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横版26李林880题数一线代概率部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数一

2026-02-25 17:29:18 2026-02-25 17:22:03
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横版26李林880题数一线代概率部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数一
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                            公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
线性代数
第十章行列式
基础题
一、选择题
3 0 4 0
 
2 2 2 2
(1)设行列式D= ,则D的第4行各元素的余子式之和M +M +M +M =( ).
41 42 43 44
0 -7 0 0
5 3 -2 2
A. -28 B. 28 C. 14 D. -14
·第1页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(2)设β
1
,β
2
,α
1
,α
2
,α
3
均是4维列向量,且A=β
1
,α
1
,α
2
,α
3
=1,B=β
2
,α
1
,3α
2
,α
3
=3,则A+B=
( ).
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
·第2页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(3)设3阶矩阵A=a ij  满足AT=kA* k>0 3×3  ,若a =a =a =c>0,则c=( ). 11 12 13
3 3k2 3
A. B. C. 3k2 D.
3k 3 k2
·第3页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
二、填空题
k 0 -1 1
 
0 k 1 -1
(1) =_____.
-1 1 k 0
1 -1 0 k
·第4页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
λ-a -1 -1
 
(2)若 -1 λ-a 1 =0,则λ=_____.
-1 1 λ-a
·第5页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
1 0 0 1
 
0 2 0 1
(3)D = =_____.
4
0 0 3 1
1 1 1 4
·第6页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
0 1 2 0
 
1 0 0 2
(4)行列式D = =_____.
4
0 3 4 0
3 0 0 4
·第7页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
a -1 0 0
 
0 a -1 0
(5)行列式D = =_____.
4
0 0 a -1
4 3 2 a+1
·第8页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(6)设fx 
x -2x 1 2
 
1 x 1 -1
= ,则x3的系数为_____.
3 2 3x 1
1 1 1 x
·第9页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(7)设A是n阶方阵,且AAT=E,A<0,则A+E=_____.
·第10页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(8)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则A=_____.
·第11页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(9)设A,B均为n阶方阵,且A=B=A-1+B=2,则A+B-1 =_____.
·第12页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(10)设A=2,B=-2,其中A,B均为n阶方阵,则A-1B*-A*B-1 =_____.
·第13页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(11)设3阶方阵A=α ,α ,α
1 2 3
 ,B=3α -α ,3α -2α ,2α -α -2α
1 2 2 1 3 1 2
 ,且B=14,则A=_____.
·第14页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(12)设A=a ij  为n阶方阵,A=1,且A的每列元素之和均为kk≠0 n×n  ,则A的代数余子式之和
A +A +⋯+A =_____.
11 12 1n
·第15页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
三、解答题
b a a ⋯ a
 
a b a ⋯ a
(1)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a a a ⋯ b
·第16页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
x -1 0 ⋯ 0 0
 0 x -1 ⋯ 0 0 
n
(2)证明:D
n
= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =xn+a
i
xn-i.
0 0 0 ⋯ x -1 i=1
a a a ⋯ a x+a
n n-1 n-2 2 1
·第17页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
2 -1 0 ⋯ 0 0
-1 2 -1 ⋯ 0 0
0 -1 2 ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ 2 -1
0 0 0 ⋯ -1 2
·第18页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
a 0 0 ⋯ 0 b
1 n
a b 0 ⋯ 0 0
1 1
 0 a b ⋯ 0 0  b 1 a 2 0 ⋯ 0 0 
2 2
0 b a ⋯ 0 0
(4)计算n阶行列式D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + 2 3 ,其中a i ,b i 均
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
n-1 n-1
0 0 0 ⋯ a 0
n-1
b 0 0 ⋯ 0 a
n n
0 0 0 ⋯ b a
n-1 n
不为0.
·第19页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
综合题
一、选择题
(1)设A是3阶可逆矩阵,A-1的特征值为3,2,1,则A的代数余子式之和A
11
+A
22
+A
33
=( ).
1 1 1
A. B. C. D. 1
6 3 2
·第20页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
1 (2)设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A= ,则 2A
2
  -1 -2A*=( ).
1 1 1 1
A. B. - C. - D.
2 2 4 4
·第21页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(3)设fx 
1 x x2 x3
 
1 2 4 8
= ,则曲线y=fx
1 -1 1 -1
1 1 1 1
 在(-1,2)内存在水平切线的条数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第22页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
二、填空题
A 3A*
(1)设A,B均为n阶方阵,A=6,B=1,C= B

2


  -1
O


,则C=_____.
·第23页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
 1 0 1
(2)设A,B均为3阶方阵,满足A2B-A-B=E,若A=  0 2 0

-2 0 1

,则B=_____.
·第24页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(3)设A是3阶方阵,且满足A-E=A+2E=2A+3E=0,则2A*-3E=_____.
·第25页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(4)设A是3阶方阵,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,且Aα
1
=α
1
+α
2
,Aα
2
=α
2
+α
3
,Aα
3
=α
3
+α
1
,则A=____
_.
·第26页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(5)设α,β,α ,α ,α 均为4维列向量,A=α,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3
 ,B=β,α ,α ,α
1 2 3
 ,且A=2,B=1,则
A-1+B-1 =_____.
·第27页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
0 1 0 ⋯ 0
0 0 2 ⋯ 0 
(6)设n阶行列式A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,则A的第k行元素的代数余子式之和A
k1
+A
k2
+⋯
0 0 0 ⋯ n-1
n 0 0 ⋯ 0
+A =_____.
kn
·第28页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
三、解答题
b-a2 -a a ⋯ -a a
1 1 2 1 n
 
-a a b-a2 ⋯ -a a
(1)计算n阶行列式D = 2 1 2 2 n .
n
⋮ ⋮ ⋮
-a a -a a ⋯ b-a2
n 1 n 2 n
·第29页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
a+b a ⋯ a
1
 
a a+b ⋯ a
(2)计算n阶行列式D n = 2 b i ≠0
⋮ ⋮ ⋮
a a ⋯ a+b
n
 .
·第30页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
a -1 0 ⋯ 0 0
0
 a 1 x -1 ⋯ 0 0 
a 0 x ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = 2 .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a 0 0 ⋯ x -1
n-2
a 0 0 ⋯ 0 x
n-1
·第31页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
a b 0 ⋯ 0 0
c a b ⋯ 0 0
0 c a ⋯ 0 0
(4)计算D n = a2-4bc≥0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
0 0 0 ⋯ c a
 .
·第32页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
拓展题
解答题
(1)设矩阵A为3阶非零实矩阵,AT=A*,且E+A=E-A=0,计算行列式A2-A-3E.
·第33页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·10.行列式
(2)设A为3阶非零实矩阵,且AT=kA*(k为非零常数).
(I)证明:A是可逆矩阵;
(II)求行列式A-1 + A*  -1  .
·第34页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
第十一章矩阵
基础题
一、选择题
(1)设A=a ij 
a 21 a 22 +a 23 a 23

3×3 ,B=a 31 a 32 +a 33 a 33 
a a +a a
11 12 13 13
 0 1 0

,P= 0 0 1 
1 0 0
 1 0 0

,Q= 0 1 0 
0 1 1

,则B=( ).
A. AQP B. PAQ C. QAP D. APQ
·第35页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(2)设A是nn≥3  阶可逆方阵,则下列结论中正确的是( ).
①A*  -1 =A-1  * ②kA  * =kn-1A* k≠0 
③A*  T =AT  * ④A*  * n-2 =A A
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
·第36页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
 1 0 1
 (3)设A= 2 1 0

-3 2 -5

,则行列式 E-A  *   -1  =( ).
1 1 1 1
A. B. - C. D. -
4 4 16 16
·第37页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
 1 1 1

0 1 0
(4)设矩阵A= 
 2 k 3

k-1 5 1
 1 1 1

0 1 -1
与B= 
2 3 k

3 5 1

等价,则( ).
A. k=1 B. k≠1 C. k=-1 D. k≠-1
·第38页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1 0 -1
 (5)设A= 2 a 1

1 2 1

,B是3阶矩阵,且rB  =2,rAB  =1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则下
列选项中正确的是( ).
A* O
A. r 
A B



 
 A O
=3 B. r 
O B*



 
 A* B
=3 C. r 
O A



 
 A B*
=3 D. r 
O B



 

=3
·第39页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
二、填空题
(1)设α=1,2,3  T 1 1 ,β=1, ,
2 3
 T ,A=αβT,则An=_____.
·第40页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(2)设α=2,-1,3  T ,β=1,2,0  T ,A=αβT,E是3阶单位矩阵,则A+E  n =_____.
·第41页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1 0 1
 (3)设A= 0 2 0

1 0 1

,则An=_____.
·第42页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
0 -1 0
 (4)设B= 1 0 0

0 0 1

,A=P-1BP,则A4-2B2=_____.
·第43页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(5)设A是n阶方阵,且A=2,将A的第i行与第j行互换得到B,则行列式B-1B*BT =_____.
·第44页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(6)若An=O,n为正整数,则E-A  -1 =_____.
·第45页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(7)若An=E,n为正整数,则A*  n =_____.
·第46页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(8)设方阵A满足A2-3A-2E=O,则A-1=_____.
·第47页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
x

(9)设存在3阶矩阵A,对任意的x,y,z有A y

z
 z

= x

y

,则A=_____.
·第48页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(10)设α=k,0,⋯,0,k  T k≠0  1 ,且A=E-ααT,A-1=E+ ααT,则k=_____.
k
·第49页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
三、解答题
2 -1 3
 (1)设A= a 1 b

4 c 6

,且BA=O,B是3阶方阵,rB  >1,求An.
·第50页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(2)设α,β是n维列向量,且αTβ=2,证明:A=E+αβT可逆,并求A-1.
·第51页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1 1 1
(3)设A-1=  1 2 1

