文档内容
专题 21 统计与概率
考情概览
考点1 概率
考点2 样本估计总体
考点3 数据分析
考点 1 概率
1．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这
些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 的概率 =事件 可能出现
的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球，
∴摸出的球是白球的概率是 ．
故选：A．
2．（2023·北京·中考真题）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第
二次反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．
【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为 .
故选：A
【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．
3．（2021·北京·中考真题）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬
币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
【详解】解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无
其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次
摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，
第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
考点 2 样本估计总体
5．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数
（ ）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的 数据（单位： ），
并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
低体
等级 正常 超重 肥胖
重
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由样本估计总体，用 乘以样本中 等级为正常的人数所占的
比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中 等级为正常的人数是
人，
故答案为： ．
6．（2024·北京·中考真题）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了
它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量 （单位：g）满足 时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
【答案】160
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解．
【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，
50.00，50.02这8个，
∴这200个工件中一等品的个数为 个，
故答案为：160．
7．（2023·北京·中考真题）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从
中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
【答案】460
【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．
【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为
（只），
故答案为：460．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的
估计也就越精确．
8．（2022·北京·中考真题）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑
冰鞋的鞋号，数据如下：
3
鞋号 35 36 37 38 40 41 42 43
9
1
销售量/双 2 4 5 5 6 3 2 1
2
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．
【答案】120
【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．
【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．
故答案为：120
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售
量最高是解题的关键．
9．（2021·北京·中考真题）有甲､乙两组数据，如表所示：
1
甲 11 12 13 15
4
1 1
乙 12 13 14
2 4
甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 （填“＞”，“＜”或
“＝”）．
【答案】＞
【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比
较即可．
【详解】解：由题意得：
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．
考点 3 数据分析
10．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比
赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b．丙运动员10
次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平
均 12.5 12.5 p 12.5
数
中
位 m 12.5 12.8 12.45
数
方
0.056 n 0.034 0.056
差
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均
数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均
数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)乙、丁、甲、丙
【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是
解题的关键．
（1）根据中位数定义即可求解 ；（2）根据方差计算公式求解，再比较即可；
（3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可．
【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：
，
∴中位数 ，
故答案为： ；
（2）解：乙的10次测试成绩平均数为：
，
∴方差为：
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：丙的平均数 ，
∴丙的平均数最大，则实力最弱，
∵方差 ，
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为 ，
∴第 次成绩和为 ，
∴前5次测试成绩小于平均数，
∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，
故答案为：乙、丁、甲、丙．
11．（2024·北京·中考真题）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两
个阶段.
(1)初赛由 名教师评委和 名学生评委给每位选手打分（百分制） 对评委给某位选手的
打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组
）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
教师评
委
学生评
委
根据以上信息，回答下列问题：
① 的值为___________， 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为 ，则
___________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打
分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠
前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲
乙
丙若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，
表中 （ 为整数）的值为____________.
【答案】(1)① ， ；②
(2)甲，
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差
的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据题意得出 ，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【详解】（1）①从教师评委打分的情况看， 分出现的次数最多，故教师评委打分的众
数为 ，
所以 ，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第 个，从频数分面直方图上看，可得学生
评委给每位选手打分的中位数在第4组 ，
故答案为： ， ；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为： ， ， ，
， ， ， ， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当 ，则解得：
当 时，
此时
∵ ，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当 时，
此时
∵ ，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲， ．
12．（2023·北京·中考真题）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单
位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．
据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，
172，他们的身高的方差为 ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定
的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别
为______和______．
【答案】(1) ， ；
(2)甲组
(3)170， 172
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于 ，结合其余学生的身高即可做出选
择．
【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，
165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数 ，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数 ，
∴ ， ；
（2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为
，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：
方差越小数据越稳定是解题的关键．
13．（2022·北京·中考真题）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演
唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，
下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学
演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填
“甲”或“乙”）；
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最
优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】(1)
(2)甲
(3)丙
【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．
（2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解．
（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可
求解．
【详解】（1）解：丙的平均数： ，
则 ．
（2） ，
，
，
∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，
故答案为：甲．
（3）由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：
甲： ，
乙： ，
丙： ，
∵去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分最高，
因此最优秀的是丙，
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取
信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键．
14．（2021·北京·中考真题）为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万
元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：
）：
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，
11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．比较 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结
果）．
【答案】（1） ；（2） ，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总
收入为2200百万元．【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；
（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；
（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第
13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，
∵ 有3家， 有7家， 有8家，
∴中位数落在 上，
∴ ；
（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 最大为12个；乙城市中位数高于平
均数，则 至少为13个，
∴ ；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与
调查是解题的关键．
考点 1 概率
1．（2025·北京海淀·一模）不透明袋子中装有 个红球和 个黄球，这些小球除颜色外无
其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出 个红球和1个黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列树状图或表格求概率，概率公式．先根据题意列出树状图，再分别
得出所有可能的情况数和满足摸出 个红球和1个黄球的情况数，结合概率公式即可求解．
【详解】解：列树状图，如图：有图可知，随机摸出两个小球，所有等可能的情况有 种，其中满足摸出 个红球和1个黄
球的情况有 种，
∴恰好摸出 个红球和1个黄球的概率为 ．
故选：B．
2．（2025·北京西城·一模）在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它
们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公
式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及摸到一个红球和一个绿球的结果数，再利用概率公式
求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
红 红 绿
红 （红，红） （红，绿）
红 （红，红） （红，绿）
绿 （绿，红） （绿，红）
共有6种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有4种，
∴摸到一个红球和一个绿球的概率为 ．
故选：A．
3．（2025·北京大兴·一模）围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个
不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋
子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及摸
出1个黑子和1个白子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图
法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
黑子 黑子 白子
黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子）
黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子）
白子 （白子，黑子） （白子，黑子）
共有6种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有4种，
摸出1个黑子和1个白子的概率为 ．
故选：D．
4．（2025·北京通州·一模）北京城市副中心绿心公园步行道上有“二十四节气”，每个节
气都有独特的设计和标识，在一个不透明的盒子中放了6张关于“二十四节气”的卡片，
其中有2张“立春”，3张“立夏”，1张“立秋”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，
从中随机摸出一张卡，恰好是“立春”的可能性大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二
十四节气”的卡片，其中有2张“立春”，进行计算即可得出答案，熟练掌握概率等于所
求情况数与总情况数之比是解题关键．
【详解】解：在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张
“立春”，
∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性为 ，
故选：B．
5．（2025·北京顺义·一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，
把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两
次抽取的卡片正面相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公
式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【详解】解∶将这两张卡片分别记为A，B，列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种，
两次抽取的卡片正面相同的概率为 ．
故选∶C．
6．（2025·北京石景山·一模）不透明的袋子中有两枚白色棋子，一枚黑色棋子，三枚棋子
除颜色外无其他差别．从中随机摸出一枚棋子，放回并摇匀，再从中随机摸出一枚棋子，
则第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及第
一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌
握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
白 白 黑
白 （白，白） （白，白） （白，黑）
白 （白，白） （白，白） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑）
共有9种等可能的结果，其中第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的结果有2种，
∴第一次摸到白色棋子、第二次摸到黑色棋子的概率为 ，
故选：A．
7．（2025·北京房山·一模）不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其
他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是
红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．熟
练掌握列表法是解题的关键．
【详解】解：由题意，列表如下：
白 白 红
白 （白，白） （白，白） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，红）
红 （红，白） （红，白） （红，红）
共9种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果为1种，
∴ ；
故选B．
8．（2023·北京石景山·一模）不透明的袋子中装有红、绿小球各2个和1个，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那
么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再由概率公式求解
即可．本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
【详解】解：依题意，画树状图为：
由图知，一共有9种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种结果，
∴第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：D．
9．（2025·北京石景山·二模）不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无
其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同
颜色球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意画出相应的树状图，然后即可求得两次摸
球摸到不同颜色球的概率．
【详解】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有9种等可能性，其中两次摸球摸到不同颜色球的可能性有4种，
∴两次摸球摸到不同颜色球的概率是 ，
故选：C．
10．（2025·北京朝阳·二模）不透明的袋子中装有 个红球、 个绿球，这 个球除颜色外
无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把
所有等可能结果表示出来是关键．
运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有 个红球分别用
表示、 个绿球用 表示，
共有6种等可能结果，其中相同的有2种，
∴颜色相同的概率是 ，
故选：C ．
11．（2025·北京顺义·二模）北京是一座历史悠久的城市，有着丰富的旅游资源．甲、乙
两人相约来到北京旅游，两人分别从 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两
人同时选择景点 的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握
画树状图法或列表法求概率是解题的关键．【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有 种等可能的情况，其中甲、
乙两人同时选择景点 的情况有 种，
∴甲、乙两人同时选择景点 的概率为 ，
故选：A．
12．（2025·北京昌平·二模）不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色
外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把
所有等可能结果表示出来是关键．
运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下，
红1 红2 黄1 黄2
红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2）
（红2，红
红2 （红2，黄1） （红2，黄2）
1）
（黄1，红
黄1 （黄1，红2） （黄1，黄2）
1）
（黄2，红
黄2 （黄2，红2） （黄2，黄1）
1）
共有12种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，
∴颜色相同的概率是 ，
故选：B ．
13．（2025·北京西城·二模）2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中
天坛、正阳门、故宫、鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景
点中的任意一个去参观，则他们选择参观同一个景点的概率是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示天坛、正阳门、
故宫、鼓楼，画树状图，计算即可.
