(410)--专题十一多元函数微分法笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题11 多元函数微分法 （P130-138） 主讲 武忠祥 教授（一）复合函数求导法 设 u  u(x, y),v  v(x, y) 可导, z  f (u,v) 在相应点有连续 一阶偏导数,则 z f u f v z f u f v     x u x v x y u y v y （二）全微分形式不变性 设 z  f (u,v), u  u( x, y),v  v( x, y) 都有连续一阶偏导数 则 z z z z dz  dx  dy dz  du  dv x y u v（三） 隐函数求导法 1. 由一个方程所确定的隐函数 设 F ( x, y, z) 有连续一阶偏导数, F  0, z  z(x, y) 由 z 所确定. F ( x, y, z)  0 方法: z F z F y (1) 公式   x ,   ; x F y F z z (2) 等式两边求导 z z F  F  0, F  F  0, x z x y z y (3) 利用微分形式不变性 F dx  F dy  F dz  0 x y z2. 由方程组所确定的隐函数（仅数一要求） F ( x, y, u,v)  0 设 u  u(x, y),v  v(x, y) 由  所确定. G( x, y, u,v)  0 方法:  u v F  F  F  0  x u v x x （1）等式两边求导  u v  G  G  G  0  x u x v x （2）微分形式不变性  F dx  F dy  F du  F dv  0 x y u v  G dx  G dy  G du  G dv  0  x y u v1. 复合函数偏导数与全微分 x cos( y  1)  ( y  1)cos x z 【例1】设 ,则 z   _________ . 1  sin x  sin( y  1) y (0,1) (1)x x 【例2】设函数 ，则 z  (1  ) y dz  __________ . (12ln2)(dxdy) (1,1) y 【解1】 【解2】sin t xy 【例3】设函数 ，则 F(x, y)   d t 0 1  t 2 2 F  _______ . x 2 x0 y2 F ysin xy 【解1】  x 1  x 2 y 2 2 F y 2 cos( xy)(1  x 2 y 2 )  2xy 3 sin xy  x 2 (1  x 2 y 2 ) 2 2 F 故  4. x 2 x0 y2sin t xy 【例3】设函数 ，则 F(x, y)   d t 0 1  t 2 2 F  _______ . x 2 x0 y2 F ysin xy 2sin 2x 【解2】  F (x,2)  x 1  x 2 y 2 x 1  4x 2 2 F 2sin 2x  F (0,2)  lim x 2 x0 xx x0 x(1  4x 2 ) y2 4x  lim  4 x0 x(1  4x 2 )z z 【例4】设 z  (1 x 2 y 2 ) xy ,求 及 . x y 【解1】 z  e xyln(1x 2 y 2 ) 【解2】 ln z  xy ln(1 x 2 y 2 ) 【解3】 令 u  1 x 2 y 2 ,v  xy, 则 z  u v z z u z v    vu v1 2xy 2  u v ln u y x u x v x 2 3 2x y  (1 x 2 y 2 ) xy [  y ln(1 x 2 y 2 )] 1 x 2 y 2 z 同理可得 . yf y 【例5】设函数 满足 则 与 f (u,v) f (x  y, )  x 2  y 2 , x u u1 v1 f 依次是 ( ) v u1 v1 1 1 1 1 （A） （B） （C） （D） ,0. 0, .  ,0. 0, . 2 2 2 2 y 【解1】令 x  y  u,  v, x u uv 则 x  , y  1  v 1  v  u  2  uv  2 u 2 (1  v) 故 f ( u,v)         1  v   1  v  1  v 所以  f 2u(1  v) f 2u 2  ,   u 1  v v (1  v) 2 f f 1  0,   u u1 v u1 2 v1 v1f y 【例5】设函数 满足 则 与 f (u,v) f (x  y, )  x 2  y 2 , x u u1 v1 f 依次是 ( ) v u1 v1 1 1 1 1 （A） （B） （C） （D） ,0. 0, .  ,0. 0, . 2 2 2 2 y 1 【解2】令 x  y  u,  v, 则当 u  1,v  1 时， x  y  . x 2 y f  f ( )  2x u v 2 x 1 f  f ( )  2 y u v x 1  f (1,1)  2 f (1,1)  1 将 x  y  代入上式得 u v  2  f (1,1)  2 f (1,1)  1 u v 1 由此解得 f (1,1)  0, f (1,1)   . u v 2【例6】设函数 z  f (x, y) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1)  1, f f d  2,  3, (x)  f (x, f (x, x)). 求 3 (x) . x y d x (1,1) (1,1) x1 【解】  (1)  f (1, f (1,1))  f (1,1)  1, d  d(x) 3 (x)  32 (x)   d x  d x  x 1 x1  32 (x)[ f  (x, f (x, x))  f  (x, f (x, x))( f  (x, x)  f  (x, x))] 1 2 1 2 x1  31[2  3(2  3)]  51. .y z 2 z 【例7】设 z  x 3 f (xy, ), f 具有连续二阶偏导数，求 , x y y 2 2 z 及 . xy z 【解】  x 4 f   x 2 f  , y 1 2  2 z  1   1   x 4 xf   f   x 2 xf   f      y 2  11 x 12   21 x 22   x 5 f   2x 3 f   xf  , 11 12 22 2 z  y   y   4x 3 f   x 4 yf   f   2xf   x 2 yf   f      xy 1  11 x 2 12  2  21 x 2 22   4x 3 f  2xf   x 4 yf   yf  . 