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2026年中考数学一轮复习 一元一次方程
一．选择题（共14小题）
1．如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽
的比为5：3，则AD：AB＝（ ）
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
2．小李年初向建设银行贷款5万元用于购房，年利率为5%，按复利计算，若这笔借款分15次等额归还，
每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还大约（ ）
A．4819元 B．4818元 C．4817元 D．4816元
3．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中
做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝
完，则妈妈买的饮料一共有（ ）
A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶
4．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动
房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第
一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又
用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的
检验速度一样快，那么B组检验员人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
6．已知对于任意的x ，x ，…，x [0≤x≤4（i＝1，2，3，…，2022）]，关于x的方程|x﹣x |+|x﹣x |
1 2 2022 i 1 2
+…+|x﹣x |＝2022a，在0≤x≤4的范围内至少有一个根，则a＝（ ）
2022
A．0.5 B．1 C．2 D．3
7．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条
对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
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A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
8．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若
1 2
如图②放置时，测得液面高为 h；若如图3放置时，测得液面高为 h．则该玻璃密封容器的容积
2 3
（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
5π 5π 5 5
A． a2h B． a2h C． a2h D． ah
24 6 6 3
9．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批
1 1
树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的 ，第二班领取100棵和余下的 ，第三班
10 10
1 1
领取200棵和余下的 ，第四班领取300棵和余下的 ⋯，最后树苗全部被领完，且各班领取的树
10 10
苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作
{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
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11．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水
行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（ ）小时．
A．10 B．9 C．8 D．12
12．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与以上两次价值相
同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
13．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个
14．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共13小题）
1 x 5
15．用 表示一种运算，它的含义是：A B = + ．如果2⊕1= ，那么3 4＝
A+B (A+1)(B+1) 3
⊕ ⊕ ⊕
．
16．为响应学校“多读书，读好书”活动，开学初七年级（1）班班委分上半期和下半期制定了一个读书
心得交流活动时间表，规定班上45位同学每位同学可在上半期或下半期自选一个时间作一次交流，也
可以在上半期和下半期各选一个时间分别作一次交流（即每人该学期至少作一次交流，最多作两次交
流），据统计：有13名男生、18名女生选择在上半期作交流；有10名男生、8名女生选择在下半期
作交流；其中有3名女生选择在上半期和下半期都作交流．那么选择在上半期和下半期都作交流的男
生有 名．
17．五羊中学数学竞赛，满分120分．规定不少于100分的获金牌，80～99分的获银牌，统计得金牌数
比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9．后来改为不少于90分的获金牌，70～89分的获银牌，那么
金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95和75分，则总
参赛人数是 ．
18．已知x＝﹣2是方程20x+|k﹣1|＝﹣40的解，则k的值是 ．
19．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率
是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总
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1
利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了 ，销售爆炸瓜的利
3
1
润率比第一周下降了 ，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销
4
利润
量之比是 ．（利润率= ×100%）
成本
20．若关于x的方程|x+1|＝2，则此方程的解为 ．
21．如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离
是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按
逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t
（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝ s．
22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长
方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 cm．
23．某公司的电话号码是八位数，这个号码的前四位数字相同，后五位数字是连续减少 1的自然数，全
部数字之和恰好等于号码的最后两位数，那么，该公司的电话号码是 ．
24．记f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，则方程f（f（x））+1＝0所有解的和为 ．
25．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|
c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速
度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之
后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为
秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
