】一1
【分析】 因为+ 2口2 +。3，口1 +皿2 ,3(X2 +a3线性相关，故有不全为。的,了2使
・ 135 -数学基础过关660题•数学三(答案册)
（。 1 + 2 。 2 +）+ 五 （«1 + 皿 2）+ 工 3（3% +«3）= 。
即（幻 + x2 ）«i + （2xi + ajc2 + 3j?3 ）«2 +（心 + x3 ）a3 = 0.
由于a】,a2 ,。3线性无关，故必有
0 = 0
< 2xi ax2 + 3^3 = 0
十
+ x3 = 0
因为0/3不全为o,所以上述齐次方程组有非零解，系数行列式必为0,于是
1 1 0 1 0 0
2 a 3 = 2 a — 2 3 =q + 1 = 0
1 0 1 1 -1 1
从而a =— 1.
1 1 0
【评注】若看清行列式2 a 3的书写规律，这一类填空题就很容易计算了.
1 0 1
"1 1 0-
另外+2。2 +<«3 + 皿2，3。2 +。3〕= ［口1 ,%，皿］2 G 3 ,厂(<11 ,。2，。3)= 3 ,下
_1 0 1_
面如何处理？
305 【答案】
【分析】由于
_ 1 a 2-
［ai 3a3 ,Si + a? + 2化,2。1 + 3阪 + 皿］=［休,打2，。3〕 0 13
一
-3 2 1_
那么 ai — 3。3,皿 1 + a? + 2a3,2ai + 3a2 + a3 线性无关 0
r［_a\ — 3。3，皿 1 +。2 + 2皿，2。1 + 3（X2 + 皿]= 3
因。1 ,血，。3线性无关，秩r（a）,a2 ,a3） = 3,所以
'1 2 2
厂[a】一3a3 >aa,\ + a2 + 2a3,2a】+ 3a2 + %] = 3 0 矩阵 0 1 3 可逆
-3 2 1_
1 a 2
0 0 1 3 =1 —9q 尹 0.
-3 2 1
306 【答案】3
【分析】 设mai+了2& +工3OT3 =。，由题意
p可由ai ,a2 03线性表示且表示法不唯一<=> 方程组Ax = fl有无穷多解
<=>r(A) = r(A) V 3
r
rl 2 1 L] 2 1 1
一
=,眼 03 I p]= 2 3 Q + 2 3 ―► 0 -1 a 1
_1 a -2 0_ _0 0 q2 — 2 。一 3 Q —3_线性代数
可见 r(A) = r(A) < 30a = 3.
308 【答案】a壬1
【分析】s ,a2 ,a3可表示任一个三维向量
<=>ai ,a2 ,a3 与& = (1,0,0)T ,s2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T 等价
0 秩 r(ai ,a2 ,。3)= 3
<=> i ai ,a2 ,a3 I 尹 0
1 2 0 1 0 0
由 4 7 1 = 4 -1 1 =1—Q尹0,所以Q 乂 1.
2 3 a 2 -1 a
【评注】 若a】，a2,・・・，a〃可以表示任一个〃维向量，那么山，阪，…，a”可以表示
£1 = （l,0,0,・・・，0）T,&2 = （0,l,0,・・・，0）T,•••,£” = （0,0,0,••・，1）T
显然,81 ,卷2，…，跖亦可表示，口2，…，。〃・于是，口2与跖，&2，…，&可互相线性表
出，从而它们有相同的秩•故
r（ai ,a2，…，a”）=厂（幻 q ,...，£〃）= n
所以。］,。2，・・，。”线性无关.
反之，若。1 ,。2，•・•，的线性无关，则因，（»2，…，。〃，。是〃 + 1个〃维向量必线性相关，
从而。可由…，a”线性表出.
即。】，。2,・・・,a“线性无关的充分必要条件是，。2,…0可表示任一个"维向量.
309 【答案】4
【分析】03是3个3维向量，若其线性无关，则任一个3维向量均可由ai 03线
性表示，现存在Y不能由。1 ,。2，口3线性表示.故必有
1 1 a
(Z1 ,。2，«3 1 = 1 -1 2 =(a — 4) (a + 1) = 0
-1 a 1
如 a =—1,
■ 1 1 -1 4 ~ ~1 1 -1 4 一
（。1 ,。2，。3，P）= 1 -1 2 -4 —► 0 -2 3 -8
-1 -1 1 1 _ _0 0 0 5
P不能由。1 ,。2 03线性表示，故Q = 4.
当然也可以由
. 137 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
_ 1 1 a 4 ~ 1 a 4
（。1 02，口3，0）= 1 -1 2 -4 ―► 0 2 a-2 8
-1 a 1 a2 一 _0 0 (Q + 1)(Q — 4) 2a(4 — a)
再分析判断.
1
310 【答案】 I
【分析】 秩r（ai ,。2 ,。3）= 2说明向量组口］ 02，。3线性相关.
a a 1 2a+ 1 2a + 1 2q + 1
由 I ai ,a2 »a3 I = a 1 a = a 1 a
1 a a 1 a a
=—(2q + 1)(q — I)2 = 0
如＜2 = 1时0 = 02 = %，秩厂（。1 ,如»a3）= 1不合题意.
所以a = ■- §时cti ,a2 9U3线性相关，秩为2.
或者，经初等变换向量组的秩不变，有
r
a a -1 a a 1 a a
a 1 a —► a 1 a —A 0 1 -a2 Q _ q2
_1 a a a a 1_ _0 a -1 1 _ a
如 a = 1,秩 r（ai ,血，口3）= 1.
下设Q孝2 1,有
~1 a a ri a a
［口1 02，必］ 0 1 + q a —>■ 0 1 -1
_0 1 -]_ _o 0 2a + 1
所以厂（a】，％，。3）= 2Oa =—
311 【答案】。1，血，。
5
【分析】 对［。1 ,%，。3，。4，必］作初等行变换，有
一2 1 3 5 0~ I 2 3 1 O' 2 3 1 O'
1 2 3 1 0 ―A 2 1 3 5 0 —A 0 1 1 -1 0
_3 1 4 8 2- _3 1 4 8 2_ _0 0 0 0 1_
第一，二，五列三阶子式不为0,故极大无关组可以是ai ,。2，。5.
312 【答案】1或一3
【分析】。1 ,%是向量组。1 02 03的极大线性无关组，意味着秩r（ai ,a2 ,口3）= 2且口3可
由G］ ,。2线性表示.
因久02坐标不成比例，VQ0］,皿必线性无关,下面只需检查。为何值时。3可由。］，也线
性表示.
a + r
-1 2 "1 2 a + 1 -
Eai 02 03]= 4 a 3 —A 0 7 3a+ 2
_3 -1 1 _ _0 0 a2 + 2a — 3_
・138.
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所以Q =— 3或Q = 1.
313 【答案】 # 3
【分析】 经初等变换矩阵秩不变
1 1 a 4
A — 0 1 a — 2 4 — a
_0 0 (a + 1)(3 — a) a(a — 3)
r(A) = 30(a + 1)(3 — a)与 q(g — 3)不全为 0<=>q 夭 3.
314 【答案】2
【分析】 由AB + 2A = ACB + 2E),而
315
【分析】 因r(A) =4的列秩.
由(X1 02坐标不成比例知«1 ,。2线性无关，于是厂(。1 ,。2，。3)2 2,又三维向量a4不能由
,。2，。3线性表示，必有为，。2，口3线性相关，有r(ai ,a2，。3)< 3.
从而有 r(A) = r(ai ,a2 ,。3)— 2.
316
【分析】r(AT) = r(A),又齐次方程组Ax = 0的基础解系中，解向量的个数为i —r(A).
因 n-r(A) = 4-r(A) = 2 知 r(A) = 2,故 r(AT) = 2.
317 【答案】(—1 > — 1,1,O)T,(1, —1,0,1)T
【分析】 对系数矩阵加减消元，有
'1 2 3 1 ' '1 0 1 -I-
2 -1 1 -3 —> 0 1 1 1
_1 0 1 -1_ _0 0 0 0 _
n — r(A) =4 — 2 = 2
令 Z3 = 1 5 = 0 得互=—1 ,工1 =— 1.
令 Z3 =0,14 = 1 得 ^2 =— 1 8 = 1.
・139・数学基础过关660题•数学三(答案册)
—————in岫11"EWSg龄踏
所以基础解系为(一 1, 一 l,l,0)T,(l, — 1,O,1)T.
318 【答案】2
(n, r(A)= 〃，
【分析】 注意对于〃阶矩阵A ,我们有r(A* ) = { 1, r(A) = n~l,
[0, r(A) < n.
由于3阶矩阵A的秩为2,则A*的秩为1,从而方程组A*x = 0基础解系中解向量的个数
为 3 — 1 = 2.
319 【答案】 一5或一6
【分析】 齐次方程组Ax = 0有无穷多解的充分必要条件是r(A) < 7i(n是未知量的个
数).现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式I A I = 0.
a —3 3 a 0 3
"= 1 a + 2 3 = 1 Q + 5 3
2 1 -1 2 0 -1
z 、a 3
= (q + 5) =(q + 5)(— a — 6) = 0
2 — 1
故 a =— 5 或 =— 6.
q
【评注】 对n个未知数兀个方程的齐次线性方程组作是否有非零解的判定时，既可以
用秩也可以用行列式.如果方程个数与未知数个数不相等，那么一定用秩.
320 【答案】1
【分析】 Ax = b有无穷多解0广(A) = r(A) < n
a 1 1 : a — 3 a 1 1 ： Q — 3
一
A = 1 a 1 -2 —► 1 - a a — 1 0 \ 1 — a
_1 1 a : — 2 _1 - a 0 a —1 : 1 — a
如 a = l,r(A)= r(A)= 1 < 3,方程组有无穷多解.
如a夭1
a 1 1 ； a 3 + 2 0 0 . a-1
一 「 q
1 - 1 0 1 —► 1 — 1 0 1
L1 0 一 1 : 1 _ 一 1 0 -1 : 1
此时方程组可能有唯一解，可能无解，不存在无穷多解.
从而仅a = 1时，方程组有无穷多解.
或者I A |= (a + 2)(a —1)\方程组有无穷多解的必要条件| A | = 0.
然后按a =1 ,a =— 2分别讨论Ax = b解的情况亦可.
321 【答案】(1,0,1)丁 + 奴 1,1,0)丁
【分析】 因方程组Ax =b有两个不同的解，有
r(A) = r(A) < 3
. —1 2
又A中存在亡 A尹0,知厂(A)2 2.
5 — 4
・140.
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故必有 r(A) = 2,n 一 r(A) = 3 — 2 =1,通解为 a + %tj.
由解的性质a2 - a, = (1,1,0»是Ax = 0的解.
本题当然也可用解的概念求出a,们再来求解.
322 【答案】4
【分析】 基础考题，由特征多项式
A 2 2 A 2 2
I AE -A | -2 A ~ 2 2 -2 A — 2 2
2 2 A — 2 0 A A
A 0 2
-2 A-4 2 =A2* *(A-4).
0 0
323 【答案】9,-1, -1
1
【分析】 aaT (1,0,2)
2A的特征值：10,0,0.
从而2A — E的特征值：10 — 1,0 — 1,0 — 1.
【注意】aTa = (1,0,2) 1+0 + 4 =、a,；.
是矩阵。。丁的非零特征值.
324 【答案】一5
【分析】 设a是矩阵属于特征值人o的特征向量，按定义有A-1a = "a,于是a =
人o&・即
即
Ao (— q + 2 + 2) = a (1)
Ao (2a + q — 2) = 1 (2)
Ao (2a — 2 — 1) = 1 (3)
由(2)或(3)知人。7^0,(2)-(3)易见a =—1,那么;I。=—{.因为A和A""4的同一个特征向
5
量对应的特征值互为倒数，故a是矩阵A中;I =—5所对应的特征向量.
【评注】 若已知A的特征向量，通常可用定义法，由曷=Aa建立方程组来求参数.本
题不要去求A-】，而要通过转换.
. 141 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
325
【分析】 由于矩阵A + 2E与2A+E均不可逆，所以| A + 2E | = 0, |2A+E| = 0,于是
I —2E —A| = 0, —§E —A = 0,从而矩阵A的特征值为一2,—
乙 Z
【评注】 特征值为特征方程/（A） == |AE-A| = 0的根，所以由|2A + E|=0推出
一岑ET =0,得到一^■为矩阵4的一个特征值.
326
【分析】 矩阵A各行元素之和均为5,即
Qii + 口 = 5
+ Q12 13
。 +。 +。 = 5 5 即 A
21 22 23
。 +。 +。 = 5
31 32 33
【答案】 0,1,1） 丰0
奴 丁以
【分析】 因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设人=—2的特征
向量是=（Z】,了 ，了 丁，那么
2 3）
a]a2 = 4 — 2 — 2q = 0
ajai = zi + 2x2 — 2x3 = 0
aja2 =4j?i — x2 + oz3 = 0
可先求出a = 1,再由
（T\-\- 2x2—2a = 0
〔4zi — x2 + Z3 = 0
得到基础解系（0,1,1）T,所以翅3 = （0以相）T以夭0.
328
【分析】 复习：若才是矩阵A的特征值，则gQ是矩阵衣A）的特征值.
设人是矩阵A的特征值，则足是矩阵A，=O的特征值，由特征值的定义可知，零矩阵的特
征值均为零，于是/ =0,故A = 0,即矩阵A的特征值均为零.所以矩阵A + 2E的特征
值均为O' — 0 + 2 = 2.
329
【分析】 由相似的性质:=、们及I A | = | B | ,有
3 3 — 3 + 4 + (— 1)
+。+
3(3 25) =—12
。一
可解出6 = 2.
330
【分析】 由A〜B有A+娅：〜B +硒，进而r（A + kE） = r（B + kE）.
・142・
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0 0 O-
于是A — E〜B-E = 0 0 2
_0 2 0_
2 0 O'
一
A + E 〜B + E = 0 2 2
0 2 2
从而 r(A-E)+r(A + E)=厂(B — E) + + E) = 2 + 2 = 4.
331 【答案】8
【分析】 由A ~ B有A+娅〜B +姐，进而|4 +娅| = |B +硒|,故
2 1
I A 十 2E | = 2 5 = &
332 【答案】^iOi + k2a2 tki ,k2不全为0
【分析】 因P- AP = A,知A的主对角线元素是A的特征值，故A的特征值为1,1, —1.
当P-AP = A时，P= (% ,a2,a3)的每列是A的相应的特征向量，从而;I = 1的特征向量
为&血+ k2a2，知以2不全为0.
333 【答案】一2
A-3 -1 -2
【分析】 因为 | AE ― A | = 0 A - 2 -a =(A-2XA-3)2,
0 0 A-3
所以矩阵4的特征值为2,3,3,因为矩阵A的特征值有二重根，所以
A〜4 0义=3有两个线性无关的特征向量
0(3E —A)x = 0有两个线性无关的解
0r(3E — A) = 1.
0 -1 —2 0 -1 -2
一 一 一
那么3E-A = 0 1 —a ——► 0 0 —a — 2 ，可见Q =— 2.
1—0 0 0 — 0 0 0 —
【评注】4是上三角阵，可直接得出其对角元素即是其特征值.
334 【答案】一1 9 — 1,2
【分析】 由题设得 A(ai ,a2 ,a3) = (Awj 9Aa2 »Aa3) = (a2 +a3 »ai +a3 »ai -Fa2)= (a】，
0 1 r
«2，。3) 1 0 1 ，由于02 ,a3线性无关，矩阵P = (a1(a2,a3)可逆，于是P^'AP =
、］ 1 0
‘0 1 1 r0 1 1、
1 0 1 ，即矩阵4与B = 1 0 1 相似.又|AE-B|= (A + l)2(A-2),所以矩阵A与
1 1 0 A 1 0>
B的特征值均为一1,一1,2.
・143・数学基础过关660题•数学三（答案册）
1
_1_ -
V26 V3
后1
335 V16 —
V6 1
【分析】 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交.
设心3 =（心，12 口3）丁是矩阵A属于义=6的特征向量.则
同 CC1 = —^3=0 Z1 1 1、T
T , 尸＞。3 = （1, — 1,1）丁
03 Ct2 = 互十孔=。
由于A = 3的特征向量© ,。2不正交，故需正交化处理.
'1 '
（。2，夕1）
令0 = 0 ,02 = 0.2 — ，再单位化得
（同，。1）
-1
._1_
72
那么Q = 0 为所求.
1
336 【答案】0或5
3 0
q
【分析】二次型矩阵 A= 3 2 1
_0 1 a
二次型的秩为2,即矩阵4的秩厂（A） = 2.
3 2
由| A | = 3 2 1 = 2a2 — 10<2,且A中有二阶子式° ］夭
0 1 Q
所以Q = 0或 = 5时，二次型的秩为2.
q
337 【答案】赂一殄
hi =切+力，
【分析】 方法1 对f （工1,工2 ,^3）= 2iii2作可逆线性变换＜ ^2 = y\ — yz，二次型化为
g =必，
2捎一2展，从而其规范形为好一勇.
0 1 0'
方法2 二次型/（J71 ,J：2 ,工3）= 2心％2的矩阵为A = 1 0 0，由于
0 0 0
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.144・线性代数
A - 1 0
| AE — A | = — 1 A 0 = A（A2 — 1） = A（A — 1）（A + 1）»
0 0 A
故矩阵A的特征值为1,0, — 1,即正惯性指数为1,负惯性指数为1,从而规范形为z：—妨.
【评注】如果仅仅求二次型的规范形，只需求出正负惯性指数.有两种方法确定二次
型的正负惯性指数，方法1,配方法求出二次型的标准形，正（负）平方项的个数=正（负）惯
性指数.方法2,求出二次型矩阵的特征值，正（负）特征值的个数=正（负）惯性指数.
338
a 3 O'
【分析】 二次型了的矩阵为4= 3 4 1，因为r正定0A的顺序主子式全大于零，即
_0 1 Q_
△1 = Q > 0 ,
a 3 J
△2= c =4& — 9>0,
△3 = A \ = 4a2 — 10q > 0,
故/正定即>亍・
【评注】 二次型xtAx正定0 V x尹0,恒有xTAx > 0 0 A的特征值全大于0 G二次型的
正惯性指数p = n^A与E合同,即有可逆矩阵C使A = UC 0 A的顺序主子式全大于0.
二次型正定的必要条件:给>0与I A |>0.
339
【分析】二次型矩阵
-1 2 r A-1 -2 -1
2 4 2 ，\ XE — A \ -2 A-4 -2
_1 2 1_ -1 -2 A-1
矩阵A的特征值为6,0,0,故正交变换标准形为6"・
340
【分析】 求正交变换下的标准形就是需要求出A的特征值，为此先求参数
设& = S ,即 /
-1 - -1 -
-1 0 b -1 _ 1
-1 b ~2_ _ 0 _ -0 _
Q + 1 =义
得＜ —1 =一 A ,即＜ Q
.1-^ = 0 [b
-1
那么I XE — A \ A -1
-1 义+ 2
所以A的特征值是1,0, —3.
・145.数学基础过关660题•数学三（答案册）
选 择 题
341
【分析】行列式是不同行不同列元素乘积的代数和，其一般项是
（_1）«，山~>气,a"“a叭
本题中作为工’项，必须每行元素都要有工项出现，因而只能是 Q14Q23Q32Q4I = Z"，又
“4321） = 3 + 2 + 1 = 6
于是£的系数为+ 1.
对于®项，必须有1行（列）不出现工项，因而只能是
X3
<211 a3 ,ai + a2 I = I a2 ,a3I = I A |.
（D） I。1 ,。2 + 口3 01 +I = I Ql，。2 +。3 02 I = I 口1，%，E I =一 I A | ・
请说出每个等号成立的理由，作的什么变换，用的什么性质？
_i o r
或对（C）如上题有（a】+ 2。2，。3，。1 +。2）=（。1，。2，%）201
0 1. 0_
1 0 1
则 | C | = | % ,a2 ,。3 I 2 0 1 = | A | ・ 1 = | A |.
0 1 0
故应选(C).
346
【分析】 由于 3A-B = （301,302,30）—（。1，。2，&）= （2a1,2a2,3p1 一时,所以
| 3A — B | = | 2ai , 2.2,3四—02 | = 4 | % ,也，3仇—fi2 \
=4（ | «! ,a2,30 | + | a】，％，— 阪 |）= 4（3口 — b）.
【评注】注意\A + B\^ |A|+ |B|.
347 【答案】A
【分析】 由 AA，=| A | E,W | AA' | = | | A | E | ,BP
| A |.| A* | = | A I" | E |
A 可逆有 | A *0,故 | A" 1 = 1 A I"-'
. 147 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
348 【答案】B
【分析】 由 I kA \ = kn \ A\, \ A' | = | A I"-1
1 a， =(1 |A* |=R(|A|)2=
隽.
乙/ 乙/
349
【分析】 因（A-E）-1 = A2 +A+E.有
(A-E)GV +A + E) = E,即 A3 = 2E
那么 I A |3 =| A3 | = | 2E | = 23 | E | = 23,故 | A | = 2.
350 【答案】c
【分析】 由于A是3阶可逆矩阵，所以4* = |4|4-' = 2AT,于是
|.t +A- | = +2AT | = | 3A-1 | = 33 | A'1 | =
351 【答案】B
【分析】 设a = （a】，％,a3）T,p=（缶，缶，但）。
「成-
（XTP = （口1 ,口2，。3）方2 = <21 缶 ++。3 缶
03一
&一
俨a =（缶，》2 ,但）a2 = Q0 ++。3方3
_口3_
所以（B）正确.
注意:A =apT,B = flaT都是〃阶矩阵,AT =B,故（A）不正确.（C）中一个是矩阵，一个是
数不可能相等.（D）中其实是kaT与华L也不一定相同.
352 【答案】c
【分析】 利用行列式代数余子式的定理有AA' = A' A = \ A \ E,
按矩阵乘法定义，有
初 0 0］ 件 0 0 一 初。】 0 0 _ 0 01 「 a 】 0 O'
0 Q2 ° ° b2 0 = 0 。2 b? 0 = 0 b2 ° ° Q2 0
_0 0 a3J L0 0 妃 _ 0 0 。3、3_ _0 0 00 0 Q3_
因为矩阵乘法有结合律:A"At — =A'・ 妃.又
e
(A + E) (A - E)=右 _ = (A - E) (A + E)
请你举例说明A4T与A「A,AAi与AA可以不相等.
