文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点突破 04 二次函数中的平移、翻折、
对称、旋转、折叠问题
目 录
题型01 二次函数平移问题
题型02 二次函数翻折问题
题型03 二次函数对称问题
题型04 二次函数旋转问题
题型05 二次函数折叠问题
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 二次函数平移问题
1. 二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2.平移与增加性变化
如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值.
只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.
只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与x轴交于
点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标；
(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥直线AP，垂足为
1
点F，如果tan∠PEF= ，求平移后抛物线的表达式．
2
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)y=x2−2x−3
(5 4)
(2)P ,−
3 3
( 17) 2
(3)y= x+ −4
9
【分析】（1）设点A的横坐标为x ，点B的横坐标为x ，根据对称轴，AB=4，列式
A B
x +x
A B=1,x −x =4，利用根与系数关系计算确定a值即可．
2 B A
（2） 过点C作AC⊥MN于点C，交AC右侧的AP的延长线于点M，交AC左侧的AP的延长线于点N，
利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．
（3）设抛物线向左平移了t个单位，则点E(1−t,−4)，过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于
点H，交过点E和y轴的平行线于点G， 证明Rt△FGE∽Rt△PHF，根据相似三角形的性质得出
GE GF EF 1
= = = =2即可求解．
HF HP FP tan∠PEF
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4，
x +x
∴ A B=1,x −x =4，
2 B A
解得x =3,x =−1，
B A
−3
∴ =3×(−1)，
a
解得a=1，
故抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
（2）过点C作AC⊥MN于点C，交AC右侧的AP的延长线于点M，
∵∠PAC=45°，
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AC=CM，
过点M作MT⊥y轴于点T，
∴∠ACO=90°−∠ECM=∠CMT
∵¿，
∴△AOC≌△CTM(AAS)，
∴AO=CT,OC=EM，
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，x =3,x =−1，
B A
∴AO=CT=1,OC=TM=3，A(−1,0),C(0,−3),B(3,0)，
∴OE=2,TM=3
∴M(3,−2)，
设AM的解析式为y=kx+b，BC的解析式为y=px+q
∴¿，
解得¿
1 1
∴AM的解析式为y=− x− ，BC的解析式为y=x−3，
2 2
∴¿，
解得¿，
(5 4)
故P ,− ；
3 3
（3）∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，点D(1,−4),
设抛物线向左平移了t个单位，则点E(1−t,−4)，
过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G，
1 1 (5 4)
由（2）知，直线AP的表达式为：y=− x− ，P ,−
2 2 3 3
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 1 1)
设F m,− m−
2 2
∵∠EFP=90°，
∴∠GFE+∠HFP=90°，
∵∠GFE+∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠HFP，
∴Rt△FGE∽Rt△PHF，
GE GF EF 1
∴ = = = =2，
HF HP FP tan∠PEF
1 1 5
∵¿= y −y =− m− +4，HF=x −x = −m，GF=x −x =m−(1−t)，
F E 2 2 P F 3 F G
1 1 4
HP= y −y =− m− + ，
F P 2 2 3
1 1
− m− +4
2 2 m−(1−t)
∴ = =2，
5 1 1 4
−m − m− +
3 2 2 3
26
解得：t= ，
9
( 26) 2 ( 17) 2
∴y= x−1+ −4= x+ −4．
9 9
【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助
线是解题的关键．
√3 4√3
2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线y= x2+ x+2√3与x轴交于点A，B（A在B左
6 3
边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点
E，交y轴于点P．
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直
线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小
值；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A
与点C重合，从而得到△A'H'L'（点A，H，L分别对应点A'，H'，L'），再将△A'H'L'绕点H'逆时针旋
转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A'L'所在直线交直线DE于Q，交y轴于点R，求当△PQR为等腰三
角形时，直接写出PR的长．
2√397
【答案】(1)4+
5
17√3 8√3
(2) −3或
3 3
√3 4√3
【分析】（1）作FH∥y轴交DE于H．设F(m, m2+ m+2√3)，求出直线DE的解析式，联立
6 3
方程得到x=−3时，FH的值最大，求出答案；作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC
于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+NO的值最小，求出答案即可；
（2）当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，易知直线RQ与x轴的夹角为60°，得到直线RQ的
解析式为y=√3x+3−√3，进而求出答案，当△QPR是等腰三角形，同理求出答案．
