(410)--专题十一多元函数微分法笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题11 多元函数微分法
（P130-138）
主讲 武忠祥 教授（一）复合函数求导法
设 u  u(x, y),v  v(x, y) 可导, z  f (u,v) 在相应点有连续
一阶偏导数,则
z f u f v z f u f v
   
x u x v x y u y v y
（二）全微分形式不变性
设 z  f (u,v), u  u( x, y),v  v( x, y) 都有连续一阶偏导数
则
z z z z
dz  dx  dy dz  du  dv
x y u v（三） 隐函数求导法
1. 由一个方程所确定的隐函数
设 F ( x, y, z) 有连续一阶偏导数, F  0, z  z(x, y) 由
z
所确定.
F ( x, y, z)  0
方法:
z F z F
y
(1) 公式   x ,   ;
x F y F
z z
(2) 等式两边求导
z z
F  F  0, F  F  0,
x z x y z y
(3) 利用微分形式不变性
F dx  F dy  F dz  0
x y z2. 由方程组所确定的隐函数（仅数一要求）
F ( x, y, u,v)  0
设 u  u(x, y),v  v(x, y) 由  所确定.
G( x, y, u,v)  0
方法:
 u v
F  F  F  0

x u v
x x
（1）等式两边求导

u v
 G  G  G  0
 x u x v x
（2）微分形式不变性
 F dx  F dy  F du  F dv  0
x y u v

G dx  G dy  G du  G dv  0

x y u v1. 复合函数偏导数与全微分
x cos( y  1)  ( y  1)cos x z
【例1】设 ,则
z   _________ .
1  sin x  sin( y  1) y
(0,1)
(1)x
x
【例2】设函数 ，则
z  (1  ) y dz  __________ . (12ln2)(dxdy)
(1,1)
y
【解1】
【解2】sin t
xy
【例3】设函数 ，则
F(x, y)   d t
0 1  t 2
2
F
 _______ .
x 2
x0
y2
F ysin xy
【解1】 
x 1  x 2 y 2
2 F y 2 cos( xy)(1  x 2 y 2 )  2xy 3 sin xy

x 2 (1  x 2 y 2 ) 2
2
F
故
 4.
x 2
x0
y2sin t
xy
【例3】设函数 ，则
F(x, y)   d t
0 1  t 2
2
F
 _______ .
x 2
x0
y2
F ysin xy 2sin 2x
【解2】  F (x,2) 
x 1  x 2 y 2 x 1  4x 2
2
F 2sin 2x
 F (0,2)  lim
x 2 x0 xx x0 x(1  4x 2 )
y2
4x
 lim  4
x0 x(1  4x 2 )z z
【例4】设 z  (1 x 2 y 2 ) xy ,求 及 .
x y
【解1】 z  e xyln(1x 2 y 2 )
【解2】
ln z  xy ln(1 x 2 y 2 )
【解3】 令 u  1 x 2 y 2 ,v  xy, 则 z  u v
z z u z v
   vu v1 2xy 2  u v ln u y
x u x v x
2 3
2x y
 (1 x 2 y 2 ) xy [  y ln(1 x 2 y 2 )]
1 x 2 y 2
z
同理可得
.
yf
y
【例5】设函数 满足 则 与
f (u,v) f (x  y, )  x 2  y 2 ,
x
u
u1
v1
f
依次是
( )
v
u1
v1
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
,0. 0, .  ,0. 0, .
2 2 2 2
y
【解1】令 x  y  u,  v,
x
u uv
则 x  , y 
1  v 1  v
 u  2  uv  2 u 2 (1  v)
故 f ( u,v)       
 1  v   1  v  1  v
所以  f 2u(1  v) f 2u 2
 ,  
u 1  v v (1  v) 2
f f 1
 0,  
u u1 v u1 2
v1 v1f
y
【例5】设函数 满足 则 与
f (u,v) f (x  y, )  x 2  y 2 ,
x
u
u1
v1
f
依次是
( )
v
u1
v1
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
,0. 0, .  ,0. 0, .
2 2 2 2
y 1
【解2】令 x  y  u,  v, 则当 u  1,v  1 时， x  y  .
x 2
y
f  f ( )  2x
u v 2
x
1
f  f ( )  2 y
u v
x
1  f (1,1)  2 f (1,1)  1
将 x  y  代入上式得 u v