353 【答案】D
【分析】 矩阵的乘法没有交换律,A,8可逆不能保证AB = BA,例如
"1 1' -1 0-
A = ,B =
_0 1_ _0 2_
幽〜) ・148.线性代数
一 1 21 「 1 1~
有AB = _0 92 _ 而曲 = L 0 Z 9 _ ，可知( A)(C) 均不正确.
A,B可逆时,A + B不一定可逆，即使A + B可逆，其逆一般也不等于A*1 + B '.
0" "2 1' -3 _ r
ri 17 -1
例如 A= ° ] ,B = 2. ，有(A + B)T = _0 3- —6 .0 2 -
ri — in 0一 一 2 -r
而」+ o = _3_ ，所以 （B） 不正确.
0
~2_ ~2 _
因为A可逆时,A* = | A | A-1 ,故
(AB), = | AB | (AB)-1 = | A | | B | B1 A 1 = ( | B | B"1) ( | A | A"1) = B , A * ,
即（D）正确.
【评注】因为矩阵乘法没有交换律，所以中学代数的乘法公式不能用，但（A+E）”可用
乘法公式展开.
354
【分析】 由 ^(ATA) = r(A)，因 ATA = O,有 r(A) = r(ATA) = 0,
故必有A = O.即 (D)正确.
n 01
若 4=
_0 — 1 -
，有A2 = E,但A/E且A夭一 E,即 (A) 错误.
「0 11
若 4= ° ° ，有A2 = O,但A/O,即 (B)错误.
n on
若 4= 0 o，有A2 = A且A尹O,但A尹E,即 (C) 错误.
355
【分析】 由行列式乘法公式I AB \ = \A\ \ B\.
当AB =O时，有| A||B| = 0,所以| A |和| B |至少有一个为0,即 （C）正确.
入 4= 「
11
「。
1 m
「
1 1
「°
1
令 .B = ］，则 AB= = o,
可知
（A）（B）
均不正确.
令 A=「］'B=「
Kl］
AB = P ］=「］=B.
L oJ L oJ L o」L o 」 L lo」
但A尹E,知 （D） 不正确.
356 【答案】B
A21 A31
31 , 13
a a
【分析】 A22 A32 ,本题只要计算出 ,a22 中两个代数余子式的值即可.
A23 人33_
因 A31 = (-1)3+1 ° a =-ab 可排除(A)(C),再由 A22 = (-1)2+2 ° : =-ac 可知选 (B).
0 0
b c
或者作为选择题增强条件，假设A是可逆的.有
• 149 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
1
0 0 一
c
1
A * == \ A \ A-1 =— abc 0 T 0
1 c
—0 0
a
亦知选（B）.
【答案】B
1 -1 1
【分析】由 1 AT I = 0 2 - 1 =3,知| A | = 于是
1 0 2
1 -1 1
一 一
=I A | A"1 = |
A' 0 2 -1
_1 0 2 _
故 An + A” + A” = § +。+ § =冬
O O «J
358 【答案】D
【分析】（A）（B）（C）是基本公式.关于（D）
O A~2 o A' AB O "
oJLb
-B O_ O. ・C BA^
「
O A"3 AB O] ° A~ ■ O ABA~
.B O. _ O BA」
Lb
O. -BAB C -
-
O A~4 AB O '2 '(AB) O
.B O. .O BA_ O (BA )2-
故（D）不正确.
359 【答案】C
【分析】 XA+2E = X+B 有 X(A-E) =B — 2E,于是
_o 2 ] ro 2--1
X = (B-2E)(4 — E)T -3
— 」
-1 0_
-。r -1 0'
-0 2 _
1 八 =： 3 -
_ 1 一 3 - 0 —4 1
2 2
如果你选的是（A）,检查一下是哪里出错了，注意矩阵乘法！如果你选的是（B）或（D）,又
是哪里的问题？
360 【答案】c
【分析】(4+4T)T = AT + (AT)T = A+4T
(AAT)T = (At)tAt = AAt
(ATA)T = At(At)t = AtA
. 150 .
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又AA，=\A\E,所以①③④⑤均是对称矩阵.
而（A-At）t = =-（A-At）是反对称矩阵.
361 【答案】c
【分析】（A）中零行（第二行）不在矩阵的最下面.
（B）中主元所在的列（第四列）其余元素不全为0.
（D）中非零行的第1个非零元（第二行）不是1.
362 【答案】D
【分析】 单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵是初等矩阵，而（A）（B）（C）均需要单
位矩阵作两次初等变换才能得到.
363 【答案】
0-
【分析】 RAPi = 0
1_
_ 1 -1 3
-3 0
7 -1
注意（A）是 RAPz,（B）是 RPM，（D）是 AP』.
364
【分析】矩阵A作两次行变换可得到矩阵B,而AP3P2,AP,P,描述的是矩阵A作列变换，
故应排除.
把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再一、二两行互换可得到B.
或者把矩阵A的一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行亦可得到B,而P2P3A正
是后者.所以应选（B）.
【评注】本题考查彳亍变换是左乘初等矩博
B，
列变换是右乘初等矩阵.希望能看清楚
口 口 口
21 22 23
P1RA = Q11 □ 12 口 13 9
&3_] /
避 口
31 + 2a2 32 + 2^22 %3 + 2
"12 + 2(213 ^13
AP3P2 = APiR = 口 22 口 21 + 2 。 23 。 23 9
。 。
32 31 + 2^33 fl33_
口 仁
(212 + 2 13 Q11 13
AP3R = AP2P3 = 心 22 + 2 口 23 仁 21 如 3
。 化 。 。
32 + 2 3 31 33_
365 【答案】A
【分析】按已知条件，有
. 151 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
366
【分析】由已知条件，有
-2 _
1 A = B
_ 1_
［「—2 ］「】 r-2 T
那么 B-1 = 1 A = A-1 1 = A-1
所以妒'的第一列乘以一号得矩阵BT.故应选（B）.
367 【答案】 C
E O］「E O- ~E O' 「E O'］
【分析】 由于 _c eJL-c e.
_O E.
，所以矿】
EJ
.又
r
e or a2- ■ A】 A2 -
P~'A =
L-c eJLa3 a4.
-—C4i +A3 —CA2 + A4.
故正确选项为（C）.
368
【分析】 注意对矩阵秩概念的理解.当r（A） = r时：
A中一定有r阶子式不为0,但并不要求所有的r阶子式都不为0.
A中r-1阶子式一定有不为0的，也不要求所有的r-1阶子式全不为0.
而所有r+1阶子式则必须全为0.
369 【答案】D
1 0 1
【分析】 (A)中三阶子式0 1 a 手0,且没有四阶子式，其秩必为3.
0 0 1
1 0 1 1 0 0
（B）中 V<2,由于 0 1 a =a, 0 1 0 =a + l,至少有1个三阶子式不为0,其秩
0 0a 0 0 a + 1
必为3.
类似地（C）中a和a + 1不可能同时为0,必有三阶子式不为0,而四阶子式一定为0,故其
. 152 .
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秩必为3.
当a + 1 = 0时，可见(D)的秩为2.
370 【答案】c
【分析】 因均为四阶非零矩阵，那么1 ,肉，…,AJ)
0,r(B) >0,立刻可得出4与B的秩均小于
371
【分析】 因B夭O,必有r(B)Al.
又因夭O,即存在A“丈0,于是A中有2阶子式非零，知r(A) >2.
由 AB = O,有 r(A) + r(B) < 3,故必有 r(A) = 2,r(B) = 1.
372
【分析】 由于ai =。2 +。3，所以向量口1 ,口2，口3线性相关，故向量组口1，口2，。3的秩V 2,
于是r(A) < 2.另一方面，由题设A*主O,所以矩阵A中有2阶非零子式，故r(A) 2.
综上，厂(A) = 2.
373 【答案】D
【分析】A是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式
. 153 .数学基础过关660题•数学三(答案册)
n, r(A) = n
r(A * ) =〈 1, r(A) = n — 1
0, r(A) < n — 1
可见 r(A * ) = 1 E r(A)= 3.
对矩阵A作初等变换，有
r r
1 1 1 1 1 1 1 1 _
「
0 1 -1 a 0 1 -1 a 0 1 -1 a
2 3 a 4 0 1 a — 2 2 0 0 Q — 1 2 — a
_3 5 1 9_ Lo 2 -2 6_ _0 0 0 6 — 2a
1 1 1
1 -1 3
若a 3,则A 秩心) =3.
2 -1
0
若
Q
2,则A
若CL 1,则A 秩 r(A) = 3.
所以， = 1或Q = 3时均有r(A*) = 1.应选(D).
q
374
【分析】 由2AB =人得AC2B-E) = O.于是
r(A) +r(2B-E) < 4
又因A是5X4矩阵且4的列向量线性无关，有r(A) =4,从而r(2B-E) = 0即2B~E = O.
于是 B = -yE,r(B) = 4,故支(B* )=4.
375
【分析】 向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除(B).
由于(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)线性无关，添上两个分量就可得向量组②,故向量组②线
性无关.所以应排除(C).向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是
依,a2 ,a4线性相关，那么添加a3后，向量组③必线性相关.应排除(A),由排除法，应选(D).
【评注】 关于向量组④亦可直接计算行列式，由
1 ~1 2 4 1 -1 2 0
1 -1 2 1 -1 2
0 3 1 2 0 3 1 0
= 0 3 1 = 0 3 1
3 0 7 14 3 0 7 0
3 0 7 0 3 1
1 -2 2 5 1 -2 2 1
而知其线性相关.
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376
【分析】 由于向量组…，久线性相关，则存在不全为零的奴，奴，…，虬使得
kxa\ + k2a2 + ,,, + ksas = 0,
不妨设ki尹o ,则有CLi =— 9。】t-1 —华W+1 — —牛Os，故选项(C)正确.
FC £ R, i K. i K, i
选项(A)(B)(D)为充分条件，不是必要条件.
377 【答案】c
【分析】,。2，口3 相关0 |。1 ,。2，。3 I = 0
1 1 t
0 1 t 1 =一0 + 2)。一1)2
t 1 1
故t = 1或一2.
l#o
,02 ,03 无关 0 1 fll，§2，03
1 2 0 ] 0 0
° 3 7 1 8 + 2 =—(z + 3)(^ — 1)尹 0
2 z + 4 t 3
t 3 且土夭 1.
378
【分析】个〃维向量a】，。2，…a线性相关e行列式I 口1 ,。2 ,••• ,a” I =。・
0 1 -1
由 |。1 03，。4 I = 0 — 1 1 = 0 (一、二两行成比例).
C\ C3 C4
注意 | ,%，。3 I =一 Cl , I,。2，。4 I = Cl , I aZ ,。3，。4 I =— C3 — C4.
379 【答案】A
【分析】% ,阪，•••，。”线性相关0(。1 ,。2，…，a“)x = 0有非零解
e I,。2，…，a” I = 0
故(A)正确,(C)(D)均为充分条件，不是必要的.
380
【分析】 必要性(反证法) 如果ai =蜘。1 4-------卜尾-1。1 +知+0+i ~\— + ksas9
贝U 均 a】H-------F 知—1%—1 — ai + 互汁 1。汁1 H------+ ksas = 0.
因为奴，，卜,—1,知,•••,、不全为0.于是Oi ,。2，…，。$线性相关.矛盾.
充分性(反证法) 如果。1,。2,・・・0线性相关，则有不全为0的知以2,…也 使 y +
k2a2 + …+ ksas = 0,不妨设 ks 丰 0,则有 as =— !(加口1 + k2a2 H--------F 矛盾.
比S
注意(A)(B)都是必要条件，不是充分条件.例如(1,0),(0,1),(1,1).
而(C)是充分条件.
由。1 ,。2 ,・••，/ ,。计1线性无关,。2，…，Os线性无关，
・155.数学基础过关660题•数学三(答案册)
但由«i ,a2，…，a,线性无关#如,。2，••• 0，。吐1线性无关.
381
【分析】由于(A)(C)两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就全正
确，要错误就全错误.按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以(A)(C)均谬误.其实亦可
考查下面的例子：
。1 = (1,0,0),% = (0,1,0),口3 = (0,0,0)与 01 = (1,0,0,0) 9 flz = (0,1,0,0),怯=(0,
0,0,1).
显然r(ai 02，。3)= 2,厂($ ,03)= 3.即当,%，。3线性相关时，其延伸组01 ,。2，。3可
以线性无关.所以(A)(C>错误.
如果,02，03线性相关，有不全为。的11皿，二3使+^202 +了3。3 =。，即
&1幻 +。21%2 +Q31Z3 = 0
Q12%1 + a22X2 +Q32Z3 = 0
Y
。13而 + (223 ^2 +。33%3 =。
、 Q14Zi +Q24Z2 +Q34Z3 = 0
有非零解，那么齐次方程组
QnZi + Q21Z2 + Q31I3 = 0
归12而 + anx2 +Q32Z3 = 0
、Q13X1 +Q23I2 +Q33Z3 = 0
必有非零解，即0】，口2，。3线性相关.所以(D)错误.
【评注】 要会用定理:若(I)无关，则(n )无关，即若向量组a】，地，・・・,％线性无关，则
其延伸组01，。2，…，&必线性无关.
382
【分析】 若ai = (1,0,0)T ,a2 = (0,1,0)T ,则a】，化线性无关.
当心3 = (1,1,0)T 时，ai ,a2 >a3 线性相关；当 a3 = (0,0,1)T 时,ai ,a2 ,a3 线性无关.
可知当(I )线性无关时，(口)既可能线性无关亦可能线性相关，所以(A)(B)均错误.(C)
是(A)的逆否命题，当然是错误的.
【评注】要区分本题的(D)与上一题的(B),一个是向量个数的增减，一个是向量分量
的增减，两者不要混淆.
383
【分析】(DI)线性相关0 | AB | = 00 | A | = 0或| B | = 0.
可见应选(B).
【评注】 本题选项中，若(A)或(C)或(D)成立，则(B)成立.因是四选一的选择题，只
能有一个选项正确.故(A)(C)(D)均可排除，应选(B).
384 【答案】D
【分析】用观察法
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・156.线性代数
（A） （«1 +。2）—（。2 +。3）+（«3 +。4）—（。4 +）= 0
（B） （。1 一。2 ） +（。2 —。3）+（«3 —。4）+（。4 —）=0
（C） （«1 +。2 ） —（«2 —。3）—（«3 —。4 ） —（。4 +。1）=。
知（A）（B）（C）均线性相关,故应选（D）.
或者
-r
0 0
1 1 0 0
（CC1 + 口2，。2 —。3 但3 — a4，。4 —。1 ） = （«1 皿，。3，。4）
0 _ 1 1 0
_0 0 -1 1 _
1 0 0 -1
1 1 0 0
由 =2 # 0,故
0 -1 1 0
0 0 -1 1
厂（。1 + a2，、2 —。3，。3 —。4，＜X4 —）=厂（。1 ,%，口3，。4）= 4
故（D）必线性无关.
t
385 答案】a
【分析】 因（«1 ― %）+（口2 —。3）+（。3 —。1）= 0，
（«1 +。2）—（«2 —）—（。3 + 口1）= 0，
（«1 +。2）+（口2 +。3）—（。1 + 2«2 + «3）=0，
知（B）（C）（D）都线性相关.
1 o r
或者 （口1 +。2，。2 +（»3，。3 +。1）=（。1，口2，口3）110,
0 1 1_
~1 0 r
由于1 1 0是可逆矩阵，那么
0 1 1_
厂（。1 + a2，血 +。3，。3 +。1 ）=厂（O1 ,。2，。3）= 3
亦知（A）正确.
386 【答案】C
【分析】 均口1 +，2。2 =以1，0,5奶）丁
若p是。"血的线性组合，则p的第2个元素必须是0,而第1个、第3个元素是独立的，故选
（C）.
387
【分析】A ,。2可由为，。2线性表示＜=＞xiai +互。2 = Pi ,少。1 + yza2 = 都有解.
1 -2 4 V "1 -2 4 7 - -1 -2 4 7
一
2 1 -2 b —► 0 5 一 10 6-14 —► 0 5 -10 14
_3 ~1 a 4_ _0 5 a-12 一 17 _ _0 0 a — 2 -b-3_
所以 a = Z,b 3.
=一
・157.数学基础过关660题•数学三(答案册)
388
【分析】 由口】，。2 ,03线性无关，知山，。2必线性无关，又因©，。2，。4线性相关，故。4必可
由11 ,。2线性表示.因此。4必可由,。2 ,。3线性表示.故应选(D).
如(X1 = (l,0,0)T,Cf2 = (0,1,0)丁03 = (0,0,1)丁,。4 = (0,0,0)丁，
可知(A)(B)(C)均不正确.
389
【分析】 由于Oi »ctz >«3线性无关，&不能由Oi >Uz ,03线性表ZK知ai,a?，Ch，原线性无关,
从而部分组ai ,a2 ,fi2线性无关，故应选(B).
取 ffi = (1,0,0,0)丁02 = (0,l,0,0)T,，3 = (0,。，1,0)T,。2 = (0,0,0,1 )T— tti,知
(A)与(C)选项错误.
关于选项(D),由于ai ,a2,a3线性无关，若a】,a2血 / +历线性相关，则A +&可由a】，
a2 ,。3线性表示，而$可由a】,a2 ,a3线性表示，从而&可由a】,a2 ,a3线性表示，与假设矛盾，
从而(D)错误.
【评注】 若仅A不能由桁，如,a3线性表出是不能推导出a.az ,必，。线性无关的，请考
S Oi = (l,0,0)T,az = (2,O,O)T,a3 = (3>0,0)T,jj — (0,1,0)T.
390
【分析】 因。］,%,・・・，％可由01,应，…，A线性表出，有
r(ai ,a2，…a) < 厂(& ,艮，…，以)
若 O1 ,。2 ,•••,/ 线性无关，则 r(«! ,a2 ,・••，/)= S,于是 s < r("i，02 ,•••』).
又,此，•••，/)W s,从而 r(0i ,02 ,••,,&)= s,即 ,氏,•••，& 线性无关.
但当ai 02，•••，/可由邢2，•••，△线性表出且P1 ,。2，…，0s线性无关时并不要求«1，。2，
,久一定是线性无关的.
(1,0,0) ,/J2
t
例如。1 = (1,0,0)T ,a2 = (2,0,0)T 和 $ = = (0,1,0)T.
可见这是充分但不必要的条件.
391
【分析】按向量组秩的定义
r(ai ,a2，…，a,) = r 0外,a2，…，a,的极大线性无关组有r个向量
0 a、,a2 ,•••,%中存在r•个向量线性无关而任意r + l个必线性相关，
故应选(D).
例如向量组(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)的秩为3,包含零向量的两个或
三个向量组成的向量组线性相关，(A)(B)都不正确.
又如向量组(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,0)的秩为3,任何两个向量都线性
无关，(C)不正确.
392 【答案】c
【分析】列向量作行变换，有
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・158・线性代数
_ 1 2 6 7 3- 「1 2 6 7 3
3 — 1 4 7 2 0 — 7 —14 —14 — 7
[a】,a2，。3，口4，a5〕= ―A
5 -3 4 9 2 0 - 13 - 26 - 26 - 13
-1 4 6 1 3_ _0 6 12 8 6
-12 6 7 3-
0 12 2 1
0 0 0 2 0
0 0 0 0 0_
可见秩 r(ai ,a2 ,。3，口4 ,。 5)= 3.
因为三阶子式
2 6 7
1 2 2 #0,
0 0 2
所以a2,a3,O4是极大线性无关组，故选(C).
【评注】 多数情况下向量组的极大线性无关组是不唯一的.例如，本题中d，如，四与
ai ,a3 及a、,at ,as和a2 ,a< ,as等.通常对列向量作初等行变换在将矩阵化成阶梯形矩阵
之后，选每行第一个非0的数所在的列(本题是一、二、四列)为极大线性无关组较简便.可略
去行列式不为0的思考.
393 【答案】B
-1 1 a -2 ' 1 q -2 _
【分析】,。2 ,。3，。4〕= 1 a 1 -2 —► 0 a—1 1--a 0
_a 1 1 + 6_ 0 1-a 1 - a2 3a + 6_
q
一1 1 a -2 -
—> 0 a — 1 1 — a 0
0 0 (1— q)(g + 2) 3a + 6
当 a = 1 时，秩厂(。1 ,口2 ,口3,a4)= 2,
而当 Q =— 2 时亦有秩 r(ai 02 03 ,。4)= 2,
所以a = 1是秩r(ai ,a2 ,a3 ,a4) = 2的充分而非必要条件.
394 t答案】c
【分析】将表出关系合并成矩阵形式有
_i o 0 0 2一
0 1 0 1 1 记厂 n
[pl，。3，。4，。5」=，。2，。3，。4」】 ° ]]]==，。2，。3 04」C = AC
_1 -1 1 0 0_
因四个四维向量％ ，。3，。4线性无关，故I，a2 9a3 9a4 I 尹 0. A = [a】，口2 ,。3，。4〕是可逆矩
阵,AC,即对C作若干次初等行变换，故有r(C) = r(AC)= 〃(。邮，氏0 *)・
~1 0 0 0 2- _1 0 0 0 2 _ "1 0 0 0 2 - ~1 0 0 0 2 _
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 1 -1 0 0 1 1 -1 0 0 1 1 -1
_1 -1 1 0 0_ _0 -1 1 0 -2 _0 0 1 1 -1_ 0 0 0 0 0 _
・159.数学基础过关660题•数学三（答案册）
故知『（&，&，&，阪，佻）=r（C） = 3,故应选（C）.
i
W 395 【答案】 C
【分析】 因 r(A)==3,力 —r（A） = 5 — 3 = 2,知未知数有2个自由变量.去掉第三和第五
1 - 2 3
列的三阶行列式 0 0 5 =0,故13,^5不能是自由变量.
0 0 2
1 2 3 -2 2 3 13-4
而0 1 5 尹0, 0 1 5 7^ 0^ 0 5 — 2尹0,说明工2，了5或11，巫或丁2，工3都可
0 0 2 0 0 2 0 2 0
以为自由变量.
396
【分析】 由于&1 = b,Aa2 =万，那么
A(3ai — 2口2)= 3&i — 2Aa2 = 3b — 2b = b,
1 "I 1 9 i ?
A —(«i + 2a2) = + —Aa2 = —b + —b = b,
O «J o o o
A -y(«i + a2) = §如i + = b,
La 乙 乙 Z 乙
可知 3ai — 2% + 2阪)，§(ai +必)均是 Ax = B 的解.