√3 4√3
【详解】（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F(m, m2+ m+2√3)．
6 3
由题意可知A(−6,0)，B(−2,0)，C(0,2√3)，
∵抛物线的对称轴x=−4，C，D关于直线x=−4对称，
∴D(−8,2√3)，
√3
∴直线AC的解析式为y= x+2√3，
3
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵DE∥AC，
√3 14√3
∴直线DE的解析式为y= x+ ，
3 3
由¿，解得¿或¿，
16√3 √3 14√3
∴E(2, )，H(m, m+ )，
3 3 3
∵S ，△DEG的面积为定值，
△≝¿=S +S ¿
△DEG △EFG
∴ △DEG的面积最大时，△EFG的面积最大，
∵FH的值最大时，△≝¿的面积最大，
∵FH的值最大时，△EFG的面积最大，
√3 8√3
∵FH=− m2−√3m+ ，
6 3
∵a<0．开口向下，
√3
∴x=−3时，FH的值最大，此时F(−3,− )．
2
如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，
GM，此时GM+MN+NO的值最小．
√3
∵直线DF的解析式为：y=− x−2√3，
2
由¿，
解得¿，
24 2√3
∴G(− , )，
5 2
∵TG⊥AC，
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
22√3
∴直线GR的解析式为y=−√3x− ，
5
由¿，解得¿，
34 12√3
∴R(− , )，
5 5
2√397
∴RG=4,∨= ，
5
∵GM=TM=RN，
2√397
∴GM+MN+ON=RN+ON+RG=RG+ON=4+ ．
5
2√397
∴ GM+MN+NO的最小值为4+ ．
5
（2）如图3中，如图当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，PQ=PR
√3 3
易知直线RQ与x轴的夹角为60°，L' (3− ,2√3+ )，
2 2
直线RQ的解析式为y=√3x+3−√3，
∴R(0,3−√3)，
14√3 17√3
∴PR= −(3−√3)= −3．
3 3
如图4中，当△QPR是等腰三角形，
∵∠QPR=60°，
∴ △QPR是等边三角形，
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
同法可得R(0,2√3)，
14√3 8√3
∴PR=OP−OC= −2√3=
3 3
17√3 8√3
综上所述，满足条件的PR的值为 −3或 ．
3 3
【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二
次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．
1
3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于
2
A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛
物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
PQ PQ
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
OQ OQ
1
(3)把抛物线y=− x2+bx+c沿射线AC方向平移√5个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新
2
抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求
其中一个N点坐标的过程写出来．
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=− x2+x+4
2
PQ 1
(2)当m=2时， 取得最大值 ，此时，P(2,4)
OQ 2
( 5) ( 11) ( 5)
(3)N点的坐标为N 2, ,N 2,− ,N 2,− .其中一个N点坐标的解答过程见解析
1 2 2 2 3 2
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线BC的解析式为y =−x+4，如图1，过点P作PD∥y轴交BC于点D，设
P ( m,− 1 m2+m+4 ) ，则D(m,−m+4)，证明△PDQ∽△OCQ，得出： PQ = PD =
2 OQ OC
1
− m2+2m
2 1 1，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
=− (m−2) 2+
4 8 2
（3）设M ( t− 1 t2+2t+ 9) ,N(2,s)，分三种情况：当BC为▱BCN M 的边时；当BC为▱BCM N
2 2 1 1 2 2
的边时；当BC为▱BM CN 的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
3 3
1
【详解】（1）∵抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B的左侧)，
2
∴¿
解得：¿，
1
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+x+4；
2
1
（2）∵抛物线y=− x2+x+4与y轴交于点C，
2
∴C(0,4)，
∴OC=4，
设直线BC的解析式为y=kx+d，把B(4,0),C (0,4)代入，
得：¿
解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
如图1，过点P作PD∥y轴交BC于点D，
设P ( m,− 1 m2+m+4 ) ，则D(m,−m+4)，
2
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴PD=− m2+2m，
2
∵PD∥OC，
∴△PDQ∽△OCQ，
1
− m2+2m
PQ PD 2 1 1
∴ = = =− (m−2) 2+ ,
OQ OC 4 8 2
PQ 1
∴当m=2时， 取得最大值 ，此时，P(2,4)．
OQ 2
（3）如图2，沿射线AC方向平移√5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
1 13 1 9
∴新的物线解析式为y'=− (x−2) 2+ =− x2 +2x+ ，对称轴为直线x=2，
2 2 2 2
设M ( t,− 1 t2+2t+ 9) ,N(2,s)，
2 2
当BC为▱BCN M 的边时，
1 1
则BC∥MN,BC=MN，
∴¿
解得：¿，
( 5)
∴N 2, ;
1 2
当BC为▱BCM N 的边时，
2 2
则BC∥MN,BC=MN，
∴¿
解得：¿，
( 11)
∴N 2,− ;
2 2
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当BC为▱BM CN 的对角线时，
3 3
则¿，
解得：¿，
( 5)
∴N 2,− ;
3 2
( 5) ( 11) ( 5)
综上所述，N点的坐标为：N 2, ,N 2,− ,N 2,− .