1 1 3

,求A*  -1 .
·第52页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1 0 0
 (4)设A= 2 3 0

0 4 5

,B=E+A  -1 E-A  ,求 E+B  2   -1 .
·第53页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(5)已知方阵A,B,A+B  均可逆,求A-1+B-1  -1
·第54页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(6)设AB=BA,A可逆,证明:A-1B=BA-1.
·第55页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(7)设A为2n+1阶正交矩阵,且A=1,证明:A-E不可逆.
·第56页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(8)设n阶方阵A,B,满足A2=E,B2=E,且A+B=0,证明:A+B不可逆.
·第57页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
 1 0 1
 (9)设A= 0 2 0

-1 0 1

,AB+E=A2+B,求B.
·第58页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1
 0 0
 3
 1 (10)设A= 0 0
 4
 1
0 0
 7

,A-1BA=6A+BA,求B.
·第59页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
0 1 0

(11)设A= 1 0 0

0 0 1
 1 0 0

,B= 0 0 1

0 1 0
 1 -4 3

,C= 2 0 -1

1 -2 0

,满足AXB=C,求矩阵X.
·第60页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1 2
(1)设矩阵A满足A
0 1

2 1
=
3 2
 A,求矩阵A.
·第61页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
综合题
一、选择题
1 2 k

(1)设A= 1 k+1 1

k 2 1

,B是3阶非零矩阵,且AB=O,则( ).
A. 当k=1时,rB  =1 B. 当k=-3时,rB  =1
C. 当k=1时,rB  =2 D. 当k=-3时,rB  =2
·第62页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
a b b
 (2)设A= b a b

b b a

a,b均不为0  ,且rA*  =1,则必有( ).
A. a=b B. a=b或a+2b≠0
C. a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0
·第63页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
a 11 a 12 a 13
 (3)设A=a
21
a
22
a
23 
a a a
31 32 33
 0 0 1
 ,P= 0 1 0

1 0 0

,且PnAPm=A,则正整数n,m可以为( ).
A. n=m=4 B. n=5,m=4 C. n=4,m=5 D. n=m=5
·第64页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
O A
(4)设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,矩阵
B E

A B
,
O E

A AB
,
E B
 的秩分别为r ,r ,r ,则
1 2 3
下列选项中正确的是( ).
A. r ≥r ≥r B. r ≥r ≥r C. r ≥r ≥r D. r ≥r ≥r
2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1
·第65页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(5)下列选项中命题正确的是( ).
①若A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则BCA=CAB；
②若A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆；
③若A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆；
④若n阶矩阵A,B满足AB  2 =E,则BA  2 =E.
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
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二、填空题
A O
(1)设A,B是n阶方阵,A=2,B=3,A*,B*分别是A,B的伴随矩阵,C=
O B
 ,则C的伴随矩阵
C*=_____.
·第67页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
(2)设A是n阶可逆矩阵,A的每行元素之和均为k,则A-1的每行元素之和均为_____.
·第68页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
 1 -1 -1 -1

-1 1 -1 -1
(3)设A= 
-1 -1 1 -1

-1 -1 -1 1

,则An n≥1  =_____.
·第69页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
0 1 0 0

0 0 1 0
(4)设A= 
0 0 0 1

0 0 0 0

,则E+A  -1 =_____.
·第70页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
0 2 3

(5)设矩阵A= 2 2 a

2 3 4

,3阶矩阵B≠E,且满足AB=A-B+E,其中E为单位矩阵,若r(A+B)
=3,则常数a=_____.
·第71页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
三、解答题
0 0 0 1

0 0 0 2
(1)设A= 
0 0 0 3

3 2 1 0

,求An n≥1  .
·第72页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
-1 1 1 -1

1 -1 -1 1
(2)设A= 
 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

,证明:A2+4A=O,并求E+A  -1 .
·第73页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
 1 1 2

(3)设A= 0 -2 -4

-1 -1 -1

,证明:A可逆,并将A表示为初等矩阵的乘积.
·第74页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
1 0 0
 (4)设A= 0 -2 0

0 0 1

,且A*BA=2BA-8E,求B.
·第75页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
 1 0 1

(5)设矩阵X满足 2 1 -1

-1 -1 2
  0 1

X= 2 0

-2 1

,求X.
·第76页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
拓展题
解答题
3 2 2
 (1)设A= 0 1 1

0 0 3
 1 0 0
 ,B= 0 0 0

0 0 -1

,若矩阵X满足AX+2B=BA+2X,求X2.
·第77页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·11.矩阵
A C
(2)设分块矩阵P=
O B
 为正交矩阵,A,B分别是m阶和n阶方阵,证明:A与B是正交矩阵.
·第78页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·12.向量组
第十二章向量
基础题
一、选择题
(1)若α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,则( ).
1 2 3 2 3 4
A. α 可由α ,α 线性表示 B. α 可由α ,α ,α 线性表示
1 2 3 4 1 2 3
C. α 可由α ,α 线性表示 D. α 可由α ,α 线性表示
4 1 3 4 1 2
·第79页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·12.向量组
(2)向量组α ,α ,⋯,α 线性无关等价于( ).
1 2 n
A. 存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0
B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示
C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示
D. 其中任意两个向量线性无关
·第80页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·12.向量组
(3)设向量组α ,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线性无关的是( ).
1 2 3 4
A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. α +α ,α +α ,α +α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
C. α +α ,α -α ,α +α ,α -α D. α -α ,α -α ,α -α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
·第81页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·12.向量组
(4)设向量组I  β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,II  α ,α ,⋯,α ,则下列命题: 1 2 s
①若向量组(I)可由(II)线性表示,且s1 D. k=n
·第121页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
λx +x +λ2x =0,
 1 2 3

(4)设方程组 x +λx +x =0, 的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则必有( ).
 1 2 3

 x +x +λx =0
1 2 3
A. λ=-2且B=0 B. λ=-2且B≠0 C. λ=1且B=0 D. λ=1且B≠0
·第122页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(5)设矩阵A ,B ,则( ).
m×n n×m
A. 当m>n时,AB必可逆 B. 当m>n时,必有AB=0
C. 当n>m时,必有rAB  m时,ABx=0必有唯一解
·第123页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(6)设矩阵A ,B 满足AB=E,其中E是单位矩阵,α与β为非零列向量,则下列选项中正确的
m×n n×m
是( ).
A. 方程组AX=α有唯一解,方程组BX=β有唯一解
B. 方程组AX=α有无穷多解,方程组BX=β有无穷多解
C. 方程组AX=0仅有零解,方程组BX=β有解
D. 方程组AX=α有解,方程组BX=0仅有零解
·第124页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
二、填空题
x +2x +x =3, 1 2 3
(1)设方程组 2x 1 +k+4 
 

x -5x =6,,有无穷多解,则k=_____.  2 3

 -x -2x +kx =-3
1 2 3
·第125页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
1 2 1
 (2)设A= 2 3 a+2 
1 a -2

,β 1 =1,3,4  T ,β 2 =0,1,2  T ,若方程组Ax=β 有解,且Ax=β 无解,则a= 1 2
_____.
·第126页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
三、解答题
  2x 1 -x 2 +4x 3 -3x 4 =-4,
x +x -x =-3,
1 3 4
(1)求方程组 的通解.

3x +x +x =1,
 1 2 3
 7x +7x -3x =3
1 3 4
·第127页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
  2x 1 +λx 2 -x 3 =1,

(2)设方程组 λx -x +x =2, 问λ为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有无
 1 2 3

 4x +5x -5x =-1,
1 2 3
穷多解时,求其通解.
·第128页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
x +x =0, x -x +x =0,
 1 2  1 2 3
(3)设有方程组①

与②

求:
x -x =0 x -x +x =0.
2 4 2 3 4
(I)方程组①与②的基础解系;
(II)方程组①与②的非零公共解.
·第129页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
x +x =0,
 1 2
(4)设有方程组(I) (II)Ax=0,其中(II)的基础解系为
x -x =0,
2 4
α 1 =-1,2,2,1 
T
,α 2 =0,-1,-1,0 
T
,
求方程组(I)与(II)的非零公共解.
·第130页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
  x 1 -x 4 =-2,   x 1 +ax 2 -x 3 -x 4 =-5
 
(5)设有方程组① x -x =-4, ② bx -x -2x =-11,
 2 4  2 3 4
 
 -4x -x +6x =21,  x -2x =-c+1.
2 3 4 3 4
(I)求方程组①的通解;
(II)当a,b,c为何值时,方程组①与②同解.
·第131页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(6)设n阶矩阵A满足A=0,A
ij
为A的元素a
ij
对应的代数余子式,且A
11
≠0,求方程组A*x=0的
基础解系和通解.
·第132页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(7)已知4×3矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,-1  T +k(1,-2,3) T ,k为
任意常数,令B=α ,α ,α ,β+α
1 2 3 3
 ,求方程组By=α -α 的通解.
1 2
·第133页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
综合题
一、选择题
(1)设Px,y i i i 
x 1 y 1 1

,i=1,2,3为平面上三个不同的点,又A=x 2 y 2 1

x y 1
3 3

,则三点P,P,P 在同一条直线 1 2 3
上的充分必要条件是( ).
A. rA  =1 B. rA  =2 C. A=0 D. A≠0
·第134页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(2)设y=fx  是连续函数,点Px,y i i i  i=1,2,3  为曲线y=fx  上三个不同点,矩阵A=
x 1 y 1 1

x
2
y
2
1

x y 1
3 3

,则( ).
A. rA  =1 B. rA  =3
C. rA  =2或rA  =3 D. rA  =1或rA  =2
·第135页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(3)设三个平面的方程为x=y+bz,y=az+x,z=bx+ay,则这三个平面经过同一直线的充分必要条
件是( ).
A. a2+b2=1 B. a2-b2=0 C. a+b=0 D. a+b=1
·第136页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(4)设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是( ).
A. rA∣b  0,则
下列选项中正确的是( ).
A. 方程组ABX=α有无穷多解 B. 方程组ABX=α无解
C. 方程组AX=α有唯一解 D. 方程组AX=α无解
·第141页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
二、填空题
(1)设α ,α ,α ,β均为三维列向量,A=β-α -2α -3α ,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3 1 2 3
 ,则方程组Ax=β的一个特解为_
____.
·第142页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(2)设A=a ij  3×3 为实矩阵,且A ij =a iji,j=1,2,3  ,其中A ij 为a ij 的代数余子式,a 33 =1,A=1,则
x 1