0 乙
而 A(ai —a2) = —Aa2 = b — b = 0,所以 ai —a2 是 Ar = 0 的解，不是 Ax = b 的解,
故应选(B).
【评注】 若员，％，…，垢是Ax = b的解德i +k2 +…+知=1,则砧1 +kza2 + +
ktat 仍是Ax = b 的解.知道这一点，3ai — 2a2 ,~(ai +2a2) +a2)是 Ax = ' 的解也
就一目了然了.
397
【分析】 由Aat = b(i = 1,2,3)有
A(a] — a2) = Aai — Aa2 = b — b =。,
A(ai + a2 — 2a3) = + 血2 — 2Aa3 =B + b — 2b = 0,
J 2 z 、〕 2 A 2 A 2 . 2 , n
A —(a2 — ai) = ~7侦——铲=0，
A(ai — 3a2 + 2a3) = A«i — 3Aa2 + 2Aa3 = b — 3b + 2b = 0,
o
所以01 —。2，。1 + % — 2口3，耳(。2 — 口1 )，。1 — 3% + 2。3均是齐次方程组仙=。的解.
【评注】 若垢，％，…0是非齐次线性方程组Ax = b的解，若知+灼+…+ & = 0,则
krai +焉血+ +ktat是导出组Ax = 0的解.知道这一关系式立即可看出本题应当选(A).
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・160・线性代数
398 【答案】C
【分析】Ax = Q有非零解e | A | = 0.现
1 2 -2 1 2 0
1 A | = 2 - 1 Q — 2 - 1 a-1 5(q — 1)
3 1 -1 3 1 0
所以a = 1.
399
【分析】 齐次方程组仙=0的基础解系有3层含义：（1）齐次方程组的解；（2）线性无关;
（3）解向量个数为n — r（A）.
观察4个选项，本题（B）中两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除•易见本题秩
r（A） =2,那么n-r（A） = 4-2 = 2,即解向量个数应为2,故要排除（D）.至于（A）和（C）必
有一个正确，因此（一2,2,1,0»肯定是解.那么（1,2,0,1）丁与（2,2, — 3,—4）丁中必有一个不
是解，故要从解的角度来分析判断.将（A）中的（l,2,0,l）T代入方程，知不是方程组的解，故
去除（A）（或将（C）的（2,2, -3, —4尸代入方程，满足方程），所以要选（C）.
400 【答案】B
【分析】如果（A）是m =0的解，则（D）必是Ax = 0的解.因此（A） （D）均不是Ar = 0
的解.
由于ai 是Ax = 0的基础解系，那么ai ,a2可表示Ar = 0的任何一个解〃，亦即方程
组XiOi + x2a2 = 必有解.因为
_ 1 1 : 2 2 - 一］ 1 2 2 - -1 1 : 2 2 一
1 2 : 1 2 —► 0 1 -1 0 —► 0 1 -1 0
-1 o i -3 -5_ _0 1 -1 -3_ _0 0 ! 0 -3_
可见第2个方程组无解，即（2,2,—5尸不能由ai,a2线性表示，故（C）不成立，应选（B）.
【评注】 本题知道正确的选项必在（B）和（C）中，其实只要解其中的一个方程组就可
以了，是没有必要像现在这样解两个方程组的，但如果有的题目确实需要解两个系数矩阵一
样的方程组时，用本题的方法是简捷可取的.
401 【答案】C
【分析】由于A是* Xn矩阵，知AT是nXm矩阵，那么Ar x = 0是i个方程m个未知
数的齐次线性方程组，从而m-r（AT） = t.
又因r（A） = r（AT），所以r（A） = m — t,即应当选（C）.
【评注】要搞清楚齐次方程组基础解系中解向量的个数与系数矩阵秩之间的关系.对
于用矩阵形式给出的方程组要看清方程的个数以及未知数的个数（即若A是mXn矩阵，则
Ax =0是m个方程n个未知数的方程组），本题还涉及r（A） = r（AT）这一关系式.
402 【答案】B
【分析】 因为久02线性无关，所以Ax = 0至少有两个线性无关的解，故
. 161 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
n — r（A） 2 2, 即 r（A） V 3 — 2 = 1
因此排除（A）（C）.
对于（B）和（D）,因为％不是方程组（D）的解，因此排除（D）.
【评注】先利用秩来排除，再利用解的概念来选择比较方便.如果每个都直接代入验
算是不是解会比较麻烦.
403
【分析】A「A是如阶矩阵
r（ATA） = r（A） < min（zn,n）
若m a2 = 2a4 ,。3 = ka、与 r（aT,% ,。3，
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。4）= 2相矛盾.
406 1答案】D
【分析】 由特征值的性质：» =习"现在
、aa = 1 + （— 3） + 1 =— 1
故可排除（C）.
显然，矩阵A中第2、第3两列成比例，易知行列式| A | = 0,故A = 0必是A的特征值，因
此可排除（B）.
对于（A）和（D）的选择，我们可以用特殊值法，由于
0 -2 2 0 0 2
=
\e-a\ = -4 4 -3 -4 1 -3 =一4 乂 0
-2 1 0 -2 1 0
说明义=1不是矩阵A的特征值，故可排除（A）.
【评注】 这一类题目最直接的方法是计算A的特征多项式
A-l —2 2 A~1 0 2
=
| AE — A | = -4 A + 3 — 3 -4 A -3
—2 1 A-l ——2 A A—— 1
另一个方法是夥尊、代人人值.看哪个选项中;I满足I AE-A I- 0.
但是应当会用:= lAl ＞及特殊值法来排除•也许会更方便・
407
【分析】 由Aa = Xa ,a 。可得到：
A2a = A2a, A 'a = -^-a , （A — E）a = （A — Da
说明A2,A~',A~E与A的特征值是不一样的（但A的特征向量也是它们的特征向量）.由
排除法应选（ |A）.- |= |（AE—A） |=
t ae at t
或由 \xe-A\,A与有相同的特征多项式，
所以A与有相同的特征值.
408
【分析】 由于％重特征值最多有为个线性无关的特征向量”，那么当r（A3x3） = 1时，（OE
-A）x = 0必有两个线性无关的解，故义=0的重数22,即A = 0至少是二重特征值.当然也
'0 o r
可能三重.例A = 0 0 0 ,r（A） = 1,但人=0是三重特征值.
_0 0 0
故应选（B）.
409 【答案】 C
1分析】若a是A的特征向量，那么如以尹0）仍是A的特征向量.因此，如果（B）正确,
必有（D）正确.所以（B）（D）均不正确，故排除（B）和（D）.由Aa =S,a尹0知a与Aa的对应
. 163 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
MMiWWMMWW
分量应当成比例.对于（A）,因
'3 -4 —4 一 ■ I- 「 7]
0 2 0 0 = °
_2 -2 -3_ -1_ _5J
因为（1,0, — 1）丁与（7,0,5尸坐标不成比例，所以（1,0,—1尸不是4的特征向量，故（A）
不正确，用排除法可知应选（C）,或直接逐项验算，其中（C）
3 -4 —4 _ 4 _ 8 _ _ 4 -
「 一 一
0 2 0 _ 1 = -2 =2 -1
_2 -2 -3_ 2 4 2
知（4, 1,2尸是A的对应于;I = 2的特征向量.故应选（C）.
一
【评注】本题考查用定义法解题,不要去求特征值再解方程组来判断哪一个是特征向量.
410 【答案】A
【分析】 设a是矩阵A属于特征值义的特征向量，按定义有
-3 2 -r ■ 1 ' _ 1 _
a — 2 2 -2 =A -2
_3 b -1, _ 3 _ _ 3 _
「3 — 4- 3 = A
对应分量相等，即有 < a + 4 + 6 =— 2A
3 - 26 - 3 = 3A
可见义=—4,a =—2,5 = 6,所以应选（A）.
【评注】利用特征值、特征向量的定义建立方程组，然后求出参数的值.这种方法是基
本的，也是重要的.
411 【答案】D
【分析】 若a是2A的特征向量.即（2A）a = Aa ,。尹0.
那么Aa =岑a,所以a是矩阵A属于特征值斗的特征向量.即（D）正确.
乙 U
由于方程组（AE -AT）x = 0,（AE-A"）x = 0,（AE-A2）x = 0 与（AE — A）x = 0 不一定
同解，所以a不一定是A的特征向量.
0 1 0 -0 0 0-
如4 = 0 0 1 的特征向量是（1,0,0），而= 1 0 0 ，有特征向量Oi =
0 0 0 0 1 0
0 0 1
A2 - A' — 0 0 0 ，有特征向量az ，均不是A的特征向量.
0 0 0
412 【答案】A
【分析】方法1 由&2 = 3%,有A（-a2） = 3（-a2）,即当％是矩阵A属于特征值A =3
的特征向量时，-E仍是矩阵A属于特征值;（=3的特征向量.同理2a3仍是矩阵A属于特征
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值义=—2的特征向量.
当P- AP=A时,P由4的特征向量所构成,A由A的特征值所构成，且P与A的位置是
对应一致的.现在，矩阵A的特征值是1,3,—2,故对角矩阵A应当由1,3, 一 2构成，因此排除
(B)(C),由于2a3是属于A =-2的特征向量，所以一2在对角矩阵A中应当是第二列，故应选
(A).
方法2 由题设条件知，若取Q = [ai，az,a3],则有
一]
QT'AQ = 3
_ -2.
「10 0 1
记
现 P = [a】，2a3, —= [ai0 0—1 — 0C,则
0 2 0 _
P^AP = (QC)-AgC =(r】(Q】AQ)C
=CT1 3 C
_ 一 2_
ri o oi P 0 °-
其中 C= 0 0 -1 .C1 = 0 0 y，得
'1 0 0 -
■1 [ -1 0 0 ■ 'I _
P~AP = 0 0 J 3 0 0-1 = -2
L -2 L0 2 0 — _ 3_
0 - 1 0 _
故应选(A).
【评注】 当P- AP^B时,P中列向量不是矩阵，的特征向量.当=A时,P中
列向量是矩阵A的特征向量,A是矩阵A的特征值，且P与A中特征向量与特征值位置要可
应正哄 .
413
【分析】 由是A不同特征值的特征向量，于是a2+a3不是4的特征向量.所以不
能是(D).
如ai ,a2是4关于义的特征向量，则&血+k2a2尹。仍是A关于义的特征向量.故ai + a2»
ai — «2 > — ai ,5ai仍是A关于义=2的特征向量.又因ax ,a2线性无关，保证a2, — ai线性无
关,ai+a2,5a】线性无关,a】 +%,a】一％亦线性无关，即(A)(B)(C)均可逆.
414 【答案】B
【分析】(A)有3个不同的特征值必和对角矩阵相似.(D)是对称矩阵必和对角矩阵相
似.(B)(C)特征值都是1,1, — 1,特征值义=1是2重根.
对于矩阵B
• 165 ・数学基础过关660题•数学三(答案册)
'0 -2 - 3-
E-B = 0 0 -2，有 r(E-B) = 2,n-r(E~B) = 3-2 = 1
0 0 2 _
即齐次方程组(E —B)x = 0只有1个线性无关的解，亦义=1只有1个线性无关的特征向量,
所以B不能对角化.
而对于C
_ 0 0 0'
E — C = 0 0 0 ,r(E-C) = l,n-r(E-C) = 2
-3 - 2 2_
故；I = 1有2个线性无关的特征向量，可以相似对角化.
415 【答案】B
【分析】相似的必要条件：
| A | = | B | ,A4 = ,r(A) = r(B)，习a# =
(A) 中，心)丰r(B). (C)中、a*尹 £b*,所以排除(A)(C).
(B) 中，矩阵A,B的特征值都是1,2,有两个不同的特征值，那么
「11 「11
A〜 ，B〜 ，故A〜B.
- 乙」 L Lt _
(D)中，矩阵A,B的特征值都是3,3,-重根.
「。 01
而 3E - B = ,r(3E — B) = l,zi- r(3E 一 B) = 2 — 1 = 1.
L-1 oJ
即A = 3 R有1个线性无关的特征向量，所以B不能对角化，故A和B不相似.
416 【答案】D
【分析】 因A〜B知A和B有相同的特征值，
又如 Aa = Aa，则(A + kE)a = (A + k)a.
当A的特征值为1,2, — 1时，
B-E的特征值为0,1, —2,
B + E的特征值为2,3,0,
B — 2E的特征值为一1,0, — 3,
B + 2E的特征值为3,4,1,
又I A |= 所以仅(D)选项B + 2E为可逆矩阵.
417 【答案】A
【分析】 由于矩阵A可逆，有
A-1(AB)A = BA
按相似定义知AB〜BA.即命题①正确.
因为A〜B,故存在可逆矩阵P使P-'ap = B，那么
B2 = (P~AP)(P-AP) = P~A2P
B 1 =(广业广=p-*'(广)t = " P
Bt = (P^AP)T = PTat (P-i ) t = [(p-1)T]-1AT(P'1)T
, 166 •线性代数
按相似定义知命题②③④也均正确.故应选（A）.
【评注】要会用定义法来分析问题.
418 【答案】A
a 1 r
【分析】 二次型的矩阵为A = 1 a 1，由于二次型的秩为2,所以|A| = 0.
1 1 a_
Q 1 1 1 1 1 1 1 1
|A| = 1 Q 1 =(Q + 2) 1 Q 1 =(a + 2) 0 a — 1 0 = (a + 2) (a — I)2
1 1 Q 1 1 Q 0 0 a — 1
于是a =— 2或 = 1.
q
-2 1 1 - -2 1 1
当 a =— 2 时,A = 1 -2 1 ，其二阶子式 =3, \A\ = 1 -2 1
_ 1 1 -2 1 1 -2
0,此时 r(A) = 2.
一 1 1 r
当 Q = 1 时,A = 1 1 1，此时r（A） = 1,不符合题意，舍去.
1 1 1
综上，a =—2.选（A）.
419 ■ 【答案】c
【分析】 利用特征值
X — a 1 —q A 0 -A
I AE — A I = 1 A — 2q + 1 I = 1 A — 2q + 1 1
—a 1 _ a _Q 1 A — a
A 0 0 I
= 1 A -2a + l 2 = A(A — 2a + 2) (A — 2a — 1)
-2a I
—a 1
A的特征值：0,2q — 2,2q + 19
_ (2a + l > 0
P
12a — 2(0
420 【答案】D
【分析】 二次型经正交变换标准形为M+3展一乂.
说明二次型矩阵A的特征值是：1,3, -1.
分别求每个矩阵的特征值
0 0 r -] 2 O- 一2 1 0 n ~ 1 -2 0 一
0 3 0 9 2 1 0 9 1 2 0 -2 1 -2
_1 0 0_ _0 0 1_ _0 0 -1_ _ 0 -2 1 _
可知应选（D）.
・167.数学基础过关660题•数学三（答案册）
421 【答案】A
【分析】 方法1 用特征值
A-l 1 0 A-l 0 1-A
XE-A = 1 A = A 1 =(A-1)Q-2)(A + 1)
o
0 1 A-l 1 A-l
二次型经正交变换标准形是"+2费一犹，故规范形是z?+^-4.
方法2 用配方法
f =（若一2而 Z2 + M）一蓦 + 3 一 2*2 工3
=（了1 — x2 ）2* — （x| + 2初 *3 + 工；）+ 2x1
=（X1 — Zz ）2 —（工2 +工3）' + 2j?3
亦知p = 2,q = 1,规范形为zf十砂一 £
422 【答案】A
【分析】由于
f （工1 口 2 口 3）= (■Xi + 12 )2 + (了 2 + 互 )2 + (了 3 — ^1)2
2xf + 2xf + 2x1 + 2xi + 2x2 x3 —
x2 2xxx3
2xf + 2xi (x2 — x3) + -~ (x2 —13)2 — y (工2 — a 尸 + 2xl + 2x| + 2x2x3
3 3
2 （而 + yX2 — yx3 十I ~2^22 十I 2 十| OoX2X2
2 （X1 + 2互— 2 Q +孔)
+ y (x2 2,
所以规范形为zl + zl，正确的选项为（A）.
Z\ = Xi + x2»
【评注】本题常见错误的做法是作线性变换〈Z2 =X2 +例，二次型化为规范形 + 4
=伪一而，
-1 1 O' Z1 = X1 + x2,
+必.注意由于矩阵 0 1 1 不可逆，所以变换《 害 2 =血+云 3 ,不是可逆线性变换.
一一 1 0 1_ 及_工
23 = 1
423 【答案】C
【分析】 二次型正定的必要条件是:叫> 0.
0, A
xt x
在（D）选项中，由于Q33 =0,易知/（0,0,1） =0与工尹 > 0相矛盾.
二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零.在（A）中，二阶主子式
在（B）选项中，三阶主子式A3 = I A | =— 1.
因此选项（A）（B）（D）中的矩阵均不是正定矩阵.故应选（C）.
2 2
对（C）选项，因 Di = 2 > 0,D2 = =6>0,
2 5
考研电子书网站：www. pdf 2book. com . 168 -线性代数
2 2 -2 2 2 -2
D3 = 2 5 -4 = 0 3 -2 =10 > 0
-2 -4 5 0 -2 3
故选项（C）中的矩阵是正定二次型.
【评注】利用正定的必要条件，先排除不正定的矩阵是方便的.关于（C）,用顺序主子
式判别最简捷.当然，利用特征值或配方化标准形来看正惯性指数是否为n也是可以的•
424 【答案】B
【分析】 由
A 0 —1
I AE-A | 0 A- 1 0 = (A - 1)(A2 - 1)
一 1 0 A
知矩阵A的特征值为1,1, —1.
A + kE的特征值为M + 1以+ 1以一1.
% + 1 > 0
=>k > 1.
% — 1 > 0
425 【答案】B
【分析】 由A的特征多项式
A 1 -1
I AE-A |= 1 A 1 = A(A + l)(A-3)
一 1 1 A — 2
知A的特征值是3, — 1,0,从而p = l,q = 1.
・ 169 •概率论与数理统计水平自测一答案
本自测题极容易，你应当快速完成测试，毫无压力。
如果你解答这些题还有困难，请自行补课，推荐《考研■数学复习全书•基础篇》。
1. 【答案】A
【分析】第二次取得新球，有两种情况.
第一种情况是第一次取得旧球，第二次取得新球，概率为号X § =畚.
第二种情况是第一次取得新球，第二次取得新球，概率为g X g = #.
5 4 10
故第二次取到新球的概率为希+希=
2. 【答案】A
【分析】 因为 BuA,故 AB = B,而 P(A — B) = P(A) -P(AB) = P(A)-P(B).
3. 【答案】B
【分析】 由概率密度的性质可知
[(c + z)dz = + c =? 1
Z I o Z
J o
故 c = §.
4. 【答案】B
【分析】E(2-X2) = E(2) -E(X2) = 2-ECX2) =-4,E(X2) = 6.
又因为D(X) = E(X，) — [E(X)T，设泊松分布的参数为义，则E(X) = D(X)=义，故
A = 6 — Az ,A = 2,A =— 3(舍去)公众号：旗胜考研
90 . p-2
故 X 服从泊松分布 P(2).P{X< 1} = P{X = 0} = z ote = e-2.
5. 【答案】A
【分析】 因为随机变量X,Y都服从[0,1]上的均匀分布，因此有E(X) = E(Y) = i
故 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = j +j = 1.
6. 【答案】D
【分析】 随机变量X服从参数为0. 5的指数分布，其方差DCX) = 4,期望E(X) = 2.
切比雪夫不等式为P{ \ X —E(X) |^2^9,代入可得
OJ 4站：« • 170 .P{| X-2 123} <§.
7. 【答案】0. 9
【分析】F(B | A)=与祟=马警 =0.8,故P(AB)= 0.4.
P(A + B) = P(A) + PCB) - P(AB) = 0. 5 + 0. 8-0. 4 = 0. 9.
1
t8. 答案】4
分析】 因为随机变量X〜N(0,l),故D(X) = 1.
D(Y) = D(2X+ 10) = 4D(X) = 4.
t
9. 答案】
【分析】 设 P{X= 1} =a】，P{X=2} =az，P{Y= 1} =S,P{Y=2} =&2，P{Y=3}=但.
1 2
P{X = l,y = 1} +P{X = 1,Y = 2} +F{X = 1,Y = 3} = ai =音血=5
O O
p{x = i,y = i} + P{x = 2,y = 1}=机=j,
11 1 1
P{X = 1,Y = 2} = aib2 =夺==号，故缶=
3 9 6 o
9 1 9
a = P{X = 2,y = 2} = P{X = 2}P{Y = 2} = a2b2 = yXy = y,
2 1 i
B= P{X = 2,Y = 3} = P{X = 2}P{Y = 3} = a2b3 =号 X * =
1 o o y
10.
L答案】
j.x,
了
【分析】 E(X) = | 「 +8 x/(x)dx = f+°° 寺广甘X 丑=| f+°° z d(—e= X )
Jo fj J
J —8 0
=z(— M)「8 + j+°°e-f dx = 0「eTd(*)=_°eT「8 = g
故号乎•
学而不思则罔, 思而不学则殆。
—《论语》
• 171 •概率论与数理统计水平自测二答案
本自测10个小题都是基本的概念与计算，难度不大。同学你应当在规定时间内完成解答，并且不感到有什么困难。
如果确实有困难，请自行补课，推荐《考研数学复习全书-基础篇》。
1.【答案】B
【分析】 这是一个古典型概率P{X = 4}=坐=事件々'咎号臂点数.
n 。中样本点总数
方法1 取球有先后次序，取了两个总共有可能〃 =4・3.
z = 4,取一个为4号，另一个为1,2,3中一个，共有可能1・3,再考虑先后，应有总的可能
nA = 2 • 1 • 3 9
故 P{X = 4} = 2； 1；3 = 1 = 0. 5.
4・5 Z
方法2 不考虑取球次序，取了两个球总共有可能n = q,取上4号，1种可能，再在1,2,
3中另取一个，总的可能1 • C,
故 P{X= 4} = = § = 0.5.
方法3 只考虑4号球：一种是被取出，另一种是不被取出.
由于取出的二个球，余下也是二个球，因而4号球被取出与不取出等可能.
P{X = 4} = § = 0. 5.
2. 【答案】C
【分析】 设随机事件A = 则
F(A) = p{x< fj
Y表示对X的三次独立重复观察中A出现的次数，所以丫〜B。，}).
因此P(Y = 2} =C；(y (乎)=芸答案应选(C).
3. 【答案】C
【分析】 方法1 分布函数必满足F(—8)= o,F(+8)= 1.