【详解】解：分别用A、B、C、D表示天坛、正阳门、故宫、鼓楼，
画树状图：
共有16种可能，小明和小华选择去同一个地方游玩有4种可能，
小明和小华选择参观同一个景点的概率为 ，
故答案为： ．
考点 2 样本估计总体
1．（2025·北京·一模）某中学随机抽查了 名学生，了解他们每天完成家庭作业的时间，
结果如表所示：
时间（小
时）
人数
根据相关规定，初中学生每天完成家庭作业的时间不得超过 小时．如果该校共有学生
人，估计该校学生完成家庭作业时间，符合要求的约有 人．
【答案】
【分析】本题考查利用样本估计总体，用总人数乘以样本中每天完成家庭作业的时间不得
超过 小时的人数所占的比例，进行求解即可．
【详解】解：故答案为： ．
2．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑
战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容
道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、
优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示：
项目奖 九连 七巧 五子 二十四 魔 华容 数
项 环 板 棋 点 方 道 独
参与奖 2 7 5 7 4 7 4
优秀奖 5 10 9 9 7 8 7
卓越奖 9 12 13 15 12 10 9
小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得
卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获
得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为
，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为
【答案】 16 58
【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种
情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断
小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项
目分4种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，
∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖
∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖，
∴魔方获得优秀奖的积分为7分
∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖
∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为 （分），
当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为 （分），
∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分；
∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，
∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖，
∴总积分为 （分）；
②当七巧板，二十四点获得卓越奖，∴九连环，五子棋获得参与奖，
∴总积分为 （分）；
③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖，
∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖，
∴总积分为 （分）；
④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖，
∴五子棋获得参与奖，
∴总积分为 （分）；
综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分．
故答案为：16，58．
3．（2025·北京西城·一模）某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产
线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两
条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生
产线合格产品的数量（单位：个）如下：
A：89 91 92 93 95
B：88 91 92 93 96
则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是 ．
【答案】A
【分析】本题考查了方差和平均数，先求出各生产线平均数和方差，然后比较方差即可得
出结论．
【详解】解：甲生产线的平均数为 ，
甲生产线的方差为 ，
乙生产线的平均数为 ，
乙生产线的方差为
∵ ，
∴质量更为稳定的生产线是A，
故答案为：A．
4．（2025·北京海淀·一模）某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智
能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下：
响应时间t（秒）
音箱数量（台） 15 25 10 10
根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为 台．
【答案】
【分析】本题考查了用样本所占比例估计总体数量，解题的关键是利用样本估计总体思想
的运用．
用 乘以智能音箱中响应时间小于1秒的音箱所占的比例即可．
【详解】解：估计3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为
台．
故答案为： ．
5．（2025·北京东城·一模）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康
测试结果登记表中，随机选取了100名学生的测试数据，并绘制成如图所示的条形统计图，
估计该校学生体质健康测试结果为“优秀”的总人数为 ．
【答案】192
【分析】本题考查了条形统计图和用样本估计总体，根据条形统计图计算出“优秀”的人
数所占的百分比是解题的关键．用该校的总人数乘以成绩为 “优秀”的人数所占的百分比
即可．
【详解】解：根据题意得：
（人），
答：其中成绩为 “优秀”的总人数估计为192人．
故答案为：192．
6．（2025·北京大兴·一模）2025年六五环境日的主题为“美丽中国我先行”，旨在动员全社会做生态文明的积极传播者和模范践行者，投身美丽中国建设．为了解所在小区居民各
类生活垃圾的投放情况，小丽同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放
量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，各类生活垃圾投放量分布
情况的扇形统计图如图所示，估计该小区300户家庭这一天投放的可回收物共
千克．
【答案】260
【分析】本题主要考查扇形统计图，用样本估计总体，求出样本中100千克垃圾中可回收
垃圾的质量，再乘以 可得答案．
【详解】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约
（千克），
故答案为：260．
7．（2025·北京顺义·一模）某图书馆准备购进5000本图书，了解了某段时间内借阅的500
本图书的种类，数据如表：
自然科
图书种类 文学 人文社科 工程技术 艺术
学
借阅数量/本 55 101 168 153 23
根据以上数据，估计该图书馆购进图书种类需求最多的图书的数量为 本．
【答案】1680
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
根据题意购进图书种类需求最多自然科学所占的比例为 ，计算 即可得到答
案．
【详解】解：根据表格信息可得自然科学类图书需求最多，∴该图书馆购进图书种类需求最多的图书的数量为 （本），
故答案为：1680．
8．（2025·北京石景山·一模）某地区有400个公园．为了解公园用地面积的基本情况，从
中随机抽取50个公园并获得它们的用地面积x（单位：公顷），数据整理如下：
用地面积
公园个数 4 10 16 12 8
根据以上数据，估计这400个公园中用地面积不超过12公顷的公园有 个．
【答案】240
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用400乘以样本中用地面积不超过12公顷的公
园个数占比即可得到答案．
【详解】解： 个，
∴估计这400个公园中用地面积不超过12公顷的公园有240个，
故答案为：240．
9．（2025·北京朝阳·一模）体育委员从全年级 名学生中随机抽取了 名同学，统计
了他们 秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次
数
频
数
根据以上数据，估计该年级的 名学生中 秒跳绳次数在 范围的学生有
人．
【答案】
【分析】本题考查频数分布表，部分估计总体，解题的关键是数形结合．用 乘以跳绳
次数在 范围的占比，即可求解．
【详解】解：跳绳次数在 范围的学生有： （人），
故答案为： ．
10．（2025·北京·一模）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的800名同
学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成表，请你估计
这800名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ．节水量/ 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
【答案】
【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，熟练掌握加
权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键．
先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这 名同学的家
庭一个月节约用水的总量 ．
【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为
这800名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ，
故答案为： ．
11．（2025·北京通州·一模）《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将劳动教育纳入学
生综合素质评价体系，“五育”并举，全面育人．某中学共有1000名学生，为了解这
1000名学生每周参加家务劳动的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，统计了
他们的家务劳动时长（单位：小时），数据整理如下：
家务劳动时长
学生人数 10 30 23 20 15 2
根据以上数据，估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为 名．
【答案】370
【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体．用学生总数乘以样本中家务劳
动时长不小于3小时的学生所占比例即可得出答案．
【详解】解： ，
即这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数约为370名．
故答案为：370．
12．（2025·北京平谷·一模）下表是随机抽取的某年级50名同龄男生身高（单位： ）
的数据：
14 15 15 15 15 15 15 15
身
6 1 3 4 6 7 8 9高
人
1 2 2 2 3 4 8 4
数
身 16 16 16 16 16 16 16 17
高 0 1 2 3 4 5 7 0
人
4 2 4 3 3 3 4 1
数
根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在 （含 ） 以上的人数为
．
【答案】96
【分析】本题考查的是用样本估计总体，灵活运用样本估计总体的思想是解题的关键．根
据统计表得出身高在 （含 ） 以上的人数所占的百分比，用样本估计总体进行列
式计算，即可作答．