1 2 11 22u 2 u x y 【例8】设 u  f (x, y, z), z   e t 2 dt .求 , ,其中 f 有二 x xy 0 阶连续偏导数.【例9】设函数 z  f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导 2 z 数,函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值 g(1)  1. 求 . xy x1 y1 【解1】由 知 z  f (xy, yg(x)) z  yf   yg  (x) f  , x 1 2 2 z  f  y[xf   g(x) f  ] g  (x) f   yg  (x)[xf   g(x) f  ]. xy 1 11 12 2 21 22 由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1, y  1 得 2 z  f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1). xy 1 11 12 x1 y1【例9】设函数 z  f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导 2 z 数,函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值 g(1)  1. 求 . xy x1 y1 【解2】由 知 z  f (xy, yg(x)) z  yf   yg  (x) f  , x 1 2 由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1 得 z (1, y)  yf  ( y, y) x 1 z (1, y)  f  ( y, y)  y[ f  ( y, y)  f  ( y, y)] xy 1 11 12 2 z  f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1). xy 1 11 12 x1 y1u  x  2 y, 2 z 2 z 2 z 【例10】设变换 可把方程  6    0 v  x  ay x 2 xy y 2 2 z 简化为  0, 求常数 a. uv 【解1】将 视为以 为中间变量的 的复合函数,由题设可得 z u,v x, y z z z z z z   ,  2  a , x u v y u v 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z   2  ,  4  4a  a 2 , x 2 u 2  u v v 2 y 2 u 2 uv v 2 2 z 2 z 2 z 2 z  2  (a  2)  a . xy u 2 uv v 2 2 z 2 z (10  5a)  (6  a  a 2 )  0. uv v 2 6  a  a 2  0 且 1 0  5a  0, 解之得 a  3.u  x  2 y, 2 z 2 z 2 z 【例10】设变换 可把方程  6    0 v  x  ay x 2 xy y 2 2 z 简化为  0 , 求常数 a. uv 【解2】将 视为以 为中间变量的 的复合函数,由题设可得 z x, y u,v au  2v  u  v x  , y  . a  2 a  2 z z x z y a z 1 z      , u x u y u a  2 x a  2 y 2 z a  2 z x 2 z y  1  2 z x 2 z y              uv a  2 x 2 v xy v  a  2 yx v y 2 v  2a 2 z a  2 2 z 1 2 z    . (a  2) 2 x 2 (a  2) 2 xy (a  2) 2 y 2 2 z 2 z 2 z 2a a  2  1 2a  (a  2)   0.   a  3. x 2 xy y 2 6 1  1【例11】(2024年2）已知 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 g(x, y)  f (2x  y,3x  y) 2 g 2 g 2 g 满足   6  1. x 2 xy y 2 2 f （I）求 ; uv f (u,0) 1 （II）若  ue u , f (0,v)  v 2  1, 求 f (u,v) 的表达式. u 50 1 1 3 2 【解】（I）令 u  2x  y,v  3x  y, 则 f (u,v)  g(x, y), 其中 x  u  v, y  u  v. 5 5 5 5 f g x g y 1 g 3 g     u x u y u 5 x 5 y  2 f 1 2 g x 2 g y 3 2 g x 2 g y  [  ]  [  ] uv 5 x 2 v xy v 5 yx v y 2 v 1 2 g 1 2 g 2 3 2 g 1 2 g 2 1 2 g 2 g 2 g 1  [  ]  [  ]  [   6 ]  5 x 2 5 xy 5 5 yx 5 y 2 5 25 x 2 xy y 2 252 f 1 f 1 1 （II）由  可知   dv  v (u) uv 25 u 25 25 f (u,0) f 1 由  ue u 可知, (u)  ue u , 即  v  ue u , 则 u u 25 1 1 f (u,v)   [ v  ue u ]du  uv  ue u  e u (v) 25 25 1 1 又 f (0,v)  v 2  1, 则 (v)  v 2 50 50 1 1 f (u,v)  uv  v 2  (u  1)e u . 25 50z z 【例12】已知函数 z  z(x, y) 满足 x 2  y 2  z 2 . 设 x y 1 1 1 1  对函数 求证 u  x,v   ,    (u,v),  0. y x z x u u  x x  u,   【证】 由 解得  1 1  u v   , y  .    