2  f (1,1)  2 f (1,1)  1
u v
1
由此解得 f (1,1)  0, f (1,1)   .
u v
2【例6】设函数 z  f (x, y) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1)  1,
f f d
 2,  3, (x)  f (x, f (x, x)). 求 3 (x) .
x y d x
(1,1) (1,1)
x1
【解】  (1)  f (1, f (1,1))  f (1,1)  1,
d  d(x)
3 (x)  32 (x)
 
d x  d x 
x 1 x1
 32 (x)[ f  (x, f (x, x))  f  (x, f (x, x))( f  (x, x)  f  (x, x))]
1 2 1 2
x1
 31[2  3(2  3)]  51.
.y z 2 z
【例7】设 z  x 3 f (xy, ), f 具有连续二阶偏导数，求 ,
x y y 2
2
z
及
.
xy
z
【解】  x 4 f   x 2 f  ,
y 1 2
 2 z  1   1 
 x 4 xf   f   x 2 xf   f 
   
y 2  11 x 12   21 x 22 
 x 5 f   2x 3 f   xf  ,
11 12 22
2
z  y   y 
 4x 3 f   x 4 yf   f   2xf   x 2 yf   f 
   
xy 1  11 x 2 12  2  21 x 2 22 
 4x 3 f  2xf   x 4 yf   yf  .
1 2 11 22u 2 u
x y
【例8】设 u  f (x, y, z), z   e t 2 dt .求 , ,其中 f 有二
x xy
0
阶连续偏导数.【例9】设函数 z  f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导
2
z
数,函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值 g(1)  1. 求 .
xy
x1
y1
【解1】由 知
z  f (xy, yg(x))
z
 yf   yg  (x) f  ,
x 1 2
2
z
 f  y[xf   g(x) f  ] g  (x) f   yg  (x)[xf   g(x) f  ].
xy 1 11 12 2 21 22
由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1, y  1 得
2
z
 f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1).
xy 1 11 12
x1
y1【例9】设函数 z  f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导
2
z
数,函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值 g(1)  1. 求 .
xy
x1
y1
【解2】由 知
z  f (xy, yg(x))
z
 yf   yg  (x) f  ,
x 1 2
由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1 得
z (1, y)  yf  ( y, y)
x 1
z (1, y)  f  ( y, y)  y[ f  ( y, y)  f  ( y, y)]
xy 1 11 12
2
z
 f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1).
xy 1 11 12
x1
y1u  x  2 y, 2
z
2
z
2
z
【例10】设变换 可把方程
 6    0
v  x  ay x 2 xy y 2
2
z
简化为  0, 求常数 a.
uv
【解1】将 视为以 为中间变量的 的复合函数,由题设可得
z u,v x, y
z z z z z z
  ,  2  a ,
x u v y u v
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
2
z
  2  ,  4  4a  a 2 ,
x 2 u 2  u v v 2 y 2 u 2 uv v 2
2
z
2
z
2
z
2
z
 2  (a  2)  a .
xy u 2 uv v 2
2
z
2
z
(10  5a)  (6  a  a 2 )  0.
uv v 2
6  a  a 2  0 且 1 0  5a  0, 解之得 a  3.u  x  2 y, 2
z
2
z
2
z
【例10】设变换 可把方程
 6    0
v  x  ay x 2 xy y 2
2
z
简化为  0 , 求常数 a.
uv
【解2】将 视为以 为中间变量的 的复合函数,由题设可得
z x, y u,v
au  2v  u  v
x  , y  .
a  2 a  2
z z x z y a z 1 z
     ,
u x u y u a  2 x a  2 y
2 z a  2 z x 2 z y  1  2 z x 2 z y 
       
   
uv a  2 x 2 v xy v  a  2 yx v y 2 v 
2a 2 z a  2 2 z 1 2 z
   .
(a  2) 2 x 2 (a  2) 2 xy (a  2) 2 y 2
2
z
2
z
2
z 2a a  2  1
2a  (a  2)   0.   a  3.
x 2 xy y 2 6 1  1【例11】(2024年2）已知 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 g(x, y)  f (2x  y,3x  y)
2
g
2
g
2
g
满足
  6  1.
x 2 xy y 2
2
f
（I）求
;
uv
f (u,0) 1
（II）若  ue u , f (0,v)  v 2  1, 求 f (u,v) 的表达式.
u 50
1 1 3 2
【解】（I）令 u  2x  y,v  3x  y, 则 f (u,v)  g(x, y), 其中 x  u  v, y  u  v.
5 5 5 5
f g x g y 1 g 3 g
   
u x u y u 5 x 5 y
 2 f 1 2 g x 2 g y 3 2 g x 2 g y
 [  ]  [  ]
uv 5 x 2 v xy v 5 yx v y 2 v
1 2 g 1 2 g 2 3 2 g 1 2 g 2 1 2 g 2 g 2 g 1
 [  ]  [  ]  [   6 ] 
5 x 2 5 xy 5 5 yx 5 y 2 5 25 x 2 xy y 2 252 f 1 f 1 1
（II）由  可知   dv  v (u)
uv 25 u 25 25
f (u,0) f 1
由  ue u 可知, (u)  ue u , 即  v  ue u , 则
u u 25
1 1
f (u,v)   [ v  ue u ]du  uv  ue u  e u (v)
25 25
1 1
又 f (0,v)  v 2  1, 则 (v)  v 2
50 50
1 1
f (u,v)  uv  v 2  (u  1)e u .
25 50z z
【例12】已知函数 z  z(x, y) 满足 x 2  y 2  z 2 . 设
x y
1 1 1 1 
对函数 求证
u  x,v   ,    (u,v),  0.
y x z x u
u  x x  u,
 
【证】 由 解得
 1 1  u
v   , y  .
 