26．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡
车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术
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方法解决这个问题，列算式为 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相
距xkm，列出来的方程为 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是
千米．
27．“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家
相距10千米，小张出发必过小李家．若两人同时出发，小张车速为 20千米/小时，小李车速为15千
米/小时，经过 小时能相遇．
三．解答题（共10小题）
28．已知关于x的方程4x+2m+1＝2x+5，若该方程的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，求m2﹣2的
值．
29．小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣20时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变
号．”结果他得到方程的解为x＝﹣4，求a的值和原方程的解．
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝
8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3＝2x+k和 x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次
2023 2023
1
方程 （y+1）＝2y+k﹣1的解．
2023
31．已知：（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次三项式，且a、b、c满足（c﹣18）2+|a+b|＝0．a、b、c
所对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ ，c＝ ．
（2）若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和
点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，
点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改
变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴
上线段AO、OB、BC三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒
的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的
同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在BO下坡段运动期
间速度变为原来的2倍，之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q
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均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求
出此时t的值．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．
例知：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，
且x＝2×（﹣2）＝﹣4，所以方程2+x＝﹣2是“乘解方程”，
请回答下列问题：
（1）判断4+x＝7是不是“乘解方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
33．某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演
1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？
34．身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式
体重(kg)
为：BMI=
．中国成年人的BMI分类标准如下表：
身高的平方(m2
)
BMI指数范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖
已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题：
（1）通过计算说明王老师的身体状态描述情况．
（2）若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为 kg．（精确到1kg）
35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们
发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a
a+b
﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
2
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
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【综合运用】
（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
1
（3）求当t为何值时，PQ= AB；
2
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
36．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450 0.7
时，超出200的部分
第三档 大于450时，超出450的部 1
分
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、
六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
37．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U
型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字
之和为S ，“十字型”覆盖的五个数之和为S ．
1 2
（1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为 ；
（2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则S 的值可以是90吗？请说明理由．
2
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2026年中考数学一轮复习 一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽
的比为5：3，则AD：AB＝（ ）
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
【答案】D
【分析】可设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，因为将长方形ABCD分割
成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形
的长和宽，从而可求解．
【解答】解：设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，
2（5x+3x）+4＝148
x＝9
5x＝45，3x＝27，
AD＝45+2＝47，
AB＝27+2＝29，
AD 47
= ．
AB 29
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是看到灰色长方形的周长和148个小正方形的关系，以及灰色
长方形的边长和大长方形的边长的关系．
2．小李年初向建设银行贷款5万元用于购房，年利率为5%，按复利计算，若这笔借款分15次等额归还，
每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还大约（ ）