【详解】解：由统计表可知：50名同龄男生身高在 （含 ） 以上的人数为：
（人），
则200名同龄男生身高在 （含 ） 以上的人数： （人），
故答案为：96．
13．（2025·北京丰台·一模）为了解某校九年级 名学生每周在校的综合体育活动时间
（单位：小时），从中随机抽取了 名学生进行调查，数据整理如下：
时间 /小时
学生人数 2 6 26 6
根据以上数据，估计该校九年级400名学生每周在校的综合体育活动时间不低于10小时的
人数是 ．
【答案】320
【分析】本题考查了样本百分比估算总体数量，掌握由样本百分比估算总体的计算方法是
关键．
根据表格信息得到样本中体育活动时间不低于10小时的人数，得到对应的百分比，结合样
本百分比估算总体数量的计算方法即可求解．
【详解】解： （人），
故答案为：320 ．14．（2025·北京房山·一模）某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情
况统计如表：
月用电量x（千瓦时）
户数（户） 7 13 10 15 5
根据以上数据，估计该小区用电量在 （千瓦时）的家庭有 户．
【答案】380
【分析】本题考查了用木样本估计总体数量，理解用样本的百分比作为总体的百分比是解
题的关键；求出该小区用电量在 （千瓦时）的家庭所占的百分比，与小区所
有家庭的乘积即可得到结果．
【详解】解：该小区用电量在 （千瓦时）的家庭所占的百分比为：
， （户）；
答：该小区用电量在 （千瓦时）的家庭有380户．
15．（2025·北京·一模）某社区医院六月份有300名女教师做体检，医生从中随机抽取10
名女教师计算了它们的体重指数，得到的数据如下：
24.8 23.0 23.5 23.9 25.2
18.9 22.1 19.7 22.4 17.3
当体重指数参考值x 满足 时，评定为标准体重．根据以上数据，估计
这300名女教师中标准体重的人数是 ．
【答案】210
【分析】本题考查利用样本估计总体，先找出抽取的10名女教师中标准体重的人数，再根
据样本估计总体的方法来计算300名女教师中标准体重的人数．
【详解】解：抽取10名女教师标准体重有7人，
∴这300名女教师中标准体重的人数为 人，
故答案为：210．
16．（2025·北京西城·二模）为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列
抽样调查方式中最合适的是（ ）
A．随机抽取某个班的全体学生
B．每个年级各推荐20名学生
C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生
【答案】D
【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样
时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断．
【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛
性，将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生，这些对象具有代表
性和广泛性．
故选：D．
17．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后
的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下：
甲组：10，11，12，13，14，15
乙组：12，13，14，16，15，
若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的 的值可以为 ．（写出一
个即可）
【答案】11或17（写出一个即可）
【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了 外，每个数据
之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可．
【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差 ，而乙组除了 外，每个数据之间也是相
差 ，
又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同，
∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都
是连续的相差只有1，
∴ 或者 ；
法二，甲组： ，
∴ ，
乙组： ，
∴解得 或 ，
故答案为： 或 （写出一个即可）．
18．（2025·北京房山·二模）某校为了解全校 名学生的课外阅读情况，从中随机抽取
了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下：
每周课外阅读时间 /小时
人数
若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需
要表彰约 人．
【答案】
【分析】本题考查频数分布表，样本估计总体，用 乘以阅读时间大于等于2小时的同
学的占比，即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
19．（2025·北京大兴·二模）从某校初三年级甲、乙两班中各选取25名学生参加诗词大赛，
参赛成绩的平均数、中位数、众数如下表．如果比赛得分不低于85分记为优秀，那么甲班
的优秀人数 乙班的优秀人数（填“>”“=”或“<”）．
中位
班级 平均数 众数
数
甲班 86 84 85
乙班 84 86 85
【答案】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，解题的关键是理解相应的概念，会利用中位
数来决策．
【详解】解： 甲班的中位数是 ，乙班的中位数是 ，
故甲班的优秀人数少于或等于 人，乙班的优秀人数等于或大于 人，
那么甲班的优秀人数少于乙班的优秀人数，
故答案为： ．20．（2025·北京顺义·二模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知
识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整
理如下：
成
绩
人
10 15 25 30 20
数
根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人．
【答案】750
【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本
数据可以估计总体．
用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案．
【详解】解：由题意得， （人），
故答案为：750．
21．（2025·北京丰台·二模）某商场计划进某款运动服200件，了解了某段时间内销售的
40件该款运动服的尺码，数据如下：
尺码
销售量/件 5 15 9 10 1
根据以上数据，估计该商场进尺码需求最多的这款运动服的数量为 件．
【答案】75
【分析】本题考查了众数以及用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的
关键．根据题意销量最多的 码所占的比例为 ，计算即可得到答案．
【详解】解：根据表格中的数据可得销售的40件运动服中， 码的最多，为15件，
码运动服所占比例为 ，
该商场进尺码需求最多的这款运动服的数量为 件，
故答案为：75．
22．（2025·北京昌平·二模）某徒步团队由七人组成，每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17（单位： ，此时七人负重数据的方差为 ．出发时又为每位成员补充
了 饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为 ，则 （填“>”，“=”或
“<”）．
【答案】＝
【分析】本题考查了方差，解题关键是理解数据整体加上相同数值时，数据间相对离散程
度不变，利用方差公式及该性质判断前后方差关系．
明确方差衡量数据波动大小，依据方差性质，一组数据同时加上相同数，数据相对波动不
变，每人负重都增加 ，符合上述情况，所以前后方差相等．
【详解】∵每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17，出发时又为每位成员补充了
饮用水，
∴相当于每个数据都加上 ．
设原数据 ，平均数为 ，方差为 ；
∴新数据 ，新数据平均数 ．
新数据方差
．
；
∴ ．
故答案为： ．
考点 3 数据分析
1．（2025·北京·一模）某校“ 节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的
打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：85，86，88，90，90，91，92，94
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ）
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
教师评
90
委
学生评
93
委
根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分的众数 ， 的值位于学生评委打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为 ，则
（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其
打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排
序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 90 92 90 89 91
乙 90． 91 89 90 91
丙 92 89 91 91
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中 （
为整数）的值为 ．
【答案】(1)①90,3②
(2)甲，89
【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键．
（1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可；
（2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为
，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可．
【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90，
（分）；
学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数，
第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据，
所以第25位和26位数据在第3组，
即 的值位于学生评委打分数据分组的第3组，
故答案为：90,3；
② ， ，
故答案为： ；
（2）解： （分）
（分）
∴ ，
所以甲排在乙的前面，
由于丙中间， ，
所以 ，
解得， ，
①当 时，
，，
此时， ， ，
所以丙排在乙的后面，不符合题意；
②当 时， ，
此时， ， ，
所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意；
综上， ．
故答案为：甲， ．
2．（2025·北京石景山·一模）某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名
学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据．
a．甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据：
甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5
乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3
b．甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数：
得分平均 篮板平均 助攻平均
数 数 数
甲 21.5 5.0 1.2
乙 18.9 5.0 3.0
根据以上信息，回答下列问题：
(1)10场比赛中，甲学生篮板的众数是______，乙学生篮板的中位数是______；
(2)10场比赛中，篮板更稳定的是______学生（填“甲”或“乙”）；