(A)Fi (+8)+ F“+8)= 2. (B)Fi(+8)—F“+8)= o. (D) 〈结果不确定.
F2 (— 8)
答案选(C).
方法2 记X = max(Xi ,XQ,则X的分布函数
Fx(z) = F{X3} = 1 —F{X<3} = 1 —P{X= 1}-P{X = 2}
=1 — 0. 1 — 0. 9 X 0. 1 = 0. 9 — 0. 9 X 0.1 = 0. 81.
【评注】 若记A = “两次调整之间至少生产3件产品”.将A用简单事件运算表示，从 =
A而 i 用A2概A s 率性质计算P(A).事实上，令A,= “第i次生产的产品为合格品”，则A,独立.A =
+ AM2A3A4 + -,P(A) = 0. 92 X 0. 1 + 0. 9s X 0.1+ 0. 94 X 0.1 + …=0.81.
(|If|
434 t答案】
【分析】 若记A,= “第/次取出4个球为2白2黑”，由于是有放回取球，因而4相互独
立，根据超几何分布知F(A,)= 警 =*，所以
-176 ・概率论与数理统计
P{X = k} = P(瓦…砧AQ = (1_|■广.* = (*)* '.如=1,2,-).
435
【分析】应用独立试验序列概型，可求得结果.事实上已知
X〜=［腥了>°'记人={X>2},Y为对X作三次独立重复观察事件A发
\0, 工£0,
生的次数，则丫〜B(3,p),其中p = P{X>2} = = 建.
7 1 1
依题意 Ry》i} = i— p{y =o} = i—(i—0)3 = ? o ,故 i 一 p=m 乙 p= 乙 ；，
又” =e-以，由§ =厂"解得义=yin 2.
1
436 答案】芬
【分析】X = 2,就由两个合格品，一个不合格品组成，有三种情况
第一个为次品? . -i- ,斗，第二个为次品? , § •申，第三个为次品§ , , T'
ulv 1 2 3 , 1 1 3 , 1 2 1 _ 1 , 1 . 1 _ 11
P(X = 2}=-.y.T + y.y.T + y.yT = T+g- + T2-^.
437 【答案】 e— 1 — e —2
【分析】 F{3>X>2 | X> 1} = P{X>2 | X>1} —P{X 3 | X> 1}
》
=P(X> 1} -P{X> 3 | X> 1} = e-1 -P{X> 2} = e-1 eW
一
【评注】本题求解直接应用了指数分布两个常用的公式：
当 X 〜ECU 时，① P{X>t} =「上= e-u,t>0；
=翌
②P{X>+ | X»}=心泌文吁犯=财泛把
P{X>s} P{X>s}
e-,u = P{X > t} ,t,s > 0.
【答案】|
438
【分析】 本题为古典概型，用概率公式P(A)=
n
”计算:恰好取3次停止，每次有2种不同颜色，又有放回的，所以总的情况7i = 23 = 8.
以计算：第3次取得颜色一定不同于前2种颜色，这样第3次颜色有2种可能，而前2次必
同色且与第3次不同色，共有2种可能.
. 177 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
439
【答案】号19
【分析】P{X】>1} = 1 —F{X】<1} = 1 —P{X】=0} = 1-(1一？) 2 = §
解得(i — py = —力=g.
o
P{Xz > 1} = 1-P{X2<1} = 1-P{X2 = 0} = 1 — (1 —p)3 = i-(4)3 = 1 — & =果
\ O / <6 / ZI
0 In 2} = 1 — e-1，ln2 = 1 —
443 【答案】eT
【分析】P{min(X,Y) 21}= P(X> 1,Y> 1} = F(X> 1}P(Y> 1)
=e-1 • e-1 = e-2.
考研电子书网站：www.pdf2book.com . 178 .概率论与数理统计
444
【分析】 由题设X与Y独立得X —丫〜N(—“,<7： +房)，即随机变量X — Y的密度的对
称中心为工=_ /.现p{x — y>i} = ■，即对称中心在工=1处，一 ,=1,就有// =-i.
445 【答案】1 + eT —2e「*
【分析】 应用公式F((X,Y) e D} 即可求得结果.
D
事实上，
=Jo d4?
P{X + Y < 1}= f^Xiy^dxdy ep
=「（e-1 — e1-1 ）dx = 1 + e-1 — 2e~K
【评注】 在应用公式P{(X,Y) 6 D} =k(O)&心计算概率时，实际上就是求积分
D
被积函数/关0的范围是0 V* V〉，因此实际要积分的区域应该是0 Vz v J与
z + 1的公共部分，即图中水平阴影线与垂直阴影线的交集，这种计算方法在计算概率
和求随机变量函数分布时是经常要遇到的.
446
t答案】技17
1O
£ {X
f
【分析】 由P{X = k} = §知 =妇=1,根据全概率公式得
3 *=1
3
P{y《2. 5}=习P{YV2. 5,X = &}
=蚓 P{X =姐P{Y V 2. 5 | X =姐
A=1
= §（i+i+ 穿）=¥ 17
L8-
§F（V）+ §F3-1）
447 【答案】
3 叫0 1
【分析】Xi〜B（1
由全概率公式
FyG） = P{X1+X2^y}
=P{Xi = 0}P{Xi +Xz 9 I Xi = 0}+P{Xi = l}F{Xi +Xz I Xi = 1}
=^P{X2^y \ Xi = 0} + 乎P{l + Xz〈刃 Xi = 1}
・ 179 •数学基础过关660题•数学三(答案册)
=-|p{X2 <>}+yP{X2 <>-1}
=j 1 F3)+ 辛 3 F3—1).
【评注】 如果X】+X2中有一个是离散型随机变量，则一般对离散型随机变量可能取
值用全概率公式来求解，就如本题所用的方法.
448 【答案】j
t分析】由分布函数定义得
F(斗,1)= pjx< j,Y< lj= P{X = 0,Y = 0} +F{X = 0,Y = 1}
1 , 1 _ 1
-- -- I _ ■ --
4 4 2 '
449 【答案】0.3
【分析】 由于 0. 1+0. 2+a+/?+0. 1 + 0. 2 = 0. 6+a + R=l,即 a+/?=0. 4,
又 0. 5 = P{X2 +Y2 = 1} = P{X2 = 0,Y2 = 1) +F{X2 = 1,Y2 = 0}
=p{x = o,y = 1} + p{x = o,y =—i} + p{x = i,y = o}-
=a + O. 1+0. 1 = a + O. 2.
故a = 0.3也就有/?= 0. 1；
P{X2Y2 = 1) = P{X2 = 1" = 1} = P{X = 1,Y = 1}+F{X= 1,Y=-1)
=0. 2 +/? = 0. 3.
本题所给条件x2 ,r，所以也可以转换成
\Xy2
。 1
已知-----、-------------，且 P{X2 +Y2 = 1} = 0. 5,求 P{X2Y2 = 1}.
0 0.2 a + O. 1
1 0.1 时 0.2
显然 a + 0. 1+R+0. 2 = 0. 7,a+F= 0. 4,又 F{X，+W = 1} = a + O. 1 + 0. 1 = 0. 5,
即 a = 0.3,则 P(XV = 1} =0+0. 2 = 0.3.
450 1答案】o
【分析】 P{max(X,Y) > “} 一 P{min(X,Y) < 火}
=1 — P{max(X,Y) < "} — [1 — F{min(X,V) 2 “门
=—P(max(X,Y) < “} + P{min(X,Y) 2 “}
=—P{X $产，丫0 十 P{X》“，Y>“}
------P{X/z}
1 1 , 1 1 A
2 2 丁 2 2
【评注】 如果本题X与丫不相互独立，结论也一样，推导稍烦琐些.
考研电子书网站：www. pdf2boot ・180.概率论与数理统计
【答案】呈户
451
2 Vtt
【分析】 X — Y〜N（0,2）,其概率密度函数
1 X2 1 X2 ,
/&） = -----------和=—^-e-- , 一 8 V % V+ 8
丁2兀• y/2 2 Va
f （z）的最大值在i = 0处，最大值为一三
2姊
452 【答案】用
【分析】（ x,y）〜ns 希，澎；。），所以x,y相互独立.
F（:c,y） = Fx（x）FY（y） ,X 〜N（“i /） ,丫 〜N（“2，房）
由正态分布密度函数对称性，Fx（灼）=P{X《灼} =
L1
F（H，V）= FxS）Fy3）=号Fy3）= 就有 Fv3）=号，即 丁=“2.
【答案】N（一号，号；},§；0）
453
【分析】（X,y）的分布函数为中（2z+lW（2：y — l）可知X,y必独立.
]_（_号）b_
中（2n + 1）中（2了 一 1）= 中 ---- ----- 中 —j-— = Fx（^）Fy（3^）
由正态分布X〜N（2）的标准化可知
Fx&） = P{X0} = 1 — P{X1 +X2 <0} = l — P{Xi +X2 = 0}
=1 — P{Xi = 0,X2 = 0} = 1 — P{Xi = 0}P{X2 — 0}
=1 ef • ef = 1 e- = 1
一 一 一 次
所以 Ai +A2 = 1.故 E(Xi+X) = (A1+A2) + (A1+A2)2 = 2.
457 【答案】a2G2+2/)
【分析】D(XiX〃 = E(XiK)2 — [E(XiXQT = E(X£X3)— (EXIEX2)2.
显然X：与X；也相互独立.EXi = EX2 =产,所以
D(XiXz) = EX： • EX% —*=(廿 +/)z / = f +2/；/ = /(/ +2/).
【评注】Xi 与 X2 独立，E(XiX〃 = EXi • EXz，而 D(XiXQ 尹 DX, • DX2.
458 【答案】
2(7^-1)
,A = #,则 P{X = & } = i~rc,k = 1,2,•••
【分析】 记C =一
7e -1 2 k!
E(X)=
1 1 ___L_ = _Ve_
Te
7^-1 2(福一1)
・182.概率论与数理统计
OO ,
这里用到泊松分布的期望公式、＞ •外e- = A.
k=o 〃 •
n — 1 2
459 【答案】 ---------(7
n
D(X X)= D(X §W ，)=
l l x
[分析] 。(守
=勿+4 史DX,
(72 — l)2 2 1/ 172 — 1 2
=-----«----a 十(〃 —1) f = -------a .
n n n
【评注】 本题计算D(X.-X)充分利用Xi,…，X”的相互独立性，计算量较小，如果用
其他方法会加大计算量,例如：
D(Xi -X) = DXi +DX-2Cov(X| ,X)=…；
D(Xi -X) = E(Xi 一TV — [E(X| -X)J = •••.
所以本题的方法应作为基本方法,需加以掌握.
460 【答案】1
dx = d—，
【分析】
1=必 X + Y)= DX+DV+2Cov(X,Y) = §+ § + 2Cov(X,Y)
解得 Cov(X,Y) = +，p = Cov(X,Y)
yDX VDY
461 【答案】1—e-'
【分析】 如果把丫看成X的函数，先求出Y的概率密度，然后求E(Y)会较麻烦.可以直
接用公式：E(g(X)) = J^g(x)y(x)dx,其中 0)为X的密度函数.
0+8
现 E(Y) = E(min{ | X | ,1}) = min( | x | , 1) f
J —oo
f+oo fl 「+8
= min( | x | , 1)e-x Ax = xe~xdx + 1 • e-xdx
J 0 J 0 J 1
=1 — 2e-1 + e-1 = 1 — e-1.
462 【答案】1
(a - , x>0 , 仲K, z>0
【分析】
F(z)= (
] c, zW, c， 则
f(工)=F (z) = {
[ 0,1(0
.
。
对比指数分布的概率密度函数/(^)= [ \ o , j； W 二 c o ，E(X) = ： a .数学基础过关660题•数学三（答案册）
得义=1 = A. D(X) = § = 1.
463
【分析】Xi与Xz独立均服从N(0,*),记Z=Xi—X2,则Z〜N(0,l),有概率密度函
数 p(z) = .
V 2k
D(| X1— & I) =。(| Z I) = E(| Z I。)一(E | Z I)，= E(Z2)-(E | Z |)2
=D(Z) + [E(Z)]2-(E | Z |)2
显然，D(Z) = 1,E(Z) = 0,
K 7t
464 【答案】N（0,r;1，A；p）
【分析】显然（芟计L，Y）也服从二维正态.
由于 E（。^）= 0,D（Z§）= 1.故（圣若,丫）〜N（0gl,房；0）,
其中仞是圣二也与y的相关系数，
p （ X — .1 y\
只 bl ' ） _ Cov（X-^,Y） _ Cov（X,y）_
465 【答案】1
【分析】E[(X — l)(X — 2)] = E(X，—3X + 2) = E(X') — 3E(X) + 2
=D(X) + (EX)2-3A + 2
= A+A2-3A + 2=A -2A + 2 = 1
z
即 A2 — 2A + 1 = 0, (A — I)2 = 0 ,A = 1.
466 【答案】3 — 2)/
【分析】Cov(匕X)= Cov(宛X,,勇X,)
t-2 y-i
n n~l
=、习 Cov(X,,X,)
i-2 )-1
考研电子书网站：www. pdf2book. ・184・概率论与数理统计
n—1 n—1 n—1 ♦
=Cov(Xn ,Xj) +、3 Cov(Xj ,X)) +、Cov(Xi ,Xi)
)=1 i=2 j=2 i=2
n—1
=0+、Cov(X"XQ+0 = (n-2)<72.
k = 2
467 【答案】2
【分析】 切比雪夫不等式为P{ I X-EX ING （岑，现EX = 号 =1，即b=3
所以 X 〜故 DX = (3^1)2 = y.
现瓯=—,EP— = —,e = 2
e2 3 '顿2 3，e
468
【分析】 题目要求我们计算x = 二?为此我们需要应用大数定律或依概率收
敛的定义与性质来计算.由题设知X】，…，X”独立同分布：
1 2 3 4 5 6
1 91 7
Xi 且 EX： = 4(1 + 2 + 3 + 44-5 + 6)=普=方.
0 0 6
~6 ~6 ~6 ~6 ~6 ~6
P 7
根据辛钦大数定律：乂一令3->8）.
【答案】N（0,*）
469
【分析】 显然Zi ,Z2 ,・・・，Z”，・・・独立同分布.EZi = E（X2i — X2.-i）= 0,
1 1 9
DZi = D（X2l - X2t-i） = DX2i + DX2t-i = p- + p- = p-.
根据中心极限定理，当〃充分大时，#Z,近似服从N（0,斧）.
470
【答案】N（o，m）
眼=
【分析】XQ = x— Xi --x, --SX, = —Xi --Sx.
九 M n n 7^2 n n 7^2
所以Xi-次是相互独立的处个标准正态分布随机变量的线性组合，X］一刀必服从正态分
布N（ * , * ）・
E（Xi-工）=^^EXi史EX, = 0；
+损四= 守=守=^.
D（XlX）= T +
所以（Xi -X）〜N（0,\^）.
.185・数学基础过关660题•数学三(答案册)
471 【答案】[F3)]”
【分析】Fy(y) = P{Y^y} = P{max(Xi，Xz,・“，X.)〈泌
=P{X} y,X2 < y,--,X„ < y}
=F{Xi ^y}P{X2^y}-P{Xn^y}
=F(>)F(j/) "'FCy) = [F(v)]”.
472 【答案】F(l,l)
【分析】由题设知(X,Y)的密度
f(x,y)=飞广牡/+5□勺〜N(0,l；l,l；0)
故X〜N(O,1),Y〜N(l,l),且X,Y独立，X与(Y- 1)为两相互独立的标准正态.
X" X2
服从 F(l,l).
(Y-D71 (Y-1)2
473
【分析】X.〜B(l,号)，X'为一次伯努利试验的结果，X,相互独立.所以
Xi +Xz +…+左可以看成〃次独立重复试验.即£x,〜B(72,身).
p{X = |(= P{nX =外=p{±x.=姐=C*(y 信厂=驾信
474 【答案】2
【分析】 显然 E(S2)=D(X),而 DX = E(X — EX)\
现求 EX = [ xf &)dz = [ x • —dr = ?( [ x , + [ xe^xdx
J —8 Z Li J fi
J —oo \ J —oo
+8 -
=-y — ex) + 寸(一xe-x — e-x) = /z.
乙L
「+8 1
DX = (j; — fi)2 • —e-1^1 Ax
J —8 Li
,4-oo
t2 e-z At = 2 te~l dt = 2.
0
【评注】EX可以由r(z)在工=〃处的对称性，直接得出EX =版
475 【答案】0.8
【分析】X〜r(n),所以根据r(n)分布随机变量的典型模式.可以表示
X X] 〜t(n)
其中①Xi〜N(O,1)；②匕 〜X2(n)；③Xi，匕相互独立.
现来考虑〜第=貌〜F(1两,其中①『加；②匕〜%"③尚匕相互独立.
• 186 .概率论与数理统计
由于£(71)的概率密度是偶函数，故P{X>C} = 0. 6,可知C<0.
P{Y>C2} = P{X2 > C2} = P{X>-C) + P{X C}] = 2[1— P{X>C}]
= 2(1 — 0. 6) = 0. 8.
476
【分析】
且它们是相互独立的.
? X： + X3
F(2,4).
XI + XI + XI + XI
【答案】M
477
【分析】 ET = +史E(X?) = 4史[DX, + (EX；)2]
478 【答案】 §
A2
【分析】 总体 X 〜EQ),E(X) = y.D(X) = p-.
ET = E(X -S2) = E(X) -E(S2)
=E(X) — D(X) = j-p- = ■
【答案】&
479
【分析】 只有一个参数们矩估计量用EX = X.
EX = 0 •俨 +1 • 2。(1一0) + 2 • (1 -0)2 = 2(1一。)
」*# =佥(5・1 + 3.2 + 2.0)=昔
总之，2(1 — °)= *希=*•
480 【答案】A2
【分析】 ET = E( _ X2 -— Q2 )=EX _ 2 -— PQ2 = D — X + (E — X )2 一 四 7~)V 义+皆一4 = /.
n n n n n
481 【答案】n
X 〜N(0,/),所以 X 〜N(0,丈〜N(o,l),善〜X2(l),
【分析】
\ n ' a/° 'n
. 187 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
彳与号相互独立'潟f (w-l)S2
腿一1）,
~
故当 a = — ,b = —日寸，土 + ¥ (n)，即 m = Ti.
— 1
n n a b
482 【答案】X
Xe-f
% > 0,
【分析】X的密度函数为八］）=〈厂。
、0, 1W 0.
似然函数 L = = ^e~T ,Xi 9x2，…，％ > 0.
A A
取对数InL =—*lm —苧，虫p =-f+ F = 解得、=又
483 【答案】 maxX:
zi
t分析】x〜fs = <。似然函数 l（。）= =，厂'°< • V'
、o, 其他. 1=1 %
、o, 其他
要使L（e）最大，只有使。最小，但由于Xi = 1,2,・・・・
所以，取6 = maxzt最小了，即最大似然估计量9 = maxXf.
l<» 0.
i=i t=i
n n
等式两端取对数，In L = 2nln义+ £ln 一人、务.
i = 1 i = l
零=宰_喜=。,解得3=条
485 【答案】
t分析】设刀，五，…；％为样本观测值，则似然函数
n
L（G = （2赫）"厂法吾'厂湿
In L（#） ...----ln（27r（7o）— gy 蚓（而一/z）2
,Z
乙.o
i=i
令‘乎L = 0,得2（而一#） = 0.从而得（JL的最大似然估计fi — — " Xi.
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选 择 题
486
【分析】因为A U B =司U瓦所以A U (A U B)= A U(A U B).
即 A\J B = Q\JB = n,因而 A\JB = A\JB = Q.
故石U百=瓦即AB = 0.答案应选(B).
487 【答案】B
【分析】A,B独立，则A,百相互独立，月,B也相互独立.
0. 3 = P(A -B) = P(AB) = P(A)P(B) = F(A)[1 — P(B)] = 0. 6 • P(A),
所以 P(A) = 0. 5.
P(B — A) = P(BA) = F(B)P(A) = 0. 4 • [1 -P(A)] = 0. 4 • 0. 5 = 0. 2.
答案应选(B).
488
【分析】 由题设知，试验的基本事件共有4个:叫=“正，正”，叫=“正，反”，叫=“反,
9
正”，叫=“反，反”，所以 A = "SI,S/'，B = "W2，"4”，C="S2,S3,S‘”，P(A) = P(B) = y =
y.P(C)=辛，显然A与B独立，BUC,故B,C不独立，选项(A)不成立.
又 BC = B,ABC = AB,P(ABC) = P(AB) = P(A)F(B) = P(A)P(BC),即 A 与BC 独
立，选项(B)正确.
而 P(ABC) = P(A)F(B) = § 乂 P(B)P(AC) = § X ^,P(ABC) = j 尹 P(C)P(AB)=
4- X ：，故选项(C)(D)不正确.
4 4
489
【分析】 已知 P(A | B) = P(B M),与瑛=尸；噤),即 P(B) = P(A) = l-P(A),
所以F(A) + P(B) = 1.选项(A)(B)是A与B独立的充要条件,因此不能选.
由“对称性”知选项(C)正确，应选(C).事实上,P(B | A) = P(A | E),乌梨=号票，即
P(A) = F(B) = 1 - P(B)，所以 PGA) + F(B) = 1.
选项(D)未必成立，这是因为P(A|B) = P(司| B) = l —P(A | B)0P(A I B) = §即
岑济=§,P(AB) = ?P(B),此与 PC? | B) = P(B | A)不等价.
1 \1J) .乙 乙
・189.数学基础过关660题•数学三(答案册)
490
【分析】A,B,C已两两独立，只要满足P(ABC) = P(A)P(B)P(C)就有A,B,C相互独立.
现A — B和C独立，即有F(ABC) = P(AB)P(C).又因为A,B独立，所以A,无也独立,P(AB)=
P(A)P(B).所以P(ABC) = P(A)P(B)P(C).又A,B,C两两独立，即有A,瓦C两两独立，所
以A,瓦C相互独立，也就有A,B,C相互独立，答案应选(C).
491
【分析】 已知AB = 0,我们无法断言= 0或乂 0,因此(A)(B)不能选.由于
AB = U 所以 A U B = E,选择(D).
【评注】P(AB) =6与P(AB)^0,并非是逻辑关系中的“非此即彼"，因为A,B并不是事
先给出的确定的事代，而是满足条件"AB = (ZT_的无穷多个事件，所以PCAB) = 0有时成立，有时
不成立.例如A 则AB =BB == 0^B = £B =0,所以P(AB) =0；又如事件人=
其中随机变量X在［0,1］上服从均匀分布，则AB = 0,而
AB = {-oo 0.