方程组Ax
2 
x
3
 0

= 0

1

的解为_____.
·第143页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
3
(3)设A是2阶矩阵,线性方程组AX:
2
 的通解为k-2,1  T +3,-4  T .若β=5,-10  T ,则βTAβ=
_____.
·第144页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
三、解答题
(1)设A是m×n矩阵,rA  =n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α ,α ,α 满足α +α = 1 2 3 1 2
1,2,3,4  T ,α 2 +2α 3 =-2,1,5,3  T ,2α 3 +3α 1 =11,5,-6,7  T ,求方程组Ax=b的通解.
·第145页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(2)设A=α ,α ,α ,α 1 2 3 4  是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,2,1  T T +k(1,-2,4,0) ,
k为任意常数,记B=α ,α ,α ,β-α
3 2 1 4
 .
(I)证明:rB  =2;
(II)求方程组Bx=α -α 的通解.
1 2
·第146页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(3)设A为3×4矩阵,rA  =1,若向量组α 1 =1,2,0,2  T ,α 2 =-1,-1,1,a  T ,α 3 =1,-1,a,5  T ,α = 4
2,a,-3,-5 
T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.
·第147页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
  l 1 :ax+2by+3c=0,

(4)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l :bx+2cy+3a=0, 证明:这三条直线交于一点的充分必
 2

 l :cx+2ay+3b=0,
3
要条件为a+b+c=0.
·第148页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(5)设A是3阶方阵,A=a
ij
 ,且a =A ,i,j=1,2,3,其中A 为a 的代数余子式,a ≠0,b=
3×3 ij ij ij ij 33
a ,a ,a
13 23 33

T
,求非齐次线性方程组Ax=b的解.
·第149页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
(6)设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解.
·第150页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
a-3 -1 2

(7)设A= -1 a-3 2

 -1 -1 a

,且rE-A  =1.
(I)求a的值;
(II)若非零列向量α,β满足A-E  α=β,A2-E  α=2β,求α,β.
·第151页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
-1 0 1
(8)设A=
-1 1 a

-1 1
 ,B= -1 1

 b 2

.
(I)若方程组AX=0的解均是BTX=0的解,但这两个方程组不同解,求a,b的值；
(II)若方程组AX=0与BTX=0有非零公共解,求a,b的值,并求全部非零公共解.
·第152页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
2 0 0 2

(9)设A= 1 1 0 3

0 1 3 5
 1 0 1 2

,B= 0 2 0 4

0 -1 a-1 a-3
 2

,α= 2

1
  1

,β= 2

-1

.
(I)证明:方程组AX=α的解均是方程组BX=β的解;
(II)若方程组AX=α与方程组BX=β不同解,求a的值.
·第153页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
a 1 1
 (10)设矩阵A= 0 a-1 0

1 1 a
 b
 不可逆,β= 1

1

.已知方程组ATX=0的解均是βTX=0的解.
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第154页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数一线代·13.线性方程组
拓展题
解答题
设A是5×4矩阵,rA  =2,已知α ,α ,α 是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α +α = 1 2 3 1 2
4,6,-8,4  T ,α 3 =1,2,-1,1  T ,又0,1,-3,0  T是Ax=0的解,求Ax=b的通解.
·第155页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
第十四章相似矩阵
基础题
一、选择题
1
(1)设λ=2是矩阵A的一个特征值,且A≠0,则 A2
3

-1
有一个特征值为( ).
4 3 1 1
A. B. C. D.
3 4 2 4
·第156页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(2)设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则rA  =( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第157页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(3)设C=diag1,2,2 
2 0 0

,A= 0 2 1

0 0 1
 2 1 0

,B= 0 2 0

0 0 1

,则( ).
A. A与C相似,B与C不相似 B. A与C相似,B与C相似
C. A与C不相似,B与C相似 D. A与C不相似,B与C不相似
·第158页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(4)下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).
 1 -1 3

A. A= -1 2 0

 3 0 6
 1 0 0

B. B= 0 2 0

5 0 3

0 0 0

C. C= 0 0 0

1 2 3
 1 2 0

D. D= 0 0 3

0 0 0

·第159页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(5)设矩阵A与B相似,则必有( ).
A. 矩阵λE-A与λE-B相等 B. A,B同时可逆或不可逆
C. A和B有相同的特征向量 D. A和B均与同一个对角矩阵相似
·第160页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(6)设A为3阶方阵,A的三个特征值为1,1,2,α ,α ,α 分别为对应的三个特征向量,则( ).
1 2 3
A. α ,α ,α 必为2E-A的特征向量
1 2 3
B. α +α 必为2E-A的特征向量
1 3
C. α -α 必为2E-A的特征向量
1 2
D. α ,α 必为2E-A的特征向量,α 不是2E-A的特征向量
1 2 3
·第161页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(7)设3阶实矩阵A有三重特征值1,fx  =xE-A-A-1 ,其中E是3阶单位矩阵,x∈R,则至少存
在一点x 0 ∈0,1  ,使得y=fx  在点 x ,fx 0 0    处的切线( ).
A. 平行于直线y=1 B. 垂直于直线y=1 C. 平行于直线y=x D. 垂直于直线y=x
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二、填空题
1 2 2

(1)已知A= 2 1 2

2 2 1
 -1 0 0

与B= 0 5 0

 0 0 a

相似,则a=_____.
·第163页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(2)设方阵A满足A2+2A+E=O,则A有特征值_____.
·第164页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(3)设3阶矩阵A的特征值为0,1,2,B=A3-2A2,则rB  =_____.
·第165页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
三、解答题
1 2 2

(1)设A= 2 1 2

2 2 1

.求:
(I)A的全部特征值和特征向量;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ；
(III)正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ.
·第166页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(2)判别下列矩阵A与B是否相似.若相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
1 1 1

(I)A= 1 1 1

1 1 1
 3 0 0

,B= 0 0 0

0 0 0

;
2 0 0

(II)A= 0 0 1

0 1 0
 1 0 0

,B= 0 -1 0

0 -6 2

.
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 2 -1 2
 (3)设矩阵A= 5 a 3

-1 b -2

有特征向量α=1,1,-1  T .
(I)试确定参数a,b及α对应的特征值λ；
(II)问A能否相似于对角矩阵,说明理由.
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 1 -1 1
 (4)设A= x 4 y

-3 -3 5

,A∼Λ,且λ=2是A的二重特征值,求x,y的值及可逆矩阵P,使得P-1AP
=Λ.
·第169页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(5)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是线性无关的3维列向量,且Aα =α +α +α ,Aα =2α +α ,Aα =
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3
2α +3α .求:
2 3
(I)A的全部特征值;
(II)可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ,并计算A-2E.
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1 2 3
 (6)设A是3阶实对称矩阵,A∼B,B= 2 4 6 
3 6 9

,A的二重特征值对应的特征向量为α 1 =1,1,0  T ,
α 2 =0,2,1  T .求:
(I)A的特征值与特征向量;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第171页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
1 a -1

(7)已知A∼B,A= 1 5 1

4 12 6
 b

,B= b
 c

,求a,b,c的值.
(8)(I)设A是n阶实对称矩阵,且A2=A,rA  =rr1 
k
是n维正交单位实列向量组,A=ααT,E是n阶单位矩阵,则行列式 i i
i=1
A+E 
*
 =_____.
·第184页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
三、解答题
(1)已知A=α ,α ,α
1 2 3
 是3阶可逆矩阵,B是3阶矩阵,且BA=α ,-4α ,-α
1 3 2
 .求:
(I)B的全部特征值；
(II)可逆矩阵P和对角矩阵Λ,使得P-1BP=Λ.
·第185页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(2)设A是nn≥2  阶矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,且Aα =α ,Aα =α ,⋯,Aα =α ,Aα =0, 1 2 n 1 2 2 3 n-1 n n
α ≠0.
n
(I)证明:α ,α ,⋯,α 线性无关;
1 2 n
(II)求可逆矩阵P及三角矩阵B,使得P-1AP=B.
·第186页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(3)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是3维列向量,且α ≠0,Aα =kα ,Aα =α +kα ,Aα =α +kα .
1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 2 3
(I)证明:α ,α ,α 是R3的一组基;
1 2 3
(II)若Aα 1 ,Aα 2 ,Aα 3 线性相关,求rA  及trA  .
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(4)设A 有三个不同的特征值λ ,λ ,λ ,它们对应的特征向量分别为α ,α ,α ,令β=α +α +α .
3×3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
(I)证明:β,Aβ,A2β线性无关;
(II)若A3β=Aβ,求rA-E  .
·第188页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(5)设α=a 1 ,a 2 ,⋯,a n  T ,β=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  T 均为非零列向量,A=αβT.
(I)求A的全部特征值;
(II)问αTβ满足什么条件时,A可以相似于对角矩阵Λ,并求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ.
·第189页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(6)设nn≥2 
a 1 1 ⋯ 1