1 2 2 2 3 2
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边
形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思
想是解题关键．
4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合：
(1)平面直角坐标系中，抛物线C ：y =x2+bx+c的对称轴为直线x=3，且经过点(6,3)，求抛物线C 的解
1 1 1
析式，并写出其顶点坐标；
(2)将抛物线C 在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C ：y =x2−2mx+m2−1，
1 2 2
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①如图1，设自变量x在1≤x≤2的范围内取值时，函数y 的最小值始终等于−1．此时，若y 的最大值比最
2 2
1
小值大 m，求m的值；
2
1
②如图2，直线l：y=− x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平行
2
线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C 与x轴交于E、F两点（点E在左边）．现将图中的
2
△CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8≤n≤12时，若要使点M始终能够落在线段EF
（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线C 在向抛物线C 平移时，沿x轴的方向上需要向左还是
1 2
向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？
【答案】(1)抛物线C 的解析式为y =x2−6x+3，抛物线C 的顶点坐标为(3,−6)
1 1 1
9−√15
(2)①m的值为2或 ；②抛物线C 在向抛物线C 平移时，沿x轴的方向上需要向右平移，最少平移2
4 1 2
个单位，最多平移7个单位
【分析】（1）根据对称轴为直线x=3，可得b=−6，再把把(6,3)代入，即可求解；
（2）①根据配方可得当x=m时，函数有最小值−1，再由自变量x在1≤x≤2的范围内取值时，函数y 的
2
最小值始终等于−1，可得1≤m≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A，C的坐标，可得点B
5
的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM=AM，在Rt△COM中，根据勾股定理可得CM= n，从而得
4
到点M的坐标，继而得到n的取值范围，然后根据点M始终能够落在线段EF（包括两端点）上，可得m
取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵y =x2+bx+c的对称轴为直线x=3，
1
b
∴− =3，
2
解得：b=−6，
把(6,3)代入y =x2−6x+c，得3=62−6×6+c，
1
解得：c=3，
∴抛物线C 的解析式为y =x2−6x+3，
1 1
当x=3时，y =32−6×3+3=−6，
1
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴抛物线C 的顶点坐标为(3,−6)；
1
（2）解：①∵y =x2−2mx+m2−1=(x−m) 2−1，
2
∴抛物线C 的对称轴为直线x=m，
2
当x=m时，函数有最小值−1，
∵在1≤x≤2的范围内取值时，函数y 的最小值始终等于−1，
2
∴1≤m≤2，
3
当1≤m≤ 时，x=2时y 有最大值为m2−4m+3，
2 2
1
∴m2−4m+3+1= m，
2
9±√15
解得m= ，
4
9−√15
∴m= ；
4
3
当 ≤m≤2时，x=1时y 有最大值为m2−2m，
2 2
1
∴m2−2m+1= m，
2
1
解得m=2或m= (舍)，
2
9−√15
综上所述：m的值为2或 ；
4
1
②直线l：y=− x+n与x轴的交点A(2n,0)，与y轴的交点C(0,n)，
2
∴B(2n,n)，
∵△CBA沿直线l折叠，
∴∠BCA=∠ACM，
∵∠BCA=∠CAM，
∴∠ACM=∠MAC，
∴CM=AM，
在Rt△COM中，CM2=CO2+OM2，即CM2=n2+(2n−CM) 2，
5
解得CM= n，
4
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
∴OM= n，
4
(3 )
∴M n,0 ，
4
∵8≤n≤12，
3
∴6≤ n≤9，
4
当x2−2mx+m2−1=0时，解得：x=m+1或x=m−1，
∴E(m−1,0)，F(m+1,0)，
∵点M始终能够落在线段EF上，
∴m+1≥6，m−1≤9，
∴5≤m≤10，
∵y =x2−6x+3=(x−3) 2−6，y =(x−m) 2−1，
1 2
当m=5时，抛物线C 沿x轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，
1
当m=10时，抛物线C 沿x轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，
1
∴抛物线C 在向抛物线C 平移时，沿x轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．
1 2
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对
称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的图象与
y轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y
轴上，顶点B的坐标为(1,5)．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位(01，
17+5√201
∴m= ，
128
( 17+5√201)
∴M 1， ；
128
当点M在BC的下方时，如图3，
，
17−5√201
同理可得：m= ，
128
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 17−5√201)
∴M 1， ；
128
( 17+5√201) ( 17−5√201)
综上所述，M点坐标为 1， 或 1， ．
128 128
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变换
的性质，解直角 ，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解
此题的关键．
9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则