493
【分析】 这是一道考查概率性质的选择题，应用概率运算性质知，P(A U B)= F(A) +
F(B) -F(AJ3) WP(A) + F(B),选项(A)不成立.P(A-B) = P(A) - P(AB) 2 P(A)—
F(B),故正确选项为(B).而P(A|B)=与鼻? 所以(D)不成立.至于选项(C),它可能
成立也可能不成立，例如AB = 0,P(A) >0,P(B) > 0,则P(AB) = 0< P(A)P(B)；如果A U
B,则 P(AB) = P(A) 2 F(A)P(B).
494 【答案】 C
【分析】P(B | A)= 罕常 =1,即P(AB) = P(A),所以
P(A-B) = P(A) -P(AB) = 0.
答案应选(C).
495 【答案】 B
【分析】 P[(& U A2) |B] = = PM-?点而
P(B)
PCA.B) P(A2B)
P(A】| B) + P(A2 I B)=
P(B) P(B)
190 -
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故 P[(& U A?) | B] = P(Aj | B) + P(Az | B),就有 P(A,B U A2B) = PCA^)+P(A2B).
答案应选(B).
496 【答案】D
【分析】P(AB) 2 P(A)即 2P(AB) 2P(A) + P(B),
也就有 P(AB) > P(A) + P(B) -P(AB) = P(A U B).显然 P(AB) < P(A U B),
所以必有 P(AB) = P(A U B),也必有 P(AB) = P(A) = F(B) = F(A U B).
P(A-B) = P(A) — F(AjB) = 0.答案应选(D).
497 1答案】B
8 8 8 ]
【分析】 分布律必定成立^P{X = k} = 1,即1 =、并疽=Ce-2S A = C • e 1
k=o k=o R • R .
*=o
所以C= e.这里用到了公式e，=习 g, — 8-x} = 1 -P{X <~x}
=1 — P{X〈― z} = 1 — F(— x)
/i (x) = F； (x) = [1 — F(—工)丁 = f (— x)
故答案选(C).
【评注】X为连续型随机变量，必有F；(x)=么&),只有(C)满足此条件.
507 t答案】B
【分析】 lim F(z) = 1,所以 lim (a + 6e-x) = a = 1.
r-»4-OO +8
-193 ・数学基础过关660题-数学三(答案册)
F(z)为连续型随机变量X的分布函数，故F&)必连续,F(z)在z = 0连续.
limF(j7)= 0,即 a-\-b = 0,6 =— 1.
x—0+
508
【分析】 方法1 P{X £ 2 | X 2 - = P'%覆籍亍°)=旦］孕一W 2}
方法 2 P{X<2|X21} = 1-P{X>2|X21} = 1-P(X>2 | X>1}
=1-P(X>1} = 1-e-1.
【评注】 当随机变量X服从指数分布EQ)时，必具有性质:无记忆性，即P{X^s + t |
X>i} = P{X2s},其中s,z2 0.方法2就用了该性质.
‘+8 「+
8
该性质证明:P{X>«}= f (x)dx = I A e-Az dx efN。.
隔强*
P{X^s + t | X>£}= = ^7? = e-* = F{X2s}， s*20.
509 【答案】c
【分析】X 落入(一 00 >X1 ) >(X1 > ,(X2 9JC3) , (,^4 ) > (x4 9 + 8) 的概率应为 9
O Q 24 7
100 * 100 5100 '即 °7，°・ 24,0. 38,0. 24,0. 07.
P(X J74} = 1 — P{X > j;4} = 1 — 0. 07 = 0. 93 = 0(1. 5)
而 X 〜N(15,4),所以X.亍 15 〜 n( o,1).
P{X<^4} = /
所以兰七2 15 = 1.5,解得x4 = 18.
又 P{X x3} = 1 — P(X > x3} = 1 — 0. 24 — 0. 07 = 0. 69 = 0(0. 5)
P{X《/3} =「{£^<%^}=中(亏^)
得至 2。I' = 0・ 5,故 a = 16.
由对称性11与，了2与了3都关于1 = 15对称.所以
了1 = 15 — (j：4 一 15) = 129x2 = 15 — (x3 — 15) = 14.
510
【分析】 设v= 2X + 3,则Y的分布函数Fy3)为
玲&) = P{Y <工} =P{2X + 3 W z} = F(X < 32 § } = j 2 /&)&
・ 194 -概率论与数理统计
Y = 2X + 3的概率密度
/y(^)= F；(z) = (「/'(z)dx)，= 2 ~ 2
答案应选(A).
511
【分析】 如果Fz(z)在z = a有间断点，即Fz(a)—Fz(a —0)>0,也就有P{Z = a}=
Fz(a) — Fz(a — 0) > 0.
由全概率公式知，对任意实数a
P{X + Y = a) = P{X + Y = a,Y = 1} +P{X + Y = a,Y =-1)
=P{X = a — 1,Y = 1} + P{X = a + l,Y =-1}
=P{X = a — 1}P{Y = 1} +F{X = a + l}P{Y =- 1}
=夺[P{X = a — l}+P{X = a + l}] = §(0 + 0) = 0
所以X+Y=Z的分布函数Fz(z)是连续函数.选择(A).
【评注】 本题也可用直接求出Fz(z)来确定Fz(z)是连续函数.
512
【分析】 记事件A = {X V"，B = {丫<仍，则
P{X>x,Y> y} = P(AB) = 1 — P(A |J B) = 1 — P(A) — P(B) + P(AB)
= l-P{X^x}-P{Y^y}+P{X^x,Y^y}
=1 — Fx(z) — Fy(；y) + F&，v).
513
1分析】 记Y= max(X|,X2)的分布为Fy(x),概率密度为/y(x),则
Fy (x) = P{Y s；C x} = F{max(Xi ,XQ <工} = F(Xi ^.x,X2〈了}
=P{Xi 0
F(z)= [ o 八 , 工 w ， o 八
• 195 ・数学基础过关660题•数学三（答案册）
(1 — p-2Ax T 0
显然不等于 E(2A)的分布函数 F 】&)= 八' ='所以选择(D).
( 0, z W °.
,min(X,Y)
事实上 的分布函数
P(min(X,Y)
《
1} = 1
一
P{min(X,y)> z}
=1 — F{X>i,y 〉z} = 1 —
P{X > x}P{Y > x}
=1 i — [ n 1 — F w (z ) M ]2 = 工 >0,
\ 0, zV0.
min(X,Y)〜E(2A).
即
【评注】应用数字特征可以判断随机变量不服从某种分布.
515 【答案】A
【分析】P{X = Y} =、 P{X = Y = 公=、 F{X = &,Y = D
1 1
k= k=
oo
oo oo
=^P{X = k)P{Y =
k}=蚓=力2、(『) 1
1 E=1
k= k=l
=〃・ =____4____ = A = 一^
P 1-q2 (l+q)(l — q)
1+q 2 - p'
516 【答案】 c
【分析】 显然，我们需由等式 P{X + Y<1} = § 确定为此需要知道 X + Y 的分布.
由题设X与Y
独立知
X + Y〜N（2
兴
,1）,
所以由正态分布概率密度对称性知
p{x+y<2^} = y
得到 2“= 1,“ =身，选择 （C）.
517 【答案】A
【分析】 （X,Y）〜 f（x,y） = 半 =土广季 •与二 e 与
可以看出X 〜N （工 （ ） 0, = l）,Y〜N（0,l）, 且X与Y相互独立.
fx 号 v 2, k 片 （少 v 2= k = fxa）fY（y）
， （ 一八 ）
== x z）_/y（;y） = f J
fxiY(x I y)
fy（y）一 为（少
显然/y（>）>0. 答案应选（A）.
518
【分析】 两个随机变量即使是独立同分布，也不能认为X = 丫,所以不能选
（A）.
事实上，P{X =
Y} = P{X = Y = 1} + P{X = Y = 0}
=p{x = i,y = i} + P{x = o,y = o}
・196.
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=P{X = 1}P{Y = 1} + P{X = 0}P{Y = 0}
1_
= 14^x1=
2'
519
【分析】 由题设知P{Xi+Xz 乂 0} =0,而
P{Xi +X2 尹0} = P{X| =-l,X2 =-l} +
F{X1 =-l,X2 = 0} +P{Xi = 0,X2 =-1} +
P{Xi = 0,X2 = 1} + F{X1 = 1,X2 = 0) +
P{X1 = l,Xz = 1},
所以等式中的各加项概率都等于零，据此可
求得(Xi,Xz)的联合分布表，计算得
P{Xi = X2} = P{X1 =-l,X2 =一1}
+ P{X1 = O,X2 = 0)
+ P{X| =l,Xz = 1}品,
选择(C).
520
【分析】二维正态分布应具有密度函数
1 1 「（ l“].）2 2pGr~"i ）（y~“2） （尸" 2 户 ~|
=------- 厂 十
2（1 2）|_ 4 J
2 7t（7i 62 —「之
其中 /Zl/2，bi > 0,（72 >0,— iVpVl 均为常数，记作（X,V）〜N（/1 ,“2 澎，房；p）・
显然本题的，愆,少 不具这种形式，因此（X,y）不服从二维正态，所以（A）（B）不正确.由
于 sin ze一苏 是奇函数，因此[sin Ax = [ sin ye~^ dy = 0.
而 /x（x） =「，（3）心=广 l + si, zsin *-¥如
乙 7C
J —oo J —oo
=扣碧（ *+«= ^2 「+8
e~ 2 dy + sin xsin ye 2 d>)
1 — 1 w
=—e 2 • = —T=ie 2
2爪
即X〜N（0,l）,同理可证y ~ N（0,l）.
由此可知,虽然联合分布（X,y）不服从二维正态,但其边缘分布X与Y均为正态.故选（D）.
521
【分析】 由于联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布.因此（A）不成立,
由（A）不成立，可以推知（C）（D）必不成立，所以选择（B）.
本题也可以举例给以说明.例如
. 197 .数学基础过关660题•数学三(答案册)
云二 \ V -
- 0
J
1 : 11
(x,y)〜
直
和(U,V)〜
T
1 il 1
显然，(X,V)与(U,V)具有相同的边缘分布，均服从B(l,号)，但联合分布不同.且
X + Y 0 2 u + v 1 X-Y 0 u-v -1 1
以及
T ~2 1 1 , T ~2
522
【分析】分别对四个函数验证分布函数的性质：
(1) F(x,j/)是二元函数，且 0 W F(x,y) < 1.
当 X —►— 8 或 丁 f— OO 时,F(X,JZ)— 0；当 X -►+ 8 且 丁 -oo 时,F(x,j/) f 1.
(2) F(z,jO单调不减,即对任意I】< x2，:Vi < 丁2，有
,F( ?,^ ) ,F&
j i i
(3) F( ? F , & /) i ,了)< F&2 9y) < F(z,%) 以1) W F(jc2 必)・
j j
在z和' 的任一方向上都右连续，即对于任意的xQ和J/。，有F&o ,y))=
F( ;0
j
limF&o,/)和 »3^o)= limF(z,；yo).
(4) 落在矩形域n V X <互，V V 丫 V队上的概率非负.
F( 2 +F&
x i
即 P{^i V X 必 VY V % } = ,力) 必)—F6 ,丁2)—F&2 必)2 °・
验证(B)选项，在0VXW2,0VY<2上有
F(2,2)+F(0,0)-F(0,2) 一 F(2,0) =-1<0,
因而选(B).
523 【答案】A
【分析】X〜B(l,号)，X的取值只能是X = 0或X = 1,将X = 0和X = 1看成完备
事件组，用全概率公式有
P(X+YP{X= 0}P(X + Y<§ I X = O)+F{X = l}p{x + Y x}
=1-P{X> x,Y> x} = 1-P{X> x}P{Y> x}
=1 — [1 —F{X —F{Y〈z}]
=1 — — —
=1 — [1 — F(z)]2.
答案应选(C).
【评注】 可以验证(A)F2(x)是Z = max(X,Y)的分布函数.
(B)FG)F3)是(X,Y)的分布函数，而(D)[l —F(z)][l-F3)]不是分布函数，因为
它不满足分布函数的充要条件.
526 【答案】B
【分析】 设（Xi，XQ的分布函数为&（工1，血），（匕，巴）的分布函数为码31仍）.
F? （了1 必）=P{Yr C ,Y2 C yt} = P{2Xi < >1 ,-j-X2 W y2}
=P{Xi < 号,Xz < 3北} = Fi(夸,33
所以 fz(yi >yi) = ,3>2).
527 【答案】c
【分析】 P{1 < max(X,Y) < 2}= F{max(X,y)< 2) - P{max(X,V) < 1)
=P{X< 2,Y< 2} -F{X< 1,Y< 1)
=P(X< 2}F(y < 2} -F{X< 1}P{Y < 1}
x
fxf-lxf=
I
528 【答案】c
【分析】 F{min(X,Y) > 1} = P{X>1,Y> 1}
=P{X>1}P{Y>1}
=e~A • e«2> = e-2(A+1)
【评注】 利用公式：X〜E。）时，P{X>t}=广％，>0）.
. 199 .数学基础过关660题•数学三(答案册)
529 【答案】c
(击 1 ) 8 > 8 A4
【分析】 e(x)e 5 - 1 --- + -- 为 - . 妇 =义• \ 自 ' -- 以 ---- + - -- 1 -- ) - 代 -e-*"
8 炉
人
i
奸
| ,1
T =
▽
材
OO A*.
-A
= g(I+l)!e
= V Ale-A — Aie-A
窑，! =1 一 e-A.
0!
答案选(C).
530 I：答案】D
【分析】 E[X(X + Y—2)] = E(X2 + XY-2X) = E(X。)+ E(XY) — E(2X)
=DX + (EX)2 + EX • EY — 2EX = 3 + 4 + 2-4 = 5.
531
【分析】 由于DX = EX2-(EX)2^0,故EX2》(EX)2,选择(D).选项(A)(B)对某些
随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立.例如，随机变量X在区间［0,1］上服从均匀
分布，则 EX = *,DX =食,EX，= DX + CEXY = & + § = §<§ = EX,选项(A)成
立.此时(B)不成立.又如X〜N(",2# = 2 • § = § = EX,即选项(B)成立.此时(A)不成立.
532
【分析】 由于 DX = D(X-c) = E(X —eV — [E(X —c)]、所以
E(X 一 c)2 = DX + [E(X — c)『
选择(C).
或者，由于
E(X-c)2 = E(X2 -2cX + c2) = E(X2) -2cEX +c2
[E(X-c)丁 = (EX-c)2 = (EX)2 -2cEX +c2
故 E(X — c)z — [E(X-c)]2 = E(X2)-(EX)2 = DX,E(X-c)2 = DX + [E(X-c)]2.
选择(C).
533
【分析】 当(B)成立时，即[xf (x + a)dx = 0.
J —8
「+8 pH-OO 「+8 f+oo .
令 z + q = xf (x + a)dj? = (t — a)/(i)d^ = tf (z)dz — a
J —8 J —8 J —OO J —OO
=E(X) — a = 0
即 E(X) = a.
考研电子书网站：www. pdf2book. com ・200・概率论与数理统计
534
【答案】D
【分析】 E(X) = [ x J f — 8 ( Qdz = 2, 令 t =音,则有
U
工 =p2i/(2z)d(2«) = 4pi/(20dz = 2,
f+°° , I
(2
即 —OO xf 工)丑=
J Li
535 【答案】c
【分析】
F(z) = 0. 4①
(亏
5+0. 6①(耳书,故
f (工) =F") = 0. y + 0. 6 甲(*； 1 ). y = 0. 2 ')+。・ 2 甲(了；')，
其中 Q 为标准正态分布的概率密度.
E(X) =「 了/(力< 1 丁 。. 2 呼(^^)& +「8().2呼(^ 1) 也
8 = J：
r(p2t + 5+) 甲Q)dot + 0.o 6 (3z—1“Q)由
J
—OO
=0. 4 • 5 + 0. 6 • (- 1) = 2. 0 - 0. 6 = 1. 4.
答案应选(C).
【评注】 当随机变量 X〜N (“折)时,(a>0),其分布函数
F&) = P(X) = a2DX,
-一 Cov(Y,Z) 一
扁
aCo
后
v(X
反
,Y)
=
一
向
a
^
一
'阪
一―
就 有
*七昏=],即 qo.选择(B).
= ^dy^dz
I«l
540 【答案】D
(Til CX12
【分析】 =)11。就是Cov(X,Y) >0.所以
V DX y/DY
DCX + Y) = DX + DY + 2Cov(X,Y) > DX + DY.
D(X-Y) = DX +DY-2Cov(X,Y) < DX + DY.选择(D).
543
【分析】直接通过计算协方差来判断.
已知X与丫独立，故Cov(X,Y) = 0,
Cov(X,X + Y) = Cov(X,X) +Cov(X,V) = DX > 0.
所以X与X+Y一定相关，选择(A).
又由于 Cov(X,XY) = EX2Y-EX • EXY = EX2 • EY- (EX)2 - EY
(—0 pjy = o
= [EX-(EX)2]Ey = DXEY匚 o： ； 0
故选项(O(D)有时成立，有时不成立.
【评注】 如果将选项中的“相关”改为“独立不相关"改为“不独立"，那么正确选项
应该是( )
由原题计算知X与X+Y 一定相关，从而推知X与X+Y 一定不独立，选择(B).
544 【答案】D
【分析】 E(X-c)2 = E[(X —G + 3 — c)T
=E[(X-/z)2 + 2(X — G(兴一 c) + (" — c)2]
=E(X — .2 + 2(# — c)E(X —兴)+ E(“一c)'
=E(X 一+ 2(# - c) • 0 + E侦一 c)z
N E(X — Q2
答案应选(D).
545 【答案】 B
【分析】 根据分布函数的充要条件limF&) = 1.所以，常数》必不可能小于0/也不可
能为。，因为b = 0就不可能D(X) = 4.
由此得到a = 1,6 > 0.
F(z)=(l — K，气。，即 =FS=化:, z〉0
I 0, ^<0 I 0, •z < 0
・203・数学基础过关660题•数学三(答案册)
因此X〜E(Q,DX = § = 4,即;I = 也就有6 = j.
答案应选(B).
546
【分析】 通过计算协方差来确定正确选项.由于x,相互独立，故
Cov(X；,X,) = 0 (B j),Cov(X,X) = DX = D^^X.^=号力DX,=令
Cov(Xi -X,X2 -X) = Cov(Xi ,XQ —Cov(Xi ,X) - Cov(X,X2) + Cov(X,X)
£Cov(Xi,X,) 一 史Cov(X,,X2)+DX
n i=l n i=l
1 2 1 2 l --#/ o.a
=——n ff — —n G ~\ n
所以Xi-X与X2 — X相关.因此X] — X与X2 —刀不独立，选择(D).
547
【分析】 由于X与Y相互独立，故eX与2Y+ 1相互独立，选择(D).
事实上，当了>0时，
P{ex 1} = l_p{X=l,Y=l} = l — M = g,
o o
故选择(C).
549 t答案】A
【分析】Xi的分布律有对称性，所以EX. = (n + 1).
D(Xi)= E[Xi - (n + D?
=[>-("+l)T . 0.3 + [3 + l)-S + l)]2 . 0.4 + E(n + 2)-(n + l)]2 • 0.3
・204・概率论与数理统计
=0. 3 + 0 + 0. 3 = 0. 6
答案选(A).
550 【答案】A
Cov(X,Y) E(XY)-EX - EY X ! y
【分析】
pxY _ YdxVdy Vdx Vdy ，
X,y均服从B(2,§)分布,EX
=EY = 1,DX = DY = J.
xy f
厂
XY的分布为------ H，
e
(
xy
)=
p
2 2
I-1-1
总之,pXY = 1.答案选(A).
【评注】 本题也可以更简单解为 X + y=2,Y=2 —X.
=Cov(X,y)= Cov(X,2-X) = Cov(X,2) — Cov(X,X) = 一 DX
pXY — yDX VDY 一 ■/DX /D(2 — X) — DX DX
如果对相关系数性质了解，由Y = 2 — X可以直接得出pg =— 1.
551
【分析】 显然,EX = 1,DX = 1.
P{X》3} = P{X —1>2} = F{| X — l |22}-P{X — 1《一 2}
= P{| X—1 |2 2}+0 = P{| X —EX
122}〈贺r)X
=j
i
.
答案应选(B).
【评注】 如果直接计算F{X23},就有F{X23} =[「顶愆)近=广3.比用切比雪夫
不等式的估计要更精确，但切比雪夫不等式不用涉及X的分布，较简单.
552
【分析】直接应用辛钦大数定律的条件进行判断，选择(C).事实上，应用辛钦大数定律,
随机变量序列X】…，X”，…必须是：“独立同分布且数学期望存在"，选项(A)缺少同分布条
件，选项(B)(D)虽然服从同一分布但不能保证期望存在.因此选择(C).
553
【分析】 切比雪夫大数定律为：X],X2,…，X”，…两两不相关，存在常数”使。(XDVc,
(z = 1,2,…)，则对任意e > 0
财 寮-
5{|4 +*(x,)|<4=i
现X] ,X2，…，X”，…两两独立推出不相关，但从(A)(B)(C)得不出ZXXD(C,甚至D(X,)可
205 -数学基础过关660题•数学三(答案册)
能不存在.
当 (D)成立时 ,D(X2i) = A2,D(X2M)= 义 i， 显然 ZXXD 〈扇+心= c. 答案选(D).
554 【答案】c
【分析】
由题设知X”〜
根据“二项分布以正态分布为其极限分布”定理得:
U
2Xn — n
< X >= limP W z = 。(抄.选择 (C).
n-*°o \Jn
555 【答案】B
【分析】 由于 X,〜N("，l)3 = l,2,-,n 相互独立.
(X, — X。〜 N(0,2), X』二* 〜n(o,1), (X"~X1)2 - x2(l).
显然
，2(X, —Xi)， 并不服从/分布，答案应选(B).
556 【答案】A
【分析】由题设知，X ，〜 N(0,/), X = 〜N(0,§), 籍〜 N(0,l),
VnX
(W二冬.〜寸 (n — 1) ,彳与S。短立，所以二一• 9-------=唇〜t(n - 1).
(A).
选择
557 【答案】C
【分析】 由题设知，K〜N(0,ff2),—〜N(0,l),且相互独立3 = 1,2,•••,11.
CT
由/分布”分布,F分布的典型模式知亭〜寸⑴,所以 ,(A)
不成立.