1 a 1 ⋯ 1

阶矩阵A=1 1 a ⋯ 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

1 1 1 ⋯ a

.求:
(I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)rA*  .
·第190页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(7)设A是2阶矩阵,α是非零向量,且α不是A的特征向量.
(I)证明:α,Aα线性无关;
(II)记P=α,Aα  ,若A2α-2Aα=8α,证明:A相似于对角矩阵,并求P-1AP.
·第191页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(8)设α,β为3维单位列向量,且αTβ=0,记A=αβT+βαT.
(I)证明:A相似于对角矩阵;
(II)若存在3维列向量γ≠0,使得Aγ=0,记P= γ,2α+β   ,β-α  ,求P-1AP.
·第192页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
1 a 12 a 13

(9)设A=1 a
22
a
23

1 a a
32 33
 1 2a 12 2a 13

可逆,B是3阶实对称矩阵,且满足BA=1 2a
22
2a
23

1 2a 2a
32 33

.求:
(I)B的特征值和对应的特征向量;
(II)正交矩阵Q,使得QTBQ=Λ.
·第193页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(10)设向量组I  α =-a,0,1 1  T ,α 2 =1-a,a,1-a  T ,α 3 =1,0,-a  T ,(II)β 1 =-1,0,a  T ,β = 2
-1,1,a  T ,β 3 =1,-1,-a  T a≠0  ,向量组(I)与(II)等价.
(I)求a的值;
(II)记A=α ,α ,α
1 2 3
 ,问当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ？并求Q及Λ.
·第194页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
a 0 1

(11)设A= 0 -a 0

1 0 a
 -1 1 0

,B= 1 -1 0

 0 0 -a
 1

,β= 1

a

,a≠0.若方程组AX=β有无穷多解.
(I)求a的值,并求方程组AX=β的全部解；
(II)当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B?并求正交矩阵Q.
·第195页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(12)设A,B均是n阶矩阵.
(I)证明:AB与BA有相同的特征值;
(II)若AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明:B相似于对角矩阵.
·第196页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(13)设A是n阶实对称矩阵,α ,α ,⋯,α 是A的n个单位正交特征向量,对应的特征值为λ ,λ ,⋯,
1 2 n 1 2

λ ,证明:A=λ α αT+λ α αT+⋯+λ α αT.
n 1 1 1 2 2 2 n n n
·第197页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(14)设向量β=b,1,1  T可由α 1 =a,0,1  T ,α 2 =1,a-1,1  T ,α 3 =1,0,a  T线性表示,且表示法不唯
一.记A=α ,α ,α
1 2 3
 .求:
(I)a,b的值,并写出β由α ,α ,α 表示的线性表达式；
1 2 3
(II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵).
·第198页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
2 1 0

(15)设A= 1 2 0

0 0 1
  a b c

与B= 0 1 0

-1 -2 4

相似.
(I)求a,b,c的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B；
(III)记A的伴随矩阵为A*,求方程组3E-A*  X=0的通解.
·第199页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
 1 -1 0
 (16)设B= 1 0 k

-1 1 1-k

不可逆,且满足AB=B,B* AT+E  =O,其中A是3阶矩阵,E是
3阶单位矩阵,B*是B的伴随矩阵.
(I)求rB*  ；
(II)证明:A相似于对角矩阵,并求A2.
·第200页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
拓展题
解答题
(1)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=diag1,2,-1  ,且α 1 =1,k+1,2  T ,α = 2
k-1,-k,1  T分别为A的特征值λ =1,λ =2对应的特征向量,A*的特征值λ 对应的特征向量β= 1 2 0
2,-5k,2k+1  T .求:
(I)λ 与k的值;
0
(II)矩阵A-1  * .
·第201页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
 k -2 2
 (2)设A= -3 3 -1

-15 8 -6
 1 0 2
 ,B= 0 2 0

0 4 -1

,且A∼B,求k的值及可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
·第202页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·14.相似矩阵
(3)设数列a n  ,b n  a 满足 n b n  1 2 = -1 4  a n-1  b n-1  n=1,2,⋯  ∞ 1 ,a =1,b =-1,求级数 的 0 0 a -b n=0 n n
和.
·第203页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
第十五章二次型
基础题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x -x
1 2

2
+x -x
2 3

2
+x -x
3 1

2
的标准形为( ).
3 3
A. f=y2+y2+y2 B. f=2y2+ y2 C. f=y2+y2-y2 D. f=2y2+ y2+y2
1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3
·第204页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
1

(2)设A= 2
 3

2

与B= 3
 1

合同,则合同变换矩阵P=( ).
1 0 0

A. 0 0 1

1 0 0
 0 0 1

B. 1 0 0

0 1 0
 0 1 0

C. 1 0 0

0 0 1
 0 0 1

D. 1 0 0

0 0 1

·第205页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(3)设A是n阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则( ).
A. A与B等价、相似且合同 B. A与B相似、合同但不等价
C. A与B相似但不合同 D. A与B等价但不相似
·第206页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(4)二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+4x2+4x2-4x x +4x x -8x x 的规范形为( ).
1 2 3 1 2 1 3 2 3
A. f=z2 B. f=z2-z2 C. f=z2+z2+z2 D. f=z2+z2-z2
1 1 2 1 2 3 1 2 3
·第207页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(5)设A,B,Λ均为n阶实方阵,则下列命题中正确的是( ).
A. 若A是实对称矩阵,则存在唯一可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ
B. 若A是实对称矩阵,则存在唯一正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ
C. 若B是实对称矩阵,则存在唯一实对称矩阵A,使得A2=B
D. 若B是正定矩阵,则存在唯一正定矩阵A,使得A2=B
·第208页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(6)设E是n阶单位矩阵,则n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ).
A. 存在n阶矩阵C,使得A=CTC B. 二次型XTAX的负惯性指数为0
C. 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=E D. A的伴随矩阵A*与E合同
·第209页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
1 2 0
 (7)设A= 2 0 2

0 2 -1

,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=Λ,则C可能为( ).
1 -1 -1
 1 1
A. 0
2 2

0 0 1
 1 2 0

B. 0 2 -1

0 0 1
 1 2 0

C. 0 1 2

0 0 1
 1 1 1
 1 1
D. 0
2 2

0 0 1

·第210页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(8)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+x2+x2-4x x -4x x -4x x ,则fx ,x ,x
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
 =1在空间直角坐标系
下表示的二次曲面为( ).
A. 椭球面 B. 柱面 C. 单叶双曲面 D. 双叶双曲面
·第211页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(9)若二次曲面x2+k+2  y2+kz2+2xy=5表示一个椭球面,则( ).
A. k>0 B. k<0 C. k>-1 D. k<-1
·第212页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
二、填空题
(1)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+4x2+4x2+2ax x -2x x +4x x 正定,则a的取值范围为____
1 2 3 1 2 1 3 2 3
_.
·第213页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(2)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  在正交变换下的标准形为-2y2+8y2,且E+B=AB,其 1 2
中B为3阶矩阵,则迹trB-1+2E  =_____.
·第214页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =2x2+5x2+5x2+4x x -4x x -8x x .
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy,将f化为标准形；
(II)利用配方法,将f化为标准形.
·第215页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(2)已知二次型f=2x2 1 +3x2 2 +3x2 3 +2ax 2 x 3a>0  ,经过正交变换化成标准形y2+2y2+5y2,求参数 1 2 3
a及所用的正交变换.
·第216页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(3)证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP.
·第217页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
2 0 1

(4)设A= 0 2 -1

1 -1 a-1
 0 0 0

与B= 0 b 0

0 0 3

合同.
(I)求a的值及b的取值范围；
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b及Q.
·第218页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x +x
1 2

2
+x -x
2 3

2
+x +ax
1 3

2
(I)求fx ,x ,x
1 2 3
 =0的解;
(II)当fx ,x ,x
1 2 3
 =0有非零解时,求正交变换X=QY将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形;
(III)求fx ,x ,x
1 2 3
 的规范形.
·第219页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(6)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α
1 2 3
 有二重特征值1,且α +2α -α =0,A*是A的伴随矩阵.
1 2 3
(I)求正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =XTAX化为标准形；
(II)求方程组A*X=0的通解.
·第220页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(7)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1.
(I)求方程组AX=0的通解；
(II)求A；
(III)若X=x ,x ,x
1 2 3
 T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第221页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
综合题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x x +x x 的正、负惯性指数分别为( ).
1 2 2 3
A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2
·第222页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(2)A是n阶实对称矩阵,B是n阶矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是( ).
①rA  =rB  , ②A与B的正惯性指数相等,
③A与B均正定矩阵, ④B是实对称矩阵.
A. ①成立 B. ④成立 C. ①②④均成立 D. ③成立
·第223页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(3)方程x-y  2 +y-z  2 +z-x  2 =1表示的曲面是( ).
A. 椭球面 B. 单叶双曲面 C. 双叶双曲面 D. 柱面
·第224页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(4)设n元二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =x +a x 1 1 2 
2
+x +a x 2 2 3 
2
+⋯+x n +a n x 1 
2
,其中a ii=1,2,⋯,n 
均为实数,若二次型正定,则( ).
A. 1+-1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 B. 1+-1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
C. 1--1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 D. 1--1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
·第225页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
2 1
(5)设A=
-1 0

1 1
,B=
0 1

1 0
,C=
1 1

1 0
,D=
0 1
 ,则下列选项中正确的是( ).
A. A与B相似,B与C合同 B. A与D相似,B与D合同
C. A与D合同,B与C相似 D. B与D相似,C与D合同
·第226页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(6)设A是3阶实对称矩阵,且A=2,A*=A-E,其中A*是A的伴随矩阵,则二次型xTAx的规范形
为( ).
A. y2+y2+y2 B. -y2-y2-y2 C. y2+y2-y2C.-y2-y2+y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
·第227页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
1 2
(7)设A=
2 1

1 4
,B=
1 1
 ,则下列选项中正确的是( ).
A. 必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B B. 必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B
C. 必存在可逆矩阵P,使得PTAP=B D. 必存在可逆矩阵P,使得A=PTP
·第228页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
a a-1
(8)设实矩阵A=
a-1 a-1
 ,若对任意的2维非零实列向量X,都有XTAX<XTX,则a的取
值范围为( ).
1 A.  ,1
3
 1 B. (-1,1) C. (-1,0] D.  ,1
3