y x  1  uv  1 z x z y 1   (  )  u z 2 x u y u u 2 1 z z 1 1   (  )  , z 2 x y (1  uv) 2 u 2  1 z z 1 1 1   (x 2  y 2 )      0. u z 2 x 2 x y u 2 x 2 u 22. 隐函数的偏导数与全微分 【例1】若函数 z  z(x, y) 由方程 e x2y3z  xyz  1 确定，则 dz  ________ . (0,0) 【解1】由 知 x  0, y  0 z  0 方程 e x2y3z  xyz  1 两端微分得 e x2y3z (dx  2dy  3dz)  yzdx  xzdy  xydz  0 将 x  0, y  0, z  0 代入上式得 dx  2dy  3dz  0 1 则 dz   (dx  2dy). (0,0) 3【例1】若函数 z  z(x, y) 由方程 e x2y3z  xyz  1 确定，则 dz  ________ . (0,0) 【解2】由 知 x  0, y  0 z  0 dz  z (0,0)dx  z (0,0)dy (0,0) x y 在 e x2y3z  xyz  1 中令 y  0 得， e x3z  1, 两边对 x 求导得 e x3z (1  3z )  0 x 1 z (0,0)   x 3 2 同理可得 z (0,0)   y 3 1 则 dz   (dx  2dy). (0,0) 3 y z  【例2】设函数 z  z(x, y) 由方程 F ,   0 确定，其中 F  x x  z z 为可微函数,且 F   0 ，则 x  y （ ）． 2 x y （ A ） x （B ） z （ C ）  x （D）  z y z 1  F  F F z x 2 1 x 2 2 z x 1 【解】   ,   , x 1 y 1 F F 2 2 x x y z y  F  F F z z 1 2 1 x x x x  y     z x y 1 1 F F 2 2 x x 故应选（B）.【例3】设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y  y(x) xz sin t 及 z  z(x) 分别由下列两式确定： e xy  xy  2 和 e x   d t, 0 t d u 求 . d x d u f f d y f d z 【解1】    . (1) d x x y d x z d x 由 e xy  xy  2 两边对 x 求导，得  d y   d y  d y y e xy  y  x    y  x   0,   .  d x   d x  d x x xz sin t 又由 e x   d t 两边对 x 求导，得 0 t sin( x  z)  d z  d z e x (x  z) e x   1  ,  1  . x  z  d x  d x sin( x  z) d u f y f  e x (x  z)  f    1  .   d x x x y  sin( x  z) z【例3】设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y  y(x) xz sin t 及 z  z(x) 分别由下列两式确定： e xy  xy  2 和 e x   d t, 0 t d u 求 . d x f f f 【解2】 d u  dx  dy  dz (1) x y z 等式 e xy  xy  2 两端微分得 y e xy ( ydx  xdy)  ( ydx  xdy)  0, dy   dx x xz sin t 等式 e x   d t 两端微分得 0 t sin( x  z) e x (x  z) e x dx  (dx  dz) dz  (1  )dx. x  z sin( x  z) f y f  e x (x  z)  f du  [   1  ]dx   x x y  sin( x  z) z【例4】设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z  (x  y  z) 所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1. （I）求 d z 1  z z  u （II）记 u(x, y)    ， 求 x  y  x y  x 【解1】（I）设 ，则 F(x, y, z)  x 2  y 2  z (x  y  z) z F  2x  z F  2 y    x    y  x F  1  y F  1  z z z z 1 d z  d x  d y  [(2x  )d x  (2 y  )d y]. x y 1  2 （II）由于 ，所以 u(x, y)  1  u  2  z  2(2x  1)  1     . x (1  ). 2  x  (1  ) 3【例4】设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z  (x  y  z) 所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1. （I）求 d z 1  z z  u （II）记 u(x, y)    ， 求 x  y  x y  x 【解2】（I）对等式 x 2  y 2  z  (x  y  z) 两端求微分，得 2x d x  2 y d y  d z   (d x  d y  d z). 解出 d z ，得 2x  2 y  d z  d x  d y. 1  1  （II）同解1 .【例5】设 z  z(x, y) 是由方程 f ( y  x, yz)  0 所确定的隐函数, z 2 z 其中函数 对各个变量具有连续的二阶偏导数，求 及 f . x x 2 【解】方程 f ( y  x, yz)  0 的两边对 x 求导，得 z ①  f  yf   0, 1 2 x z f  解得  1 ② x yf  2 ①两边再对 x 求导，得 z z z 2 z f   yf   yf   y 2 f  ( ) 2  yf   0, 11 12 x 21 x 22 x 2 x 2 2 z 1 z z  [ y 2 f  ( ) 2  y( f   f  )  f  ] x 2 yf  22 x 12 21 x 11 2祝同学们 考研路上一路顺利！