譬=
S(y)2〜 So)，
所以
，(B)不成立.
____ £(10),故(C)
成立.
Y
4/i
而心= X? F(l,10),(D)不成立.所以选择 (C).
・206・概率论与数理统计
558 【答案】c
【分析】由题设得
X〜N（O,f）,
誓〜
N（O,1）,
碧〜、
（1）,（"；1）亨〜\（71—1）,
彳与
S2
相互独立，所以一嘉--------=尊〜
F（l,”一 1）. 选择（C）.
（W~2n /（n-1）
、
559
【分析】Xi-Xz和 X1+X2均服从N(0,2/).
Cov(Xi +Xz，Xi -X2) = Cov(Xi，Xi)+Cov(Xz，Xi)- Cov(Xj,X2)- Cov(Xz,XQ
=D(XQ — D(Xz)= a2 T = 0
所以Xi —圣与 Xi +% 相互独立且同服从 N(0,2/).
同理 X3 -X4 和 X3 +X4 也相互独立且均服从 N(0.2/).
显然 Xi —圣 ，& +瓦 ，X3 — X”X3 + X,相互独立均服从N(0,2/).
r(Xt -X2)2 * (X3
~X4)M/q
=(XlX) + (X3 —X) = L―红__________ 竺__JL 〜 f (2,2)
(Xi+Xj + g+X) r(x1+x2)2 + (X3+X4)2l/3
L 2故时.=£^2 =儿即 & = 2.选择(B).
r. k k n k k k
565 【答案】A
E[(史K)「史(nX, —力X*)2]] =
【分析】 E^nX • n2(n-l)S2]
\ ，=i L j=i ”=i 」)
n3(n-l)E(X • S2)
n3 (n — Y)/i • a2.
因X,S2是相互独立的.
566 【答案】D
【分析］ @二})S§ 〜z("_i),3—?)S§ 〜 X2(n-1)且它们相互独立，所以
2
E（ey =俨.选择（A）.
573 【答案】a
时=碧弟―4界］争㈤T争（X,）
【分析】
=上史 LD（K）+ （EX,）勺一= -S（A+A2）-A = A2.
71 i=l n i=l n i=l
574
【分析】一个参数9的矩估计用一阶矩，EX = X.公众号：旗胜考研
现 EX = （-1）（2（9）+ 0 •。+1 • （1 — 30） = 1-50,1-50 = X,9 =
5
选择（B）.
575
X 1 2 3
【分析】 ,X的样本值为1,3,2,2,1,3,1,2
P 2 4 4
EX = ^^ + 5 • = +[2（1 一。）+5（1+。）] = §（7 + 3。）
X = 4-（1+ 3+ 2 + 2 +1 + 3 +1 + 2）=华
o O
令 EX =X，即 士7 + 3。）=孕，14 + 6。= 15.解得。=4■，答案选（A）.
4 o 0
天下难事. 必作于易；
天下大事, 必作于细。
—《道德经》
• 210 ・答案册a
考研电子书网站：www. pdf 2book. com微积分
续 题
质+7工+ 11, -2 1 时,
了21(1+虹什2) _1_
/(z) = lim
了 2”( 1 + 疽' ) X
n-*°o
读者不妨自己画出的图像可知，在工=士 1处八力 不可导.
【评注】由极限式定义的函数要讨论其性质，应分两步走.
582
【分析】 ，(0) = lim 八£)一,(0)= Hm '(空。z (A)
X X
x—0 — 0 X—0
因A(0) = O,AZ(O) = 0, 由佩亚诺余项泰勒公式，有
A(x) = £(0) + Az(O)x + o(x) = o(x)
其中lim 匹打=0,代入(△)中,
X
X—0
o(z)sin —
/z(0) = lim------- = 0
x
X—o
这是因为当 Zf 0 时，心 为无穷小量,sin-有界.
X X
【评注】 因未设Z £ 6(0) 时九(工)可导，所以不能用洛必达法则.本题也可以不用佩
亚诺余项泰勒公式，而改用如下办法，实质是一样的.
0 =
h'(0)
= lim 住一二空少=lim 典
— 0
X X
x-*0 L0
所以(△)中峪为无穷小(当X —0),
从而
/(0) = 0.
583 【答案】3
【分析】 因为' sin2 (*)&,所以当z = 0 时,丁 = 1 .方程
・214.
'研电子书网站：www. pdf 2book. con微积分
两边同时对£求导，得
l = sin[¥(v-z )](*-1),
由* = 0点=1,故*
=3.
x=0
1
1)%! ]
584 【答案】(一
愆 +
3) 由'(7-1)^1
_ 1 , 1
【分析】 ■z + 3+z-l
=(3/> + (
(一1)%! | (—1)%!
噩 白广
& + 3) 计】 &一 1)讦】・
585
【分析】/(了)= 2 了 +以，解方程 /(x) =0得函数/(x) = x2 -—在(一 8,0) 上的驻
30 丁
点为工=~ 2.
当 £ £ (-00,-2)时，/■'(" < 0,函数 f(r) = X2 单调减少；
X
当工£ (-2,0) 时，，&) > 0,函数心 =*2 —卒单调增加.
所以 x =-2 为函数(工)—卒在(一8,0)上的最小值点，最小值为f(—2) = 12.
【答案】芸，竽
586
D
【分析】 区域 如右图.丁 =了与了+、=
(1,1).
与
D
的面积
2 [(2
S = — y) — 丁]如
= —4(2 —j;)2 I — -|->3
2 3
I -2 -2
15 „ _ 9
¥-3 = T
V
。绕 轴旋转形成的旋转体体积为两个旋转体体积之差
L
V = ir(2 — yY Ay — 顽心
7T 5 I 1 33?： 7211
=专 3—2)3 —亏了 匚=921 侦 一亏 =T.
-2
587 【答案】 a = 3
【分析】 求曲线y = \~xi与曲线y = ajc2在第一象限中的交点.首先，显然应该 a > 0.
-215 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
其中，由
iy = 1 — ®,
\y = ax2,
解得在第一象限中交点坐标为（苓『，危）.
\ V 1 十 Q 1 I a 7
由曲线丁 = 1—X2与y = ax2介于0 W z《 J ..的面积
Si = [^^（l — x2 — ax2}dx =-----------
J。 3
而曲线y = l~x2与两坐标轴正向所围的面积
S = f （1 — x2）dx =
J o 3
按题意，S = 2Si ,于是M =--- ，解得a = 3.
3 3 71+^
588 【答案】f
【分析】设切点坐标为（如，北），于是切线斜率为2工。，切线方 「y=x2+l
程为 、 y
、一义=2ra （x — j：0） C1，2）
以x = 0时v = 0代入，得vo = 2z&.又因点（zo ,、0）在曲线C \T/
上，有弘=^+l.解得切点坐标为（±1,2）.切线方程为、=士2*, --------------卞---------- ?
见右图.求V有两个方法.
方法1以v为自变量，曲线表示为匕=石=〔/ = ^-y,V是两旋转体体积相减：
p2 , 「
v = 4,（ 身»） 2 如一丑23 —1）心=专
方法2以]为自变量，曲线表示为y = x2 +l,y = 2x.任取[z,z + dz] U [0,1]对应
的小竖窄条，高了2 + 1 一 2z,相应的体积微元dV = 2世&2 + 1 — 2z）dz,于是
V = 2tz[ ]（了 2 + 1 — 2x）dx = 4~ 兀・
【答案]J_
589 Lug 10q
「
C9 f 9 ]
【分析】 w(9)—w(4) = w/(x)dj： = ------------dx
J 4 J 4 200 “
= 23o,27^L = T5o-
590
【答案】 一§®+6工2—11工一50
C(x) = C(O)+£c/(«)dz
【分析】
= 50+ ["(J2 一 14« + lll)d«
考研电子书网站：www. pdf2book. c ・ 216 -微积分
一7了2 + UM + 50
「 (腿
R&) =R(0)+ R'
0
=J (100 - 2t)ck
=100x — x2
n总利润
L(z) = R(z) — C(勿)=—x3 + 6xz — llz — 50.
芝 + 在1
y = X2 arctan C\ 工一 arctan C} + C2 , G关o
591 【答案】」 ,C] ,C2是两
y = C2, G = 0
个任意常数
这是二阶微分方程，先求p = y,它就是力的一阶微分方程:了宰=p + zsinf,即
【分析】
业=2+^2
Ax x X
这是齐次方程，令u —（p =皿），则方程化成
X
du
sin u.
F =
分离变量得
du Ax du dx
sin u X u c 2 U T
Ztan —cos —
乙 乙
积分得
1 I n 4 t . an — u =In | z | + C：,
乙
告=
即tan Gz,G为任意常数.
乙
解出
牢
=p — 2zarctan Gi,
dx
再积分得
y = J2xarctan Ci xAx + C2 = Jarctan Gzdi? + C2
i r Ci j?2 -p i — i
=x2 arctan C}x — - + C2
G l + (Gz)
声 + §
j:2 arctan G % — + 7^7arctan Cxjc + C2 (G # 0).
y = C2(Ci =0).
> =子 工,
592 【答案】 sin 2^ + Qcos 2x + C2sin 2 G ,G是两个任意常数
【分析】）〃 +徼=cos 2z对应的齐次方程的特征方程是V +4 = 0.它的两个特征根为
・217.数学基础过关660题•数学三(答案册)
Ai,2 =士 2i.
因此对应的齐次方程的通解为丫 = Geos 2^ + C2sin 2z.
又因士 si =± 2i是特征方程的根，所以，应设非齐次方程的特解为
y* = z(Acos 2x + Bsin 2z),
贝 U (y*)' = z(— 2Asin 2x + 2Bcos 2z) + A cos 2x + Bsin 2«r,
(3/* ) " =— z(4Acos 2x + 4Bsin 2z) — 4Asin + 4Bcos 2x.
将上两式代入方程y〃 +会=cos 2z得
—4Asin 2z + 4Bcos 2x = cos 2x,
比较系数得A = 0 ,B = !.因此通解为y = cos 2x + C2sin 2x +丰sin 2x.
4 4
【评注】这是一个土阶常系数线性非齐次方程的求解问题，容易犯的错误是将非齐次
方程的特解设为=泓cos 2x.注意，当二阶方程具有y，f + 4j/ =力cos 2x或y，f + =
qsin 2z或y^ + 4y =力cos 2z + qsin 2z等形式，且其中是不等于零的常数时，其特解都
应设为 y* = x(Acos 2x + Bsin 2z).
593 【答案】y，f + 4：y = sin 2x
【分析】 由二阶线性微分方程解的叠加原理可知，jyi — % = cos 2z — sin 2x是该方程对
应的齐次方程(记为(* ))的一个解，于是cos 2x — (cos 2x — sin 2z) = sin 2x也是方程(* )
的解，即(* )有两个线性无关的解cos服和sin 21,由此可见方程的特征根为±2i,特征方程
为义2 + 4 = 0,从而知原方程为yr，+ 4y = /(^).
1 〃/ 1
注意到一于cos 2z是这个方程的一个解，从而/(J7)= (一2亿海2刁 +4(—；icos 2z)=
sin 2x因此，该方程为y，f + 4y = sin 2i・
【评注】 原题中给出某二阶线性常系数非齐次方程有两个特解少与队，其实只要给出
其中的一个,其余条件不变，仍可求出同样的结果.
由所求的二阶线性常系数非齐次方程相应的齐次方程有特解弘=cos 2z,相应的特征
根一定是入=±2i(还有另一线性无关解丁4 = sin 2z),于是相应的特征方程是A2 +4 = 0,从
而原方程为
)“ + 4j/ = /(X).
再由叠加原理知，=-yxcos 2^是原方程的特解，将它代入上述方程就可求出
/(x) = sin 2x.
【答案】, = §3 —1)
594
【分析】 由(3^+ x2 + y2)dx — xdy = 0 可改写成(—+ — + y2 4^ = 0,当 z>
0时即
［于+/+(于门一圭=°(齐次方程，
令乏=〃，则y = = u + x 代入上述方程化为可分离变量型的
x dx dz
・218.
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du
(u + J1 + 必)—U — X 0,
Ajc
分离变量得 d" _ Ax
yi + u2 ］，
积分得 ln(w ++ 必)=In z + In C,
u + + 必=Cx ,
乎 + Jl + (乎)=Cx ,即；y + Vx2 + j/2 = Cx2,
由 丁=0知C = 1,则 y+ Vx2+y2 = 又可改写成 Vx2+y2 -y = 1,
因此 '=§(丁2 — 1).
Z VO
【评注】 时得同样结果.
595 【答案】4z — 5了2
【分析】 一阶线性微分方程xy' -2y =一4丁可化为标准形式y' =一 4,方程两边
同乘e闩血= 号得（声）’=一｝积分得
3L 2 = —+ C
x
于是得通解为丁 = C注+4%.由于对任何常数C都有3/（0） = 0,从而由曲线y = Cx2+4x与
直线1= 1以及z轴所围成的平面图形绕］轴旋转一周所得旋转体的体积
V（C）=』七2& =兀「（&2 +攻）2丑
J 0 J 0
=｛（CT +8眼 +16 了 2）dz = K（y+ 2C+y）.
由于
V 0, C V— 5
V，（C） = 7t（孕+ 2）（=。，c =-5
〔＞0, 0-5
可见当C =— 5时V（C）最小，即函数f （工）=4了 一 5^2.
596 【答案】xy = 2（］ + 丁）3
【分析】 题设的方程是齐次微分方程.令丁 = 口代入可得
如 dw - x2 (2u — u2)
万=了 五+ .=工 2(1 — 2")'
du 、 2tz —必 du _我+我二
即 x u
3a-x-----r 1 — 2u Ax 1 — 2u
(1 — 2t/)d" _ dz
u (1 + u) x
两边积分得
(1M (—i +2u )d)u =Jfz( V1 _i+3 ^x)dj M==Jf TAx
«
・219・数学基础过关660题•数学三(答案册)
即 In | 以 | — 31n | 1 + u | = In | Cz |
= C(z + j/)3.
把z = 1以(1) =—2代入可确定常数C= 2,从而所求特解为巧=2(^ + j/)3.
597 【答案】工2=06+丁(为任意常数
【分析】 将方程改写为
2 (y1 — 3jc2 ) djz + yAx2 =0,
Ax2 6 2 — 9 3
—；———x ―― Ly ,
处 y
把工2看成V的函数，它是一阶线性微分方程.两边乘兴3)= eT；d, = 4得
y
_ 2
dy\y6 / v”
积分得 ^- = ^ + C,
通解为 £ = c_/+y,c为任意常数.
598 【答案】C(—5T + #/—% 一土,C为任意常数
乙 o O0
t分析】按照差分方程设解的规则，可设方程的通解为
yt = C(— 5)z at2 + + v
其中c为任意常数,与y为待定常数，于是
y^-i =—5C(—5)'++ 1淀+0(: + 1) + y
代入差分方程可得
令
yt+i + 5y — 6(a/2 + B t + y) + a(2t + 1) + /?== 3产一t
于是有 6a = 3,60+2a =— l,6y + a + y9 = 00° = §,/? =— =— &・
Li U O U
故差分方程的通解为叫=C(- 5T +与2 —冬一 土,其中c是任意常数.
2 3 36
599 【答案】 W, = 1.3Wi+4 (< = 1,2,-)
【分析】由题设知第年的研发新品费用总额W,(百万元)是两项之和，其一是每年固定
的追加4(百万元)，另一是比前一年的研发费用总额Wi多30%,即是Wt 的1.3倍.把两者
相加即得W,满足的差分方程是W, = 1. 3Wt + 4.
也可以写成 Wh-j — 1. 3W, = 4 (^ = 0,1,2,…).
600 【答案】240000(1 - e-1)
【分析】设，年的余额为B(t)元.考察时间区间"/ + △£],则
B(z + Ai) x B(t) + 0. 05B(t)At — 120003
改写成
・220・
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B(z + 3) -B(t) * 0. 05b(q _ 12000
Az
0
令△£ f 得
理以 一 0. 05B(z) =- 12000
At
这是
B(z) 的一阶线性微分方程，两边乘e-°-051
得
(e-°m‘B(Q)' =- 12OOOe-°'051
积分得
e-°05,B(«) = 240000e-°,°5'+C
即 B(O = 240000+ Ce+0 05!
其中 C = B(0) — 240000.
令 t = 20,B(20) = 0 得
0 = 240000 + (B(0) — 240000) e+1
因此 B(0) = 24000(1 — e-1).
601 【答案】③
【分析】要分别考察每个级数的敛散性.
对级数①易求它的部分和
& = （—；）+（ Y）+… ）=1
号 金 -出
从而limS, = 1, 即级数①收敛.或考察它的一般项 a, =【― -^7=（抵\〜％， 故
71 Tl\Tl ） Tl “ =]
n—► oo 72 I 1 I 1
收敛，即级数①收敛.
对级数②的部分和S,有
s2„ =
1
— §2 十§2 — §3 -----
1- ---- XT = 1 — 77T
n n-\~L n~\~ L
故 limS2„ = 1, 又 S* = S2„ + ^—也满足 limSz+ = 1, 这表明 limS. = 1, 级数②也收敛.
n—8 Tl
~I~ 1 n—*°° ”—
对级数④也有部分和
4\] i/" + l 〃 + 2\ o i 1
n + 2
可见级数④也收敛.或同样考察它的-般项=甲-注 f =灯轻〜#也可知④收敛.
对级数③的部分和S„有
u o 3 ! 3 4 ( , n+l n + 2 1 1
= 2 — — + — — — H-- 1-------- y = 1 — —FT
S2n 2 2 3 工
n n-\-1 n~\~ I
但S* =Sm+4^ —
2,即limS”不存在，故级数③发散.或考察它的一般项a.，其中=
n ~r 1 — 8
9a2n =— ” 土 j ,故 limQn 不存在.于是③是发散的.因此应填③.
n ~r 1 71—8
8）
602 【答案】（荡，+
【分析】 当" = 2,3,4 ，…时㈢〉】,从而对任何常数 p 成立,该级数
・221・数学基础过关660题•数学三（答案册）
是正项级数.
因当—8时血当二叩+占）〜巳〜*于是
〃 + 1 。
Vn ^ln — 1 丫〜网号）" =--2--(n — 8)
n
网
1。）'
8 8
即 lim 、二=1， 、苏仙咨 与、刍有相同的散敛性，后者仅当/ >>4 时收敛.
18 _ n=2 \n\.j n = 2 nl 乙
（*，+8）.
因此级数收敛的常数力的取值范围是
若 Q> 1
【答案】
t分析】 q > 1, 取q*，使得q> q*〉 1, 由极限的不等式性质 > N 时
In-
> q*
,In —
〉
q* In 72
In n Q”
=>n > N 时 — >nq ，即 Q” V -
an nq
n况 a“收敛.若、a“ 收敛，则 q>l.
n=
n=1 1
因为，若 qVl, 取go，使得 g V qo V In
ln§
n > N 时 -- - < Qo，ln — V q° In ??
In
n an
5> N 时 a, > 4-
nq°
发散.
n=
1
因此该级数收敛的充要条件是: q> 1. 公众号：旗胜考研
Inj_ -
=q， 1，
【评注】 取特殊情形售 即邑令= 即心=故
卜〃 ln± nq
I
发散
（g< 1）
nq
oo
上述分析中是利用极限的不等式性质论证了在所设条件下
，Sa"收敛0g > L
604 【答案】i
【分析】 由于幕级数习 aQ” 在 z = 1 处条件收敛，则£=1为该暴级数收敛区间的端点,
n= 1
oo
则其收敛半径为
1,而藉级数习a,（z —1）”的收敛半径也为1.
n= 1
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【评注】 ⑴幕级数 »”（/一血）”与»口”有相同的收敛半径R由一R0（n = 1,2,-）,级数吏a“发散，立（一l）f 收敛知，级数史（一l）f 条
【分析】
n=l n=l n=l
件收敛，即蓦级数 在t =-1处条件收敛，则t =— 1为该幕级数收敛区间的端点，该蓦
71= 1
级数的收敛半径为1,作变量替换原皋级数可改写成
00 00 . = 0-2 00
、a,2 吃 2” = ^a„（2x2）- £中"
n= 1 n= 1 n= 1
00 00
因此蓦级数^a„f = 当| |V 1即竟|<土时收敛，当I 2x2 |> 1即|工|>
n—1 n=1 y 2
会时发散，则其收敛半径为会，收敛区间为（一会W
当z =±会时，OO = "OO口 ”发散，则羸级数OO 的收敛域为\^/ ~ 1 — 1 \
606 【答案】 1
2,2 /
【分析】 令1 一 § =八由题设知幕级数2。"”在'=2 — 处发散，在t=—1 —§ =
OO
—4处收敛，故其收敛半径R同时满足R与即R = *.进而可得幕级数^a„t"
乙 乙 乙 乙 n=
1
的收敛域为一 3,3）・
OO 8 p .
令t =工一 1代入习以”可得藉级数2>”Cz —1）”的收敛域为1 — 1 e 一芸，3），即
・223.数学基础过关660题•数学三(答案册)
【评注】 设有幕级数，其收敛半径为 R. 若在 x = x0 或一门处收敛(发散)，则
n = 0
可知R >| Zo I (R<| Zo 1).因此若在 z = Zo与一 No 处，该蒂级数一个收敛，一个发散，则
必有 R = \ xQ |.
607 【答案】 4,[—4,4)
【分析】 把幕级数中z" 项的系数「4犯工]记为J,其中n = 1,2,3,-, 由于
叽 十(一6)」
.顶 [4” + (—3)”] = 1 n ]. I (―石)=1
lim - = lim -—
”-*8 CLn (// 辛 1)[4 土 + (—3)" 叮— 4 :羹如 + 1 占=]*(_ 旦)十—4
故蓦级数的收敛半径
R = 4.
当工 =4 时暴级数成为正项级数史“「 4” =豆 T---7— =立"”•由
n= 1 〃 L， I I °)-I n= 1 qli +I (I -〒 〕\ ) _ n= 1
于"“〜[，即lim海机=lim--- = 1, 按正项级数比较判别法的极限形式及调和级数
Tl nf 8 n->8 / o \
2 才发散可知正项级数发散，即蓦级数 2铲+ :二IF •手在点工=4处发散.
