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专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型
等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，
并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系
统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2
模型2.等边截等长模型（定角模型）.........................................................................................................8
模型3.等边内接等边....................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................18
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；② 。
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证明：如图，过点D作 交 于H，则 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
在 和 中, ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图， 中， ， ， 点P从点B出发沿线
段 移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿 的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移
动的速度相同，连接 与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作 于点E，在点P，Q移动的过
程中，线段 的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
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【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 为定值5，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，
准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．
（1）利用 、 的移动速度相同，得到 ，利用线段间的关系即可推出 ；（2）过
点P作 ，交 于点F，利用等边对等角结合已知可证 ，即可得出结论；
（3）过点P作 ，交 于点F，由（2）得 ，可知 为等腰三角形，结合 ，
可得出 即可得出 为定值．
【详解】（1）证明： 、 的移动速度相同， ，
， ；
（2）如图，过点P作 ，交 于点F，
， ，
， ， ， ，由（1）得 ， ，
在 与 中， ， ， ；
（3）解： 为定值5，理由如下：如图，过点P作 ，交 于点F，
由（2）得： ， 为等腰三角形，
， ，由（2）得 ， ，
， 为定值5．
例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在 中， ，在射线 上截取线段 ，在射线 上截取线段 ，连结 ，
所在直线交直线 于点M．
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猜想判断：（1）当点D在边 的延长线上，点E在边 上时，过点E作 交 于点F，如图
①．若 ，则线段 、 的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D在边 的延长线上，点E在边 的延长线上时，如图②．若 ，判断线
段 、 的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D在边 上（点D不与 、 重合），点E在边 的延长线上时，如图③．若
， ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）过点E作 交 于点F，证明 即可得解；
（2）过点E作 交 的延长线于点F，证明 即可得解；
（3）过点E作 交 的延长线于点F，证明 ，由相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解： ，理由如下：过点E作 交 于点F，
∵ ， ，∵ ， ， ，
，∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
（2）解：
理由如下：如图，过点E作 交 的延长线于点F，
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∵ ， ， ，
在 和 中， ，∴ ， ；
（3）解：如图，过点E作 交 的延长线于点F
∵ ，
， ， ， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平
行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q
为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，
PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；
此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M，
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∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝ AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中， ，
∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝ CM；
∴DE＝DM+ME＝ （AM+MC）＝ AC＝3．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边
三角形△APM是解答此题的关键．
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在 中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不
重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF
上一点，求 的值．
（1）初步尝试：如图①，若 是等边三角形， ，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现
可以过点D作 交AC于点G，先证 ，再证 ，从而求得 的值为________；
（2）类比探究：如图②，若 中， ，且点D，E的运动速度之比
是 ，求 的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在 中， ，记 ，且点D､E的运动
速度相等，试用含m的代数式表示 的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
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【答案】（1）2；（2）2；（3）
【详解】解：（1）2；
【解法提示】如解图①，过点D作 交AC于点G，
图① 图② 图③
∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，
∴ ，由题意知 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ；
（2）如解图②，过点D作 交AC于点G，则 ，
∵ ，∴ ， ，
，∴△DGH为等边三角形，∴ ，
．
由题意可知， ．∴ ．∵ ，∴ ．
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在 与 中， ，∴ ，∴ ．
，即 ，∴ ，即 ；
（3） ．如解图③，过点D作 交AC于点G，
易得 ， ， ．
在 中，∵ ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ．由 可得 ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ，即 ．∴ ．
模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 与 相交于点 ，
于点 ．结论：① ；②AD=BE；③ ；④BQ=2PQ。
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证明：在等边三角形 中， ， ，
在 和 中， ， ，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
， ，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形 边 、 上的点，且
， 与 交于点F．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出 ，
，然后根据 证明 ，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵ 是等边三角形，∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ．
例2．（2024八年级·重庆·培优）如图， 为等边三角形，且 与 相交于点 ，则
（ ）．