·第229页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(9)设α 1 =1,2  T ,α 2 =a,1  T ,X=x ,x 1 2  T ,若二次型fx ,x 1 2  =α ,X 1  2 +α ,X 2  2 经可逆线性变换
X=PY化为gy ,y 1 2  =by2 1 +by2 2 +2by 1 y 2b≠0  ,则( ).
1 1 1 1
A. a= ,b>0 B. a=- ,b>0 C. a= ,b>-1 D. a=- ,b>-1
2 2 2 2
·第230页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(10)设A是2阶实对称矩阵,若对任意的2维非零列向量X,都有XTAX<XTX,X ,X 均为2维列
1 2
X 1 向量,则二次型
X
2
 T A+E O 
O E-A
 X 1 
X
2
 的规范形为( ).
A. y2+y2-y2-y2 B. y2+y2+y2-y2 C. y2+y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2-y2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
·第231页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(11)设A是3阶实矩阵,A=3,且A*=-A+4E,其中A*是A的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵,则二次
型XT 2E-A  T 2E-A  X的规范形为( ).
A. y2-y2-y2 B. y2+y2-y2 C. y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
·第232页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
二、填空题
(1)设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT ATA  x的正惯性指数为_____.
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(2)设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为y2+y2-y2,A*是A的伴
1 2 3
随矩阵,则二次型xTA*x的规范形为_____.
·第234页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(3)设3阶实对称矩阵A的特征值为2,3,4,A*是A的伴随矩阵.若对任意3维实列向量X,都有
XTA*X-XTAX≤aXTX,则a的最小取值为_____.
·第235页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx=x2+ax2+x2+2x x -2ax x -2x x 的正负惯性指数都是1.求:
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)a的值;
(II)可逆线性变换x=By,将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形.
·第236页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(2)设3阶实对称矩阵A=a ij 
3
3×3 有特征值λ 1 =λ 2 =2,且a ii =1,α=1,0,-2
i=1
 T是方程组A*x=
4α的解向量.求:
(I)矩阵A;
(II)正交变换x=Qy,将二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx化为标准形.
·第237页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(3)设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ =1和λ ,且A属于λ =1的特征向量仅有k(1,
1 2 1
0,⋯,0,1 
T
k≠0  .
(I)求矩阵A;
(II)当λ 满足什么条件时,A是正定矩阵.
2
·第238页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(4)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =ax2-ax2+ax2+2x x 与gy ,y ,y
1 2 3 1 3 1 2 3
 =-y2-y2+a2y2+2y y 的秩相等
1 2 3 1 2
a≠0  .问:
(I)当a为何值时,存在可逆(非正交)线性变换x=Py,可将fx ,x ,x
1 2 3
 化为gy ,y ,y
1 2 3
 ,并求一个
可逆矩阵P;
(II)当a为何值时,存在正交变换x=Qy,将fx ,x ,x
1 2 3
 化为gy ,y ,y
1 2 3
 ,说明理由.
·第239页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(5)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=ax2 1 +ax2 2 +a-1  x2+2x x -2x x (a为常数,AT=A). 3 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形；
(II)设x=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程xT aE-A  2 x=0的全部解.
·第240页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(6)设二次型xTAx=ax2+x2+x2
1 2 3
 +2x x +2bx x +2x x ,在正交变换x=Qy下的标准形为y2+
1 2 1 3 2 3 1
y2+4y2,其中AT=A.
2 3
(I)求a,b的值及正交矩阵Q；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+A*,其中A*是A的伴随矩阵,求B.
·第241页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(7)设A是3阶矩阵,方程组AX=b的通解为k 1-1,1,0  T +k 22,0,1  T +1,1,-2  T .其中b=
6,6,-12  T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)求A；
(II)若A的列向量组的极大线性无关组为α,求一个3维行向量β,使得A2=αβ；
(III)记X=x ,x ,x
1 2 3
 T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第242页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(8)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  经过正交变换X=QY化为标准形2y2-y2-y2,又A*α= 1 2 3
α,其中α=1,1,-1  T ,A*是A的伴随矩阵.
(I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+2E,求B.
·第243页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(9)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+2x2+ax2+2x x 经过可逆线性变换X=PY化为y2+y2.
1 2 3 1 3 1 3
(I)求a的值及可逆矩阵P；
(II)设X=x ,x ,x
1 2 3
 T ,当XTX=1时,求fx ,x ,x
1 2 3
 的最大值,并求满足x =x >0的最大值点.
1 2
·第244页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
 a 0
 (10)设A= -1 a

-1 0

-1 0 a
,B=
-1 1 a
 ,已知方程组ABX=0与BX=0同解.
(I)求a的取值范围;
(II)当AB为实对称矩阵时,求正交变换X=QY,将二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =XTABX化为标准形.
·第245页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
拓展题
一、选择题
设3阶实矩阵A的特征向量为α 1 =-1,1,0  T ,α 2 =1,1,1  T ,α 3 =-1,-1,2  T ,则A必为( ).
A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵
·第246页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
二、解答题
(1)设二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =nx2 1 +nx2 2 +⋯+nx2 n -x 1 +x 2 +⋯+x n  2 .求:
(I)二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =xTAx的秩；
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,并求二次型的正惯性指数.
·第247页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(2)设A为3阶实对称矩阵,二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为-y2+2y2+
1 2
1 1 1
ay2,其中Q的第1列为 , ,
3
3 3 3

T
,且A=-4.求:
(I)a的值;
(II)正交矩阵Q.
·第248页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
(3)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAxAT=A  经正交变换x=Qy化为by2+c2y2,其中Q= 2 3
1 0 a
1 
0 c 0
2 
b 0 1

．b>0,c>0  求:
(I)a,b,c的值及矩阵A；
(II)可逆矩阵P,使得A+E=PTP.
·第249页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一线代·15.二次型
1 1
 a - -
 2 2
 1 1
(4)设A= - a -
 2 2
 1 1
- - a
 2 2

b 0 0

与B= 0 b 0

0 0 0

b≠0  合同.
(I)求a的值;
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b的值及Q;
(III)对于(II)中的Q,若QT A+A*

Q=Λ,其中A*是A的伴随矩阵,求对角矩阵Λ.
·第250页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
概率论与数理统计
第十六章随机事件及其概率
基础题
一、选择题
(1)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则( ).
A. PC  =PAB  B. PC  =PA∪B 
C. PC  ≤PA  +PB  -1 D. PC  ≥PA  +PB  -1
·第251页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(2)对任意两个事件A和B,若PAB  =0,则( ).
A. PA  PB  =0 B. PA-B  =PA 

C. AB=⌀ D. AB=⌀
·第252页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(3)设PA  >0,PB  >0,PA∣B  =PA  ,则下列选项中不正确的是( ).
A. A与B互不相容 B. A与B相容 C. PB∣A  =PB 
 
D. PA∣B 

=PA 
·第253页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(4)设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且00,则下列选项中正确的是( ).
A. PA  PA∣B  D. PA  ≥PA∣B 
·第256页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(7)设A,B是两个随机事件,且00,PB∣A 

=PB∣A  ,则下列选项中正确的是(
).
A. PA∣B 

=PA∣B  B. PA∣B 

≠PA∣B 
C. PAB  =PA  PB  D. PAB  ≠PA  PB 
·第257页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
二、填空题
(1)设PA∣B  =PB∣A 
1
= ,PA
2

1
= ,则PA∪B
3
 =_____.
·第258页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(2)设事件A,B,C满足PA  =PB  =PC 
1
= ,PAB
4
 =PBC  =0,PAC 
1
= ,则A,B,C三个事
8
件中至少出现一个的概率为_____.
·第259页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(3)设PA  =0.1,PB∣A 

=0.9,PB∣A  =0.2,则PA∣B  =_____.
·第260页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率

(4)设A,B为随机事件,且PA  =0.3,PB  =0.4,PA-B 

=0.5,则PB∣A∪B  =_____.
·第261页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
2
(5)在区间(0,1)内任取两个数x,y,则xy≤ 的概率为_____.
9
·第262页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·16.随机事件及其概率
(6)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p00,
 D. Fx
0, x≤0

x
= ft
-∞

+∞
dt,且 ft
-∞
 dt=1
·第281页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(4)设X是随机变量,对任意实数x,P{X=x}=0的充分必要条件是( ).
A. X的概率密度fx  是连续函数 B. X的分布函数Fx  是连续函数
C. X为离散型随机变量 D. X是非离散型随机变量
·第282页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(5)设X∼Nμ,42  ,Y∼Nμ,52  ,记p =P{X≤μ-4},p =P{Y≥μ+5},则( ). 1 2
A. 对任意实数μ,有p >p B. 对任意实数μ,p 0  的指数分布,则P{X>16∣X>8}=_____.
·第286页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(2)设X∼N2,σ2  且P{00}=_____.
·第287页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(3)设X∼Nμ,σ2  ,fx  为X的概率密度,当x=1时,fx 
1
取得最大值 ,则P{X<3}=
2 2π
_____(用标准正态分布函数Φx  表示).
·第288页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(4)设自动机床在任何时长为t的时间间隔内发生故障的次数X服从参数为λt的泊松分布,Y表示相
继两次故障之间的时间间隔,则当t>0时,P{Y>t}=_____.
·第289页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(5)设随机变量X服从Nμ,σ2  ,A={X>μ},B={X>σ},C={X>μ+σ}.若PA  =PB  ,则事件
A,B,C至多有一个发生的概率为_____.
·第290页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
三、解答题
(1)设离散型随机变量X的分布律为
1
求:(I)X的分布函数;(II)PX>