(3)记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个．若 的值越大，则认为该名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生______在这10场比赛中的综合表现更好（填
“甲”或“乙”）．
【答案】(1)5；5；
(2)甲
(3)乙
【分析】本题考查了众数和中位数的概念，方差的计算，熟知相关概念是解题的关键．
（1）利用众数和中位数的概念即可解答；
（2）通过计算方差，比较即可解答；
（3）根据题意计算，比较即可解答．
【详解】（1）解：甲同学篮板数据中出现次数最多的是5，
故甲学生篮板的众数是5，
甲同学篮板数据从小到大排列为 ，
故乙学生篮板的中位数是 ，
故答案为：5；5；
（2）解：
，
，
，
篮板更稳定的是甲同学，
故选：甲；
（3）解：甲的得分为 分；
乙的得分为 分，
，
学生乙在这10场比赛中的综合表现更好，
故选：乙．
3．（2025·北京·一模）为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办
“禁毒知识”竞赛．初赛有45名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按 比例计算出每人
的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
① 45名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分6组，每组包含最小值，不含
最大值）
② 其中总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
③ 初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成 抢答成 演讲成 总评成
绩 绩 绩 绩
小
93 90 92 91.6
文
小
90 85 96
武
根据以上信息，回答下列问题：
(1)将“45名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整；
(2)45名选手初赛成绩的中位数为 分；
(3)总评在91~94分选手成绩的众数为 分；
(4)上表中a = 分；
(5)如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛．试分析小文和小武二人
中，谁能进入决赛，并说明理由．
【答案】(1)补全频数分布直方图见解析
(2)91
(3)91
(4)89.2
(5)小文，理由见解析
【分析】（1）先求出第5组人数，补全频数分布直方图即可得到答案；
（2）由45名选手初赛成绩的频数分布直方图，结合中位数求法得到中位数在第4组，将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列即可得到答案；
（3）由总评在91~94分的选手成绩，结合众数定义求解即可得到答案；
（4）由笔试、抢答和演讲三项成绩按 比例计算出每人的总评成绩，由加权平均数求
解即可得到 ；
（5）由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；由（2）知，45名选手初
赛成绩的中位数为91分，比较小文、小武成绩与成绩中位数大小即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知第5组人数为 ，
补全频数分布直方图如下：
；
（2）解：如图所示：
45名选手初赛成绩的中位数是第23名的成绩，则中位数在第4组，
将总评在91~94分的选手成绩从小到大排列：
91 91 91 91.5 91.6 92 92 92.2 92.6 93 93.5 93.8
45名选手初赛成绩的中位数为91分；
（3）解：由总评在91~94分的选手成绩如下：
93 91 91.5 92 92.6 91.6 93.5 92 92.2 91 93.8 91
总评在91~94分选手成绩的众数为91；
（4）解：初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下：
笔试成 抢答成 演讲成 总评成
绩 绩 绩 绩小
93 90 92 91.6
文
小
90 85 96
武
由小文的总评成绩即可得到小武的总评成绩为 ；
（5）解：小文，
理由如下：
由（4）中小文总评成绩为91.6；小武的总评成绩为89.2；
由（2）知，45名选手初赛成绩的中位数为91分，
，
根据初赛总评成绩择优选拔23名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数，
小文能进入决赛．
【点睛】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、计算中位数、计算众数、计算加权平
均数、利用中位数做决策等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键．
4．（2025·北京朝阳·一模）一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．
某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行
了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：
）：
b．二队成绩如下：
68 69 70 70 71 73 77 78 80 81
82 82 82 82 83 83 83 86 91 94c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下：
平均 众 中位
数 数 数
一
79.6 77 P
队
二
79.25 m q
队
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m的值为___________，p___________q（填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________；
A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大
C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小
(3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学
又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手
排序靠前．这5次测试的成绩如下：
测试 测试 测试 测试 测试
1 2 3 4 5
甲 90 94 90 94 91
乙 91 92 92 92 93
丙 93 90 92 93 k
若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________．
【答案】(1)82，
(2)D
(3)91或92
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差．
（1）根据众数以及中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义意义求解即可；
（3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多，
故众数 ，
一队成绩的中位数位于 ，二队成绩的中位数为 ，
∴ ，
故答案为：82， ；
（2）解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩
的方差都减小；
故答案为：D；
（3）解：甲选手的平均数为： ，甲选手的方差为：
，
乙选手的平均数为： ，乙选手的方差为：
，
丙选手的平均数为： ，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，
则方差较小的选手排序靠前．
∴ ，
解得 ，
∵k为整数，
∴当 时，丙选手的平均数为： ，丙选手的方差为：
，此时甲丙平均数
一致，但是丙的方差更小，符合排名；
当 时，丙选手的平均数为： ，丙选手的方差为：
，此时乙丙平均数一致，但是乙的方
差更小，符合排名；∴k（k为整数）的值为92或91，
故答案为：92或91．
5．（2025·北京顺义·一模）某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中
45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试．
下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：
学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13
学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905
学习后评估测试
0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800
的正确率
(1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确
率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，
以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保
留小数点后三位）；
②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；
③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被
正确识别．
【答案】(1)见解析
(2)①0.100；②6；③80
【分析】本题考查了由函数图象获取信息，描点法画函数图象，正确理解题意，读懂函数
图象是解题的关键．
（1）利用描点法即可作图；
（2）①由图象找出大致所对应的点，再作差即可；②由图象即可求解；
③由图象可得当学习后评估测试的正确率达到稳定时，正确率约为0.800，再由100乘以
0.800即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：①由图象可得：差值约为 ，
故答案为：0.100；
②由图象可得，至少经过6次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率，
故答案为：6；
③由图象可得， ，
∴当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计80幅能被正确
识别，
故答案为：80．
6．（2025·北京东城·一模）2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代
中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某
校从初二年级随机抽取20名学生，记录这20名学生某日校外体育活动时长（单位：分
钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息：
a．20名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组： ，
， ， ， ）：
b．20名学生校外体育活动时长在 这一组的是：
55 56 56 56 56 56 58 59
c．20名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
56.2 m n
(1)根据以上信息，回答下列问题：
①补全频数分布直方图；
②m的值为________，n的值为________．
(2)甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）：
学 第一 第二 第三 第四 第五
生 天 天 天 天 天
甲 64 58 60 60 59
乙 60 63 60 60 57
丙 62 60 58 59 p
对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平
均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这
三名学生中排序最靠前的是________，表中p（p为整数）的值为________．
【答案】(1)①见解析，②
(2)甲，
【分析】此题考查了频数分布直方图、众数和中位数、平均数和方差等知识，熟练掌握求
解方法是关键．
（1）①求出 的频数，补全频数分布直方图即可；②根据定义进行求解即可；