当工=-4
时矗级数成为交错级数如忐其一般项可分解为
(—1)"4” = (— 1)" . 4” 、[- 3)” 一(一3)” = (— 1)"__3"
兀[4" + (- 3)”] n~ . 4" + (—3)” n~ 一 〃[ 4” + (- 3)叮
= 1,2,3，…)
(n
OO OO | ------ I OO
由于交错级数 g 耳二与正项级数g「 \4,3 t都收敛，所以幕级数、4” + 点• 7
*[1+(-
也)
在点
x =-4处收敛.
C-4,4).
综合即知题设幕级数的收敛域为
(1)
【评注】 因为
IB
2" 5
3 \”
n 1 +
I
3 \”
所以正项级数吏-
收敛.
n==l n 1 +
(2)本题主要考察求蓦级数收敛域的方法.先求收敛半径R, 若 0 V R V+ 8 再讨论在
收敛区间两端点处藉级数的敛散性.
224・
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微积分
⑶判另唐击岩(-污1的)”4敛” 散性时,常见的错误解法是:
因 n[4 ( ” + -l ( ) — n4" 3)叮 (-1)" - ( - - -- 1 -- ) - \ (〃 —8) 、 ,又 勺 y 3 . (-1)" 收敛，所以
n
n 1 +
OO
(-1)"4"
螺 ”[4” + (—3)叮 收敛.
8 8
因为对于交错级数来说，若无穷小a“U8),又、A”收敛淄a”收敛(见题642).
n= n=
I 1
因此〔3中的解法是错误的.
608 【答案】［―1,1) ,S(x) = 2^^ — ln(l — x)
【分析】分为两个幕级数分别考虑,分别利用公式
ln(l + Q =、 1 •工 _ ~ (— 1)%2, _
S，&)=、
(2tz — 2)!! ”企 (2n)!! 点(工)
n=.l
SCO) = 1
做 解 危 初 沽 值 i I可 昭 题 I J s S ( '( o z)) = + z ] S(z) = 0
两边乘eM = eH得
(e^x2 S(x) V = 0,S(z) = CeT*
由 S(0) = 1=>C = 1=>S(j;) = eY'.
§(ew—e”)
611 【答案】 (—8 V z V+ 8)
oo co
【分析】方法1已知
Xn (— 1)%” z 、。. /田心、
-7 = ------；— 3为偶数)
n ! n !
--- =-----；— 3为奇数)
n ! n I
故上面两式相减除2得
4 (2儿 + 1)! - 7(e — ° )•
方法2 易知该幕级数收敛半径R=+8.逐项求导两次得
x2n
S'(z)=
(2n)!
n=0
=援潟F = 援蓦F = s ⑴
又SCO) = 0,S'(0) = 1,求S&)转化为求解初值问题
(S' (z) — S(i) = 0,
IS(O) = 0,S'(0) = 1.
易解得 S(i) = -^-(ex — e-x).
找
612 【答案】 11) 1 Vz V 1)
n = 0
1 二
【分析】用分解法转化为用公式］ =(皿)"(I 皿 IV 1)
1 — ax n = Q
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心=^-L-3 1 (z + 1) —(z — 3) __ 1 1
(z — 3)(z+ 1) x + 1
1 +【• ]'
1—
4 \1 +x 3
-耳
1
T〔如 择仔门
g+
=找
(—1)讦1 — (- 1 V Z V 1).
n = 0
【评注】 必须写出幕级数展开式成立的区间.在本题中是开区间（一1,1）.
613 【答案】
ln2 + S H（T）"t 茅-1
X
2 / v 2 \
【分析】用分解法转化为鬲公式
ln(l+O =方(一1)1 —(-l
。，令心和-"即可得到.
・227・数学基础过关660题•数学三（答案册）
OO 工
23+1)
614 【答案】心="（一1）'（&+卞（2" + 2）'工U—I，】〕
【分析】 设 g(z)= arctan z,则 g'(z)= 】：=(— 1)况” G (— 1,1).
1 十 Z n = Q
于是 arctan x = g(z) — g(0) = J g'(Qdt
8
=习：（一 1）”E = s (—1)" 丁211
2n + l
n = 0
2 ？
在z =± 1处级数 : i必*收敛，又函数arctan z在］=± 1处连续，所以
七 2n + l
丁3 2n+\
arctan z 土］ — ~^~ + ••• + (— 1)" -~— + ・・•，(一 1 W z W 1)
o Zz?十 1
由 Ind +工)=£(一 I)-1 —, 1 < x 1)得 ln(l + *2)= £(— l)i
n
n=1 〃 n=1
(—1 < jc2 W I，(工即)一1 1)，故
f zarctan x----ln( 1 + )
2 (—1)" 丁2n+l _技(- IL 护”
=x
2n+l n
yi (— 1)” Z 2n+2
一、(一
J 2n + l —— ②
n=l TL
及其收敛域.
f'(t)= 2 32广
/ n
③
b n=l n
=*ln(l+ $)(£：/： 0)
7（o）= i.
因为逐项求导保持暴级数的收敛半径不变。②与③有相同的收敛半径R = 1.回到原问
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题。①有收敛半径R =妒,且
f(t) = /(O) + I* r(5)ds = [ —ln( 1 + 5)ds
J 0 Jo S
r2
于是 S(z) = r(^)= J 2 +s)ds,z G (—a/2,72)
(
在收敛区间端点z =±4,蓦级数①为豆 ~ V-'-是收敛的，又「-ln(l + s)ds在
切〃 Jos
JC =±\/2连续，因此
°° [ 「竖]
52 (— 1)1 ~2^x2n = 2 —ln(l + s)ds,z G [―
/ n 2 Jo 5
收敛域 D = E-72,72].
【评注】①利用逐项求导或逐项求积的方法，求暴级数的收敛域与和函数时，往往可
以不必先求出收敛半径，而是利用逐项求导与逐项积分保持收敛半径不变的性质，由已知逐
项求导或逐项积分后幕级数的收敛半径而求得原幕级数的收敛半径，然后再验证收敛区间
端点的敛散性而求得收敛域.
②这是一个缺项幕级数(即中有无穷多项系数为零)，对于缺项幕级数来说，不
n=0
能直接用求收敛半径R的公式.(因为此时全旦没有意义).
a„
对这类缺项幕级数求收敛半径常用的方法是：
【方法一】 对每个Z,把看作数值级数、阳(如=a”b),然后用比值判别法.
n=0 n—0
【方法二】有些可作变量替换，转化为非缺项的藉级数，然后可用求R公式.
方法一把嘉级数
£(一1广*- ①
表为、如&),用比值判别法，当工尹0时求
n=l
r fjz) ]• 疽 2” ].必 I Z |2 1 . |2
lim hm ( 工 i奇切 • ~2^ = l】m & 工* = v ' x '
―Un 7-^- = “-*+8 (71 3C
n-»+8 (<27) I 1)2 n~*+8 2 (?2 j 1) 2
当即时收敛,当乓乙>1即时亏X(z)发
L 乙
n=l n-1
散，从而收敛半径K
方法二 令« = x2,①可写成去(一l)i 志令a” =(:穿，由收敛半径公式知，
OO
y.ant"的收敛半径R= lim d =2,故原蓦级数的收敛半径Rf.
a^x
n.i
再看播级数收敛区间端点x =±V2处的敛散性,当x =±V2时原级数为豆 Ug：,是收
n-1 n
敛的交错级数.
因此原级数的收敛域D = E-V2.V2],
. 229 .数学基础过关660题•数学三(答案册)
选 择 题
616
【分析】 /(1+^) =/[|+(|+^)]= |+^/(| + a:)-/2(|+x)
=§ + + vV(Z)- f2 (z) —[号 + J/Xz)—尸(乙)]
=+ +』* _ f (工) + — (z)
品+ (心-$)=心
所以fM)是周期为1的周期函数.
617
【分析】(D) 正确.(D) 正是极限的不等式性质中所述的结论.
(A)的错误在于由 lim/(j?) = limg(x) 不能判断他附近f (工)与 g&) 的大小关系.由 (B)
Hf气 工
0
的条件只能得 A, 2 Bo. 在 (C) 中没假设极限存在.选 (D).
618 【答案】c
【分析】 l x- i >i m (l — x2)tan . 2 lim - 1 - - — --- -jc-- 2 si . n 2 7t 工 il i- m - ±1 - - — --- J - u于 -- 2 • l x- i * m l sin Z
x—l cos —7T x x—1 cos —7： x
lim 1 — f lim —2»r £
X—1
cos —7C x K • 7t 7T
-Tsin
619
【分析】 ①是一条定理，正确.④也是正确的，证明如下：任给 M> 0, 由 lim /(x)=
工一和
+ 8 ,故存在》〉0,当z G Us(x0)时f(jc) > ~M.同理，由 limg(z) =+8 ,故存在"> 0, 当
z 0
了一工
1 e肉&。)时, g(z)> 取》与？中的小者，例如作私则当 z e 6( 血)时，
f (工) > §M,g(«z) >
乙 乙
于是八1) +g(z) > M.这就证明了 lim(/(i) +g(z)) =+8.④正确.
②看起来似乎是一条定理“无穷小的倒数是无穷大”，但实际上该定理还要有一条件
"_/(])尹0”.例如f (工) =^sin —, 有/(—) = —
n7r
sin nn = 0,所以当z =【时，提 无定
x \nn / rm f\x)
，
义，因此无法讨论 lim = lim x一si . n J (x二 只) ・所以②不正确.
j ^x)
x-*o lo
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③是不正确的，反例如下:/(^) = A，g(Q = M^,limy(z) =+8,limg(z)=
X X 工 fO x—
0
+ 8 ,但lim(/( j:) 一 g(z) ) = lim(— 1) = — 1 尹 0.
H—0 X—0
【评注】本题结论①④，都可当作定理来用.题中不正确的结论，要提高警惕，不要乱用.
620
【分析】 E = 土,E)—(1 *3，3 = 2"=)?
621 【答案】 C
【分析】 逐个考察之.以(C)为例.
•In(l+x) (e', -Ddf 洛 (eln2 <1+l) -1)吕1一
lim 八 2 = Hm -0 --------------— 洛 岫1- --------------1- -+- -z
x—0 X x-*0 X X-*O OJL
_ 1 ln2(l +x) _ 1 ..工2 _ ]
一hm 2 — -q- hm ~2 — _q~,
6 x—o x o x—o x 6
所以当0时y(z)与*3为同阶无穷小，(C)正确.其中第2个等式使用洛必达法则时用到
变上限求导定理；第3个等式用到等价无穷小替换：当“一。时e--l 第4个等式用到等
价无穷小替换，当”f0时,ln2(l+u)〜必.
【评注】其他几个选项(A)(B)(D)考察如下.
(A) 当工 f 0 时 a(z) = J：3 + x2 ~ X2. 一般，设 a(z) = + x" ,7zj > n > 0 ,则当 z
0时r +z"〜z"(方次低的那个大，与方次低的那个等价).
(z Brd)\ f/) i/( x\ )----1- ----C--O-S-- - J - C - ------Z--- 当 z — 0,二夭 0 时).
x x Li
(D)S(z) = (1 + sin *)s> — 1 =ein(i+x>i„ 一 1 〜In(l +z)ln(l + sin x)
xsin x 〜J?]当 z->0,z 乂 0 时).
622 【答案】D
W _ ]
【分析】 lim ( n2 e7 ——-—- =lim 1_ J_ _ 直
8 \ n — 1
=lim §[(l+t + m + oQ2))— (1+匕 +产+ 0(产))]
1
623 【答案】D
【分析】 按修,｝无上界的定义，对于任意给定的M>0,相应地总存在〃，使un>M.如果
. 231 .数学基础过关660题•数学三'答案册）
这样的〃只有有限个，取这有限个如的最大值，记为心，则当任意给定的M>u,时，修。中
没有一个un大于 M. 与3。无上界矛盾.故 （D） 正确.选 （D）.
【评注】 （A）的反例，｛un｝ ： 1, 2 ,2, ~ 3 ,3, 4 ,4, •••, ｛un｝无上界.此｛“”｝的 I \ u — n I ; 1,2,
§,3,4,
牛■，…仍无上界・
乙 j 《
（B） 的反例泓 = 1 + 告 （1 + （—1）”）， 有
=I 1, ”为奇数
h+ 〃， n 为偶数
｛un｝无上界，但 limwn 7^+°°.
n-*8
（C） 的反例同 （B）的反例｛u„｝,｛un｝无上界，但对于 M=2,满足如VM 的 n 仍有无限
多个（凡n为奇数时,％ = 1 V 2 = M）.
抓住｛“”｝无上界的实质，是解决本题的关键.
B
624 【答案】
COS 2
【分析】 lim 4 = 1血山~ j一 = lim 答当，欲使上式存在且不为零，取& = 1,有
j+ X lo+ 了 S
lim 上=1,所以当z —0+ 时 a 与了为同阶无穷小.
1 。+工
'X2
sin 同 • . 2 2 1
lim g = lim o —__ 11 .i• m sin- jl * 乙工 — ~ 乙 r 1l • im ~^X_3
x-0+ Z x-0+ 工 虹 k
—0+ 1
欲使上式存在且不为零，取左=3.有 lim 4 = 所以当工一 0+ 时冶与史为同阶无穷小.
Z 3
lo+
(-却
lim 4 = lim J】二f」l
=l
［
i
.
m
1_。+ 1 Z
h_°+ x—0+
欲使上式存在且不为零，取互=2,有 li 毋点=一号.所以按照排在后面一个是前面一个的高阶
无穷小的次序是a,抻，选（B）.
625 【答案】 A
/ r2 _ 1 OVtVI
【分析】 要使得已知函数/(X)= . / 二；在 ［0,2 〕上可导，则其必须在
\ax + 们 1 V z W 2
z=l
点连续，故
lim/(x) = lim (x2 — 1) = 0,
x—l- X—1~
lim/(x) = lim (az + 6)
X—1+ x—l +
=q + 5,
所以 q + 5 = 0. ①
要使得已知函数/(x) = (r2 _, Ji 0 V t 二 V 1 ；在 ［o,2］ 可导，则其必须在 7=1点可导，
［az 十们 1V^W2
・232・
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一
A(l) = lim " + 3)—") lim (l + &r)2 1
- Ar
△工
Ar-*O~
4(1) = lim "+ lim q(1 + △%) + b
E-0+ △工 Ax—0+ △z
"+岁
由①"+，=。,故—捋 仙=牛士 a.
△z
由/C(l) = /；(1) 可得 Q = 2,由①得b =-2,(A)选项为正确选项.
626
【分析】f(工) =(z — l)(z + 2) • | x |・| 1 一 2 |・| z + 2 |・ sin | z | ,
]=1 为函数f(i)的可导点，函数/&)可能的不可导点为z =—2,0,2. •
在x
=—2点，
lim 、N)= lim[(z — 1) • |
x \ • | x — 2
| • | z + 2 |・ sin I z I ] = 0
x
x—2 — (.— Z) X—-2
在z = 0点，
]im f(H)—」( 0)= [im (z—1)& + 2)・l u |・| z — 2 |・| z + 2 |・ sin | 工 | = °
X—>0 0 x-*0
3C JC.
在X = 2点，
lim 八*) ~~ J⑵=lim& — 1) (z + 2) • |工 | • | * + 2 | • sin | 工 | • 3 = L
X X
X—2 — 2 x-*2 — Z
不存在，所以函数f(z) = (j? +% — 2) | _攻| • sin | z | 的不可导点为 1 = 2.
627
【分析】 由f{x +1) = af (x),有
/(I) = lim r(l + m — y(l) = lim af(3「af(Q)=寸，( 0) = ab.选(D).
\工 、工
Az-* 0 Ax—»0
628 【答案】D
(A)(B)(C)(D)
【分析】 按 次序逐项考察:
lim/(x) = lim g&)二之—lim g'&)「突：=2-2 = 0 = /(0)
X
x-*0 x-*0 x-*0 1
所以/U)在z = 0
处连续.不选
(A).
I = lim f.W 顷=lim 也二里 Hm 旧二笙
3C. JC uJC
x-*0 z—0 x-*0
又是,，音,，型.因为
g(z)
在* = 0的某邻域二阶导数连续，可以继续使用洛必达法则，于是
I = Hm—以一 2户里临 g〃&)W =1^4=_3 (△)
x-*o lx x—o Z Z Z
所以广 (0) =一*，即r(z)在 z = 0处可导，故不选(B).再看 E)在£ = 0处是否连续，为
此，应先计算出_/'("(当了夭0).
'(工) =z(g'(>r) — 2。 2') — (g(z) — e?')
・233.数学基础过关660题•数学三（答案册）
临广（工）=1血弑/（工）一2烫）2-3愆）一史）
x-*0 x—0
i- gz（j：） — 2e2x i. g（x） — e2j
= lim ----------lim - ---z---
JC. 3C,
工-*0 x-*0
=-3—（n=r（。）
所以导函数f'S 在x = 0 处连续.选 （D）.
【评注】 其实，关于 gG） 的条件给得太强了，实际上，只要“设gG） 在了 = 0 处存在二
阶导数，且 g（0） = l,g'（0） =2,g 〃（ 0） = l”， 同样可推得 （D） 正确.若条件如此修改之后，那
么式（△） 中“洛"这一步就不行了（因为洛必达法则的条件（2）
不满足），应改用凑二阶导数
的办法.这点差异，提醒考生特别注意.
629
【分析】 因为 lim（ 1 — J\ — = 0,由夹逼定理知 lim | f （z） | = 0, 所以lim/（j?） = 0.
x-*0 x-»0 上―0
又由 I /（0） |< 1 - = 0, 所以 I /（0） | = o,于是 r（o）= o, 故 r（z） 在 z = 0 处连
（A）.
续.不选
再看可导性.因了（工）未给出具体表达式，只能按定义做.又因给出的是不等式，考虑用
了（。）=
夹逼定理.
fz） 一 顶&） v 1 m
1 — 0 1 、 | x |
lim 1 —/「£ = lim 一（叩_厂也=lim ^彳二'= 0 '
X X
x-0 I z I x-*0 I I 工一O I I
由夹逼定理, lim 3—］（。）= o, 所以 lim /（£）_件）=o, 即 /（0） 存在且为 0 .选 （D）.
— U x-0 — 0
X X
lO
【评注】
（1）题中/'（了）未具体给出，又未给出极限关系，给出了一个不等式，想到用夹
逼定理按导数定义去讨论可导性是很自然的事.
（2） 在用夹逼定理时，多次用到以下事实：M| «（0） |=0
的充要条件为
“（0） = 0".但请
注意，只有右边为0时才对.例如由I u（0） |=1 推不出 «（0） = 1（ 因为可能 u（0） =-1）； 由
I “（*） |=1,既推不出对一切x,u（x） = 1, 也推不出对一切 =-1,因为可能对某些
x,w（x） = 1, 对另一些 z,"（z） =— 1.
（3） 按定义讨论一点处的可导性，是重点内容.
630
【分析】由于/■〃（（））存在，故在了 =0 的某邻域r（z）存在，且在工=。处/■‘（.）连续.因此
lim 月土为“3” 型.但不能用洛必达法则，因为用洛必达法则要求在x = 0的某去心邻域内
=广（丁）+"〃（z）存在，对于现在这种情形，应采用凑二阶导数的办法如下：
f (工)
lim %强 J = lim
xj 矿（工）
x-0 (z) X—0
JC
・234・
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而
lim 么以= lim E — f'(o)= f，,(o)
— 0
x->0 JC x-*O x
lim /―（与x）洛］. £1 也 2 = | y”（0）
-----------==lim
x-0 x 工―0 2x
所以
/（£）
fr(o)
lim t2 1
x— —广'(。)
2
0
X
选(B).
【评注】如果按下述办法做：由洛必达法则，
[. ____ j _ r _________
器 xf,\x) + f'(.x) 需可*(一)+ f“〈H)+/'"( — )
r”(0) _ 1
O + y〃(O) +y"(O) 2
读者考虑一下，哪些地方错了？条件应添加到什么程度，上述运算才合理•
631
【分析】 原方程的特征方程为启 +g = O.
当q<0时，义按 =± J3, 通解为' =。代片+。 2 广'/=&,
当 G = 0，G 夭 0，lim y — C2 lim e~^x = 0.
I OO I
- I • I oo
当 q = 0 时，义 1 =义 2 = o,原方程通解为y = + C2.
当 q〉0 时,人】, 2 =±V^i,原方程通解为 y = Ci cosVgjr + C2sin Vgjr.
显然，只有qVO时，原方程存在当
z—+8时趋于零的非零解，故应选 (C).
632
【分析】由二阶线性微分方程通解的结构及题设知所求的二阶线性常系数非齐次方程
相应的齐次方程有两个线性无关解少=e21 ，力=，该微分方程的特征根分别是义 1 = 2 与
A2 = 一 1,从而特征方程是(A-2)Q + 1) = 0,即A2 -A-2 = 0, 由此可见所求方程的形式是
y" — J — 2 、= f(x).
(B) (D)
因此只能在 与 中选择.
方法 1 由于一2zef 是该方程的一个特解，又由于 A =- 1是单特征根，故只能是/ Xz)=
6 广(了(工)= 3 了厂时，它的特解类型是( or+3) 工厂).选 (B).
方法 2 记了 =— 2 工e」* ,则方程的右端项/(z) = y" — y — 2y.
由于丁 = 2(x — l)e-i ,y" = 2(2 — x)e-x,故
/(x) = 2(2 — x)e-x — 2(j? — l)e"x 4- 4ze_' = 6e-x
6e~・
代入即得相应的微分方程是y-y~2y=
633 【答案】c
【分析】需求对价格p的弹性即芸隔,按题意
. 235 .数学基础过关660题•数学三(答案册)
；器=_「( 1" + 1)
Q(P) = 1
、 I p=i
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得
=—(ln P + l)dF
警
积分得
In Q =-|(In P + l)dP =—Pln F + G ,Q = Ce-plnP
= CP-p
由初值 =c= 1,即。= p-p. 选 (C).
634 【答案】B
t分析】
由于Rt)
= Z2 - 1 为二次式，又因为a=—1,所以特解形式为
>(z)
= t(At2 +Bt+C) = At3 + Bt2 + Ct
应选(B).
【评注】 计算可得 A = =—§,C=—
0 Z 0
635
【分析】 根据设特解的规则应设特解公众号：旗胜考研
'y (.t) = Asin 第 2 + Bcos ~2-t
代入方程计算可得
=— 2 =— 1
A ,B
(C).