A．4819元 B．4818元 C．4817元 D．4816元
【答案】C
【分析】根据题中的意思可以知道15年还清，则可以设每年还x元，则根据题意贷款5万元，年利率
为5%，15年还清可以列出方程，从而用计算器求出答案．
【解答】解：设每年应还x元，则根据题意可知：
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50000×（1+0.05）15＝x×（1+0.05）14+x×（1+0.05）13+…+x．
用计算器得出：x＝4817
故选：C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求
解，本题比较复杂，可用计算器算出答案．
3．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中
做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝
完，则妈妈买的饮料一共有（ ）
A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶
【答案】C
【分析】先求得每天喝的饮料的代数式，等量关系为：第一天喝的饮料数+第二天喝的饮料数+第三天
喝的饮料数＝妈妈买的饮料数，把相关数值代入求解即可．
1 1
【解答】解：设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了（ x+0.5）瓶，那么剩下（x− x﹣0.5）瓶，
2 2
1 1 1 1 1
则第二天喝了 （x− x﹣0.5）+0.5（瓶），那么剩下（x− x﹣0.5）﹣[ （x− x﹣0.5）+0.5]（瓶），
2 2 2 2 2
1 1 1 1
所以第三天喝了 {（x− x﹣0.5）﹣[ （x− x﹣0.5）+0.5]}+0.5（瓶），
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
（ x+0.5）+[ （x− x﹣0.5）+0.5] + {（x− x﹣0.5）﹣[ （x− x﹣0.5）+0.5]}+0.5＝x，
2 2 2 2 2 2 2
解得x＝7．
故选：C．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到每天喝的饮料的代数式是解决本题的突破点，得到总饮料数
的等量关系是解决本题的关键．
4．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝﹣3；由|a|≤|m|，得a﹣
m≥0，a+m≤0，
∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
【解答】解：∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0
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∴m2﹣9＝0，m2＝9，
m＝±3，﹣（m﹣3）≠0，
m≠3，
∴m＝﹣3，
|a|≤|﹣3|＝3，
∴﹣3≤a≤3，
∴m≤a≤﹣m，
∴a﹣m≥0，|a﹣m|＝a﹣m，
a+m≤0，|a+m|＝﹣a﹣m，
∴原式＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知
数的式子都是整式，未知数的次数是1．根据一元一次方程的定义求m的值．去绝对值时注意a+m、a
﹣m与0的关系．
5．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动
房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第
一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又
用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的
检验速度一样快，那么B组检验员人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
【答案】C
【分析】设A组所检验的每个车间原有成品a件，每个车间1天生产b件，可得A组前两天检验的总
件数和后三天检验的总件数为．根据检验员的检验速度相同，可列式等式得到 a和b的关系，即可得
A组一名检验员每天检验的成品数．再根据B组检验员的人数＝五个车间的所有成品÷A组一名检验员
每天检验的成品数，列式即可得解．
【解答】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得：
2a+2×2b 2a+2×5b
= ，
2 3
解得a＝4b；
3
则A组每名检验员每天检验的成品数为：2（a+2b）÷（2×8）＝12b÷16= b．
4
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3 3
那么B组检验员的人数为：5（a+5b）÷（ b）÷5＝45b÷ b÷5＝12（人）．
4 4
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题是一道叙述比较长的题目，解题时应认真读题，理解
各种量之间的关系列出等式．
6．已知对于任意的x ，x ，…，x [0≤x≤4（i＝1，2，3，…，2022）]，关于x的方程|x﹣x |+|x﹣x |
1 2 2022 i 1 2
+…+|x﹣x |＝2022a，在0≤x≤4的范围内至少有一个根，则a＝（ ）
2022
A．0.5 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设f（x）＝|x﹣x |+|x﹣x |+|x﹣x |+……+|x﹣x 2|，然后找到极限值进行化解即可．
1 2 3 202
【解答】设f（x）＝|x﹣x |+|x﹣x |+|x﹣x |+……+|x﹣x 2|，
1 2 3 202
则f（x）＝2022×4﹣2（x +x +x +……+x ），
1 2 3 2022
2022×4﹣2022×2＝2022a，
∴2022a≥2022×2，
∴a≥2，
故选C．
【点评】本题主要考查的是含绝对值符号的一元一次方程，通过转化是解本题的关键．
7．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条
对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【答案】D
【分析】根据题意，先求出左上角的数是﹣2020，不妨设正中间的数字为a，即可列出关于x的方程，
从而可以求出x的值．
【解答】解：2+3﹣2025＝﹣2020，
如图所示，
设正中间的数字为a，
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由题意可得﹣2020+a+3＝a+x+2，
解得x＝﹣2019．
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出
相应的方程．
8．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若
1 2
如图②放置时，测得液面高为 h；若如图3放置时，测得液面高为 h．则该玻璃密封容器的容积
2 3
（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
5π 5π 5 5
A． a2h B． a2h C． a2h D． ah
24 6 6 3
【答案】B
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以
得出结论．
【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
1 2
×a2× h＝V﹣ ×a2×（h− h），
2 3
π π
5π
解得V= a2h，
6
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的
思想解答．
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9．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批
1 1
树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的 ，第二班领取100棵和余下的 ，第三班
10 10
1 1
领取200棵和余下的 ，第四班领取300棵和余下的 ⋯，最后树苗全部被领完，且各班领取的树
10 10
苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
【答案】C