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A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不确定
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明
，得到 ，在三角形外角性质求解即可．
【详解】∵等边 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故选B．
例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边 中，点 分别在边 上，且
， 与 相交于点 ， 于点 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含 角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明 即可得证；
（2）求出 ，再根据含 角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，∴ ，
在 和 中 ，∴ ，∴ ．
（2）解：∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴
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．
例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形 的 ， 边上各取一点 ， （均不与端
点重合），且 ， ， 相交于点 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质得 ， ，据此可判定 和 全等，从而
得 ，然后根据三角形的外角定理可求出 ，由此可求出 的度数，进而可对
结论 进行判定；由 和 全等可得出 ，据此可判定 和 相似，进而根
据相似的性质可对结论B进行判定；过 作 于点 ，根据等边三角形的性质 ，
，然后分别用勾股定理求出 ，进而再求出 ，最后可求出 ，由此可对结论C进行判定；
设 ， ，则 ， ， ， ，先由结论A正确得出
，过点 作 于点 ，则 ，然后在 中利用勾股定理求出
，最后在 中再利用勾股定理可求出 ， 之间的关系，从而可对结论D进行判定．
【详解】解： 为等边 ， ， ，
在 与 中， ， ， ，
，
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，因此结论A正确； ，即： ，
又 ， ， ，
，因此结论B正确；过 作 于点 ，
为等边 ， ， ， ， ，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
，因此结论C正确；设 ， ，则 ， ，
， ，
， ，过点 作 于点 ， ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，即： ，
，
将 代入上式得： ，
整理得： ，因此结论D不正确．故选D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理
的应用等，解答此题的关键是熟练掌握似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难点是灵活运
用勾股定理进行相关的计算．
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模型3.等边内接等边
图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ．
∵ ，∴ ．
在 和 中， ∴ （ ），
∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ，
于点 ，结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明： 是等边三角形， ，
， ， ， ，
， ， 是等边三角形，
例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形 的顶点 、 、 依次作 、 、
的垂线 、 ，三条垂线围成 ，若 ，则 的周长为（ ）
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A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性
质，先证明 是等边三角形．得出 ．根据直角三角形的性质求出 ，证明
，得出 ，求出 ，最后求出结果即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，同理： ，∴ 是等边三角形．∴ ．
在 中， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
在 与 中， ，∴
∴ ，∴ ，∴ 的周长为 ．故选：B．
例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形 ，点 ， ， 分别为边
上的黄金分割点（ ， ， ），连接 ， ， ，我们称
为 的“内含黄金三角形”，若在 中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概
率是 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，概率的计算方法，
根据题意，设 ，可得等边 的面积，根据黄金分割点可得 ，
，可证 ，可得 ，根据图形面积可得 ，再
根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ，设 ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴在 中， ，
∴ ， ，∴ ，
∵点 分别是 的黄金分割点，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，则 ，
如图所示，过点P 作 于点 ，∴在 中， ，
1
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∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形 的各边上，且
于点P， 于点M， 于点N．(1)求证： 是等边三角形；(2)若 ，
求 的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先求得 ． 得
．则 ，再求得 ．
即可得到结论；
（2）由 得到 ．由 得到 ，则
．由 得到 ．即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ 是等边三角形．
（2）解：∵ 是等边三角形，∴ ．
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在 和 中， ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含 角的直角三角形的性质
等知识，证明 是等边三角形是解题的关键．
例4．（2023·广西·中考真题）如图， 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边 ， ，
上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积为y，求y
关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化．
【答案】(1)见详解(2)
(3)当 时， 的面积随 的增大而增大，当 时， 的面积随 的增大而减小
【分析】（1）由题意易得 ， ，然后根据“ ”可进行求证；
（2）分别过点C、F作 ， ，垂足分别为点H、G，根据题意可得 ，
，然后可得 ，由（1）易得 ，则有
，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ 是边长为4的等边三角形，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
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在 和 中， ，∴ ；
（2）解：分别过点C、F作 ， ，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边 中， ， ，
∴ ，∴ ，
设 的长为x，则 ， ，
∴ ，∴ ，
同理（1）可知 ，∴ ，
∵ 的面积为y，∴ ；
（3）解：由（2）可知： ，∴ ，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；
即当 时， 的面积随 的增大而增大，当 时， 的面积随 的增大而减小．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二
次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
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1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图， 是等边三角形，点D，E分别在 ， 上，且
， ， 与 相交于点F，则下列结论：① ，② ，
③ ．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】由 是等边三角形，求得 ，证明 ，得到 ，即可求得
，故①正确；由 ，证明 ，即可得到 ，
故②正确；由 ， ，证明 ，即可求得 ，
故③正确；
【详解】∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ 是 的外角，
∴ ，
∴①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握
相似三角形的判定和性质是解决问题的关键
2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与