2

X -1 1 2
p 0.2 0.3 0.5
;(III)P{-1≤X≤2}.
·第291页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(2)设连续型随机变量X的分布函数为Fx 
0, x≤-a,

 x
= k +k arcsin , -a0.求:  1 2 a


1, x>a,
(I)常数k ,k 的值;
1 2
(II)X的概率密度;
a
(III)P X<
2
 .
·第292页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(3)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,对X进行三次独立重复观察,至少有一次观测值大于3
26
的概率为 ,求λ的值.
27
·第293页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(4)设随机变量X的概率密度为fx 
3x2, 0p >p B. p >p >p C. p >p >p D. p >p >p
3 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3
·第299页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(3)设随机变量X的概率密度为fx  ,若当-∞0,x ,y 0 0  为其分布函数曲线y=Fx  的拐点,则x =_____,y 0 0
=_____.
·第302页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(2)设随机变量X∼Nμ,σ2  ,其中σ>0,Fx  为X的分布函数,则Fμ-xσ  +Fμ+xσ  =_____.
·第303页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(3)设随机变量X服从泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},则P{X>1}=_____.
·第304页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
∞
3
(4)在伯努利试验中,设事件发生的概率p= ,X表示首次发生所需试验次数,n为正整数,则P
4
n=1
{X=2n}=_____.
·第305页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
a
(5)设离散型随机变量X的分布律为P{X=k}= e-2,k=0,1,2,⋯,则常数a=_____.
k!
·第306页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(6)设X∼N0,σ2

,X在区间(a,b)内取值的概率最大,其中a>0,则σ2=_____.
·第307页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(7)设随机变量X服从参数为1的指数分布,k为大于零的常数,则P{X≤k+1∣X>k}=_____.
·第308页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(8)设随机变量X服从参数为λλ>0  的指数分布.Y=   X, X≤1, 则P  Y≤ 1
-X, X>1, 4
 =_____.
·第309页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
三、解答题
(1)设随机变量X服从λ=2的指数分布,求Y=1-e-2X的分布函数和概率密度.
·第310页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(2)设连续型随机变量X的概率密度为fx  ,求Y=sinX的分布函数和概率密度.
·第311页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·17.随机变量及其分布
(3)设随机变量X的概率密度为fx 
 1
x2
 e2 , x≤0,
=  2π 求Y=X2的分布函数和概率密度(可用
  e-2x, x>0,
φx  和Φx  表示).
·第312页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
第十八章多维随机变量及其分布
基础题
一、选择题
(1)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为Fx,y  ,则PX>x ,Y>y  0 0  =( ).
A. 1+Fx ,y
0 0
 -Fx ,+∞
0
 -F+∞,y
0
 B. Fx ,y
0 0
 -1+Fx ,+∞
0
 +F+∞,y
0

C. 1-Fx ,+∞
0
 -F+∞,y
0
 D. 1-Fx ,y
0 0

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(2)设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N0,1  与N1,1  ,则( ).
1 1
A. P{X+Y≤1}= B. P{X+Y≤0}=
2 2
1 1
C. P{X-Y≤1}= D. P{X-Y≤0}=
2 2
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(3)设随机变量X 与X 同分布,Y 与Y 同分布,则( ).
1 2 1 2
A. X +Y 与X +Y 同分布 B. X -Y 与X -Y 同分布
1 1 2 2 1 1 2 2
C. X ,Y
1 1
 与X ,Y
2 2
 同分布 D. kX 与kX 同分布,kY 与kY 同分布(常数k≠0)
1 2 1 2
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二、填空题
(1)设二维随机变量(X,Y)的分布律为
X 0 1
Y
0 1/4 a
1 b 1/4
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则a=_____,b=_____.
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(2)设X与Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布,则Z=min{X,Y}的分布函数F Zz  =_____.
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(3)设随机变量X,Y均服从区间为0,4 
9
的均匀分布,P{max{X,Y}≤3}= ,则P{min{X,Y}>3}
16
=_____.
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三、解答题
(1)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y 0 1
X
(I)求P{min{X,Y}≥0};
-1 3/16 9/16
(II)问X与Y是否相互独立?说明理由.
1 1/16 3/16
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(2)设随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
1, 0 ∣Y>0

2
 .
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(3)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
ke -4x+3y
=
  , x>0,y>0,
 求:
0, 其他.
(I)常数k的值,并判别X与Y是否相互独立,说明理由;
(II)Z=X+Y的概率密度f Zz  .
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(4)设随机变量X与Y相互独立,其概率密度分别为f Xx 
-λ x
λ e 1 , x>0,
= 1 ,f Yy
0, x≤0,
 =
-λ y
  λ 2 e 2 , y>0, 其中λ 1 >0,λ 2 >0为常数.令Z=   1, X≤Y, 求Z的分布律和分布函数.
0, y≤0, 0, X>Y,
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(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
-y
xe , 02, X
= x2 求Z= 的分
Y
0, 其他,
布函数和概率密度.
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(7)设随机变量X和Y相互独立,X在区间(0,1)内服从均匀分布,Y的概率密度为f Yy  =
y
 1 e - 2, y>0,
 2
0, y≤0.
(I)求(X,Y)的联合概率密度;
(II)设X和Y满足关于k的二次方程,k2+2Xk+Y=0,求k有实根的概率.
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1 1
(8)设X与Y相互独立,X服从参数为 的指数分布,Y服从参数为 的指数分布,求Z=X+Y的概
2 3
率密度.
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(9)设(X,Y)服从区域G= x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤1  上的均匀分布,求Z=XY的分布函数与概率密
度．
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(10)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  1 = 1+xy
k
 -1 x2+y2 e 2  k>0,x,y   ∈R2  .
(I)求k的值,并判别X与Y是否相互独立；
(II)若Z服从区间-π,π  上的均匀分布,且X与Z相互独立,求U=X+Z的概率密度.
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(11)设随机变量X与Y相互独立,X服从p=0.6的0-1分布,Y的分布函数为F Yy  =
-y
1-e , y≥0,


记Z=X-Y.求:
0, y<0,
1
(I)PZ≤- ∣X=0

2
 ;
(II)Z的分布函数.
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综合题
一、选择题
(1)设随机变量X与Y独立同分布,均服从P{X=k}=p1-p  k-1 ,k=1,2,⋯,0EX-Y    =( ).
1
A. 1-Φ
2
 B. 1-Φ 2 
2
C. 1-Φ
π

2
D. 1-Φ
π

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(5)设随机变量X与Y相互独立,X∼N0,1 
1 3
.Y的概率分布为P{Y=0}= ,P{Y=1}= ,记Z=
4 4
XY,则对于Z的分布函数Fz  有( ).
A. limFz
z→0-

3
= ,limFz
8 z→0+

5
= B. limFz
8 z→0-
 =limFz
z→0+

1
=
2
C. limFz
z→0-

1
= ,limFz
4 z→0+

3
= D. limFz
4 z→0-

3
= ,limFz
4 z→0+

5
=
8
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二、填空题
1
(1)设随机变量X与Y相互独立,X服从二项分布B4,
2
 ,Y服从λ=1的泊松分布,则概率P{1<
max{X,Y}≤3}=_____.
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(2)设随机变量X与Y均服从N0,σ2 
1
,且P{X≤1,Y≤-1}= ,则P{X>1,Y>-1}=_____.
4
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(3)设D= x,y   ∣0≤x≤a,0≤y≤a  ,向D上均匀地投掷随机点,(X,Y)表示随机点的坐标,0Y,
0, X≤2Y,
= 求U,V
1, X>2Y,


 的联合分布律,并判别U与V是否相互独立.
·第339页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
(3)设随机变量X和Y都在a,b  上服从均匀分布,且X与Y相互独立.求:
(I)Z =max{X,Y}和Z =min{X,Y}的概率密度；
1 2
(II)Z ,Z
1 2
 的联合概率密度.
·第340页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
(4)设随机变量X与Y均服从N2,σ2  σ>0 
1
,且X与Y相互独立,若P{X≤-1}= ,求
3
P maxX,Y  ≤2,minX,Y   ≤-1  .
·第341页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
(5)设二维随机变量(X,Y)服从D= x,y   ∣y≥0,x2+y2≤1  
0, X<0,

上的均匀分布,令U= 1, 0≤X1
i


 .求:
(I)k的值及PX <0,X <1
 1 2
 ；
(II)Y,Y
1 2
 的概率分布.
·第343页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
(7)设随机变量X与Y相互独立,其中X的概率密度为fx 
x, 0≤x<1,

= 2-x, 1≤x<2,Y服从参数为2的指 


0, 其他,
数分布.Fx  为X的分布函数,记Z=FX  +Y.
(I)求FX  的分布函数与概率密度;
(II)求Z的概率密度f Zz  .
·第344页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
拓展题
解答题
(1)设随机变量X与Y相互独立,X的概率密度为f Xx 
1, 0≤x≤1,

=
0, 其他,
Y 的分布函数为F Yy  ,令Z
1
  Y, X≤
2
,
=  1 求Z的分布函数F Zz
X, X> ,
 2
 .
·第345页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·18.多维随机变量及其分布
(2)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
λ2e-λx, 00
0, 其他