【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，
由此可得出方程．
【解答】解：设树苗总数x棵，根据题意得：
1 1 1
x＝100+ （x− x﹣100），
10 10 10
解得：x＝9000，
答：树苗总数是9000棵．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等，这个等量关
系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．
10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作
{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据新定义可以判断出①②，求出x＝1.4或x＝﹣1.6的{x}判断③，根据新定义得到4[x]+1
＝4x，得出x＝0.25以判断④．
【解答】解：由题意得，[2.8]＝2，故①正确；
[﹣5.3]＝﹣6，故②错误；
当x＝1.4时，[1.4]＝1，{1.4}＝1.4﹣1＝0.4，
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当x＝﹣1.6时，[﹣1.6]＝﹣2，{﹣1.6}＝﹣1.6﹣（﹣2）＝0.4，故③正确；
∵x＝[x]+{x}，3[x]+1＝{x}+3x，
∴3[x]+1＝{x}+3（[x]+{x}），
∴4{x}＝1，
∵0≤{x}＜1，
∴x＝0.25或x＝1.25或x＝2.25等，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是新定义、有理数的运算与方程的解，其中正确运用新定义是解题的关键．
11．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水
行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（ ）小时．
A．10 B．9 C．8 D．12
【答案】A
【分析】先设静水速度为x千米/时，再根据静水速度＝顺水速度﹣水流速度，静水速度＝逆水速度
+水流速度，即可列出方程并求解出静水速度，接着根据时间＝路程÷速度，即可求出答案．
【解答】解：设静水速度为x千米/时，
120 80
由题可列方程： −x＝x− ，
6 8
解得：x＝15，
150÷15＝10（小时），
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确掌握静水速度、顺水速度和逆水速度的
公式．
12．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与以上两次价值相
同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
【答案】C
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少
元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过 200元但不超过
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600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方
案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物
价值只能是168元．
（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．
①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）
即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．
综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性购买可以按照
8折付款：
638×0.8＝510.4（元）
综上所述，她应付款510.4元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是第二次购物的432元可能有两种情况，需要讨
论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
13．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，就是表示一点到另一点的距离，可以对 x的范围进行讨论，即可作出判
断．
【解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d．显然，当0≤x≤2002时，
d＝2002；
当x＜0或x＞2002时，d＞2002．
同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是数轴上的点 x 到两点 1001 和 3003 的距离之和，记为 d′，显然当
1001≤x≤3003时，d′＝2002；
当x＜1001或x＞3003时，d′＞2002．
因此，如果，1001≤x≤2002，则d＝d′＝2002；
如果2002＜x≤3003，则d＞2002＝d′；
如果0≤x＜1001，则d′＞2002＝d；
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如果x＞3003，则d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；
如果x＜0，则d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．
所以题设方程是符合1001≤x≤2002的所有整数，共有1002个．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，利用讨论正确去掉绝对值符号是解决本题的关键．
14．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的
解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）整理化简，可得
5
kx＝5，即x= ，
k
∵该方程的解是整数，k为整数，
∴x＝1或﹣1或5或﹣5，
5
即 = 1或﹣1或5或﹣5，
k
解得：k＝5或﹣5或1或﹣1，
∴整数k的取值个数是4个，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
二．填空题（共13小题）
1 x 5
15．用 表示一种运算，它的含义是：A B = + ．如果2⊕1= ，那么3 4＝
A+B (A+1)(B+1) 3
⊕ ⊕ ⊕
19
．
35
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中的新定义化简已知等式求出x的值，所求式子利用新定义化简后，将x的值代入计
算即可求出值．
1 x 5
【解答】解：根据题中的新定义得：2 1= + = ，
2+1 3×2 3
⊕
去分母得：2+x＝10，即x＝8，
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1 x 1 2 19
则3 4= + = + = ．
3+4 4×5 7 5 35
⊕
19
故答案为：
35
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为
1，求出解．
16．为响应学校“多读书，读好书”活动，开学初七年级（1）班班委分上半期和下半期制定了一个读书
心得交流活动时间表，规定班上45位同学每位同学可在上半期或下半期自选一个时间作一次交流，也
可以在上半期和下半期各选一个时间分别作一次交流（即每人该学期至少作一次交流，最多作两次交
流），据统计：有13名男生、18名女生选择在上半期作交流；有10名男生、8名女生选择在下半期
作交流；其中有3名女生选择在上半期和下半期都作交流．那么选择在上半期和下半期都作交流的男
生有 1 名．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设在上半期和下半期都作交流的男生有x名，根据等量关系：学生人数一共45位，列出方
程计算即可求解．
【解答】解：设在上半期和下半期都作交流的男生有x名，依题意有
13+10﹣x+18+8﹣3＝45，
解得x＝1．
答：在上半期和下半期都作交流的男生有1名．
故答案为：1．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的