线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若
BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为 ，其中正确的是（ ）
⋅
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，
根据相似三角形的性质得到①正确；过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形
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的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB为边作等边三角形NAB，
连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，
CO′即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，
∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，∴ ， ，
∴CQ=3PD，∴BQ=6PD，∴BO=6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，则CE= AC=4，∵∠C=60°，∴BE=4 ，
∴PE= =1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中， ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴ ，
∴AP2=OP•PB，∴AP2=OP•AQ．故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，
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∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，∴CN垂直平分AB，∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，在Rt MAC中，AC=3，
△
∴MA=AC•tan∠ACM= ，CM=2AM=2 ，∴MO′=MA= ，
即CO的最小值为 ，故④正确．综上：正确的有①③④．故选：A．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三
角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的
关键．
3．（2024·广西·一模）如图，在等边 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连
接 ， 交于点 ，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识．首先证明
，推出点 的运动轨迹是 为圆心， 为半径的弧上运动，连接 交 于 ，当点 与
重合时，阴影部分的面积的值最小．
【详解】解：如图， 是等边三角形，
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， ，
， ， ， ，
∴ ，又 ， ，
， ， 点 的运动轨迹是 为圆心， 为半径的弧上运动
，
连接 交 于 ，当点 与 重合时， 的面积最大，则阴影部分的面积的值最小，
此时点 是等边 的中心，∴阴影部分的面积的最小值为 ，故选：B．
4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，点 在边
上，点 在边 上，连接 并延长 交 的延长线于点 ，连接 ，且 ，过点 作
于点 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，以下四个结论中：
； ； 当 时， ； ．正确的有（ ）
个．
A． B． C． D．
【答案】C
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【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质， 证明
可知 正确； 先证明 ，则 ，过 作
，交 于 ，证明 ，可得结论； 由已知得 是等腰直角三角形，
得 ，计算 ，可作判断； 由 作判断，熟练掌握三角形全
等的判定是解题的关键．
【详解】 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过 作 ，交 于 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，故 正确；
当 时，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
由 ( ) 知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 不一定是 的中点，
∴ 与 不一定相等，故 不正确；
由 ( ) 知： ，
∴ ，故 正确，
综上 正确，共 个，
故选： ．
5．（2023·福建莆田·一模）如图， 和 都是等边三角形，将 先向右平移得到 ，
再绕顶点 逆时针旋转使得点 ， 分别在边 和 上．现给出以下两个结论：①仅已知 的周
长，就可求五边形 的周长；②仅已知 的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（
）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题
的关键．由“ ”可证 ， ，可得 ， ，
，由线段的和差关系和面积和差关系可求解．
【详解】解： ， ， 都是等边三角形，
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， ， ，
， ， ，
同理可证： ， ， ，
五边形 的周长 ，
仅已知 的周长，就可求五边形 的周长；故①正确；
， ， ，
， ，
五边形 的面积 ，
仅已知 的面积，就可求五边形 的面积．故②正确，故选：C．
6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图， 是等边三角形，D，E分别是 ， 边上的点，且
，连接 ， 相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
① ； ② ；③ ；④若 ，则
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌
握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得
，则有 ，然后可得 ，进而根据三角形外角的
性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∴ ， ，
∴ ，故②正确；
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∵ ，
∴ 不成立，故③错误；
过点E作 ，交 于点H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选B．
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7．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，ΔABC是等边三角形，点 分别在边 上，且
与 相交于点 ．若 ，则ΔABC的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明 ABD BCE，推出∠BDA=∠FDB，BE= DA=8，再证明 BDA FDB，利用相似三
△ △ △ △
角形的性质求得BD=CE= ，作EG⊥BC于G，根据解直角三角形的知识即可求解
【详解】∵ΔABC是等边三角形，，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60 ，
在 ABD和 BCE中， ，
△ △
∴ ABD BCE，
∴△∠BAD=∠△CBE，BE= DA=1+7=8，
∵∠BDA=∠FDB，
∴ BDA FDB，
△ △
∴ ，即 ，
∴BD= ，则CE=BD= ，
作EG⊥BC于G，
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∵∠C=60 ，
∴CG=CE ，EG=CE ，
在Rt BEG中，BG= ，
△
∴BC= BG+ CG= ，故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三
角形各边长相等、各内角为60°的性质．关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，
有一定的综合性．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边 的顶点A，B，C依次作
的垂线 三条垂线围成 ，已知 ，则 的周长是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形判定与性质， 所对的直角边是斜边的一半
等知识，本题中 为等边三角形，通过 证明 ，得 ．证明 是等边三
角形，易得 ， ，即可作答．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
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∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
同理： ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
所以 的周长 ，
故答案为：36
9．（23-24天津九年级上期中）如图，点 分别在正三角形 的三边上，且 也是正三角形.
