文档内容
格致课堂
8.6.1 直线与直线垂直
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
异面直线所成角 1,4,5,6,8,9
异面直线垂直 2,3
综合问题 7,10,11,12
基础巩固
1．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图正方体 中
因为
即为异面直线 与 所成角，
又 为等腰直角三角形
故选：
2．如图所示，四棱锥 的底面是边长的为1的正方形，侧棱 ， ，则它的
五个面中，互相垂直的共有（ ）格致课堂
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
【答案】C
【解析】试题分析：因为 ，所以 ，可得 底面
， 面 ， 面 ，可得：面 面 ，面 面 ， 面
，可得面 面 ， 面 ，可得面 面 ， 面 ，可得
面 ，故选C．
3．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：
① 与 所在直线垂直； ② 与 所在直线平行；
③ 与 所在直线成60°角； ④ 与 所在直线异面.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】C
【解析】画出原正方体如图所示，格致课堂
连接 ， ，由图可知①②错误；
，所以 为等边三角形，
所以③ 与 所在直线成60°角是正确的；
显然④ 与 所在直线异面是正确的.
综上，③④正确.
故选：C
4．如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则直线 与 所成角的余弦值是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，取AD的中点G，
连接EG，GF，∠GEF为直线AD 与EF所成的角
1
设棱长为2，则EG= ，GF=1，EF=格致课堂
cos∠GEF= ，
故选C．
5．直三棱柱 中，若 ， ，则异面直线 与 所成的角等于
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长BA 到E，使
1 1
AE=AB，连结AE，EC ，则AE∥AB，∠EAC 或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 为正三角形，
1 1 1 1 1 1 1
∴∠EC B为 ，故选C．
1
6．如图,空间四边形 的对角线 , , 分别为 的中点,并且异面直线 与
所成的角为90°,则 等于_______.
【答案】5
【解析】如图,取 的中点P,连接 , ，则 , , 即为异面直线 与格致课堂
所成的角(或其补角).
.又 , , .
故答案为：5
7．如图， 为等边三角形 所在平面外一点，且 ， 分别为 的中点，
则异面直线 与 所成的角为______.
【答案】45°
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，则
等于异面直线 与 所成角.格致课堂
设 ，则 .
取 的中点 ，连接 .
， 为等边三角形，
，
平面 ， ，
.
所以，异面直线 与 所成的角为 .
故答案为：
8．如图， 是圆 的直径，点 是弧 的中点， 分别是 的中点，求异面直线 与
所成的角.
【答案】
【解析】 是圆 的直径， .
∵点 是弧 的中点， .
在 中， 分别为 的中点， ，
与 所成的角为 .格致课堂
能力提升
9．在正方体 中，点 在线段 上运动，则异面直线 与 所成的角 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，因为 ，所以 与 所成的角就是 与 所成的角，
即 .当点 从 向 运动时， 从 增大到 ，但当点 与 重合时， ，
与 与 为异面直线矛盾，所以异面直线 与 所成的角的取值范围是 .
故选：
10．在四面体ABCD中，AC与BD的夹角为 ， ， ，M，N分别是AB，CD的中点，
则线段MN的长度为________．
【答案】1或
【解析】取AD中点P，因为M，N分别是AB，CD的中点，所以MP//BD,NP//AC，且
因为AC与BD的夹角为 ，所以 或格致课堂
因此 或
11．如图,在四棱柱 中，侧面都是矩形，底面四边形 是菱形且 ，
，若异面直线 和 所成的角为 ，试求 的长.
【答案】
【解析】
连接 .
由题意得四棱柱 中， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
，
（或其补角）为 和 所成的角.
∵异面直线 和 所成的角为 ，
.格致课堂
∵四棱柱 中， ，
是等腰直角三角形， .
∵底面四边形 是菱形且 ， ， ，
， .
素养达成
12．如图，已知 是平行四边形 所在平面外一点， 分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求异面直线 与 所成的角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取PD的中点H，连接AH，NH，
∵N是PC的中点，
∴NH DC.
∵M是AB的中点，且DC AB，格致课堂
∴NH AM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.
又MN 平面PAD，AH 平面PAD，
∴MN∥⊄平面PAD. ⊂
（2）连接AC并取其中点O，连接OM、ON，
则OM BC，ON PA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝ ，得OM＝2，ON＝ .
∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，
即异面直线PA与MN成30°的角．