（2）求出方差和平均数，再根据排序方式分类求解即可．
【详解】（1）解：①由题意可得， 的频数为 ，
补全频数分布直方图如下：②由题意可知，中位数是活动时长从小到大排列后处在第10和第11个数据的平均数，即
为活动时长在 这一组从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数，即
，
在这组数据中56出现的次数最多，共出现5次，故n的值为56，
故答案为：
（2）解： ，
，
，
，
，
∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，
若按平均数大小排序，即 ，
则 ，解得， ，
∵p为整数，
∴不符合题意；
若按方差大小排序，
当 时， ，则 ，解得： ，
此时 ，不符合题意；
当 ， ，
则 ，解得： ,
此时 ，符合题意；
∴这三名学生中排序最靠前的是甲，表中p（p为整数）的值为 ，
故答案为：甲，
7．（2025·北京顺义·一模）某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶
段．
(1)初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手
的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．专业评委打分：
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98
b．群众评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组
）：
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数专业评委 91 m n
群众评委 p 91
根据以上信息，回答下列问题：
①写出表中m，n的值；
②比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到90分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该
选手_______（能/不能）直接进入复赛；
③比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级．当有一半及以上的评委打分超过
95评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90评为二级；当没有达
到二级，且有一半及以上的评委打分超过85评为三级．那么该选手的受欢迎等级为
_______（一级/二级/三级）；
(2)复赛由5名专家评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为
评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委
给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委
对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是________（打分为整数）．
【答案】(1)① ， ；②能；③二级
(2)93
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差
的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）①根据众数、中位数的定义解答即可；
②根据算术平均数的定义解答即可；
③根据题意规则划分等级即可
（2）根据题意得出 ，进而分别求得方差与平均数，由分值进行讨论，求解即可．
【详解】（1）解：①专业评委打分从小到大排序后位于中间位置的两个数分别为90和
91，
∴ ，
专业评委打分中出现次数最多的是90分，
∴ ；
②专业评委打分的平均分为 ，
∴该选手能进入复赛，故答案为：能；
③由直方图可得，群众评委打分中，有 人超过95，人数不足一半；
位评委打分超过90，人数超过一半；
∴该选手的受欢迎等级为二级，
故答案为：二级；
（2）解：甲选手的平均分为 （分）
∴甲选手的方差为 ，
设第五名评委给乙选手的打a分
∵乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，
∴ ，解得 ，
当整数 时，
此时 ，
当 及以上时，方差增大，
故答案为：93．
8．（2025·北京石景山·一模）沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时
的古老工具，某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容
器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即
为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位： ）与时间t
（单位： ）之间的关系，部分数据如下：
30 60 90 120 150
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完 沙子所用的时间t（单
位： ）与孔径d（单位： ）之间的关系，部分数据如下：根据以上探究的实验数据，解决下列问题：
(1)在探究一中， 时漏下沙子的质量约为______ （结果保留小数点后一位）；
(2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为______ ；
(3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完 沙子所用时间为 的沙漏，其孔径约为______
（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题主要考查了求平均数，统计表，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理
解题意是解题的关键．
（1）求出每秒平均漏出的沙子质量，再用60秒漏出的沙子质量加上15秒一共漏出的沙子
质量即可得到答案；
（2）根据探究一和探究二中表格的数据即可得到答案；
（3）①先描点，再连线画出函数图象即可；②根据函数图象找到当 时， 的值即可
得到答案．
【详解】（1）解： ，∴在探究一中， 时漏下沙子的质量约为 ；
（2）解：∵探究一中，漏完 沙子所用的时间为 ，
∴由探究二可知，探究一中所用沙漏的孔径为 ；
（3）解：①如图所示，即为所求；
②由函数图象可知制作一个漏完 沙子所用时间为 的沙漏，其孔径约为 ．
9．（2025·北京房山·一模）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健
美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比
赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表：
单项比赛 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数
计分规则 即为该项得分．
团体决赛 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若
计分规则 最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前．
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，
部分信息如下：
a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图：b．丙班五个单项
得分表：
项
一 二 三 四 五
目
得 8 9 9 9
m
分 8 4 0 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲班五个单项得分的中位数为：________；
(2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二
个单项的得分 ________；
(3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）；
(4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整
数）．
【答案】(1)92
(2)83
(3)丙
(4)98
【分析】本题考查了统计表与折线统计图，中位数，求平均数等知识，掌握这些知识，数
形结合是解题的关键；
（1）根据中位数的意义即可求解；
（2）去掉最高分与最低分，求出三个得分的平均数即可；
（3）计算两班的团体得分，即可判断；
（4）由（3）的计算知，乙的第5个单项得分即可确定．
【详解】（1）解：由折线统计图知，甲班得分按由低到高排列为80，83，92，93，98，
则中间位置的分数是92，即中位数为92；故答案为：92；
（2）解：在80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80，
则 ；
故答案为：83；
（3）解：甲班的团体得分为： ，
丙班的团体得分为： ，
则丙班更靠前；
故答案为：丙；
（4）解：由（3）知，乙的团体得分为446，则 ，
则可能得分为98分；
故答案为：98．
10．（2025·北京平谷·一模）七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的
测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息：
a．这20名男生体能测试成绩如下：
b．这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组： ，
：
c．这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如下表
所示：
平均 众 中位
数 数 数
请根据所给信息，解答下列问题：
(1) ___________， ___________；(2)补全频数分布直方图；
(3)现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的
了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成
绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三
次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均
数相同，则方差较小的选手排序靠前．若甲、乙、丙三位选手的成绩如下：
成绩 成绩 成绩 本次测试
1 2 3 成绩
甲 93 94 95
乙 96 94 95
丙 93 94 94
则这三位选手中首先入选的是___________；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分
相同，则落选的那位选手为___________．
【答案】(1)88，87
(2)见详解
(3)乙；甲
【分析】该题考查了中位数、平均数、方程和众数的定义，频数分布直方图，解题的关键
是理解题意．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）先求出 和 的人数，再画图即可．
（3）根据题意求出三人前三次成绩之和，乙本次成绩取最小时得出依然是乙四次成绩之和
最大，即乙四次成绩平均数最大，故乙首先入选，再根据第二位入选的选手和落选的那位
选手平均分相同，分两种情况分析即可．
【详解】（1）解：将这20名男生成绩从大到小排列如下：
故这
20名男生成绩数据的中位数 ，众数 ，
故答案为：88，87．
（2）解：根据题意 的人数是2人，
的人数是8人，补全频数分布直方图如下：
（3）解：根据表格可得：
甲前3次成绩的和为 ，
乙前3次成绩的和为 ，
丙前3次成绩的和为 ，
∵甲、乙、丙三人的成绩都在95，94，93这三个分数中，但是不确定各自对应的分数，
乙比甲和乙总分分别多出3和4分，故无论乙取上述三个数中的任何一个值，则乙的总分
都最多，故平均分最高，
因此这三位选手中首先入选的是乙．
若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，
即甲和丙的平均数相同，则本次测试甲要比乙少1分，
当甲本次测试成绩为93，乙本次测试成绩为95，丙本次测试成绩为94时，
此时甲四次成绩的平均数为 ，
丙四次成绩的平均数为 ，
根据数据可得甲的方差大于丙的方差，
当甲本次测试成绩为94，乙本次测试成绩为93，丙本次测试成绩为95时，
甲四次成绩的平均数为 ，