若 的边长为 ， 的边长为 ，则 的内切圆半径为 ．
【答案】
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【分析】根据 ABC、 EFD都是等边三角形，可证得 AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得
△ △ △
AE+AF=AE+BE=a，然后根据切线长定理得到AH= （AE+AF-EF）= （a-b）；，再根据直角三角形的
性质即可求出 AEF的内切圆半径．
【详解】解：△如图1，⊙I是 ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
△
∴AD=AE= [（AB+AC）-（BD+CE）]= [（AB+AC）-（BF+CF）]= （AB+AC-BC），
如图2，∵ ABC， DEF都为正三角形，
∴AB=BC=△CA，EF=△FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
在 AEF和 CFD中， ，∴△AEF≌△CFD（AAS）；
△ △
同理可证： AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M是 AE△F的内心，过点M作MH⊥AE于H，
△
则根据图1的结论得：AH= （AE+AF-EF）= （a-b）；
∵MA平分∠BAC，∴∠HAM=30°；
∴HM=AH•tan30°= （a-b）• = 故答案为 ．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，
圆的切线长定理，根据已知得出AH的长是解题关键．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角 中， 为 的中点，
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为 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点E作 于点G，过点F作 于点F， 由勾股定理和等腰三角形的性质得
， ，则 和 是等腰直角三角形，得 ，
，再证明 ，得 ，则 ，然后由勾股定
理求出 的长即可．
【详解】解：如图，
过点E作 于点G，过点F作 于点F，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵E为 的中点， ，
∴ ， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股
定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边 的边 上一点P，作
于E，Q为 延长线上一点，当 时，连 交 边于D，则 的长为
．
【答案】
【分析】过点P作 交 于点F，根据题意可证 是等边三角形，根据等腰三角形三线合一
证明 ，根据全等三角形判定定理可证 ， ，进而证明 ，计算
求值即可．
【详解】解：过点P作 交 于点F，
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∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定
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定理是解题关键．
12．（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，
BP相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为 ．
【答案】4， ．
【分析】先通过条件证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可证明△APO∽△BPA，得出
，则AP2=OP•BP，可求出AP，设OA=x，则AB=2x，在Rt ABE中，由AE2+BE2=AB2，
△
得出x的值即可得解．
【详解】解：解：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，
∵在△ABP和△ACQ中 ，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），∴∠ABP=∠CAQ，
∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，
∴ ，∴AP2=OP•BP，
∵BO=6，PO=2，∴BP=8，∴AP2=2×8=16，∴AP=4，
∵∠BAC=60°，∴∠BAQ+∠CAQ=60°，∴∠BAQ+∠ABP=60°，
∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，∴∠BOQ=60°，过点B作BE⊥OQ于点E，∴∠OBE=30°，
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∵OB=6，∴OE=3，BE=3 ，∵ ，
设OA=x，则AB=2x，在Rt ABE中，AE2+BE2=AB2，
△
∴(x+3)2+(3 )2＝(2x)2，解得：x= 或x=1- （舍去），
∴AO=1+ ．故答案为：4， ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角
形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边 的 ， 上各取一点D，E，使 ，
， 相交于点M，过点B作直线 的垂线 ，垂足为H．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】首先用 证 ，由全等三角形的性质可得 ，可证 ，
由含30°直角三角形的性质可得 ，过点A作 于F，结合已知条件利用直角三角形的
性质和勾股定理得出 ， ，然后根据三角形的面积相等求出 ，进而求出 ．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
如图，过点A作 于F，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及含 的直角三
角形，解题的关键是利用等边三角形的性质，作出辅助线，灵活运用这些性质解决问题.
