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26高等数学17堂课
专题6 不等式问题
（P88-95）
主讲 武忠祥 教授(一）函数不等式
(二）积分不等式(一）函数不等式
函数不等式常用的五种方法：
1）单调性； 2）最大最小值；
3）拉格朗日中值定理；
4）泰勒公式； 5）凹凸性；
常用不等式:
1) 2ab a 2 b 2 ,(a 0,b 0);
a a a
2) n a a a 1 2 n ,(a 0, i 1,2n);
1 2 n i
n
3)
sin x x tan x, x (0, );
2
x
4) ln(1 x) x, x (0,).
1 x1 x ln(1 x)
【例1】试证：当 时，
0 x 1
1 x arcsin x
1 x 2 ln(1 x)
【证】只要证
1 x arcsin x
即 ( 1 x)ln(1 x) 1 x 2 arcsin x
令 f (x) (1 x)ln(1 x) 1 x 2 arcsin x
x
则 f (x) ln(1 x) 1 arcsin x 1
1 x 2
x
ln(1 x) arcsin x 0
1 x 2
又 f (0) 0, 则当 0 x 1 时， f (x) 0, 原题得证.1 x
1 1
【例2】证明当 x 0 时， (1 x) x e 2 .
【证】取对数，则要证不等式变形为
1 x
(1 )ln(1 x) 1
x 2
即
2(1 x)ln(1 x) 2x x 2
令
f (x) 2x x 2 2(1 x)ln(1 x) (x 0)2a lnb lna 1
【例3】(2002年2）设 ,证明不等式
0 a b
a 2 b 2 b a ab
【证】先证左端不等式,
ln b ln a 1
(ln x) . (a,b)
b a
x
1 1 2a
由于 ，故 ，从而
0 a b
b a 2 b 2
lnb lna 2a
b a a 2 b 2
再证右端不等式. 设
x a
(x) ln x ln a (x a),
ax
1 1 1 a ( x a) 2
(x) 0,
x a 2 x 2x x 2x ax1 1
【例4】(1993年5）设 p,q 是大于1的常数,且 1
p q
1 1
证明: 对于任意的 x 0, x p x.
p q
1 1
【证】令 f (x) x p x (x 0)
p q
则 f (x) x p1 1
令 f (x) 0, 得 x 1,
又 f (x) ( p 1)x p2 , f (1) ( p 1) 0,【例5】 设 f (x) 在 [0,2] 上二阶可导.且 | f (x) | 1,| f (x) | 1,
证明： | f (x) | 2 (0 x 2)
f ()
【证】
f (x ) f (x) f (x)(x x) (x x) 2
0 0 0
2!
f ( )
f (0) f (x) f (x)(0 x) 1 (0 x) 2 （1）
2!
f ( )
f (2) f (x) f (x)(2 x) 2 (2 x) 2 （2）
2!
1
f (2) f (0) 2 f (x) ( f ( )(2 x) 2 f ( )x 2 )
2 1
2
| f (0) | | f (2) | 1
| f (x) | (| f ( ) | (2 x) 2 | f ( ) | x 2 )
2 1
2 4
1 1
1 [(2 x) 2 x 2 ] 1 4 2
4 4【例6】设函数 f (x) 在区间 (a, b) 内二阶可导,且 f (x) 0, 证明对
任意的 x , x (a, b), 且 x x 及 (0 1), 恒有
1 2 1 2
f [x (1 )x ] f (x ) (1 ) f (x ).
1 2 1 2
【证法1】令 x x (1 )x ,不妨设 x x , 则 x x x .
1 2 1 2 1 2
f (x) f (x ) f ( )( x x ) f ( )(1 )( x x ) ①
1 1 1 1 2 1
f (x ) f (x) f ( )( x x) f ( )(x x ) ②
2 2 2 2 2 1
① (1 ) ②得
f (x) f (x ) (1 ) f (x ) (1 )( x x )[ f ( ) f ( )]
1 2 2 1 1 2
由于 f (x) 0, 则 f (x) 单调增，从而有 f ( ) f ( ),
1 2
f (x) f (x ) (1 ) f (x ) 0
1 2【例6】设函数 f (x) 在区间 (a, b) 内二阶可导,且 f (x) 0, 证明对
任意的 x , x (a, b), 且 x x 及 (0 1), 恒有
1 2 1 2
f [x (1 )x ] f (x ) (1 ) f (x ).
1 2 1 2
【证法2】令 ,由泰勒公式得
x x (1 )x
1 2
f ( )
f (x ) f (x) f (x)( x x) 1 (x x) 2
1 1 1
2!
f ( )
f (x) f (x)(1 )( x x ) 1 (x x) 2
1 2 1
2!
f ( )
f (x ) f (x) f (x)( x x) 2 (x x) 2
2 2 2
2!
f ( )
f (x) f (x)(x x ) 2 (x x) 2
2 1 2
2!