丙四次成绩的平均数为 ，
甲的方差 ，丙的方差 ，甲的方差等于丙的方差，故此种情况舍去，
则落选的那位选手为甲，
故答案为：乙；甲．11．（2025·北京大兴·一模）为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立
体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理
年”活动．活动时间为2024—2026年．
体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标．计算方法为BMI＝体重÷身高 （体重
单位：千克身高单位：米）．我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如图．
某工厂为了解员工的体重指数（BMI）情况，进行了抽样调查，过程如下：
a．收集数据
从该工厂男、女职工中各随机抽取30名职工，计算每名职工的BMI值后，按从小到大排
序如下：
男职工 17.3 17.6 17.9 18.7 19.0 19.6 20.2 20.6 20.7 20.8
21.3 21.5 21.6 21.8 22.1 22.3 22.4 23.1 23.2 23.4
23.5 23.5 23.6 23.7 24.0 24.1 25.1 27.7 29.3 30.6
女职工 15.4 16.6 16.8 17.4 17.6 18.5 18.6 18.7 19.0 19.1
20.1 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.5 21.5 21.6 21.8
22.8 23.3 23.6 24.4 25.2 25.7 26.1 28.1 28.7 30.8
b．整理数据
BMI（m）
人数
组别
男职工 3 21 4 2
女职工 5 k 4 3
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均 中位 众
组别
数 数 数
22.34 22.2 n
男职工
女职
21.51 p 21.5
工
根据以上信息，回答下列问题：
(1) _________， _________， _________；
(2)估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为_________；
(3)请对该工厂工人提出一条合理的体重管理建议_________．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)见解析
【分析】题目主要考查中位数和众数、平均数等知识，用样本估计总体是解题关键．
（1）根据题中数据计算即可得到 ；根据众数和中位数的定义进行解答即可；；
（2）用调查的男女职工体重正常的人数之和除以调查的总人数之和乘以 即可；
（3）建议合理即可．
【详解】（1）解：由题意可得， （名），即 ，
30名男职工的 值中出现次数最多的是23.5，共出现2次，故 ，
30名女职工的 值从小到大排列后第15个和16个分别是20.6 ，20.8，
∴ ，
故答案为： ， ，
（2）由题意可得，
即估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为 ；
（3）建议：对工厂职工进行合理、健康的饮食习惯的培养，并加强体育锻炼．
12．（2025·北京西城·一模）某地区计划通过面试从报名参加文化推广的人员中选出“文
化志愿者”．现收集了所有30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数
据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．30个数据的频数分布直方图如下（数据分5组： ， ， ，
， ）；b．30个数据在 这一组的是：
65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布直方图中m的值是______，这30个数据的中位数是______；
(2)本次面试平均成绩约为______（同一组数据用该组的组中值作代表，结果四舍五入取整
数）：
(3)将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿
者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由．
【答案】(1)6，70；
(2)69；
(3)能被录用，理由见解析．
【分析】本题主要考查频数分布的运用，掌握中位数，加权平均数的计算是关键．
（1）根据频数可得m的值，根据中位数的计算方法可得中位数；
（2）分别求值各组的组中值，再根据加权平均数的计算方法求解即可；
（3）根据题意，被录用的应该是9人，根据题意即可求解．
【详解】（1）解： ，
中位数在第15，16两位人员成绩的平均数，
∴ ，
故答案为： ；
（2）第一组的组中值为： ，
第二组的组中值为： ，
第三组的组中值为： ，第四组的组中值为： ，
第五组的组中值为： ，
∴平均成绩为
故答案为： ；
（3）解：能被录用，理由如下，
成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”，
∴ （人），
∵ 的有2人， 的有6人，
∴ 中最高分的74能被录到，
∴面试成绩为75分的必然被录用．
13．（2025·北京通州·一模）2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会
通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．某校
组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年
级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个
年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次
知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： ， ， ，
：
b．八年级成绩在 这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：平均
中位数
数
七年
77 81.5
级
八年
79.5
级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予
等级 ，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级 的学生更多（填“七”或“八”）；
(3)在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是
_____；
(4)估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分．
【答案】(1)78.5
(2)七年级赋予等级 的学生更多
(3)八；该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数
(4)该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为78分
【分析】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出
解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
（1）根据频数分布直方图和 的这一组的具体成绩得出第 、 个数据分别为 、
，继而依据中位数的定义求解即可；
（2）根据两个年级的平均数和中位数判断即可；
（3）根据两个年级的中位数判断即可；
（4）根据样本估计总体思想和加权平均数计算即可．
【详解】（1）解：根据频数分布直方图和 的这一组的具体成绩得出第 、 个
数据分别为 、 ，
所以八年级的中位数 ，
故答案为： ；
（2）解：因为七年级的平均数为 ，中位数为 ，可判断七年级赋予等级 的学生至
少有 人，
根据频数分布直方图得八年级赋予等级 的人数为 （人），所以在本次抽取的学生中七年级赋予等级 的学生更多，
故答案为：七；
（3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，理由是：
∵该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数
（4）解：估计七年级 名学生成绩的平均数为 分，八年级 名学生成绩的平均数为
分，
所以估计校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为：
（分）．
14．（2025·北京海淀·一模）某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿
豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的
培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高
度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下：
b．生长素浓度为10和15时，
各重复组绿豆幼苗高度的数据如下：
生长
素浓 各重复组绿豆幼苗高度
度
10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7
15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2
c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下：
生长
素浓 0 5 10 15 20
度方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全统计图，并标明数据；
(2)从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______
时对绿豆幼苗生长的促进作用更大；
(3)若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一
个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）；
①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数
(4)请判断： ______ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)④
(4)
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，平均数方差，从统计图正正确获取数据是解题
的关键．
（1）求出生长素浓度为10的中位数为 ，生长素浓度为15时的平均数为
，补全统计图即可；
（2）由统计图得到生长素浓度为 时对绿豆幼苗生长的促进作用更大，即可得到答
案；
（3）根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征，即可得到答案；
（4）求出生长素浓度为10的方差，再比较大小即可．
【详解】（1）解：生长素浓度为10的中位数为 ，
生长素浓度为15时的平均数为 ，
补全统计图如下：（2）解：根据统计图得不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数分别为
，
生长素浓度为 时对绿豆幼苗生长的促进作用更大，
故答案为： ；
（3）解：根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征，
故答案为： ④；
（4）解：生长素浓度为10的方差
，
，
，
故答案为： ．
15．（2025·北京丰台·一模）某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品
参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评
分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描
述和分析，下面给出了部分信息．
a.10件作品的得分情况：
序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分
1 70 82 76
2 80 84
3 61 76 68.5
4 78 84 81
5 71 85 786 81 83 82
7 84 86 85
8 68 74 71
9 66 77 71.5
10 64 82 73