称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(−1,−1)是函数y=2x+1的图象的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+2，y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
3
(2)设函数y= (x>0)，y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
x
当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W ，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W ，当W ，W 两部分组
1 2 1 2
成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)函数y=x2−x的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；
(2)−2√3或4√3；
9
(3)当W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<− 或−10)中，令x= ，
x x
解得：x=√3，
∴A(√3,√3)，
在函数y=−x+b中，令x=−x+b，
b
解得：x= ，
2
(b b)
∴B , ，
2 2
∵BC⊥x轴，
(1 )
∴C b,0 ，
2
1
∴BC= |b|，
2
∵△ABC的面积为3，
1 1 | 1 |
∴ × |b|× √3− b =3，
2 2 2
当b<0时，b2−2√3b−24=0，
解得:b=−2√3，
当0≤b<2√3时，b2−2√3b+24=0，
∵Δ＝(−2√3) 2 −4×1×24=−84＜0，
∴方程b2−2√3b+24=0没有实数根，
当b≥2√3时，b2−2√3b−24=0，
解得：b=−2√3或b=4√3，
综上所述，b的值为−2√3或4√3；
（3）令x=x2−2，
解得：x =−1，x =2，
1 2
∴函数y=x2−2的图象上有两个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，
①当m<−1时，W ，W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(−1,−1)或(2,2)，
1 2
W ：y=x2−2(x≥m)，
1
W ：y=(x−2m) 2−2(x2时，W ，W 两部分组成的图象上没有“等值点”，
1 2
9
综上所述，当W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m<− 或−1 时，若最高点与最低点的纵坐标的差为 ，直接写出m的值．
2 4
【答案】(1)y=x2−6x+5；点P的坐标为(3,−4)
7 2+√15 7 2+√31
(2)①y=−(x−3) 2+4；②y的取值范围为 ≤ y≤4；③m的值为 或 或
4 2 2 2
【分析】（1）两点式求出函数解析式，进而求出点P的坐标；
3
（2）①顶点式，写出函数解析式即可；②求出最大值和最小值，即可得出y的取值范围；③分 5五种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)，B(5,0)，
∴y=(x−1)(x−5)=x2−6x+5，
∵y=x2−6x+5=(x−3) 2−4，
∴点P的坐标为(3,−4)．
（2）①折叠后顶点变为：(3,4)，
∴点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为y=−(x−3) 2+4；
故答案为：y=−(x−3) 2+4．
3
②∵ ≤x≤4，顶点在AB之间的图象上，
2
抛物线开口向下，对称轴为直线x=3，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
3 7
∴当x=3时，y =4；当x= 时，y = ，
最大值 2 最小值 4
7
∴y的取值范围为 ≤ y≤4．
4
3
③∵m> ，
2
7
∴m+2> >3，
2
3
当m+2≤2×3−m，即：m≤2时，此时： 3时，m+2>5，当−(m−3) 2+4=(m+2) 2−6(m+2)+5时，
解得：m =2+√3,m =2−√3，
1 1
∴当35时，如图：
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
15
则：(m+2) 2−6(m+2)+5−m2+6m−5= ，
4
47
解得：m= （舍去）；
16
2+√15 7 2+√31
综上：m的值为 或 或 ．
2 2 2
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用
数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
16．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，
B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．
当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点
【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DF
H，过点F作FG⊥CH于点G，若 =2√5．求点F的坐标．
HG
1
【答案】(1)y= x2+x−4
2
3
(2)1或
2
(3)(4,8)
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵C(0,−4)，
∴c=−4，
y=ax2+bx−4，
把A(−4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c，得：¿，
解得：¿，
1
∴抛物线的解析式为y= x2+x−4
2
（2）∵直线表达式y=kx+6，
∴直线经过定点(0,6)，
∴将过点(0,6)的直线旋转观察和新图象的公共点情况
1
∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y= x2+x−4，
2
1 1
∴新图象表达式为：−40)交y轴
于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
(1)求点C，D的坐标；
1
(2)当a= 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线
3
上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；
(1 )
(3)坐标平面内有两点E ,a+1 ,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．
a
