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机械能守恒定律 练习
一、单选题
下列所述的物体在运动过程中满足机械能守恒的是()
A. 跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降
1.
B. 忽略空气阻力，物体竖直上抛
C. 火箭升空过程
D. 拉着物体沿光滑斜面匀速上升
【答案】B
【解析】解：A、跳伞运动员在空中匀速下降，动能不变，重力势能减小，因机械能等
于动能和势能之和，则机械能减小。故A错误。
B、忽略空气阻力，物体竖直上抛，只有重力做功，机械能守恒，故B正确。
C、火箭升空，动力做功，机械能增加。故C错误。
D、物体沿光滑斜面匀速上升，动能不变，重力势能在增加，所以机械能在增大。故
D错误。
故选：B。
物体机械能守恒的条件是只有重力或者是弹簧弹力做功，或看物体的动能和势能之和
是否保持不变，即采用总量的方法进行判断。
解决本题的关键掌握判断机械能是否守恒的方法，1、看是否只有重力做功。2、看动
能和势能之和是否不变。
安徽芜湖方特水上乐园是华东地区最大的水上主题公园。如图为彩虹滑道，游客
先要从一个极陡的斜坡落下，接着经过一个拱形水道，最后达到末端。下列说法
2.
正确的是()
A. 斜坡的高度和拱形水道的高度差要设计合理，否则游客经过拱形水道的最高
点时可能飞起来
B. 游客从斜坡的最高点运动到拱形水道最高点的过程中，重力一直做正功
C. 游客从斜坡下滑到最低点时，游客对滑道的压力最小
D. 游客从最高点直至滑到最终停下来过程中，游客的机械能消失了
【答案】A
【解析】解：A、斜坡的高度和拱形水道的高度差要设计合理，不能让游客经过拱形水
道最高点时的速度超过❑√gr.否则游客会脱离轨道，故A正确；
B、游客从斜坡的最高点运动到拱形水道最高点的过程中，游客的位置是先降低后升高，
所以重力先做正功后做负功，故B错误；
C、游客从斜坡上下滑到最低点时，加速度向上，处于超重状态，游客对滑道的压力最
大，故C错误；
D、游客从最高点直至滑到最终停下来过程中，游客的机械能没有消失，而是转化为
其他形式的能(内能)，故D错误。
故选：A。
如果通过最高点的速度超过了临界速度❑√gr，重力不足以提供向心力；游客从斜坡最
高点运动到拱形水道最高点的过程中，游客是先降低后升高的；游客在最低点时，其
加速度向上，游客处于超重状态；整个过程是符合能量守恒的，机械能不是消失，而
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hiknow_007是转化为其它形式的能。
解决本题的关键是明确游客的运动状态，判断其能量转化情况。要知道游客经过拱形
水道最高点时的速度超过❑√gr时将做离心运动。
质量为m的足球静止在地面的1位置，被踢出后落到地面的3位置，在空中的最
高点2的高度为h，速度为v，如图所示。以地面为重力势能零点已知重力加速度
3.
为g，下列说法正确的是()
A. 足球落到3位置时的动能一定为mgh
1
B. 足球刚离开1位置时的动能大于mgh+ mv2
2
1
C. 运动员对足球做的功为mgh+ mv2
2
D. 足球在2位置时的机械能等于其在3位置时的动能
【答案】B
【解析】解：A、由轨迹分析知，足球运动的过程中必定受到空气阻力，从2位置到3
1
位置，由动能定理得：E - mv2=mgh-W '，其中W '为从2位置到3位置克服
k3 2 f f
安培力做功，
1
3位置时的动能为：E = mv2+mgh-W '，故A错误；
k3 2 f
1
BC、从1位置到2位置，由动能定理得： mv2-E =-mgh-W ，W 为足球克服
2 k1 f f
空气阻力做功，足球刚离开1位置时的动能为：
1 1
E =mgh+ mv2+W >mgh+ mv2 ，
k1 2 f 2
根据功能关系有，运动员对足球做功等于足球的动量变化，即运动员对足球所做的功
1
W =E =mgh+ mv2+W 确，故B正确，C错误；
k1 2 f
D、由于有空气阻力做负功，所以足球的机械能不断减少，所以足球在2位置时的机械
能大于其在3位置时的动能，故D错误；
故选：B。
从踢球到足球运动到2位置的过程，运用动能定理列式，可求得运动员对足球做的功。
由功能原理分析足球落到3位置时的动能和刚离开1位置时的动能。
解决本题的关键是要注意足球要受到空气阻力，其机械能不守恒。要分段运用动能定
理研究各个位置的动能。
如图所示，半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，
水平光滑轨道AB在圆轨道最低点与其平滑连接。一小
4.