B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为 ：
72.3
81.3
C．10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
76.8 82
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 的值为___________， 的值为___________；
(2)设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为 ，记所有满足 的作品的初始得分
的平均数为 ，则 ___________ （填“>”“=”或“<”）；
(3)分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为 ，则 ___________ （填
“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为 ，评委乙的评
分为 ，且以 的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其
标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是
___________．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，新定义的计算，掌握其计算方法是关键．
（1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可；
（2）根据方差的计算方法求解即可；
（3）根据题意，分别算出各件作品的标准化分数进行比较即可．
【详解】（1）解： ，
10件作品初始得分从小到大排序为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为 ，
∴ ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
∴ 的有 ， ， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为 ，
∴，
，
∵ ，
∴ ，
第1件作品的标准化得分为： ，
第2件作品的标准化得分为： ，
第3件作品的标准化得分为： ，
第4件作品的标准化得分为： ，
第5件作品的标准化得分为： ，
第6件作品的标准化得分为： ，
第7件作品的标准化得分为： ，第8件作品的标准化得分为： ，
第9件作品的标准化得分为： ，
第10件作品的标准化得分为： ，
∴第一名的是7，第二名的是2，第三名的是6，
故答案为： ．
16．（2025·北京石景山·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中
随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理
描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，
80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在80≤x＜90这一组的是：
85 85 83 85 84 81 80
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课 平均
中位数 众数
程 数
A 80 m 85
B 79.9 84 86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名
更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）；
(3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断：①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；
②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名；
其中所有正确推断的序号是__________；
(4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有
__________人．
【答案】(1)82
(2)A
(3)①②
(4)120
【分析】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识，熟练掌握中位
数的计算方法和意义是解题的关键．
（1）根据中位数的定义进行解答即可；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）根据两组的平均分和最高分分别进行判断即可；
（4）根据样本估计总体的方法计算即可．
【详解】（1）解：∵A课程总人数为20，
∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在80≤x＜90这一组，
∴中位数在80≤x＜90这一组，
∵80≤x＜90这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共 个数据，
∴A课程的中位数为 ，即 ；
（2）∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A，
故答案为： A．
（3）∵ ，
∴学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；故①正确；
∵学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，均在相应的中位数之上，所以按这
两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名，
因此②正确；
故选：①②
（4）由题意可得， 人，即估计A课程成绩不低于80分的学生有 人．
17．（2025·北京房山·二模）4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进
行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生
的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．初二年级20名学生的分数数据如下：
．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组 ，第2
组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ）：
．样本数据的平均数、众数、方差如下：
平均 众
方差
数 数
初一年
级
初二年
级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中 的值为______；
(2)抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组；
(3)可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
(4)初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩
至少达到____分才能参加区级比赛．
【答案】(1)
(2)(3)初二
(4)
【分析】本题考查了数据统计，众数，中位数，方差的意义，样本估计总体，掌握以上知
识是解题的关键；
（1）根据众数的定义求得 的值；
（2）根据中位数的定义，结合频数分布直方图，即可求解；
（3）根据方差的意义，比较两个年级成绩的方差，即可求解；
（4）根据题意，成绩考前的 能参加比赛，找到初二年级前 的最低分，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格可得初二年级学生分数中， 出现次数最多，则 ，
故答案为： ．
（2）解：根据初一年级20名学生分数的频数分布直方图可得第 和第 个数据在第4组
，
故答案为： ．
（3）解：初二成绩的方差小于初一成绩的方差，
∴初二年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
故答案为：初二．
（4）解： ，
初二年级成绩从大到小排列为： ， ， ， ， ，……
第 个数据为
∴估计成绩至少达到 分才能参加区级比赛
故答案为： ．
18．（2025·北京大兴·二模）为了解 三款轮胎的最远行驶里程，分别从这三款轮
胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行
整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a． 两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下：b． 款轮胎的最远行驶里程：
c． 三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如下：
轮
胎
平
均 100 100
数
中
位 99 100
数
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ___________， ___________；
(2) 三款轮胎最远行使里程的平均数越大轮胎质量越好；若最远行使里程的平均数
相同，则方差越小轮胎的质量越好． 三款轮胎中质量最好的是___________；若
该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位： ）的轮
胎约有___________个．
【答案】(1)99，99
(2)B，6000
【分析】本题考查中位数，平均数，折线统计图，方差以及用样本估计总体，掌握相关统
计量的定义是解答本题的关键；
（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的意义以及利用样本估计总体解答即可．
【详解】（1）解： 款轮胎的最远行驶里程的平均数；
款轮胎的最远行驶里程的中位数 ．
故答案为：99，99；
（2）解： ， 两款轮胎最远行驶里程的平均数相同，且比 款大，所以 ， 两款轮胎
质量较好，又因为 款轮胎的波动比 款小，即 款轮胎的方差比 款轮胎的方差小，所
以 款轮胎的质量最好；
（个），
即最远行驶里程不低于95（单位： 的轮胎约有6000个．
故答案为： ，6000．
19．（2025·北京西城·二模）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实
用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
(1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．
从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组 ，第2组
，第3组 ，第4组 ，第5组 ）
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：
中位
软件 平均数 众数
数
甲 78 80
乙 78 72根据以上信息，解答下列问题：
① 的值为______， 的值位于乙款软件评分的第______组；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分 满足 的约为______个；
(2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1
和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
维
维度1 维度2 维度3 维度4
度软件
甲 94 92 93
乙 91 93 93 92
①乙款软件的评分为______；
②若甲款软件的评分更高，则表中 （ 为整数）的最小值为______．
【答案】(1)①80；3；②180；
(2)①92.2；②91
【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；
②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解．
（2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；
②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80，
所以， ；乙组数据的中位数在第3组中．
② ．
故答案为：①80；3；②180；
（2）解：① （分）；
②由题意得 ，
解得
∴k的最小整数值为91.