 .
(I)证明:Y服从参数为λ的指数分布;
(II)问X与Y是否相互独立?并说明理由.
·第346页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
第十九章随机变量的数字特征
基础题
一、选择题
(1)设随机变量X服从参数为2的指数分布,则Y=2X+e-2X的期望EY=( ).
3 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 3
·第347页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(2)设随机变量X∼Bn,p  ,且EX=2.4,DX=1.44,则( ).
A. n=8,p=0.6 B. n=6,p=0.4 C. n=4,p=0.5 D. n=12,p=0.1
·第348页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(3)设EX与EX2  均存在,则( ).
A. EX2  ≥EX  2 B. EX2  <EX  2 C. EX2  EX
·第349页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(4)设(X,Y)服从二维正态分布,则U=X+Y与V=X-Y不相关的充分必要条件是( ).
A. EX=EY B. EX2  =EY2 
C. EX2  +EY  2 =EY2  +EX  2 D. EX2  +EX  2 =EY2  +EY  2
·第350页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(5)设随机变量X与Y相互独立,且均存在非零方差,DX≠DY,则( ).
A. 2X+1与2Y-1相关 B. X+Y与X-Y不相关
C. eX与Y+1相互独立 D. X+Y与Y+1相互独立
·第351页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(6)设X∼N0,1  ,Y∼N1,4  ,且ρ =1,则( ). XY
A. P{Y=2X+1}=1 B. P{Y=-2X+1}=1
C. P{Y=-2X-1}=1 D. P{Y=2X-1}=1
·第352页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(7)设随机变量X在-1,1  上服从均匀分布,Y =arcsinX,Y =arccosX,则ρ =( ). 1 2 YY
1 2
1 3
A. 1 B. -1 C. D.
2 4
·第353页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(8)设袋中有6只红球,4只白球,任意摸出一只球,记住颜色后放回袋中,共进行4次,设X表示摸到
红球的次数,则EX=( ).
2 8 12 48
A. B. C. D.
5 5 5 5
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二、填空题
(1)一袋中有N个球,其中白球数目X是一个随机变量,且EX=n,从袋中任取一球,则取得的球是白
球的概率为_____.
·第355页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(2)设随机变量X的概率密度为fx  = 1 e-x2+2x-1 -∞0,y>0,
 则P{X>2∣X>EX}=
0, 其他,
_____.
·第360页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
三、解答题
(1)设X与Y的概率分布分别为
X 0 1 Y -1 0 1
p 1/3 1/3 p 1/3 1/3 1/3
且PX2=Y2

 =1.求:
(I)(X,Y)的概率分布;
(II)ρ .
XY
·第361页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
1
(2)设随机变量X,Y,Z,满足EX=EY=1,EZ=-1.DX=DY=DZ=1,ρ =0,ρ = ,
XY XZ 2
1
ρ YZ =- 2 ,求EX+Y-2Z  ,DX+Y+Z  .
·第362页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
1
(3)设X与Y相互独立,且均服从N1,
2
 ,求DX-Y  .
·第363页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(4)设X的概率密度为fx  = 1 e -x,-∞0 B. a<0 C. a≠0 D. a=1
·第369页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(4)设随机变量X在 0, π
 2
 上服从均匀分布,U=sinX,V=cosX,则U与V的相关系数ρ 为( ).
UV
A. ρ =0 B. ρ =1 C. 0<ρ <1 D. -1<ρ <0
UV UV UV UV
·第370页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(5)设随机变量X服从参数为λλ>0 
1
的泊松分布,Y服从参数为 的指数分布,则ρ =1的充分 XY
λ
必要条件是( ).
A. CovX+Y,X  =0 B. CovX-Y,X  =0 C. CovX+Y,Y  =0 D. CovX-Y,X+Y  =0
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(6)已知编号为1,2,3的3个袋子中各有3个白球、2个黑球,从1,2号袋子中各取出一个球放入3号
袋子中,则3号袋子中白球个数X的期望与方差分别为( ).
6 12 21 12
A. EX= ,DX= B. EX= ,DX=
5 25 5 25
21 6 12 6
C. EX= ,DX= D. EX= ,DX=
5 5 5 5
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二、填空题
C
(1)设随机变量X的概率分布为P{X=k}= k=0,1,2,⋯
k!
 ,则EX2  =_____.
·第373页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(2)设随机变量X
1
,X
2
,⋯,X
n
独立同分布,且有相同的概率密度,则概率P

X
n
>min

X
1
,X
2
,⋯,
X
n-1
  =_____.
·第374页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(3)设随机变量X的概率密度为fx 
1
=
π1+x2

,则E minX,1    =_____.
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(4)设15000件产品中有1000件次品,从中任取150件进行检测,则检测到次品数X的期望EX=__
___.
·第376页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(5)设X,Y  ∼N1,1,2,2;0  ,U=X+2Y,V=X-2Y,则ρ =_____. UV
·第377页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(6)设二维随机变量X,Y  ∼N1,1;2,4;0  ,则DXY  =_____.
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三、解答题
(1)在区间(0,1)内随机取n个数X ,X ,⋯,X .
1 2 n
(I)求最大数与最小数之间距离d的数学期望；
2
(II)若用Y表示n个数中大于 的个数,求EY和DY.
3
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(2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X nn>2  为独立同分布的随机变量,且均服从N0,1 

,Y=X -X(i=1,2,⋯,n),其 i i
 1 n
中X = X.求:
n i
i=1
(I)DY ii=1,2,⋯n  ;
(II)ρ .
Y
1
Yn
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1
(3)设随机试验E有三种两两不相容的结果A ,A ,A ,且三种结果发生的概率均为 ,将试验E独立
1 2 3 3
重复做2次,X表示2次试验中结果A 发生的次数,Y表示2次试验中结果A 发生的次数.求:
1 2
(I)(X,Y)的联合分布律;
(II)ρ .
XY
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(4)设随机变量X ,X ,X 相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,记Y=minX ,X
1 2 3  1 2
 ,T=
maxY,X
 3
 .求:
(I)Y的概率密度f Yy  ;
(II)期望ET.
·第382页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(5)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 相互独立同分布,其相同的概率密度为fx 
2e -2x-θ
=
 , x>θ,
θ为常数
0, x≤θ


 ,
求Z= minX
 i
1≤i≤n
 的数学期望.
·第383页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
(6)设X 1 与X 2 相互独立,X i ∼Bi,p  i=1,2,01 X<

2
 ;
(III)求EY-X  .
·第388页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·19.随机变量的数字特征
拓展题
解答题
(1)设随机变量X 1 与X 2 相互独立,且X 1 ∼B1,p  ,X 2 ∼B2,p  ,其中0b}=
4
,令X
1
=
1, X>a,
,X
2
=
-1, X≤b,


求:
1, X>​​b.
I  X ,X 1 2  的联合分布及边缘分布;
(II)CovX ,X
1 2
 ,DX -X
1 2
 .
·第390页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·20.大数定律与中心极限定理
第二十章大数定律与中心极限定理
基础题
一、选择题
(1)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是总体X的简单随机样本,且EXk  =a ,k=1,2,3,4,根据中心极限定理,当n充 k
n
1
分大时,Y
n
=
n
X
i
2近似服从( ).
i=1
a -a2
A. Na , 4 2
2 n
 B. Na ,a -a2
2 4 2

a -a2
C. Na , 4 2
1 n
 D. Na ,a2
2 2

·第391页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·20.大数定律与中心极限定理
(2)设随机变量X ,X ,⋯,X 相互独立,记Y =X +X +⋯X ,根据列维一林德伯格中心极限定理,
1 2 n n 1 2 n
Y 近似服从正态分布(n充分大),则只要X ,X ,⋯,X ( ).
n 1 2 n
A. 服从同一离散型分布 B. 服从同一连续型分布
C. 服从同一指数分布 D. 具有相同的期望与方差
·第392页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·20.大数定律与中心极限定理
(3)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是独立同分布的随机变量序列,且EX i 2  <+∞,则对任意ε有( ).
n
A. l n i → m ∞ P    1 n X i 2 <ε
i=1

n
1 =0 B. limP X2-EX2 n→∞ n i i
i=1
    <ε  =0
n
1 C. limP X2-EX2 n→∞ n i i
i=1
    <ε 
n
=1 D. l n i → m ∞ P    1 n X i 2 ≥ε
i=1
 =0
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二、填空题
(1)设随机变量X i 服从二项分布Bi,0.2  ,i=1,2,⋯,10,且X ,X ,⋯,X 相互独立,则根据切比雪夫 1 2 10
10

不等式,有P6<X
i
<16
i=1

≥_____.
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1
(2)设X与Y满足:EX=-2,EY=2,DX=1,DY=4,ρ =- ,则根据切比雪夫不等式,有
XY 2
PX+Y≥6  ≤_____.
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(3)设X在区间-1,b  上服从均匀分布,由切比雪夫不等式有PX-1<ε 
2
≥ ,则b=_____,ε
3
=_____.
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1
(4)设随机变量X ,X ,⋯,X 相互独立,且均服从B1,
1 2 n 2
 .若存在常数k,使得
n
k X -X
2i 2i-1
i=1 limP
n→∞
 
  ≤x
n
 =Φx  ,其中Φx  为N0,1  的分布函数,则k=_____.
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三、解答题
(1)设一条生产线的合格率为0.8,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问
这批产品至少要生产多少件?
·第398页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·20.大数定律与中心极限定理
(2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为fx 
xn
 e-x, x≥0,
= n!
0, x<0.
(I)利用切比雪夫不等式证明:P 00,都有l n i → m ∞ P    1 n X i 2-a  <ε
i=1
 =1?
·第399页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·20.大数定律与中心极限定理
(3)设随机变量序列X ,X ,⋯,X 独立,X 的分布律为
1 2 n i
X -ia 0 ia
i
p 1/2i2 1-1/i2 1/2i2
n
其中i=1,2,⋯,n,利用大数定律证明:l n i → m ∞ P    1 n X i  ≥ε
i=1
 =0.
·第400页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
第二十一章数理统计的基本概念
基础题
一、选择题
(1)设X ,X ,X 1 2 3  为总体X∼N0,σ2 
X -X
的简单随机样本,则统计量U= 1 2 服从的分布为( ).
2X 
3
A. t1  B. t2  C. F1,1  D. F2,1 
·第401页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
(2)设随机变量X,Y均服从N0,1  ,则( ).
A. X+Y服从正态分布 B. X2+Y2服从χ2分布
X2
C. 服从F分布 D. X2与Y2均服从χ2分布
Y2
·第402页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
(3)设X ,X ,⋯,X 1 2 10  是来自总体X∼N0,1 
4
1
的简单随机样本,则统计量T=  X 4 i
i=1