球以初速度v 沿AB向左运动，要使球能沿圆轨道运动
0
到D点，则小球初速度v 和在最高点C点的速度v 的
0 C
最小值分别为()
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hiknow_007A. v =❑√Rg，v =0 B. v =2❑√Rg，v =0
0 C 0 C
C. v =2❑√Rg，v =❑√Rg D. v =❑√5Rg，v =❑√Rg
0 C 0 C
【答案】D
v2
【解析】解：小球在最高点C所受轨道正压力为零，有：mg=m C，解得：
R
v =❑√gR，
C
1 1
小球从B点运动到C点，根据机械能守恒有：
mv2= mv2+2mgR，解得：
2 B 2 C
v =v =❑√5gR，故ABC错误，D正确。
0 B
故选：D。
小球恰好到达最高点，知弹力为零，结合牛顿第二定律求出最高点的速度，根据机械
能守恒定律求出小球在B点的速度大小。
本题主要考查了机械能守恒，运动学基本公式的直接应用，物体恰好通过C点是本题
的突破口，这一点要注意把握，难度适中。
如图所示，PQ两小物块叠放在一起，中间由短线连接(图中未画
出)，短线长度不计，所能承受的最大拉力为物块Q重力的1.8倍；
5.
一长为1.5m的轻绳一端固定在O点，另一端与P块拴接，现保
持轻绳拉直，将两物体拉到O点以下，距O点竖直距离为h的
位置，由静止释放，其中PQ的厚度远小于绳长。为保证摆动过
程中短线不断，h最小应为()
A. 0.15m B. 0.3m C. 0.6m D. 0.9m
【答案】D
【解析】解：设摆到最低点时，短线刚好不断，由机械能守恒得：
1 m v2
mg(L-h)= mv2 对Q块有：1.8m g-m g= Q
2 Q Q L
将L=15m代入得：h=0.9m，故D正确，ABC错误。
故选：D。
先对整体利用机械能守恒列式，再对Q块分析，根据牛顿第二定律列式，联立即可求
出h的最小值。
本题考查机械能守恒定律以及向心力公式的应用，要注意正确选择研究对象，明确受
力情况。
如图所示，竖直平面内的光滑固定轨道由一个半径
1 1
6. 为R的 圆弧AB和另一个 圆弧BC组成，两者在
4 2
最低点B平滑连接。一小球(可视为质点)从A点由
静止开始沿轨道下滑，恰好能通过C点，则BC弧
的半径为()
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hiknow_0072
A. R
5
3
B. R
5
1
C. R
3
2
D. R
3
【答案】A
【解析】解：设BC弧的半径为r。
v2
小球恰好能通过C点时，由重力充当向心力，则有：mg=m C
r
小球从A到C的过程，以C点所在水平面为参考平面，根据机械能守恒得：
1 2
mg(R-2r)= mv2 联立解得：r= R，故A正确，BCD错误。
2 C 5
故选：A。
小球恰好能通过C点时，由重力充当向心力，由此求得小球通过C点时的速度与轨道
半径的关系式。再根据机械能守恒定律列式，即可求解BC弧的半径。
解决本题的关键要掌握竖直平面圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力，由此
求出小球通过C点的临界速度。
一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图所示，
一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在
7.
B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在
此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是()
A. 由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变
B. 由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变
C. 由A到C的过程中，物体m的机械能守恒
D. 由B到C的过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】D
【解析】解：
A、由A到C的过程中，对于物块与弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，
系统的机械能守恒，即物块的重力势能、动能与弹簧的弹性势能总和不变，而弹簧的
弹性势能增大，所以重力势能、动能之和减小，故A错误。
B、由B到C的过程中，系统的机械能守恒，即物块的重力势能、动能与弹簧的弹性
势能总和不变，物块的重力势能增大，则弹性势能和动能之和减小，故B错误。
C、由A到C的过程中，对于物体m，由于弹簧的弹力做功，其机械能不守恒。故C
错误。
D、由B到C的过程中，对于物块与弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，
系统的机械能守恒。故D正确。
故选：D。
由A到C的过程中，物块与弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机
械能守恒，根据系统的机械能守恒进行分析即可．
本题关键抓住系统的机械能守恒，即重力势能、动能与弹簧的弹性势能总和不变，即
可进行分析．而对于物体m来说，要注意其机械能并不守恒．
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hiknow_007如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜
面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b
8.