未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相
关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
17．五羊中学数学竞赛，满分120分．规定不少于100分的获金牌，80～99分的获银牌，统计得金牌数
比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9．后来改为不少于90分的获金牌，70～89分的获银牌，那么
金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95和75分，则总
参赛人数是 12 5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题设出原来获金牌的人数，利用前后两次对比，得出每一个阶段的人数，再由金牌选手和
银牌选手的总分刚好相同列方程解答即可．
【解答】解：设不少于100分的有x人，由题意知，
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90～99分的有5人，80～89分的有x+3人，70～79的有10人，69分以下的有2x+7人，
且95（x+5）＝75（x+3+10），
解得x＝25，
总参赛人数是2（x+x+8）+9＝125．
故答案为125．
【点评】解决此题的关键分析前后数据的变化，找出每一段人数，再由金银选手的得分相同解决问题．
18．已知x＝﹣2是方程20x+|k﹣1|＝﹣40的解，则k的值是 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝﹣2代入方程可得关于k的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：把x＝﹣2代入20x+|k﹣1|＝﹣40中得：20×（﹣2）+|k﹣1|＝﹣40，
解得：|k﹣1|＝0，
故：k＝1．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，
常用此法求函数解析式．
19．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率
是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总
1
利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了 ，销售爆炸瓜的利
3
1
润率比第一周下降了 ，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销
4
利润
量之比是 6 ： 7 ．（利润率= ×100%）
成本
【答案】6：7．
【分析】设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为 m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟瓜销量为2x，
根据第一周这两种西瓜的总利润率是35%，可以得到m＝2n，设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为
a，b，根据第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，列出方程可求四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比．
【解答】解：设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟瓜销量为
2x，依题意有：
（1+30%）m×2x+（1+40%）×nx＝（1+35%）（m×2x+nx），
整理得：n＝2m，
设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，依题意有：
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1 1
[1+（1− ）×30%]ma+[1+（1− ）×40%]×nb＝（1+27%）（ma+nb），
3 4
∴1.2ma+2.6mb＝1.27ma+2.54mb，
1.2a+2.6b＝1.27a+2.54b，
0.07a＝0.06b，
∴a：b＝6：7．
故第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比是6：7．
故答案为：6：7．
【点评】本题考查了应用类问题，所以成本利润问题中的应用，理清题中的数量关系，是解题的关键．
20．若关于x的方程|x+1|＝2，则此方程的解为 1 或﹣ 3 ．
【答案】1或﹣3．
【分析】根据绝对值的性质可得：x+1＝±2即可得答案．
【解答】解：由题意可知：|x+1|＝2，
∴x+1＝±2，
∴x＝1或﹣3，
故答案为：1或﹣3．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，关键在于利用绝对值的性质去绝对值符号．
21．如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离
是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按
逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t
（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝ 0. 5 、 2 、 8 或 9. 5 s．
【答案】见试题解答内容
【分析】设经过ts，P、Q两点相距12cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解；分点P，Q
只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
【解答】解：共有4种可能：
①7t+10﹣3t＝12，解得：t＝0.5；
②7t+10﹣3t＝18，解得：t＝2；
③7t+10﹣3t＝42，解得：t＝8；
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④7t+10﹣3t＝48，解得：t＝9.5；
综上所知，t的值为0.5、2、8或9.5．
故答案为：0.5、2、8或9.5．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长
方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 5 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】设长方体的高为xcm，然后表示出其宽为15﹣x，利用宽是高的2倍列出方程求解即可．
30−2x
【解答】解：设长方体的高为xcm，则其宽为 =15﹣x，
2
根据题意得：15﹣x＝2x，
解得：x＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．
23．某公司的电话号码是八位数，这个号码的前四位数字相同，后五位数字是连续减少 1的自然数，全
部数字之和恰好等于号码的最后两位数，那么，该公司的电话号码是 8888765 4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果．
【解答】解：设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，
根据题意得：4x+（x﹣1）+（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝10（x﹣3）+（x﹣4），
解得：x＝8．
所以后四位数为7654，因此该公司的电话号码为 88887654．
故答案为：88887654．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是弄清楚后五位数是依次减小还是依次增
加，有一定难度．
2
24．记f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，则方程f（f（x））+1＝0所有解的和为 ﹣ 3 ．
3
【答案】见试题解答内容
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{
−x−3(x≤−1)
x−1(−1＜x≤0)
【分析】根据绝对值的性质得，f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|=
，设f（x）＝
3x−1(0＜x≤2)
x+3(x＞2)