 y x  1  uv
 1 z x z y 1
  (  ) 
u z 2 x u y u u 2
1 z z 1 1
  (  )  ,
z 2 x y (1  uv) 2 u 2
 1 z z 1 1 1
  (x 2  y 2 )      0.
u z 2 x 2 x y u 2 x 2 u 22. 隐函数的偏导数与全微分
【例1】若函数 z  z(x, y) 由方程 e x2y3z  xyz  1 确定，则
dz  ________ .
(0,0)
【解1】由 知
x  0, y  0 z  0
方程 e x2y3z  xyz  1 两端微分得
e
x2y3z
(dx  2dy  3dz)  yzdx  xzdy  xydz  0
将 x  0, y  0, z  0 代入上式得
dx  2dy  3dz  0
1
则 dz   (dx  2dy).
(0,0) 3【例1】若函数 z  z(x, y) 由方程 e x2y3z  xyz  1 确定，则
dz  ________ .
(0,0)
【解2】由 知
x  0, y  0 z  0
dz  z (0,0)dx  z (0,0)dy
(0,0) x y
在 e x2y3z  xyz  1 中令 y  0 得， e x3z  1, 两边对 x 求导得
e
x3z
(1  3z )  0
x
1
z (0,0)  
x
3
2
同理可得 z (0,0)  
y
3
1
则 dz   (dx  2dy).
(0,0) 3 y z 
【例2】设函数 z  z(x, y) 由方程 F ,   0 确定，其中
F
 x x 
z z
为可微函数,且 F   0 ，则 x  y （ ）．
2 x y
（ A ） x （B ） z （ C ）  x （D）  z
y z 1
 F  F F
z x 2 1 x 2 2 z x 1
【解】   ,   ,
x 1 y 1
F F
2 2
x x
y z y
 F  F F
z z 1 2 1
x x x
x  y     z
x y 1 1
F F
2 2
x x
故应选（B）.【例3】设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y  y(x)
xz sin t
及 z  z(x) 分别由下列两式确定： e xy  xy  2 和 e x   d t,
0 t
d u
求
.
d x
d u f f d y f d z
【解1】    . (1)
d x x y d x z d x
由 e xy  xy  2 两边对 x 求导，得
 d y   d y  d y y
e xy  y  x    y  x   0,   .
 d x   d x  d x x
xz sin t
又由 e x   d t 两边对 x 求导，得
0 t
sin( x  z)  d z  d z e x (x  z)
e x   1  ,  1  .
x  z  d x  d x sin( x  z)
d u f y f  e x (x  z)  f
   1  .
 
d x x x y  sin( x  z) z【例3】设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y  y(x)
xz sin t
及 z  z(x) 分别由下列两式确定： e xy  xy  2 和 e x   d t,
0 t
d u
求
.
d x
f f f
【解2】 d u  dx  dy  dz (1)
x y z
等式 e xy  xy  2 两端微分得
y
e xy ( ydx  xdy)  ( ydx  xdy)  0, dy   dx
x
xz sin t
等式 e x   d t 两端微分得
0 t
sin( x  z) e x (x  z)
e x dx  (dx  dz) dz  (1  )dx.
x  z sin( x  z)
f y f  e x (x  z)  f
du  [   1  ]dx
 
x x y  sin( x  z) z【例4】设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z  (x  y  z)
所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1.
（I）求
d z
1  z z  u
（II）记 u(x, y)    ， 求
x  y  x y  x
【解1】（I）设 ，则
F(x, y, z)  x 2  y 2  z (x  y  z)
z F  2x  z F  2 y 
  x    y 
x F  1  y F  1 
z z
z z 1
d z  d x  d y  [(2x  )d x  (2 y  )d y].
x y 1 
2
（II）由于 ，所以
u(x, y) 
1

u  2  z  2(2x  1)
 1     .
x (1  ). 2  x 
(1

)
3【例4】设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z  (x  y  z)
所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1.
（I）求
d z
1  z z  u
（II）记 u(x, y)    ， 求
x  y  x y  x
【解2】（I）对等式 x 2  y 2  z  (x  y  z) 两端求微分，得
2x d x  2 y d y  d z   (d x  d y  d z).
解出 d z ，得
2x

2 y

d z  d x  d y.
1

1

（II）同解1 .【例5】设 z  z(x, y) 是由方程 f ( y  x, yz)  0 所确定的隐函数,
z 2 z
其中函数 对各个变量具有连续的二阶偏导数，求 及
f
.
x x 2
【解】方程 f ( y  x, yz)  0 的两边对 x 求导，得
z
①
 f  yf   0,
1 2 x
z f 
解得  1 ②
x yf 
2
①两边再对 x 求导，得
z z z 2 z
f   yf   yf   y 2 f  ( ) 2  yf   0,
11 12 x 21 x 22 x 2 x 2
2 z 1 z z
 [ y 2 f  ( ) 2  y( f   f  )  f  ]
x 2 yf  22 x 12 21 x 11
2祝同学们
考研路上一路顺利！