处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的滑
块通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜
面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，
在两滑块沿斜面运动的过程中()
A. 两滑块组成系统的机械能守恒
B. 重力对M做的功等于M动能的增加
C. 轻绳对m做的功大于m机械能的增加
D. 两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【答案】D
【解析】解：A、由于“粗糙斜面ab，故两滑块组成系统的机械能不守恒，故A错误；
B、由动能定理得，重力、拉力、摩擦力对M做的总功等于M动能的增加，故B错误；
C、除重力弹力以外的力做功等于机械能的变化，所以轻绳对m做的功等于m机械能
的增加，故C错误；
D、除重力弹力以外的力做功，将导致机械能变化，机械能损失等于M克服摩擦力做
的功，故D正确；
故选：D。
机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功，发生的能量转化为重力势能和弹性
势能的转化，不产生其他形式的能量。功与能量转化相联系，是能量转化的量度。
关键理解透机械能守恒的条件和功能关系，重力做功对应重力势能变化、弹力做功对
应弹性势能变化、合力做功对应动能变化、除重力或系统内的弹力做功对应机械能变
化。
如图所示，有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑
块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一根不
9.
可伸长的轻细绳相连，A质量是B质量的2倍，且可看
作质点．如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．
由静止释放B后，当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块A沿着水平杆向右运
动的速度为v，则连接A、B的绳长为()
2v2 5v2 v2 5v2
A. B. C. D.
g g 2g 2g
【答案】B
【解析】解：将A、B的速度分解为沿绳的方向
和垂直于绳子的方向，两物体沿绳子方向的速度
相等，有：
v cos60°=v cos30°所以：v =❑√3v
B A B
AB组成的系统机械能守恒，有：
1 1
mgh= mv2 + mv2 所以：
2 A 2 B
5v2
h=
2g
5v2
绳长l=2h= .故B正确，ACD错误。
g
故选：B。
将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，根据两物体沿绳子方向的速度
相等，求出B的速度，再根据系统机械能守恒，求出B下降的高度，从而求出AB的绳
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hiknow_007长．
解决本题的关键会对速度进行分解，以及知道AB组成的系统机械能守恒．
如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质
量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点)，小球A、B用一
10.
长为2R的轻质细杆相连．已知重力加速度为g，小球B受微小
扰动从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中，下列说
法正确的是()
A. A球增加的机械能大于B球减少的机械能
B. A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
√2gR
C. A球的最大速度为❑
3
8
D. 细杆对A球做的功为 mgR
3
【答案】D
【解析】解：A、球B运动到最低点，A球运动到最高点，两个球系统机械能守恒，故
A球增加的机械能等于B球减少的机械能，故A错误；
B、A球重力势能增加mg⋅2R，B球重力势能减小2mg⋅2R，故B错误；
C、两个球系统机械能守恒，当B球运动到最低点时，速度最大，有：
1
2mg⋅2R-mg⋅2R= (m+2m)v2
2
√4
解得：v=❑ gR
3
故C错误；
D、除重力外其余力做的功等于机械能的增加量，故细杆对A球做的功等于A球动能
的增加量，有：
1 2 8
W = mv2+mg⋅2R= mgR+2mgR= mgR故D正确；
2 3 3
故选：D。
本题中两个球的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解即可．
本题关键抓住AB系统机械能守恒，同时运用除重力外其余力做的功等于机械能的增加
量列式求解．
二、填空题
如图所示，一内壁光滑的细圆管放在竖直平面内，一小钢球自A
口的正上方距A高为h处无初速度释放，第一次h=h ，小球恰
1
11.