则 f (x ) (1 ) f (x ) f (x)
1 2
f ( ) f ( )
1 (x x) 2 (1 ) 2 (x x) 2 f (x)
1 2
2! 2!1 1
【例7】设 p,q 0 ，且 1 ，又设 x 0, y 0 ，求证：
p q
1 1
xy x p y q .
p q
1 1
【证】只要证
ln(xy) ln( x p y q )
p q
p q
ln x ln y 1 1
即只要证 ln( x p y q )
p q p q
由例6可知,只要证 f (x) ln x 是凸的即可，由于
1 1
f (x) , f (x)
2
x x
则 f (x) ln x 是凸的,故
p q
f (x ) f ( y ) 1 1
f ( x p y q )
p q p q(二） 积分不等式
证明积分不等式常用的方法：
1）定积分不等式性质； 2）变量代换；
3）积分中值定理 ； 4）变上限积分；
5）柯希积分不等式；
常用的积分不等式:
b b
1) 若 f (x) g(x), 则 f (x)d x g(x)d x.
a a
b
2) m(b a) f (x)d x M(b a).
a
b b
3) f (x)d x | f (x) |d x.
a a
b b b
4) ( f (x)g(x)dx) 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx
a a a【例1】(2018年2）设函数 在 上2阶可导,且
f (x) [0,1]
1
f (x)dx 0, 则（ ）
0
1
（A）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（B）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
1
（C）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（D）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
【解1】几何法【例1】(2018年2）设函数 在 上2阶可导,且
f (x) [0,1]
1
f (x)dx 0, 则（ ）
0
1
（A）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（B）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
1
（C）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（D）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
【解2】排除法（特殊函数法）【例1】(2018年2）设函数 在 上2阶可导,且
f (x) [0,1]
1
f (x)dx 0, 则（ ）
0
1
（A）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（B）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
1
（C）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（D）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
【解3】直接法（泰勒）【例1】(2018年2）设函数 在 上2阶可导,且
f (x) [0,1]
1
f (x)dx 0, 则（ ）
0
1
（A）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（B）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
1
（C）当 f (x) 0 时，f ( ) 0,
2
1
（D）当 f (x) 0 时， f ( ) 0,
2
a b f (a) f (b)
b
【解4】直接法 f (x) 0, f ( )(b a) f (x)dx (b a)
2 a 2
sin x cos x x
【例2】设 I 2 d x ， I 2 d x ， I 2 d x ，则
1 0 1 x 2 2 0 1 x 2 3 0
1 (x ) 2
2
（A） （B）
I I I I I I
1 2 3 3 1 2
（C） I I I （D） I I I
2 1 3 3 2 1
cos x sin x cos x sin x cos x sin x
【解】
I I 2 d x 4 d x 2 dx
2 1 0 1 x 2 0 1 x 2 1 x 2
4
cos x sin x sin t cos t 1 1
4 d x 4 dt 4 (cos x sin x)[ ]d x 0
0 1 x 2 0 0 1 x 2
1 ( t) 2 1 ( x) 2
2 2
cos x
sin t sin t
I 2 d x 2 d t 2 d t
2 0 1 x 2
0 0
1 (t ) 2 1 (t ) 2
2 2k
【例3】(2012年1,2)设 I e x 2 sin xdx(k 1,2,3) ，则有
k
0
（A） （B）
I I I . I I I .
1 2 3 3 2 1
（C） （D） [D]
I I I . I I I .
2 3 1 2 1 3b a
b b
【例4】设 f (x) 连续且单调增.求证: xf (x)dx f (x)dx
a 2 a
a b
b
【证1】 只要证 (x ) f (x)dx 0.
a 2b a
b b
【例4】设 f (x) 连续且单调增.求证: xf (x)dx f (x)dx
a 2 a
a b a b
【证2】由于 (x )[ f (x) f ( )] 0;
2 2b a
b b
【例4】设 f (x) 连续且单调增.求证: xf (x)dx f (x)dx
a 2 a
x a
x x
【证3】令 F(x) tf (t)dt f (t)dt (a x b)
a 2 a【例5】设函数 f (x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上连续,试证柯西积分不等式
b b b
( f (x)g(x)dx) 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx
a a a
t t t
【证法1】令 F(t) f 2 (x)dx g 2 (x)dx ( f (x)g(x)dx) 2
a a a
则 且
F(a) 0,
t t t
F (t) f 2 (t) g 2 (x)dx g 2 (t) f 2 (x)dx 2 f (t)g(t) f (x)g(x)dx
a a a
t
[ f 2 (t)g 2 (x) g 2 (t) f 2 (x) 2 f (t)g(t) f (x)g(x)]dx
a
b
[ f (t)g(x) f (x)g(t)] 2 dx 0
a
则 F(t) 在 [a, b] 上单调不减，所以 F(b) F(a) 0.
b b b
f 2 (x)dx g 2 (x)dx ( f (x)g(x)dx) 2 0
a a a【例5】设函数 f (x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上连续,试证柯西积分不等式
b b b
( f (x)g(x)dx) 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx
a a a
【证法2】若 g(x) 0, 结论显然成立，否则，对任意实数
b
[ f (x) g(x)] 2 dx 0
a
b b b
即 2 g 2 (x)dx 2 f (x)g(x)dx f 2 (x)dx 0
a a a
b
又 g 2 (x)dx 0,
a
则关于 的这个二次三项式的判别式
b b b
4[ f (x)g(x)dx] 2 4 f 2 (x)dx g 2 (x)dx 0
a a a
b b b
即 ( f (x)g(x)dx) 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx
a a a【例6】设 f (x) 在 [0, 1] 上有连续导数,且 f (0) f (1) 0 ，
1
1 1
求证: f 2 (x)dx f 2 (x)dx
0 8 0
x
【证】 f ( x) f (t)dt
0
2 x x
f 2 (x) x f (t)dt 1 2 dt f 2 (t)dt
0 0
0
1
1
x
x f 2 (t)dt x 2 f 2 (t)dt (0 x ）
0 0 2
2 2 1 1
f 2 (x) x f (t)dt 1 f (t)dt 1 2 dt f 2 (t)dt
x x
1 x
1
1 1
(1 x) f 2 (t)dt (1 x) f 2 (t)dt ( x 1 ）
1
2
x
2
1 1
1 1 1
f 2 (x)dx 2 xdx 2 f 2 (t)dt （ 1 x)dx f 2 (t)dt
1 1
0 0 0
2 2祝同学们
考研路上一路顺利！