①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
5
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 时，求a的值．
2
【答案】(1)C(0，2)，D(5，2)
(3 15)
(2)P ，
2 4
(3)①(1，6)，(4，6)，(5，2)；②a=0.5
【分析】（1）先求出C(0，2)，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据
此求出点D的坐标即可；
（2）先求出A(−1，0)，如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N(m，n)，由轴对称的性质可
得AN=AM，DN=DM，利用勾股定理建立方程组¿，解得m=3或m=4（舍去），则N(3，3)，求出
1 9 (3 15)
直线DP的解析式为y=− x+ ，然后联立¿，解得¿或¿，则P ， ；
2 2 2 4
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方
程求解即可．
【详解】（1）解：在y=−ax2+5ax+2(a>0)中，当x=0时，y=2，
∴C(0，2)，
∵抛物线解析式为y=−ax2+5ax+2(a>0)，
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5a 5
∴抛物线对称轴为直线x=− = ，
−2a 2
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴D(5，2)；
1 1 5
（2）解：当a= 时，抛物线解析式为y=− x2+ x+2，
3 3 3
1 5
当y=0，即− x2+ x+2=0，解得x=−1或x=6，
3 3
∴A(−1，0)；
如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N(m，n)，
由轴对称的性质可得AN=AM，DN=DM，
∴¿，
解得：3m+n=12，即n=12−3m
∴m2+2m+1+144−72m+9m2=25，
∴m2−7m+12=0，
解得m=3或m=4（舍去），
∴n=12−3m=3，
∴N(3，3)，
设直线DP的解析式为y=kx+b ，
1
∴¿，
∴¿，
1 9
∴直线DP的解析式为y=− x+ ，
2 2
联立¿，解得¿或¿
(3 15)
∴P ， ；
2 4
（3）解：①当a=1时，抛物线解析式为y=−x2+5x+2，E(1，2)，F(5，2)，
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴EH=EF=FG=4，
∴H(1，6)，G(5，6)，
当x=1时，y=−12+5×1+2=6，
∴抛物线y=−x2+5x+2恰好经过H(1，6)；
5
∵抛物线对称轴为直线x= ，
2
由对称性可知抛物线经过(4，6)，
∴点(4，6)时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点F(5，2)；
综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为(1，6)，(4，6)，(5，2)；
②如图3-1所示，当抛物线与GH、GF分别交于T、D，
5
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
2
∴点T的纵坐标为2+2.5=4.5，
1
∴5− +a+1=4.5，
a
∴a2+1.5a−1=0，
解得a=−2（舍去）或a=0.5；
如图3-2所示，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，
5
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
2
【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
∴5− =2.5，
a
解得a=0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图3-3所示，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，
5
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
2
(1) 2 1
∴−a⋅ +5a⋅ +2=a+1+2.5，
a a
1
∴7− =a+3.5，
a
∴a2−3.5a+1=0，
7+√33 7−√33
解得a= 或a= （舍去）；
4 4
5
当x= 时，y=−ax2+5ax+2=6.25a+2，
2
7+√33 1
当 a= 时，6.25a+2>7− ，
4 a
7+√33
∴a= 不符合题意；
4
综上所述，a=0.5．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和
数形结合的思想求解是解题的关键．
【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
18．（2023·河南新乡·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2ax+a−1经过原点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，W与W'组成一个新的函
数图像，记作G．
①点M，N为图像G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，
点Q为图像G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y 的取值范围；
Q
②若点(m,y )，(m+1,y )在图像G上，且y ．
Q Q 2 2
【分析】（1）先根据抛物线经过原点，可求得a，进而求得抛物线解析式；然后再化成顶点式即可确定顶
点坐标；
（2）①先画出函数图像，再根据点M的位置解答即可；②分点在抛物线当点在抛物线W和W'两种情况分
别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2−2ax+a−1经过原点
∴0=a−1，即 a=1.
∴抛物线的解析式为y=x2−2x.
∵y=x2−2x=(x−1) 2−1．
∴抛物线的顶点坐标为(1,−1)．
（2）解：①根据题意，画出图像G，如图所示：
∵点M，N为图像G上两点，且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，
∴点M的坐标为(−2,0)或(2,0)，点N的坐标为(3,3)或(−3,−3).
【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
又∵点M在点N的左侧，
∴点M的坐标为(−2,0)或(2,0)，点N的坐标为(3,3).
∴当点M的坐标为(−2,0)，点N的坐标为(3,3)时，点Q的纵坐标y 的取值范围为−1≤ y ≤3.