14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形 中， ， ， ， 与 相
交于点F，若 ，则E到 的距离为 ．
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【答案】
【分析】证明出 是等边三角形，再结合条件证明 ，得出 ，接着
证明出 ，得到 ，利用对顶角得到 ，过点 作 的
垂线，交于 于点 ，在 中求解即可．
【详解】解： ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点 作 的垂线，交于 于点 ，
，
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，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识
点，解题的关键是构造直角三角形进行求解．
15．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形 中，点 ， 分别在 ， 边上，
， 交于点 ，且 ．
（1）线段 ， 的数量关系为______， 的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变 的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2， 是等腰直角三角形， ，点 ， 分别在 ，
边上， ， 交于点 ，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段 ，
的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段 ， 的数量关系为______；再根据图2写出线段 ， 的数量关
系和 的度数，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3， 是等腰直角三角形， ，若点 沿 边上一动点，点 是射线
上一动点，直线 ， 交于点 ，在（2）的条件下，当动点 沿 边从点 移动到点 （与点
重合）时，请直接写出运动过程中 长的最大值和最小值．
【答案】（1） ，60°；（2） ； ， ，理由见解析；（3）8，
【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的性质得出 ， ，进而根据三
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角形外角的性质即可求解；
（2）证明 ，得出 ， ，进而根据（1）的方法即可求解；
（3）由题意，可知点 在以 为弦．所对圆心角为90°的 上，根据题意画出图形，连接 ．当点
在线段 上时， 取得最小值，当点 移动到点 时，点 与点 重合，此时 取得最大值，利用
勾股定理以及线段的和差即可求解．
【详解】解：（1）解：∵ 是等边三角形
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故答案为： ，60°．
（2）线段 ， 的数量关系为： ；
， ．
理由如下：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，即 ．
∴ ．
∴ ， ，即 ．
∴ ．
（3） 长的最小值为 ，最大值为 ．
由题意，可知点 在以 为弦．所对圆心角为90°的 上（ ，则 ，劣弧AB所
对的圆周角是 ）．
如解图1所示， ．
∵ ，
∴ ．
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连接 ．当点 在线段 上时， 取得最小值，
如解图1所示，此时 ．
∴ ．
∴ 长的最小值为 ．
当点 移动到点 时，点 与点 重合，此时 取得最大值．
如解图2所示，由（2），知 ．
∴ 长的最大值为8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，
相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，且
，连结 ， 交于点 ．(1)求证： ；(2)连接 ，若 时，①求
的值；
②设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）①证出 ，即点 恰好落在以 为直径的圆上，点 也落在以 为直径的圆上，
得出 ．连接 ，则 ， ，由直角三角形的性质可得出结论；
②证出 ．过点 作 ，得出 ， ．则 ．即
可得出答案．
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【详解】（1）证明： 是等边三角形，
， ．
，
．
在 和 中，
，
；
（2）解：①由（1）知： ，
．
．
．
．
、 、 、 四点共圆．
，
，
即点 恰好落在以 为直径的圆上，点 也落在以 为直径的圆上，
，
．
连接 ，则 ， ，
．
，
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．
②如图，连接 ，设 ．
，
．
．
，
．
．
过点 作 ，
， ．
．
，
即 ．
．
．
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．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线
分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键．
17．（23-24九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知 是等边三角形，点D、E、F分别在边
、 、 上，且 ．
(1)试说明 是等边三角形的理由．
(2)分别连接 与 相交于O点（如图（2）），求 的大小．
(3)将 绕F点顺时针方向旋转 得到图（3）， 与 平行吗？说明理由．
【答案】(1)理由见解析
(2)
(3) ，理由见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质和 可证明 ，根据等式的性质得
，再根据三角形的内角和定理即可求证 为正三角形；
（2）根据 为正三角形易得 ， ，根据 ，得到
，可证 ，得到 ，再根据三角形外角的性质即可求解；
（3）设顺时针旋转 后 交 于G，易证 ，可得 ，结合 ，
得到 ， ，即可证得 ．
【详解】（1）∵ 为正三角形，
∴ ，
∵ ，，
∴
∴
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∴ ，
∴
∴ 为正三角形；
（2）∵ 为正三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
设顺时针旋转 后 交 于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定等知识
点，相似三角形的判定方法有①两角对应相等，②两边对应成比例且夹角相等，③三边对应成比例．
18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试） 中 ，点D是 边中点，过点D的直线交
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边于点M，交 边的延长线于点N，且 ．(1)如图①，当 时，求证：
；
(2)如图②，当 时，请直接写出线段 的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，
添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）过点C作 交 于点E，证明 是等边三角形，得到 ，证明
得到 ，进而可得结论；
（2）过点C作 交 于点F，同理，证明 是等腰直角三角形，得到，证明
得到 ，进而可得结论．
【详解】（1）证明：过点C作 交 于点E，如图①，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵D是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
过点C作 交 于点F，如图②，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵D是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图， 是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边
上运动，满足 ．(1)求证： ；(2)设 的长为x， 的面积