故答案为：①92.2；②91
【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平
均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（2025·北京顺义·二模）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度
的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图：
b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众
数如下：
平均 中位 众
数 数 数
甲
乙 64 64
(1)写出表中 的值；
(2) ______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(3)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为 ， ，
则 ______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(4)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分
钟，实际为70分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长
的统计量不发生变化的是______（写出所有符合题意的序号）．
①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差【答案】(1)66；70
(2)
(3)
(4)③
【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图
等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义求出a、b的值即可得到答案；
（3）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案；
（4）把甲中的一个60换成70后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方
差也会发生变化，不变的是众数．
【详解】（1）解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，
70分，70分，70分，
∴甲的中位数为66分，即 ，
∵甲运动时长为70分的天数最多，
∴甲的众数为70分，即 ；
（2）解：由题意得， ，
，
∴ ；
（3）解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，
∴ ；
（4）解：把甲中的一个60换成70后，
新数据是：60分，66分，66分，70分，70分，70分，70分，
中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，
∴不变的是众数．
故答案是：③．
21．（2025·北京海淀·二模）某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，
号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机
抽取 名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息．
a．七、八两个年级各 名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小 大于
1 2 3
时 3
志愿服务得分/分
c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于 分的
学生可获得“北京小使者”奖章．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在两个年级分别抽取的 名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别
为 ，则 ___________ ，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为 ， ，
则 ___________ （填“>”“<”或“=”）；
(2)某年级所抽取的 名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组
，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组
，第6组 ）：
①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组；
(3)该校七年级有 名学生，八年级有 名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计
两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________．
【答案】(1)<；>
(2)①八；②4
(3)
【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统
计表，求出各自中位数、方差，再比较大小；
（2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作
出判断；
②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找
出他所在的组别；
（3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个
年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数．
【详解】（1）解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各 名学生每周志愿服务时
长”的统计表如下：
时长 1 2 3 大于3
七年级 5 1 1 3
八年级 2 3 3 2
七年级 名学生每周志愿服务时长的中位数为 ，
八年级 名学生每周志愿服务时长的中位数为 ，
记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为 ，
∴ ，
七年级 名学生的知识测评得分分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
七年级 名学生的知识测评得分的平均数为
（分），
七年级 名学生的知识测评得分的方差为，
八年级 名学生的知识测评得分分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
八年级 名学生的知识测评得分的平均数为
（分），
八年级 名学生的知识测评得分的方差为
，
记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为 ， ，
∴ > ，
故答案为：<，>；
（2）七年级 名学生的知识测评综合得分分别为 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
组
别
学
生 2 2 1 0 1 3
数
八年级 名学生的知识测评综合得分分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
组
别
学
生 2 1 1 3 2 1
数
①表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合，
∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分是 分，综合得分是 分，位于第4组；
故答案为：①八，②4；
（3）∵综合得分不低于 分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有 名学
生，八年级有 名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人，
∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 人．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，频数分布直方图，求中位数，求
方差，解题关键是将统计图转化为统计表．
22．（2025·北京朝阳·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁
店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：
单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：
；
b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30
天的送外卖量（单位：单）如下：
12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27
甲
29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62
18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38
乙
38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48
c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下：
平均 众 中位
数 数 数
甲 35.2 56
乙 35.2 38
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金；
(3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，
每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25
单开始，每送一单外卖提成10元．
①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“
”“ ”或“ ”）；
②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择
方案___________．
【答案】(1)
(2)不能
(3)① ；②二，一
【分析】本题考查平均数，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握平均数，中位数和众数
的定义．
（1）根据中位数、众数的定义进行解答即可；
（2）根据甲的平均数进行解答即可；
（3）①根据方案一分别计算出甲乙俩人这30日的工资，比较即可；②根据方案二分别计
算出甲乙俩人这30日的工资，与①中方案一比较即可得出结论．
【详解】（1）解：甲在这30天的送外卖量中，排在第15和16的是27和29，
则中位数 ；
乙在这30天的送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次，
则众数 ；
（2）解： ，
由频数分布直方图可知，平均送单量在“ ”及“ ”区间的人数共
人，占抽样100人的 ，即这部分人对应前 ，
而甲的平均值为35.2，落在“ ”区间，并不在45以上那一组中，
故估计甲不能进入前400名，得不到奖金；
（3）解：甲、乙的30天的日平均送单量都是35.2单/天 ，
则这30天甲、乙的总送单量为 （单），
因而二人总工资 (元)，所以甲的工资 = 乙的工资，
②若甲按“方案二”的总收入为
(元)，
大于其在“方案一”下的6780元，
因此甲应选“方案二”，
若乙按“方案二”的总收入为 (元)，
小于其在“方案一”下的6780元，
因此乙应选“方案一”．
23．（2025·北京丰台·二模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度．
(1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分
制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评分：
79 84 85 85 88 88 88 89 90 93
b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组 ，第2组 ，
第3组 ，第4组 ）：
c．师生评分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师 86.9 88 m
学生 81.38 n 87
根据以上信息，回答下列问题：
① 的值为______， 的值位于学生评分数据分组的第______组；
②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余
49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，
一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）；(2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分
制），评分如下：
家长 家长 家长 家长
1 2 3 4
活动丰富 90 93 94 91
学生参与 91 91 93
记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为 ， 对“学生参与”满意
度评分的平均数、方差分别为 ， ，若 ， ，则 （ 为整数）的最大值为
______．
【答案】(1)①88，3；②平均数；
(2)94
【分析】本题考查求中位数，众数和方差，直方图，熟练掌握相关数据的计算方法，从统
计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）①根据众数是出现次数最多的数据，中位数为排序后，位于中间一位或中间两位数据
的平均数，进行判断即可；②根据中位数和众数，平均数的确定方法，进行判断即可；
（2）根据平均数和方差的计算方法，结合 ， ，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：①教师评分中出现次数最多的数据位88，故众数为88，即： ；
由直方图可知，学生评分数据的第25个和第26个数据均位于第三组；故中位数位于第三
组；
②学生评分的众数为87，与数据70无关，故众数不变，中位数由第25个数据和第26个数
据的平均数变为第25个数据，中位数可能不变，也可能变小，平均数受极端值影响，去掉
一个比平均数小的数，平均数会变大，故一定变大的是平均数；
（2） ；
，
，∵ ，
∴ ，解得： ，
当 时：
，满足题意；
当 时：
，满足题意；
当 时：
，不满足题意；
当 时， ，不符合题意；
故整数 的最大值为94．
24．（2025·北京昌平·二模）某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选
拔，其中一项是“五个位置定点投篮”．以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整
理、描述和分析：
a．甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图：
b．甲、乙、丙三位同学投篮数据的中
位数和总进球数如下：
甲 乙 丙
中位
6 5
数总进
30 29 30
球数
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图，表中 的值为_____________；
(2)从甲、乙两位同学的进球数条形图中可得，_____________发挥的稳定性较好（填
“甲”或“乙”）；
(3)若五个位置投篮命中一次对应的得分如下表所示：
位置 位置 位置 位置 位置
位置
一 二 三 四 五
命中分
1 2 2 2 3
值
则从甲、丙同学中选拔总分高的同学进入班队，应选_____________（填“甲”或“丙”）．
【答案】(1)见解析， ；
(2)乙
(3)丙
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，方差等知识，根据题意找出所需数据是解题关
键．
（1）根据丙同学的总进球数求出在位置三的进球数，补全条形统计图，再根据乙同学在五
个位置的投篮进球数，求出中位数 即可；
（2）根据条形统计图求出甲、乙两位同学的方差，即可得到答案；
（3）根据表格求出甲、丙两位同学的总分，即可得到答案．
【详解】（1）解： 丙同学的总进球数为30，
在位置三的进球数为 ，
补全条形统计图如下：
由条形统计图可知，乙同学在五个位置的投篮进球数分别为7、7、7、4、4，
乙同学投篮数据的中位数 ；（2）解： ， ，
，
，
，
乙发挥的稳定性较好；
（3）解：甲的总分为： （分），
丙的总分为： （分），
，
丙同学的总分更高，
应选丙．