Q Q
当点M的坐标为(2,0)，点N的坐标为(3,3)时，点Q的纵坐标y 的取值范围为0≤ y ≤3．
Q Q
②当两点均在y轴右侧时，即点在抛物线y=x2−2x上
∵点(m,y )，(m+1,y )在图像G上，且y m2−2m，解得：m>
2
当两点均在y轴左侧时，
∵将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'
∴抛物线W'的解析式为y=−x2−2x
∵点(m,y )，(m+1,y )在图像G上，且y −m2−2m，解得：m<− ．
2
3 1
综上，出m的取值范围m<− 或m> ．
2 2
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、求抛物线的顶点坐标、二次函数的增减性等知识点，灵活运
用所学知识成为解答本题的关键．
19．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象与x轴交于
A，B两点（点A在点B的左侧）．
(1)求A、B两点的坐标（用含m的式子表示）；
(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当
−3≤x≤−1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围；
(3)已知直线l：y=1，点C在二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象上，点C的横坐标为2m，二次函数
【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
y=−x2+2mx−m2+9的图象在C、B之间的部分记为M（包括点C，B），图象M上恰有一个点到直线l
的距离为2，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)A(m−3,0)，B(m+3,0)
(2)m≥2或−4≤m≤−3
(3)−√6√10
【分析】（1）当y=0时，−x2+2mx−m2+9=0，解方程即可求解；
（2）画出函数图象，当−4≤m≤−3时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；当m≥2时，新函数G的
函数值y随x的增大而减小；
（3）由题可知，到直线y=1的距离为2的点在直线y=−1和y=3上，分别求出C(2m，9−m2)，
B(m+3，0)，画出函数图象，分①当C点在B点左侧，同时C点在直线y=3上方时；②当C点在B点右
侧，且在y=−1的下方时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）
当y=0时，−x2+2mx−m2+9=0
即(x−m) 2=9
解得：x =m+3,x =m−3
1 2
∴A(m−3,0)，B(m+3,0)
（2）解：当x=−1时，−1−2m−m2+9=0，
解得m=2或m=−4，
∵y=−x2+2mx−m2+9=−(x−m) 2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=m，
如图1，当−4≤m≤−3时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图2，当m≥2时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
综上所述：m≥2或−4≤m≤−3时，新函数G的函数值y随x的增大而减小；
（3）解：由题可知，到直线y=1的距离为2的点在直线y=−1和y=3上，
当x=2m时，y=9−m2，
∴C(2m，9−m2)，
如图当C点在B点左侧，同时C点在直线y=3上方时，都符合题意，如图所示，
【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当C(2m，9−m2)在y=3上时，
∴9−m2=3
解得：m=√6或m=−√6
∴−√61；
25
(3)b=0或
12
【分析】（1）根据函数y =−a(x+1) 2+3(x≤0)的图象过原点，即可求出a的值，求出函数y 的解析式，
1 1
求出抛物线y 对称轴，顶点坐标；令−3(x+1) 2+3=0，解出x，把点(2,0)代入y =a(x−1) 2+3，即可求
1 2
出y 的解析式，即可；
2
（2）根据函数图象的增减性，即可；
（3）结合图象，b=0时，直线与函数L有三个公共点，当直线与抛物线y =−3(x−1) 2+3相切时，直线
2
与函数L有三个公共点，结合图象，确定有3个公共点的条件，即可．
【详解】（1）∵函数y =−a(x+1) 2+3(x≤0)的图象过原点，
1
∴0=−a(0+1) 2+3，
∴a=3；
∴y =−3(x+1) 2+3对称轴x=−1，抛物线的顶点为：(−1,3)，
1
∴令0=−3(x+1) 2+3，
【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
整理得：(x+1) 2=1，
解得：x =0，x =−2；
1 2
∴抛物线y =−3(x+1) 2+3(x≤0)与x轴的交点为：(0,0)，(−2,0)，
1
∵函数y =−3(x+1) 2+3沿y轴翻折，得到函数y 的图象，
1 2
∴函数y 的图象与x轴的交点为：(0,0)，(2,0)，顶点坐标为：(1,3)，
2
∴y =a(x−1) 2+3，
2
把(2,0)代入函数y 中，得0=a(2−1) 2+3，
2
∴a=−3，
∴y =−3(x−1) 2+3(x≥0)，
2
∴抛物线y 的解析式为：y =−3(x−1) 2+3(x≥0)．
2 2
（2）由函数图象可知，y 的对称轴为：直线x=−1；y 的对称轴为：直线x=1，
1 2
在y =−3(x+1) 2+3(x≤0)中，当−11时（即F的右侧），y随x的增大而减小，
2
∴函数L，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围为：−11．
（3）当b=0时，y=x与函数L有三个交点，
∵y=x+b与y=x平行，
∴当直线y=x+b与抛物线y =−3(x−1) 2+3(x≥0)相切时，直线y=x+b与函数L也有3个交点，
2
【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴−3(x−1) 2+3=x+b，