为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述 的面积随 的增大如何变化．
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【答案】(1)见解析
(2)
(3)当 时， 的面积随 的增大而减小，当 时， 的面积随 的增大而增
大
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合题意可得出 ， ， ，从而即可证
明 ；
（2）分别过点C、F作 ， ，垂足分别为点H、G，根据锐角三角函数和三角形面积公式
可求出 ；设 的长为x，则 ， ，可求出
， 结合（1）可求出 ，最后根据
求解即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
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（2）解：分别过点C、F作 ， ，垂足分别为点H、G，如图，
在等边 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
设 的长为x，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
由（1）同理可证 ，
∴ ，
∵ 的面积为y， ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，该抛物线对称轴为 ，∴该抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增，即当 时， 的面
积随 的增大而减小，当 时， 的面积随 的增大而增大．
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【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的实际应用及
其性质等知识．熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
20．（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则
BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若
∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的
点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON
等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝
108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当 时，结论 成立；②当
时， 还成立，证明见详解．
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【分析】（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得： ，然后依据全等三角
形的判定定理可得： ，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各
角之间的等量代换可得： ，然后依据全等三角形的判定定理可得： ，再由全等三角
形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得： ，然后依据全等
三角形的判定定理可得： ，再由全等三角形的性质即可证明；
（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；
②连接BD、CE，根据全等三角形的判定定理和性质可得： ， ， ，
，利用各角之间的关系及等量代换可得： ， ，继续利用
全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．
【详解】解：（1）如选命题①，证明：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
如选命题②，
证明：如图所示：
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
如选命题③，
证明：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
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，
∴ ，
∴ ；
（2）①根据（1）中规律可得：当 时，结论 成立；
②答：当 时， 成立．
证明：如图所示，连接BD、CE，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
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，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角
和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．
21．（23-24九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形 的 边上各取一点P，Q使 ，AQ，BP相交于点
O，求 的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰 的 边上各取一点P，Q，使 ， 平分
， ， ，求 的长．小明的思路：过点A作 交 延长线于点G，证
明 ，…
（2）如图2，在 的 边上各取一点P、Q，使 ， 平分 ， ，
，求 的数量关系，请你解答小明提出的问题．
【答案】习题回顾： ；拓展延伸（1）证明见解析；（2）
【分析】习题回顾：根据等边三角形的性质得到 ，进而证明
，得到 ．再由三角形外角的性质可得
；
拓展延伸（1）过点A作 交 的延长线于点G，则 ，由角平分线的定
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义推出 ，进而推出 ，由此即可证明 ；（2）如图2，过点P作
于H，过点A作 于T，设 ，则 ，由角平分线的性质得到
，利用等面积法求出 ，则 ；再利用等面积法求出
，则 ，进而求出 ，则 ，则
．
【详解】解：习题回顾：∵ 是等边三角形，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ；
拓展延伸：（1）过点A作 交 的延长线于点G，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（2）如图2，过点P作 于H，过点A作 于T，设 ，
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
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∴ ，∴ ，
∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，三
角形内角和定理，等角对等边，平行线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题
的关键．
22．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图： 是边长为 的等边三角形， 是 边上一动点，
由点 向点 运动（ 与点 、 不重合），点 同时以点 相同的速度，由点 向 延长线方向运动
（点 不与点 重合），过点 作 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)若设 的长为 ，则 ______， ______；
(2)当 时，求 的长；(3)点 ， 在运动过程中，线段 的长是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1) ， (2) (3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的和差关系即可求解；（2）易得 ，由含 度角的
直角三角形的性质可得 ，解之，即可求得 的长；（3）过点 作 交 延长线于
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点 ，连接 ， ，可证得 ，进而证得 ，于是 ， ，据此
可推出 ，然后可证得四边形 是平行四边形，于是可得 ．