2
+
10
1
 X
6 i
i=5

2
服从的分布为( ).
A. N0,2  B. χ2 10  C. χ2 2  D. N0,10 
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二、填空题
(1)从总体X∼N3.4,62  中抽取样本X 1 ,X 2 ,⋯,X n 
 1 n 
,X = X,若X 位于(1.4,5.4)内的概率不小 n i
i=1
于0.95,则样本容量n至少应取_____.(已知Φ1.96  =0.975)
·第404页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
(2)设总体Nμ,42  的简单随机样本为X ,X ,⋯,X 1 2 10  ,样本方差为S2,已知PS2>a   =0.1,则a≈
_____.(已知χ 0 2 .19  =14.684,上侧分位数)
·第405页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
(3)设随机变量X∼Fn,n 
1
,且P{X>a}=0.05,则PX> 
a
 =_____.
·第406页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
(4)设X∼tn  ,Y∼F1,n  ,给定α0<α<0.5  ,常数k满足P{X>k}=α,则PY>k2   =_____.
·第407页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·21.数理统计的基本概念
(5)设X 1 ,X 2 ,⋯,X nn>1  为来自总体X∼Nμ,σ2  σ>0  的简单随机样本,若PX-μ0  ,Y的分布律为P{Y=-1}=a,P{Y=1}=1-
a00为未知参数,x 1 ,x 2 ,⋯,x n
0, 其他,
 为
X的简单随机样本值.求:
(I)θ的矩估计值;
(II)θ的最大似然估计值.
·第418页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(4)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为fx 
1
-x
= e θ ,-∞0.求参数θ的矩估计量θ及Eθ  .
·第419页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(5)设总体X的概率密度为fx;θ 
1
 , 0≤x≤θ,
= θ 其中θ>0为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n
0, 其他,
 为X的
简单随机样本.求:

(I)θ的最大似然估计量θ；
 
(II)Eθ和Dθ.
·第420页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(6)某射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为p>0,设他在第X次射击时首次击中目标,以
X为总体,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为X的简单随机样本.求:
(I)X的概率分布;
(II)参数p的矩估计量和最大似然估计量.
·第421页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(7)设X ,X ,⋯,X 1 2 10  为总体X∼N0,σ2  的简单随机样本,σ>0为未知参数.
(I)求σ2的最大似然估计量σ
2
;
6 10
2
(II)若记U=X,V=X,利用最大似然估计量σ ,求相关系数ρ .
i i UV
i=1 i=5
·第422页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(8)设总体X的概率密度为fx 
1 lnx-μ
e
= 2πx
 2  
2 , x>0,
 X 1 ,X 2 ,⋯,X n

0, x≤0
 为总体X的简单随机样本.

(I)求μ的最大似然估计量μ;

(II)记Y=lnX,求Y的分布函数和Eμ.
·第423页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
n-1
 (9)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,若θ=k X i+1 -X i
i=1
  2 为σ2的
无偏估计量,求k的值．
·第424页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(10)设总体X的概率密度为fx;θ 
3x2
 , 0≤x≤θ,
= θ3 θ>0为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n
0, 其他,
 为X的简单
 1 n
随机样本,X = n X i ,Y n =max  X 1 ,X 2 ,⋯,X n
i=1

3n+1 4 
,证明: Y 与 X 都是θ的无偏估计量. n 3n 3
·第425页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(11)设总体X∼B1,p  ,参数p∈  1 , 3
 4 4
 ,样本容量为1,求p的最大似然估计值.
·第426页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(12)设总体X在 θ- 1 ,θ+ 1  2 2  上服从均匀分布,θ为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为总体X的样本,求
 
θ的矩估计量θ 和最大似然估计量θ .
1 2
·第427页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(13)设总体X服从参数为λ的泊松分布,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 

是总体X的样本,X 是样本均值,S2是样本方
差.

(I)对任意实数C,证明:统计量T=CX +1-C  S2是参数λ的无偏估计；
(II)求概率P{X≥1}的最大似然估计量.
·第428页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(14)设总体X∼U0,θ  θ>0  ,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为X的简单随机样本,X n  =max  X 1 ,X 2 ,⋯,X n  .
   n+1
(I)证明:θ =2X,θ = X
1 2 n n 
是θ的无偏估计;
 
(II)当n≥2时,θ 和θ 哪一个有效?
1 2
·第429页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(15)设总体X∼Nμ,σ2  ,μ,σ2为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为总体X的简单随机样本值,求μ,σ2的最
大似然估计量.
·第430页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(16)设随机变量X的概率密度为fx  = 1 e -x-μ,-∞0,X 1 ,X 2 ,⋯,X n
2
 为X的
简单随机样本.
(I)当λ 已知时,求λ 的矩估计量和最大似然估计量;
1 2
(II)求λ ,λ 的矩估计量和最大似然估计量.
1 2
·第432页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
1
(18)设T是连续型随机变量,P{T≤a}=θ,P{T>b}=θ,其中θ∈0,
2

-1, T≤a, 
,aa,
-1, T≤b,

Y=
1, T>​​b.
(I)求(X,Y)的概率分布及Z=X+Y的概率分布；
(II)若θ为未知参数,利用总体Z的样本值-2,0,0,0,2,2,求θ的矩估计值与最大似然估计值.
·第433页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(19)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
x2+y2
1 -
= e 2σ2 ,x,y
2πσ2
 ∈R2,σ>0.记Z=X2+Y2.
(I)求Z的概率密度f Zz  ；
(II)若Z ,Z ,⋯,Z 为来自总体Z的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量σ
2
,并证明σ
2
是σ2的无
1 2 n
偏估计量.
·第434页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(20)设随机变量X与Y相互独立,X∼N0,σ2  σ>0 
1
,Y的分布律为P{Y=-1}=P{Y=1}= ,记Z
2
=XY,Z ,Z ,⋯,Z 为来自总体Z的简单随机样本.
1 2 n
(I)求Z的概率密度f Zz  ；
(II)求σ2的最大似然估计量σΔ2;
n n
(III)若U=aZ,其中a ≥0,a =1,求DU的最小值.
i i i i
i=1 i=1
·第435页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(21)设0.50,1.25,0.80,2.00为来自总体X的简单随机样本值,Y=lnX服从正态分布Nμ,1  ,已知
Φ1.96  =0.975.求:
(I)EX;
(II)μ的置信度为0.95的置信区间；
(III)EX的置信度为0.95的置信区间.
·第436页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(22)设总体X∼U0,θ  ,θ>0,X ,X ,⋯,X 为来自总体X的简单随机样本,若θ的最大似然估计量 1 2 n

为θ.
 
(I)求Eθ和Dθ；

(II)证明:对任意ε>0,有limP θ-θ≥ε
n→∞
 =0;
 
(III)若以θ,aθ  a>0  作为θ的置信区间,置信度为0.95,求a的值.
·第437页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
拓展题
解答题
(1)设相互独立的随机变量X 1 ,X 2 ,⋯,X n 均服从Nμ,σ2  ,Y i =X i -μi=1,2,⋯,n 
n
1
,Y= Y. n i
i=1
(I)求Y 的概率密度;
1
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量;
(III)求EY和DY.
·第438页，共444页·公众号：做题本集结地 880·数一概率·22.参数估计
(2)设总体X的概率密度为fx;θ 
2e -2x-θ
=
  , x>θ,
 其中θθ>0
0, x≤θ,
 为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为
来自总体X的简单随机样本.
 
(I)求θ的矩估计量θ 与最大似然估计量θ ；
1 2
 
(II)问θ 和θ 是否为θ的无偏估计量?
1 2
       
(III)将θ ,θ 修正为θ ,θ ,使θ ,θ 为θ的无偏估计,并比较θ ,θ 的有效性.
1 2 3 4 3 4 3 4
·第439页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数三概率·23.假设检验
第二十三章假设检验
基础题
一、选择题
(1)在假设检验中,检验水平α的意义是( ).
A. 原假设H 成立,经检验H 被拒绝的概率
0 0
B. 原假设H 成立,经检验H 不能被拒绝的概率
0 0
C. 原假设H 不成立,经检验H 被拒绝的概率
0 0
D. 原假设H 不成立,经检验H 不能被拒绝的概率
0 0
·第440页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数三概率·23.假设检验
(2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X∼Nμ,1 

的简单随机样本,X 为样本均值,对于假设检验H :μ= 0
μ 0 ,若取拒绝域R a =  X  >μ 0 + 1.96
n
 ,Φx  为N0,1  的分布函数,则该检验犯第一类错误的概率α
为( ).
A. 1-Φ0.04  B. 1-Φ0.05  C. 1-Φ1.96  D. 1-Φ1 
·第441页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数三概率·23.假设检验
二、填空题
设总体X∼Nμ,σ2  ,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 
 1 n
为X的简单随机样本,其中μ,σ2未知,X = X,Q2= n i
i=1
n 
X -X
i
i=1

2
 ,则假设H :μ=0的t检验统计量T=_____.
0
·第442页，共444页·公众号：做题本集结地 800·数三概率·23.假设检验
三、解答题

(1)设在一批圆木中随机抽取100根,测其小头直径,得到样本均值为x=11.2cm,已知标准差σ=
2.6cm,问在显著性检验水平α=0.05下,该批圆木小头平均直径能否认为是在12cm以上？(已知
Φ1.645  =0.95)
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(2)设某生产线生产袋装产品,正常情况下每袋1 kg,标准差不超过15g,且每袋重量服从正态分布.

现检查机器生产情况,从中任取10袋,测得其均值为x=998g,样本均方差为S=30,在显著性水平
α=0.05下,问机器生产是否正常?(已知χ 0 2 .059  =16.919)
·第444页，共444页·                        
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