t，将方程f（f（x））+1＝0转化成f（t）的方程求得f（t），进而由前面的f（x）的公式得t的值，再
把t的值代入f（x）＝t中，进一步解方程得x的值，再求所有解的和便可．
{
−x−3(x≤−1)
x−1(−1＜x≤0)
【解答】解：f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|=
，
3x−1(0＜x≤2)
x+3(x＞2)
令t＝f（x），方程f（f（x））+1＝0可化为f（t）＝﹣1，
{
−t−3=−1(t≤−1)
t−1=−1(−1＜t≤0)
∴f(x)=
，
3t−1=−1(0＜t≤2)
t+3=−1(t＞2)
解得，t＝﹣2或t＝0
∴f（x）＝﹣2或f（x）＝0．
{
−x−3=−2(x≤−1)
{
−x−3=0(x≤−1)
x−1=−2(−1＜x≤0) x−1=0(−1＜x≤0)
∴f(x)= ，或f(x)=
3x−1=−2(0＜x≤2) 3x−1=0(0＜x≤2)
x+3=−2(x＞2) x+3=0(x＞2)
1
解得，x＝﹣1或x＝﹣3或x= ，
3
1 2
∴﹣1+（﹣3）+ =−3 ．
3 3
2
故答案为：﹣3 ．
3
【点评】本题考查了绝对值的性质及方程解的问题的相互转化，本题关键是去掉绝对值，转化代数式．
25．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|
c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速
度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之
后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为
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33
或 3 0 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
4
33
【答案】 或30．
4
【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当
33
6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t= ，③当9＜t≤15时，P在线段
4
OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，
Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．
【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
33
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t= ，
4
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣
9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
33
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为 秒或30秒，
4
33
故答案为： 或30．
4
【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等知识，解题的
关键是分类讨论．
26．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡
车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术
方法解决这个问题，列算式为 （ 90×0. 5 ） ÷ （ 10 0 ﹣ 9 0 ） ×10 0 ；也可列方程解决这个问题，设A，
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x x
B两地相距xkm，列出来的方程为 = − 0.5 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是
100 90
450 千米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意分别利用行驶的时间差得出等式求出答案．
【解答】解：用算术方法解决这个问题，列算式为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100；
x x
也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为： = −0.5；
100 90
无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是：450千米．
x x
故答案为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100， = −0.5，450．
100 90
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
27．“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家
相距10千米，小张出发必过小李家．若两人同时出发，小张车速为 20千米/小时，小李车速为15千
米/小时，经过 2 小时能相遇．
【答案】见试题解答内容
【分析】小张比小李多走10千米，设经过t小时相遇，则根据他们走的路程相等列出等式，即可求出
t．
【解答】解：设经过t小时相遇，则
20t＝15t+10，
解方程得：t＝2，
所以两人经过两个小时后相遇．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，难度一般，关键要根据题意找出等量关系，根据等量关系
列出等式．
三．解答题（共10小题）
28．已知关于x的方程4x+2m+1＝2x+5，若该方程的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，求m2﹣2的
值．
【答案】﹣2．
【分析】解方程5x+1＝2x﹣5，可得出x＝﹣2是方程5x+1＝2x﹣5的解，结合两方程的解互为相反数，
可得出x＝2是关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解，将x＝2代入原方程，可得出4×2+2m+1＝2×2+5，
解之可得出m的值，再将其代入m2﹣2中，即可求出结论．
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【解答】解：∵5x+1＝2x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴x＝﹣2是方程5x+1＝2x﹣5的解．
∵关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，
∴x＝2是关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解．
将x＝2代入原方程得：4×2+2m+1＝2×2+5，
解得：m＝0，
∴m2﹣2＝02﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题
的关键．
29．小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣20时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变
号．”结果他得到方程的解为x＝﹣4，求a的值和原方程的解．
【答案】a的值为3，原方程的解为x＝20．
【分析】根据小马虎的解方程步骤将将x＝﹣4代入即可求出a的值，然后写出正确方程求解即可．
【解答】解：由题意，得2x+ax＝﹣20，
将x＝﹣4代入，得2×（﹣4）﹣4a＝﹣20，
﹣4a＝﹣12，
∴a＝3，
∴原方程为2x＝3x﹣20，
﹣x＝﹣20，
∴x＝20，
∴a的值为3，原方程的解为x＝20．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意并正确计算是解题的关键．
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝
8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3＝2x+k和 x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次
2023 2023
1
方程 （y+1）＝2y+k﹣1的解．
2023
【答案】（1）m＝9；