【详解】（1）解： 是边长为 的等边三角形，
， ，设 ，则 ,
点 ， 速度相同， ， ，故答案为： ， ；
（2）解： ， ， ，
， ，解得： ， ；
（3）解：线段 的长不变，理由如下：
如图，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ， ，
， ， ， ，
是边长为 的等边三角形， ， ，
又 ， ， 点 ， 速度相同， ，
在 和 中， ， ，
， ， ，即： ，
，且 ， 四边形 是平行四边形， ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含 度角的直角三角形，解一元一次
方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行四边形的判定与性质等
知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和平行四边形是解题的关键．
23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
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做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个
三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角
形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形
__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在 和 中， ， ， ．
求证： ．证明：在 上取一点 ，使 ．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在 中， ，点 在射线 上，点 在 的延长线上，且 ，连接
DE，DE与 边所在的直线交于点 ．过点 作 交直线 于点 ，若 ， ，则
_________．（直接写出答案）
【答案】(1)不一定(2)见解析(3) 或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质（1）根据 可知两个三角形不一
定全等；（2）在 上取一点 ，使 ，根据 证明 ，即可得到结论；（3）
分两种情况：当点 在线段AB上时，过点 作 交 的延长线于点 ；当点 在 的延长线上
时，过点 作 交 的延长线于点 ，分别证明 ， ，进而即可求解．
【详解】（1）通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)的两个三角形不一定全等，
故答案是：不一定；
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（2）证明：在 上取一点 ，使 ． ， ．
又 ，而 ， ．
， 又 ． ．
（3）当点 在线段AB上时，过点 作 ，
， ， ， ， ，
， CE， ， ， ，
， ；过点 作 交 的延长线于点 ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ， ；
当点 在 的延长线上时，过点 作 交 的延长线于点 ，同理可得 ；
同理： ， ，
， ，
， ；故答案是： 或 ．
24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰 中， ，点E是射
线 上的动点，点D是边 上的动点，且 ，射线 交射线 于点F．
(1)求证： ；
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(2)连接 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长；
(3)如图2，当点E在边 上时，连接 ，若 ，线段 的长为 ．
【答案】(1)见解析(2) 或 或9(3)2
【分析】（1）可推出 ，从而得出结论；（2）分为三种情形：当点E在 上时，
设 ，则 ，根据 得出 ，从而求得结果；当点E在 的延长线
上，当 时，设 ，则 ，根据 得出 ，进而求得结果；当
时，设 ，由 得出 ，求得m的值，进一步得出结果；（3）作
，交 于点G，作 于H，作 于Q，作 于T，可得：
， ， ，从而得出比例式，设 ，
则 ，设 ，则 ，依次表示出 ，根据 列出
①；可得出 ，从而 ，进而得出 ②，由
①②求x的值，进而得出结果．
【详解】（1）证明： ， ，
， ， ， ；
（2）解：如图1，当点E在 上时，设 ，
是以 为腰的三角形， ， ，
由（1）得： ；∴ ，即 ，∴ ， ，
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如图2，当点E在 的延长线上，当 时，由（1）得： ；
∴ ，即 ，设 ，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
如图3，当 时，设 ，由 得， ， ， ，
综上所述： 的长为 或 或9；
（3）解：如图4，作 ，交 于点G，作 于H，作 于Q，作 于T，
可得： ， ， ，∴
，
设 ，则 ，设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
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∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
，由 得， ， ①，
， ， ，
，
， ，∴ ，∴ ②，
由①②得， ， ，故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，
构造相似三角形．
25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1， ，A、D在 上，B、C在 上， ，
若 ，则 的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知 是等边三角形，D、E分别为 上的点，且 ，连接
．求证： ；
【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地 ，其中 ， 米， 米，
，P、Q分别在 上，且 ， 是平行于 的一条绿化带，E、F是线段 上的
两个动点（点E在点F的左侧）， 米，M在线段 上运动（不含端点），且保持 ，管
理人员计划沿 铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即
的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
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【答案】（1）5（2）见解析（3）390米
【分析】（1）首先根据条件证明四边形 是平行四边形，再根据平行四边形对边相等可得到
即可；（2）根据 证明 ，进而解答即可；（3）连接 ，过点D作
于 ，根据 米， 求出 米， 米，证明 ，可
得 ，在 上截取 米，连接 ，可得四边形 是平行四边形， ，则
，根据 ，可得 的最小值为 的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，A、D在 上，B、C在 上，∴ ，
∵ ∴四边形 是平行四边形，∴ 故答案为：5；
（2）证明：∵ 为等边三角形，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，∴ ；
（3）解：连接 ，过点D作 于H，
∵ ，∴ ，设 ，则 ，
∵ 米， ，∴ ，
解得 （负值舍去），∴ 米， 米，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 上截取 米，连接 ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 的最小值为 的长，∵ （米），
∴ （米），∴这两条水管的长度之和的最小值为390米．
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【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形
的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
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