∴Δ=(−5) 2−4×3×b=0，
25
解得：b= ；
12
25
∴直线y=x+b与函数L的图象有3个公共点时，b的值为：b=0或b= ．
12
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，函数的平移，二次函数和
一次函数的交点问题．
21．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于
A(1，0)、B(3，0)两点，交y轴于C(0，3)，将该抛物线位于直线y=m（m为常数，m≥0）下方的部
分沿直线y=m翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像W”．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若m=0时，直线y=x+n与图像W有三个交点，求n的值；
(3)若直线y=x与图像W有四个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
3
(2)n的值为−1或− ；
4
3 5−√13
(3) 0，
3
解得m> ，
8
当x= y时，有x=x2−4x+3，
5±√13
解得x= ，
2
5−√13
故m< ，
2
3 5−√13
即 0)，建立方程，解方程即可求出m的值，即可得到答案；
2
（3）设A
(
−m,−
1 m2)
(m>0)，B
(
n,−
1 n2)
(n>0)，设y=kx+b，将A、B代入一次函数建立方程组，
2 2
1
根据①×n+②×m建立等式，化简等式即可得到b=− mn，再结合相似三角形的性质，可推算出
2
1
b=− ×4=−2，从而得到不论k为何值，直线AB恒过点(0,−2)的结论．
2
【详解】（1）解：设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2√2，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B(2,−2)
∵将B(2,−2)代入抛物线y=ax2(a<0)得−2=4a，
1
解得a=− ．
2
（2）解：过点A作AE⊥x轴于点E，
【75淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点B的横坐标为1，
( 1)
∴B 1,− ，
2
1
∴BF= ．
2
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴ΔAEO∽ΔOFB，
AE OF 1
= = =2
∴OE BF 1
2
∴AE=2OE
设点A ( −m,− 1 m2) (m>0)，则OE=m，AE= 1 m2 ，
2 2
1
∴
m2=2m
2
1
∴m=4，− m2=−8，即点A的坐标为(−4,−8)
2
（3）解：设A
(
−m,−
1 m2)
(m>0)，B
(
n,−
1 n2)
(n>0)，
2 2
设y=kx+b，则¿
1 1
①×n+②×m得，(m+n)b=− (m2n+mn2)=− mn(m+n)，
2 2
1
∴b=− mn
2
由图可得ΔAEO∽ΔOFB，
【76淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AE OE
∴ = ，
OF BF
0.5m2 m
∴ = ，
n 0.5n2
∴mn=4，
1
∴b=− ×4=−2；
2
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点(0,−2)．
【点睛】本题考查二次函数的性质、旋转的性质和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运行相似三角形
的相似比建立等式．
题型 05 二次函数折叠问题
3
26．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x−9与x轴、y轴分别
4
1
交于B，C两点，抛物线y= x2+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A．
4
(1)求B，C两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；
(2)如图1，点D在线段OB上运动，连接CD，沿直线CD折叠△BCD得到△B'CD，当B'D⊥x轴时，求
∠BDC的度数及点D的坐标；
(3)如图2，连接AC，作∠COE=∠ACO，OE交△ABC的边于点E，请直接写出CE的长．
1 9
【答案】(1)B(12,0)，C(0,−9)，抛物线的解析式为y= x2− x−9，A(−3,0)
4 4
(2)∠BDC的度数为135°，D(9,0)
3√10
(3)CE的长为 或3
2
【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用翻折的性质可得：BD=B'D，S =S ；设D(m,0)，利用点的坐标表示出线段BD，
△BCD △B'CD
B'D，OC，OD的长度，再利用三角形的面积公式列出关于m的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点E在AC边上时，利用直角三角形的性质和直
角三角形的斜边上的中线，勾股定理解答即可；②当点E在BC边上时，利用平行线的判定与性质，相似三
角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论．
【详解】（1）解：令x=0，则y=−9，
∴C(0,−9)，
3
令y=0，则 x−9=0，
4
∴x=12，
∴B(12,0)，
1
∵抛物线y= x2+bx+c经过B，C两点，
4
∴ ¿，
解得：¿，
1 9
∴抛物线的解析式为y= x2− x−9．
4 4
1 9
令x=0，则 x2− x−9=0，
4 4
∴x=−3或x=12，
∴A(−3,0)；
（2）解：∵沿直线CD折叠△BCD得到△B'CD，
∴△BCD≌△B'CD，
∴BD=B'D，S =S ．
△BCD △B'CD
设D(m,0)，m>0，
∴OD=m，
∵C(0,−9)，B(12,0)，
∴OC=9，OB=12．
∴BD=BD'=12−m．
【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
∵ S = BD⋅OC，S = B'D⋅OD，