故应选
【评注】 一阶常系数非齐次线性差分方程
y+i +", =
f(t)的特解取法如下：
若/(Q = ，其中p”(t)是 t的m 次多项式，常数d 尹0.特解的取法如下表
系数a 满足的条件 特解§(£)的形式
Q + 1 尹 0 Q.Q)
Pm(t)是，的m 次多项式 Q + ] = 0 tQ—t)
M(T Q + d 义 0 Ad1
M
常数 ^0,d^l q + d = 0 Aid1
其中Q”(Q
是待定系数的m次多项式;
A
是待定常数.
若f(t) = Mcos a)t + Nsin 其中M,N,co 是常数，且 0 绝对收敛
绝对收敛 条件收敛 => 条件收敛
收敛（是条件收敛还是绝对收敛与具体级
条件收敛 条件收敛 =>
数吏有关）
n=l n=1
637 【答案】A
【分析】 方法1由于级数习记和习况都收敛，可见级数、（记+ ）收敛.
n=1 n=1 n=1
oo
由不等式2 I u„vn I < 及正项级数的比较判别法知级数I收敛，从而
n= 1
^2unvn 收敛.
n= 1
又因（如+u,）z =记+^+2”*“，即级数总（如+心）2收敛，故应选（A）.
rt= 1
方法2 设如=X, S = 1（〃= 1,2,…），则可知（B）不正确.
设un = — — ~（n = 1,2,…），则可知（C）不正确.
n n
设么=-——— （〃= 1,2,…），则可知（D）不正确.
n n
故应选（A）.
-237 -数学基础过关660题•数学三（答案册）
【评注】 在本题中命题（D）“若级数、皿收敛，且= 1,2,…），则级数、外
n=1 n—1
也收敛"不正确，这表明：比较判别法（将一个级数与另一级数作比较）虽然适用于正项级数
收敛（或级数绝对收敛）的判别，但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项
级数收敛性判别中的一个根本区别.但对一般项级数有如下判别法:若U” W如< W”（n =
OO OO ©O
1,2,…），又级数与、均收敛，则级数、皿必收敛.
638
【分析】 应熟悉正项级数的比值判别法：若hm角也=p,p V 1时习a”收敛,p> 1时
18 an ,,= ]
8 OO
发散,p= 1时判别法则失效.②中正是比值判别法中的一种情形p> 1,故习a“发散.结
n= n=
1 1
论②正确.
另外虹 v 1（或> 1）只能保证1而色旦v 1（或》1）,不能保证不带等号，此时不能用
Cln 8 CLn
比值判别法.例如a“ = V = 1, = V [发散.结论①不
n a„ n + 1 …a” 切 *儿
正确.
由选项的设置知，这四个结论中两个正确，两个错误，那么③④中一个正确，一个错误，因
而只能是结论④正确.因此选（D）.
【评注】（1）结论④正确.因为d> 0且= A,于是;I只有两种可能性，其一是
n-»oo
A>0,即!亚苧=义>0.由正项级数比较判别法的极限形式与调和级数发散可知亏>”发
-- n= 1
n
OO
散,这与、a,收敛矛盾.从而只能是第二种可能性入=0,即得limna” = 0.
n-1 18
（2） 结论③不正确.收敛级数有结合律，即可以添加括号，但反过来添加括号的级数收
敛，原级数可能不收敛.例如：设a” = （一 l）i（” = 1,2,-）,于是
OO OO 00
S+a2n） =、[（— 1）1 + （— 1）21] =
n= 1
mn 1 n=» 1
OO 8
收敛，但 =习（一1）1显然发散.
1 n=1
OO OO 8
（3） 若、（“21 +觇2”）收敛#53收敛.但是，若、（以2”-】+"2”）收敛，又lim“” = 0或
n=l n=l n=l ”-8
u„ > 0（n = 1,2,3,…），HO y^u„ 收敛.
639
【分析】这是正项级数敛散性的判别问题，四个结论中有两个正确，两个错误.按选项的
. 238 .
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设置，只须对①、②或③、④作出判断就可做出选择.
OO
方法1 若正项级数、收敛，则部分和S,有界:| S„ | = S„ < M(n = l,2,3,“・)n
n= 1
0 V < Man=>^Snan收敛，即结论①错误.
n= 1
同时因Sn单调上升2 Si = Q] > 0(n = 1,2,…)
=0 今豆m收敛，即结论②正确.
现按选项的设置，③、④中只能是③正确，因此选 (B).
方法2 若｛泌”｝是有界数列，即0 V V M(n = 1,2,3,…)
=>O
V武=n2al • V衅。、出收敛，即③正确.
n n 切
关于结论④，由例子:a” =
满足条件：
n
OO 8
an > Q+ (〃 = 1,2,3,…) 且n l - i »° m o t Zn = 0,但习_, a” =习一发散，可知④是错误的.
_1, n
n=i n=
现按选项设置可知，①、②中只能是②正确.因此选 (B).
640 【答案】A
【分析】由于总(一1)1““条件收敛，即立(一i)i郊收敛，而
n=1 n=1
SOO
、站发散。
Ii=
n=1 n=1
8
2 (— = Wi — w2 + W3 — U4 + -|- U2n-1 — u2n + ,,,
n= 1
收敛级数
习 (“271-1 — U2n ) 收敛。、以 2i ，、 U2n均发散=>
的结合律 n= 1 n= 1 n= 1
SOO [2
m
、叫=
2n-l +(W2n-1 — W2„ )].
n= 1 n=1
OO
由级数的线性运算性质=> 习叫发散.选(A).
n— 1
【评注】⑴上述讨论中说明了 ：若如一 l)f“收敛，则
n— 1
oo oo
U2n) (*)
N (― 1)1"” = (%L1 —
n=l n=l
若lim〃” = 0, V («2i — u2n)收敛，则(* )式成立.
i ”=]
， OO
由此知，四个级数如一 1)f”，W “21 习中，只要分别知道其中两个级
n— 1 n— 1 n— 1 n=l
数各自的和，就可分别求得另外两个级数的和.
.239.数学基础过关660题•数学三（答案册）
OO OO
如，已知 U2n = ^2，则
M2n-1 = Si ,
”=】
n=1
8 8 8 8
S （— 1）" 一" = S（“2L1 — %） =、吻 L1 一、 “2” = S] — S2
n —
n= 1 n= 1 1 n= 1
8 8 OO OO
n =、 S2
2X = S（M2~1 + “2”） «2n-l + £ %, = Si +
n«= 1 «= 1 n= 1 n= 1
OO 8
又如，已知、（一 1）I“” = S',»2I = S|,则由
n=1 n=1
oo
oo co oo
、（一 =、所 一、以 、妃=
”-1 2n=> Si — S'
n= n=I
1 n= 1 ”=1
8 8 CO
SM» = SM2n-l + 、也” =Si + （Si — S'） = 2S] — S'.
n= 1 ”= 1 n= 1
oo
（2）在题设条件下（即u„ > 0,n = 1,2,3,…，〉（一1）1%条件收敛），若正项级数
n=* 1
OO OO OO 8 OO
孙均收敛，则、（所 n ） 收敛，与为“”发散矛盾了，若这两级数
-1 + “2”
n=
n=» 1 n» 1 n= 1 1 ”=1
OO 8 8
中有一个收敛，另一个发散，则（― 1、（"21 — U2„）发散与、（一1）%“收敛矛
1 n»= 1 1
oo 8
盾了.因此只能是宿 » 、加”均发散.
2»-1
n=
«=1 1
641 【答案】B
【分析】 如果习久收敛，由
n=
1
I K &
8 8
知，、也“ 收敛，从而收敛与题设矛盾，故应选（B）.
I
n= n—
1 1
642
【分析】 关于命题①与②是考察考生对正项级数与变号级数之间差别的了解.
00 co
若习a“是正项级数且收敛，则n充分大后0 Wa“ WIDOW af《山，故、次收敛，即对
n=
&=1 1
正项级数而言命题①是正确的，但对变号级数而言，命题①是不正确的.如立 瑚普 收敛，
但力（于「=勇1发散. 〃
对于正项级数，命题②则是比较判别法极限形式的推论，但命题②对变号级数也是不正
确的.如 an = -— ,bn =-―尹-+【，贝= 1 + -—3—— 13 -► 8），即当 〃 8 时 Q,
插 4n n an 历
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与如是等价无穷小，但习山收敛而、6“发散.
n=
1 n=1
00 -1
关于命题③，若收敛,则必有a“为无穷小，这里要考察J与土的阶的关系.命题③
臼 n
是不正确的.如豆*22收敛，但乓？：乂。(上)(兀f 8).
命题④是正确的.因吏a”收敛=a” - 03 - 8)=口，有界即存在常数M使得| a„ |、如的部分和 T„ = a2 +a4 H------a2n < S2n WM(〃 = 1,2,3,…)即
n=
1
8 8
有界收敛•(正项级数收敛的充要条件是部分和有界・)同理习也收敛.
n=l «=1
644
【分析】 设0 Va〈l= I?” | . ^^7 1,用分解法：
(一 Ik . a” = (- IL . a" + 1 — 1 = (-l)i + (— 1)”
n 1 + an n 1 + n n (1 + an)
又IWI«=G)WG)"收敛f i绝对收敛，
・241・数学基础过关660题■数学三（答案册）
而£ y.条件收敛，因此原级数条件收敛.
应选（C）.
645
【分析】这里级数的一般项中含有三种类型的无穷大量.
〃“（# > 0） > 1） ,1iAz（3 > 0）
其中n-oo,它们的关系是
lim ~ = 0, lim
q
n->oo n-*oo
现考察此正项级数的一般项：
十
1
” 。"（ + 勺
n a _ _____\ a ）
na + In^n + /* n , lnpn . na
7 （i^ +
尹
这里 Q"〜bn（n f 8）,即 lim 兽= 1.
O n
n-*oo
收敛 1 即 a0,
从而数列
｛a“｝
必存在极限，若
" l - i * m 8 a , = 0,则必有交错级数, （- D-'a, 收敛，与题设条件矛盾.从而存在常数 a > 0 使得
n= 1
lima” =。，且 an a> 0（n = 1,2,3, …）。一W — < l（n = 1,2,3,…）
n—8 an i a ~r 1
=>v （—^7）" w （4r）'
\an + 1 / \a„ + 1 / \a + 1 /
又习 oo （冷 in ） 收敛，故级数 o 援 o （—1）1 （云土 3）"绝对收敛，应选 （C）.
647
【分析】方法1 因当n>3时， （ 一 1）1个？法§且级数£ §发散，从而级数①非
绝对收敛；
令 /（x） = 于是 lim = lim — = 0.
⑦ +8 X. JC
工 H—+8
f'&）= 1 _普工v o 当z 〉e时成立，这表明（虹）当n >3 时单调减少且 lim —=
（7? j
71
n-*oo
0.
由莱布尼茨判别法知级数①收敛.综合即知级数①条件收敛.
（
因、 条件收敛，、~― P-绝对收敛，从而它们的和 2 ）条件
n n=i \ Wn n /
n=l n=l
・ 242 -
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收敛.即级数④条件收敛.故选（D）.
方 万 土 去 ° 2 田 因
（sin
必） 如 < 一
（In
—
n）3
=—
1
V志3充分大时），其中lim=。,
73 n/4十111 〃亍 ni 7? 亏 ri^ n—°° 72 石
故哗 <
13充分大），因此级数②绝对收敛.
］）”T =（_ ］）1 而 +（— 1）" = 历—1 + 1 ］
因 （— （— ］）”-1 — 1
/7—（ 一 1）, n ~1 ”一 1 n
（-1）"-' , （-IL 1
+1= --------------------------1--------------------------------------------------
而 n-\ n-\
而级数豆（一 1）1 —^-,2 均收敛，级数立』发散，故级数③发散.
n=2 Jn + 1 n=2 71 】 n=2 〃
从上面讨论可得
（A）（B）（C）不正确，应选 （D）.
【评注】 （1） 用莱布尼茨法则证明交错级数、（一 l）”Ta”（a">0）收敛时，要证明数列
= 1
n
a„ 单调下降且lima. =0. 常用的一种方法是，引进一个辅助函数八工），使得fCn）=a„,然后
n-*oo
求出导数
/（X）.证明/（X）单调下降危充分大即可）就可得a„单调下降.还可能用洛必达
法则.求出 lim/Xz） = 0,即得 lima, = 0.级数①就是如此.
（2）V 常数 a >0 与位均有 lim \vtx =。,故mx>。,当ux 时有。〈号 VI.特别
*
有呻<1（”>N
时）.
7?亏
（3）
这四个级数中两个是条件收敛，两个非条件收敛.如果我们按顺序证明了级数①条
件收敛，级数②绝对收敛后，（A）,（B） 被排除，按选项的设置，只能选（D）.
648
【分析】 方法 1 （A） 中的 u„ = （In 由于 lim M1n2M - = 0=> 工充分大
JC
Zf+ 8
oo
时以三V 1,即In纭< 当n充分大时 （In In n）2 V In 〃，即如> e-lnn =【，且~~发散.
z n n
故g如发散.因此选（A）.
2
"方法 用排除法.
（B）由于 lim
^/n
= 1,
故〃充分大后街V
2,
于是
n—^oa
血x 2 1
" 2” 2” 2n-1
8 1 8 H/—
由、法F收敛，可知习穿收敛・
n=
n=l 乙 1 乙
或者，因为一般项含方蒂，也可用根值判别法.
lim = lim = § V ]
n—*8 n—>8 乙 乙
• 243 ・数学基础过关660题•数学三（答案册）
其中
limn"2 = lime"2 n= e° = 1
n—»8 n—8
8 nt—
由根值判别法知、哙 收敛.
n= 1巳
（C） 引入r（工）=i "/|l I一 &＞3）,则八工）＞ 0且单调减少.
zln z（In In xY
1
= o 一:---- ，又
nln ?? （In In nr
_ 仁
r°° r（ XI _ f+o° dlnx 一 8 dz
J3 /（J；）~ J3 （Inz）yin lnz）〃 Jz
oo . oo
该积分当。＞ i时是收敛的，由积分判别法,仪＞ i，6＞ o时、「品|~插=y；/（z2）收敛.
721na7z（ln In nV 七
（D） 因 〃, =sin 727TCOS + cos rmsin 制"=（—l）nsin 制"是交错级数一般项，由莱布
尼茨法则知级数收敛.
因此选（A）.
B
649 【答案】
ln(n!)
【分析】 设an
np
当 /> W0 时a" 发散.
n =
当0 < ” w 2时
、
ln A
ln( 1*2...........72) n — 2
J = ----------------~p-------------- 2 8 )
np np np
=>豆a“发散，其中In龙> 1。2 3).
n= 1
当P>2时
、
ln &
In
k = \ n\n n 71
0 V Q” =
np n nr-i
oo oo
由、唁收敛=»“收敛.
n=l n n=\
因此，少 6 (2, +8),选(B).
【评注】 设a>l,则力蜉收敛.
n=l 71
可取e > 0使得a — e > 1,
In n = ] . In 7i
na nz
由于lim 衅 =0,于是当〃充分大时
n-*oo n
・244・
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A — In 〃
OV*<1
也就有 ¥<岂
再由"收敛=a > 1时Z牛m收敛.
650
【分析】按题意要考察g（—i）v（+），2卜一i）"r（+）是否收敛.
先判断是否_/（ + ）> °且单调下降3充分大）且0.
由lim = a >。及 f（x'）在 x = 0 连续=> lim/（x） = 0 = /（0）.
3C
x-*0 re—0
再由可导性=>
) )
E — r<°
/(O) = lim = lim = a > 0
3C 3C
x->0 z-»0
由 f'(x)在 了 = 0 连续=>35>0,当工 £ (~8,S)时，'(z) >0,，(工)在(一8,3)/=>〃 充
分大后，§ e (―E3)/( + )>/(0)= °/(+)随〃单调下降.
1 8/[
又1W（7）=。。交错级数g（—l）V（ ; ）收敛•又
=Q > 0
8 1 I 8 [ 8
=>g（-1）-/（^）I = 2，（土）发散•因此g（—1宵（+）条件收敛.应选（C）.
60 OO
【评注】 取特殊情形/（X）= ax满足条件，g（—l）v（4）= g（T）”令，它条件收
敛，故选（C）.
上述分析中利用了极限性质，导数定义，连续函数的局部保号性等，论证了 /■（+）单调
下降，并求出11巧或）=0.
651 【答案】A
【分析】 由£5 的收敛域是（-8,8]可知，蓦级数习a,x"的收敛半径是8,从而蓦级
n=0 n=0
OO 8,8
数的收敛半径也是
8.
又因蓦级数、广”：〒是蓦级数》>“工
1
两次逐项求积分
n 【 n=2
= 2 n=2 〃 <72 ）
n
oo n 8 8
所得（或"湍3 两次求导得矗级数由矗级数和函数的性质可得，蓦级数援技：\）
・245・数学基础过关660题•数学三（答案册）
的收敛半径也是8.蓦级数、a.®" =、a” （x3）"的收敛域精8]z”= --j-— ( | x | < 1).
+ 1)
n= 1 n(.n n=l n = 0 】—
(zS(z))'= d*” =— ln(l — i)
o 1 — t
(x) =— f ln(l — zln(l — I + [ ―--
xS t)dt =— t) dt
J 0 Io Jo 1 — t
=—j：ln(l — z) + i + ln(l — z) | < 1)
( | x
S(x) =- ln(l - x) + J-ln(l - x) + 1 (—1 <工<1,工尹 0).
X
・247・数学基础过关660题-数学三（答案册）
（右端函数在x =-1右连续，左端级数y 产盘 在工=一 1收敛，故z =-1时等式也成立.）
廷 nCn + 1）
【评注】（l）S（O） = 0.
(2)S(x)=习 / 七 1、=— ln(l — x) 4- —ln(l — z) + 1(— 1 < z V 1 口 尹 0)
占 〃3 + 1) x
左端级数在工=1收敛，
S(l) = lim[— ln(l — x) + —ln(l — x) + 1] = lim —(1 — x)ln(l — x) + 1 = 1
工 工
x-*l- X-*1~
—(l-x)ln(l-x) + l,
( )X
s x n
因此 u，
x = 0
1, •X ==]
654
【分析】当丁夭。时
i — 1 +《一岌 + 矿一...
心=1 -笋了 = -------2」6!——
-所以 /（了）=土一&+/—*£+ …
在这个表达式中令X = 0也可得/（0） = 从而这个表达式对X G （—8, +8）成立.又因
为 g） = 2 暨詈r”，令儿=6,由函数蓦级数展开式的唯一性可得：
七 «!
/<6）（0） _ 1
~6! ~8!
所以舟>（o）=一畀=一餐.
o ! 00
【评注】 ⑴上式用到了 cos X的幕级数展开式cos Z =吏 . （―oo, 4-oo）.
〃）.
n=0 （2
OO
（2）若用间接法已求得y（z）的幕级数展开式一孔）”（| z一瓦|VR）,由于a”
n = 0
=土客，于是由藉级数展开式的系数可求得广”> &。）= «!%.
655 【答案】C
【分析】 由于 3 一林=(e,n3)~aInn = (eln")-flln3 = n~aln
而 〃 —aln 3 =E 1
n
若S 收敛»则 aln 3 > 1, 即
n
n=l
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1
a>
In 3
故应选（c）.
656 【答案】B
【分析】令Z = Z —a,考察的蓦级数改写成£（一1）1 它的收敛区间是（一1,1），收
敛域是（一1,1],由题设条件可知该赛级数t=—a时收敛,t>-a时发散.
由蓦级数收敛性特点* =—a应是收敛区间的右端点，则a =—1,故应选（B）.
657
【分析】这是正项级数.由比值判别法，lim住=/31im-------- =伙或由根值判别
法，lim Vw? = lim '匡=lim与；=g）知当0 < /?< 1时级数收敛，当6> 1时级数发散•当
8 y n nf 8 72
”-*8
OO OO
8=1时级数成为A 故当a>l时收敛，当0Va< 1时发散.综上所述即知级数、g的
n=l " n=1 ”
收敛性与a及F的取值都有关，应选（A）.
658 【答案】A
t- n 8 - 8
OO
【分析】 蚓（宇）a“收敛》幕级数丁当了 = 了时收敛。习W 的收敛半径R }
n=
1 ' n= 1 n= 1
亭=>、心”了1的收敛半径R > = 1时、心绝对收敛.即\ a„ |收敛.
n~ n=
1 n= 1 1
因此，应选（A）.
659 【答案】c
【分析】 方法1 由于收敛级数的一般项必是无穷小量.却imaM” = 1,则lima, = 0和
71-* 8 72—*8
lim&„ = 0中至少有一个不成立，则级数、a.和、九中至少有一个发散，故应选（C）.
”一8 n= 1 n= 1
方法2 关于（A）
a„ = —,b„ = -，满足lim告=。，收敛，但、a”发散.命题（A）是错的.
关于（B）
a„ = —,bn —虹满足lim咎=8,、a,发散，但、久收敛.命题（B）是错的.
n n % .切
关于（D）
有很多级数是发散的，其一般项是无穷小量.如
=5 = 土
n 而
. 249 .数学基础过关660题•数学三（答案册）
oo oo
满足 lim"“ = 0, 但 »“，»“均发散.命题 （D） 也是错的.因此选 （C）.
n-*<» , ,
n—
1 0=1
【评注】 对正项级数来说，命题
（A）是正确的.对于正项级数来说，若lim告=8,又
”-*8 On
oo co
、九发散，则、a”
发散.
n=1 n=1
660 【答案】B
方法 晔
【分析】 1 (B)W
n=l 71
因为芒 _ L(n + 1)! n e -> ^=>un = 勺^单调上升，从而lim丰
("1) + enn n n-*oo n
n
0, 级数 （B） 发散.
2
方法 对于级数立多，由比值判别法
n=
1乙
lim^i lim（"去?）怜=lim 〃 + 1 2 1 ] — i
n—oo Un n
• —2 = —2
、
V 1
或由根值判别法
lim Vu? = lim (写，=-y < 1
“f 8 '8 Cl 乙
则级数豆奈收敛.
乙
n=l
对于交错级数豆U lim =0,
irlnW,由于如充分大时辎单调减且 雄 由交错级数的莱
\]n Vn "f 8 血
n=l
布尼茨准则知该级数收敛.公众号:旗胜考研
对于级数力<-1）”[3土（一：1）'2了，由于
6"
n= 1
(一 1)”[3 + (—1)”2了 _ [3 + (—1)”2了
6" 6" 0 6”
则该级数收敛，故应选（B）.
【评注】 2.二雄 < 0(x > e，)n 实当 n > 9 时单调下降.
2x M \]n
积土成山，风雨兴焉.
积水成源，蛟龙生焉。
—《荀子》
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々
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