抵达圆管最高点B.第二次h=h ，小球落入A口后从B口射出，
2
恰能再次进入A口，则小球先后两次下落的高度之比为h ：h =
1 2
______。
【答案】4：5
【解析】解：第一次释放时，运动到B点时的速度恰好为零，由机械能守恒得：
mgh =mgR得：h =R
1 1
第二次释放后，从B点飞出后做平抛运动，设此时的速度大小为V ，则
B
水平方向上有：R=V t
B
1
竖直方向上有：R= gt2
2
√gR
解得：V =❑
B 2
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hiknow_007从开始下落到B点的过程中，由机械能守恒得：
1 5
mgh =mgR+ mV2 解得：h = R
2 2 B 2 4
所以h ：h =4：5
1 2
故答案为：4：5。
第一次释放时，恰能运动到B点，此时的速度为零，由机械能守恒就可以求得高度
H；
第二次释放后，从C点飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得在C点的初速
度，在由机械能守恒可以求得此时下降的高度h。
在做题时一定要理解题目中“恰能运动到B点”，以及“恰好落回A点”这两个关键
点，“恰能运动到B点”说明此时的速度为零，“恰好落回A点”说明平抛运动的水
平和竖直位移都是半径R。
如图所示，一个粗细均匀、内部横截面积均为S的U形管内，装
有密度为ρ、总长度为4h的液体，开始时左右两端液面的高度差
12.
为h。现打开阀门C，待液体运动到左右液面高度相等时，液体重
力势能改变量为______，此时左侧液面下降的速度为______。(重
力加速度为g)
ρSh2g √gh
【答案】 ❑
4 8
h
【解析】解：以h高液柱为研究对象，其重心初态与右液面距离为 ，当两液面高度
2
h
相等时，重心与原右液面距离为 ，
4
h
则左侧高为h液柱重心下降了 ，液柱的重力势能减少为：
4
h h ρSh2g
△E =△mg =ρShg× = ，
p 4 4 4
ρSh2g 1 √gh
根据机械能守恒定律得： = ρ4hSv2 得：v=❑ ，
4 2 8
ρSh2g √gh
故答案为： ❑
4 8
拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，液体的机械能守恒，即可求出左侧
1
液面下降的速度。当两液面高度相等时，左侧高为h液柱重心下降了 ，液柱的重力
4
势能减小转化为整个液体的动能。
本题运用机械能守恒定律研究液体流动的速度问题，要注意液柱h不能看成质点，要
分析其重心下降的高度。
如图所示，AB是光滑的倾斜直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与
圆弧相切，圆弧的半径为R.一个质量为m的小球在A点由静止释放，设重力加速
13.
度为g，若它恰能通过最高点D，则小球在D点的速度V =______；A点的高度
D
h=______。
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hiknow_007【答案】❑√gR 2.5R
v2
【解析】解：小球恰能通过最高点D时，由重力提供向心力，有：mg=m D
R
得：v =❑√gR
D
1
从A到D，取C为零势能点，由机械能守恒定律得：mgh=mg⋅2R+ mv2
2 D
解得：h=2.5R
故答案为：❑√gR，2.5R。
小球恰能通过最高点D时，由重力提供向心力，由此求小球在D点的速度。从A到
D，由机械能守恒定律求h。
解决本题的关键要明确圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力。对于轨道光滑
的情形，往往根据机械能守恒定律求高度。
物体在地面附近以2m/s2的加速度匀减速竖直上升，则在上升过程中，物体的动
能将______ ，物体的机械能将 ______。(选填增大、减小或不变)
14.
【答案】减小 增大
【解析】解：
物体以2m/s2的加速度匀减速竖直上升，则物体的动能减小，再由牛顿运动定律可知，
物体的合外力向下，在上升过程中除了重力做功外，还会有其他的外力方向向上，且
做正功，所以其机械能增大。
故答案为：减小；增大。
通过物体以2m/s2的加速度匀减速竖直上升，应用牛顿第二定律可知道物体的合外力
向下，说明除了重力以外，还有一个向上的力做功，从而可以判断物体的机械能不守
恒。
此题考查了机械能守恒的条件：只有重力和弹力做功，其他力或者不做功，或者做功
的代数和为零时，物体系的机械能守恒。
应用机械能守恒解题的研究对象是物体系，重力势能属于物体和地球组成的系统的所
有，因此机械能守恒定律的研究对象必然包含了地球，它总是指由若干个物体、弹簧、
和地球组成的系统。
如图所示，质量均匀不可伸长的绳索，自然悬挂在天花板上
A、B点间，现在最低点C施加一竖直向下的外力F，将绳
15.