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7 9
（2）n=− 或n= ；
2 2
（3）y＝2023．
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
1
（ 3 ） 由 题 意 ， 可 求 出 x+3=2x+k的 解 为 x ＝ 1﹣ （ ﹣ 2023 ） ＝ 2024 ， 再
2023
1 1
(y+1)=2y+k−1变形为 (y+1)+3=2(y+1)+k，则y+1＝x＝2024，从而求解．
2023 2023
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
m
∴x=− ，
3
∵4x﹣2＝x+10，
∴x＝4，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，
m
∴− +4=1，
3
∴m＝9；
（2）∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：1﹣n，
∵两个解的差为8，
∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8，
7 9
∴n=− 或n= ；
2 2
1
（3）∵ x+1=0，
2023
∴x＝﹣2023，
1 1
∵关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“美好方程”，
2023 2023
1
∴关于x的一元一次方程 x+3=2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2023）＝2024，
2023
1 1
∵关于y的一元一次方程 (y+1)=2y+k−1可化为： (y+1)+3=2(y+1)+k，
2023 2023
∴y+1＝x＝2024，
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∴y＝2023．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
31．已知：（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次三项式，且a、b、c满足（c﹣18）2+|a+b|＝0．a、b、c
所对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ ﹣ 1 0 ，c＝ 1 8 ．
（2）若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和
点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，
点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改
变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴
上线段AO、OB、BC三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒
的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的
同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在BO下坡段运动期
间速度变为原来的2倍，之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q
均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求
出此时t的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质即可求得b、c；
（2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算方法进
行计算即可；
（3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当0＜t≤5时，y＝2t，此时点P表示的数为2t﹣10，当5
＜t≤15时，y＝5+t，此时点P表示的数为t﹣5，设点Q运动的路程为y′，根据题意得：当0＜t≤8
时，y′＝t，此时点Q表示的数为18﹣t，当8＜t≤13时，y′＝2t﹣8，此时点Q表示的数为26﹣2t，
当13＜t≤15时，y′＝5+t，此时点Q表示的数为13﹣t，分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+10＝0，
∴a＝﹣10，
∵（c﹣18）2+|a+b|＝0，
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∴c﹣18＝0，a+b＝0，
∴c＝18，b＝10．
故答案为：﹣10，18．
（2）由（1）可知，AB＝10﹣（﹣10）＝20，BC＝18﹣10＝8，
设运动时间为t秒，
则AB＝20+t+2t＝20+3t，BC＝8+5t﹣2t＝8+3t，
∴BC﹣AB＝8+3t﹣（20+3t）＝8+3t﹣20﹣3t＝﹣12，
∴BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变．
（3）由（1）可知，AO＝10，OB＝10，BC＝8，
∴AC＝AO+OB+BC＝10+10+8＝28，
设点P运动的路程为y，
当0＜t≤5时，y＝2t，此时点P表示的数为2t﹣10，
当5＜t≤15时，y＝5+t，此时点P表示的数为t﹣5，
设点Q运动的路程为y′，
当0＜t≤8时，y′＝t，此时点Q表示的数为18﹣t，
当8＜t≤13时，y′＝2t﹣8，此时点Q表示的数为26﹣2t，
当13＜t≤15时，y′＝5+t，此时点Q表示的数为13﹣t，
∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位，
当点P与点Q相遇前，即点P在点Q的左侧，
t＝5时，y＝2t＝10，y′＝t＝5，则28﹣（10+5）＝13＞8，
t＝8时，y＝5+t＝13，y′＝t＝8，则28﹣（13+8）＝7＜8，
∴5＜t＜8，
∴18﹣t﹣（t﹣5）＝8，
整理得：﹣2t＝﹣15，
解得：t＝7.5，
当点P与点Q相遇后，即点P在点Q的右侧，
当5＜t≤13时，t﹣5﹣（26﹣2t）＝8，
整理得：3t＝39，
解得：t＝13，
当13＜t≤15时，t﹣5﹣（5+t）＝8，
解得，0＝8，
∴此种情况不存在，
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综上，当t＝7.5或13时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．
【点评】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识
是解题的关键．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．
例知：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，
且x＝2×（﹣2）＝﹣4，所以方程2+x＝﹣2是“乘解方程”，
请回答下列问题：
（1）判断4+x＝7是不是“乘解方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
【答案】（1）不是“乘解方程”，理由见解析；
7
（2）a的值为 ．
4
【分析】（1）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可；
（2）根据“乘解方程”的概念，列出关于a的一元一次方程，然后解方程即可．
【解答】解：（1）不是“乘解方程”，
4+x＝7，
解得：x＝3，
∵4×7＝28，
∴3≠28，
∴方程4+x＝7不是“乘解方程”；
（2）由5+x＝a﹣3解得：x＝a﹣8．
∵关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”
∴x＝5（a﹣3）＝a﹣8，
5a﹣15＝a﹣8，
5a﹣a＝﹣8+15，
4a＝7，
7
解得：a= ，
4
7
∴a的值为 ．
4
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
33．某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演
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1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？