索缓慢拉到D点，在此缓慢过程中绳索的动能不变，则外
力F对绳索所做的功为______(选填“正功”、“负功”或“零”)，绳索的重力
势能______(选填“增大”、“减小”或“不变”)。
【答案】正功 增大
【解析】解：存在外力时的平衡是不稳定的，而处于稳定平衡时，其总能量一定是最
低的，也就是重心最低。绳子在不受力时处于稳定平衡，且受到外力后有外力对绳子
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hiknow_007做正功，使绳子的重力势能增加，重心升高。
故答案为：正功，增大
绳子处于稳定平衡时，其总能量一定是最低的，也就是重心最低。在向下拉绳子的过
程中有外力对绳子做功，使其能量增加，改变了其重心的位置。
此题主要是让学生明白物体重心位置随着其能量的改变而改变的这一物理规律，理解
起来有一定难度。
三、计算题
如图所示，半径为R=1m的光滑圆弧轨道ABC固定
在竖直面内，在A点与水平面平滑相切，BC为圆弧
16.
的直径，与竖直方向的夹角α=37°，质量m=1kg的
物块放在水平面上的P点，P、A间的距离l=3m，
对物块施加一个水平恒力F，使物块向右滑动，当物
块运动至A点时，撤去恒力F，物块能通过圆弧的最高点，重力加速度
g=10m/s2，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，sin37°=0.6，cos37=0.8，
求：
(1)恒力F的最小值；
(2)F取最小值，物块运动至C点时，对圆弧轨道的压力F 。
N
v2
【答案】解：(1)物块刚好能通过圆轨道最高点时，有mg=m 1
R
得v =❑√gR
1
恒力作用的位移最大时，恒力F最小。根据动能定理得
1
Fl-μmgl-mg⋅2R= mv2
2 1
31
解得F= N
3
(2)设物块通过C点速度为v .从最高点到C点，根据机械能守恒定律得
2
1 1
mgR(1-cosα)+ mv2= mv2
2 1 2 2
解得v =❑√14m/s
2
物块在C处，根据牛顿第二定律得
v2
mgcosα+F =m 2
N R
解得F =6N
N
根据牛顿第三定律知，F '=F =6N，方向与竖直方向成37°斜向左上方。
N N
答：
31
(1)恒力F的最小值是 N；
3
(2)F取最小值，物块运动至C点时，对圆弧轨道的压力F 是6N，方向与竖直方向成
N
37°斜向左上方。
【解析】(1)物块恰好能通过圆弧的最高点时恒力F作用位移最大时F最小。在最高点，
由牛顿第二定律可求得临界速度，再从P到B的过程，根据动能定理可求得F的最小
值；
(2)由最高点到C根据机械能守恒可求得到C点的速度，在C点，根据向心力公式求
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hiknow_007出轨道对物块的压力，从而求得物块对轨道的压力。
本题考查了牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律的综合应用，关键是分析清楚
物块的受力情况，确定向心力的来源，要知道在C点，由指向圆心的合力充当向心力。
质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和
BO之间的夹角为53°，OA长为L =0.3m，OB长为
1
17.
L =0.6m，在轻杆的AB两点各固定一个可视为质点的小球
2
P和Q，小球P的质量为m=1kg，如图所示，将OA杆拉至
O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水
平位置，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2，
求：
(1)小球Q的质量M；
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q的作用力。
【答案】解：(1)将P与Q看成一个整体，只有重力做功，所以根据动能定理可得
m gL sin53°-m gL sin53°=0解得m =0.5kg
p 1 Q 2 Q
(2)当小球Q运动到最低点时，对P、Q整体列动能定理得
1 1
m g(L -L cos37°)+m gL sin37°= m v2+ m v2 ①
Q 2 2 p 1 2 q p 2 Q Q
又因为P与Q是共轴转动，所以角速度相等，即可得
v ：v =1：2 ②
p Q
所以联立①②可得v =❑√6.4m/s
Q
所以对Q受力分析可得
v2
31
F -m g=m Q所以解得F = N 方向竖直向上。
拉 Q Q L 拉 3
2
答：(1)小球Q的质量为0.5kg
31
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q的作用力F = N 方向竖直向上。
拉 3
【解析】本题由于单独分析P或者Q，杆对P或Q都在做功，所以应该采用整体法，
把P与Q看成一个整体，整体利用动能定理，那么杆就相当于整体内部的作用力，不
考虑做功，只有重力做功，而且P与Q相当于共轴转动，角速度是相等的，所以根据
v=ωr确定P与Q的速度的关系，利用动能定理，速度的关系，求解。再根据动能定
理求解运动到最低点的速度问题，利用圆周运动受力分析，合力提供向心力，求解第
二问。
对于连接体问题，如果是共轴转动，那么应该利用角速度相等来求解速度的关系，并
对整体列动能定理求解速度。
如图所示，在国庆70周年联欢活动上有精彩的烟花表演，通过高空、中空、低空
烟花燃放和特殊烟花装置表演，分波次、多新意地展现烟花艺术的魅力。某同学
18.
注意到，很多烟花炸开后，形成漂亮的礼花球，一边扩大，一边下落。
假设某种型号的礼花弹从专用炮筒中沿竖直方向射出，到达最高点时炸开。已知
礼花弹从炮筒射出的速度为v ，忽略空气阻力。
0
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hiknow_007(1)求礼花弹从专用炮筒中射出后，上升的最大高度h；
(2)礼花弹在最高点炸开后，其中一小块水平向右飞出，以最高点为坐标原点，以
水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立坐标系，请通过分析说明
它的运动轨迹是一条抛物线。
(3)若(2)中小块水平向右飞出的同时，坐标系做自由落体运动，请分析说明该小
块相对于坐标原点的运动情况。
(4)假设礼花弹在最高点炸开后产生大量的小块，每个小块抛出的速度v大小相等，
方向不同，有的向上减速运动，有的向下加速运动，有的做平抛运动，有的做斜
抛运动。请论证说明礼花弹炸开后所产生的大量小块会形成一个随时间不断扩大
的球面。
【答案】解：(1)忽略空气阻力，礼花弹上升过程机械能
守恒，则有：
1 v2
mgh= mv2 得：h= 0
2 0 2g
(2)以最高点为坐标原点，以水平向右为x轴正方向，竖
直向下为y轴正方向，建立坐标系，小块平抛运动，则有：
1 gx2
x=vty= gt2 解得：y= ，是一条抛物线方程。
2 2v2
(3)小块竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，而坐标系做自由落体运
动，因此，该小块相对坐标原点做匀速直线运动。
(4)设某小块的抛出速度为v，与水平方向夹角为θ，将v沿水平方向(x轴)和竖直方向
(y轴，向下为正方向)正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为：
1
x=vcosθ⋅ty=vsinθ⋅t+ gt2 联立以上两式，消去θ即得：
2
1 1
x2+(y- gt2 ) 2=(vt) 2 这是一个以(0, gt2 )坐标为圆心、以vt为半径的圆的方程式。
2 2
可见，只要初速度v相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上(在空间
形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落)，如图4所示。
本题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速
度v大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作
用下的自由落体运动(这里忽略空气阻力，如果受到空气阻力或风的影响，那么，“礼
花”就不会形成球面形状了)。很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后
一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面
下落。
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hiknow_007v2
答：(1)礼花弹从专用炮筒中射出后，上升的最大高度h为 0 。
2g
(2)它的运动轨迹是一条抛物线。
(3)该小块相对坐标原点做匀速直线运动。
(4)证明见上。
【解析】(1)忽略空气阻力，礼花弹上升过程机械能守恒，由此求上升的最大高度h。
(2)小块做平抛运动，根据分位移与时间的关系，推导出y与x的解析式，即可证明它
的运动轨迹是一条抛物线。
(3)小块做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由此分析该小块相对于坐标原点的运
动情况。
(4)设某小块的抛出速度为v，与水平方向夹角为θ，将v沿水平方向(x轴)和竖直方向
(y轴，向下为正方向)正交分解。根据分位移公式得到y与x的关系，即可判断。
解决本题的关键要能熟练运用运动的分解法研究平抛运动和斜抛运动，知道平抛运动
水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据运动的合成法确定小块的
运动轨迹。
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hiknow_007