【答案】舞蹈类节目有22个．
【分析】设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有（3x﹣2）个，然后根据题意列出方程进行求解即可．
【解答】解：设歌唱类节目有x个，根据题意得：
x+3x﹣2＝30，
解得：x＝8，
∴3x﹣2＝3×8﹣2＝22；
答：舞蹈类节目有22个．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
34．身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式
体重(kg)
为：BMI=
．中国成年人的BMI分类标准如下表：
身高的平方(m2
)
BMI指数范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖
已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题：
（1）通过计算说明王老师的身体状态描述情况．
（2）若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为 6 9 kg．（精确到1kg）
【答案】（1）王老师的身体状态为超重；
（2）69．
【分析】（1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算，再根据分类标准进行判断即可；
（2）设王老师的最大体重为x千克，根据公式列方程，进而求解即可．
76
【解答】解：（1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算得王老师的BMI为 ≈26.29，
1.702
根据分类标准，属于超重；
（2）设王老师的最大体重为x千克，由题意得
x
=24，
1.702
解得x＝69.36，
∴x≈69，
故答案为：69．
【点评】本题考查了代数式的计算，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．
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35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们
发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a
a+b
﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
2
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝ 1 0 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣ 2+ 3 t ；点Q表示的数为 8 ﹣ 2 t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
1
（3）求当t为何值时，PQ= AB；
2
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）相遇点所表示的数为：4；
（3）t＝1或t＝3；
（4）不发生变化，理由见解析．
【分析】（1）根据题意即可得到答案；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可；
（3）t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，根据题意列方程即可；
−2+(−2+3t) 3t 8+(−2+3t) 3t
（4）将点M表示的数为： = −2，点N表示的数为： = +3，即可
2 2 2 2
得到答案．
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8+(−2)
【解答】解：（1）①AB＝8﹣（﹣2）＝10，线段AB的中点表示的数为 =3；
2
②由题意可得点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
故答案为：①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴P、Q两点相遇时，﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
此时相遇点所表示的数为：﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
1 1
又∵PQ= AB= ×10=5，
2 2
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或t＝3；
（4）不发生变化，理由如下：
∵点M，N分别为PA，PB的中点，
−2+(−2+3t) 3t
∴点M表示的数为： = −2，
2 2
8+(−2+3t) 3t
点N表示的数为： = +3，
2 2
3t 3t
MN=|( −2)−( +3)|=5．
2 2
点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的
数之间的关系是解题的关键．
36．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450 0.7
时，超出200的部分
第三档 大于450时，超出450的部 1
分
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 17 0 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、
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六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分段计费原则直接计算即可；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x）分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）200×0.5+（300﹣200）×0.7＝170（元），
故答案为：170；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x），
当x≤200时，
根据题意得0.5x+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
解得x＝100，
则500﹣x＝400，
∴五月份用电100度，六月份用电400度；
当200＜x＜250时，
根据题意得200×0.5+（x﹣200）×0.7+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
此时无解舍去，
综上，五月用电为100度六月份用电400度．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
37．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U
型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字
之和为S ，“十字型”覆盖的五个数之和为S ．
1 2
（1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为 2 2 ；
（2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则S 的值可以是90吗？请说明理由．
2
【答案】（1）22；
（2）不可以；理由见解析．
【分析】（1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可．
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【解答】解：（1）由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，
∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为22；
故答案为：22；
（2）不可以，理由如下：
根据题意得：x+（x﹣1）+（x+1）+（x﹣7）+（x+7）＝90，
整理得：5x＝90，
解得：x＝18，
此时不存在“十字型”，故S 的值不可以是90．
2
【点评】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确地列出方程是解题的
关键．
34