△BCD 2 △B'CD 2
1 1
∴ (12−m)×9= (12−m)⋅m．
2 2
解得：m=9或m=12（不合题意，舍去），
∴m=9，
∴D(9,0)．
∴OD=9，
∴OD=OC=9，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠BDC的度数=180°−∠ODC=135°；
（3）解：①当点E在AC边上时，如图，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠CAO=90°，∠EOA+∠COE=90°，
∵∠COE=∠ACO，
∴∠CAO=∠EOA，
∴EA=EO，
∵∠COE=∠ACO，
∴EO=EC，
1
∴AE=CE= AC．
2
∵A(−3,0)，C(0,−9)，
∴OA=3，OC=9，
∴AC=√OA2+OC2=3√10，
1 3√10
∴CE= AC= ；
2 2
【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②当点E在BC边上时，如图，
∵∠COE=∠ACO，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
BO BE
∴ = ．
BA BC
∵OA=3，OB=12，
∴AB=OA+OB=15．
∵BC=√OB2+OC2=√122+92=15，
12 BE
∴ = ，
15 15
∴BE=12，
∴CE=BC−BE=3．
3√10
综上，当∠COE=∠ACO，OE交ΔABC的边于点E，CE的长为 或3．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图
象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，折叠的性质，垂直的性质，平行线的判定与性质，利用点的
坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
27．（2023·安徽芜湖·校考一模）已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与
y轴交于点C，连接BC，点O与点D关于线段BC对称．
【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，P为AD上方的抛物线上的一个动点，连接PB交AD于点E．当△ABD的面积被直线BP分成
1:3的两部分时，求点P的坐标．
(21 )
(3)如图2，若直线AD沿过点D的直线m折叠后恰好经过点M ,0 ，请直接写出直线m与抛物线的交
4
点Q的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
( 3 15) (5 63)
(2)P − , 或P ,
4 16 4 16
(√109−5 7√109−71) (−√109−5 −7√109−71)
(3)y=7x−18，Q , 或Q ,
2 2 2 2
【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；
1
（2）根据△ABD的面积被直线BP分成1:3的两部分，得到AE= DE或AE=3DE，求出E点坐标，进
3
而得到直线BE的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出P点坐标即可；
（3）求出直线DM的解析式，进而求出点A的对应点A'的坐标，进而求出A,A'的中点坐标，该点在直线
m上，进而求出直线m的解析式，联立直线m和抛物线的解析式，求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，
∴¿，解得：¿，
∴y=−x2+2x+3；
（2）∵y=−x2+2x+3，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
∵B(3,0)，
【81淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OB=3=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵点O与点D关于线段BC对称，
∴BC是OD的垂直平分线，
设OD交BC于点F，
则OF⊥BC，
∴F为BC的中点，
(3 3)
∴F , ，
2 2
又F为OD的中点，
∴D(3,3)，
△ABD的面积被直线BP分成1:3的两部分时，有两种情况：
1
①S = S ，
△ABE 3 △DBE
∵S :S =AE:DE，
△ABE △DBE
∴AE:DE=1:3，
∴AE:AD=1:4，
∴点E为点A,D的中点与点A的中点，
( 3)
∵A,D的中点坐标为： 1, ，
2
( 3)
∴E 0, ，
4
设BE的解析式为：y=kx+b，
∴¿，解得：¿，
1 3
∴y=− x+ ，
4 4
【82淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
联立¿，解得：¿或¿，
( 3 15)
∴P − , ，
4 16
②当S =3S 时，
△ABE △DBE
同法可得：点E为点A,D的中点与点D的中点，
( 9)
∴E 2, ，
4
设直线BE的解析式为：y=mx+n，
∴¿，解得：¿，
9 27
∴y=− x+ ，
4 4
联立¿，解得：¿或¿，
(5 63)
∴P , ；
4 16
( 3 15) (5 63)
综上：P − , 或P , ．
4 16 4 16
（3）设直线DM的解析式为：y=k x+b ，
1 1
则：¿，解得：¿，
4
∴y=− x+7，
3
设点A关于直线m的对称点为A'，
则：A'在直线DM上，DA=DA'，
设A'(
t,−
4
t+7
)
，
3
∵DA=DA'，D(3,3),A(−1,0)，
∴(3+1) 2+32=(t−3) 2+ ( − 4 t+7−3 ) 2 ，
3
解得：t=6或t=0（舍掉），
∴A'(6,−1)，
∵点A关于直线m的对称点为A'，
(5 1)
∴A,A'的中点 ,− 在直线m上，
2 2
设直线m的解析式为：y=k x+b ，
2 2
【83淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(5 1)
∵D(3,3)，点 ,− 在直线m上，
2 2
∴¿，解得：¿，
∴直线m的解析式为：y=7x−18，
联立¿，解得：¿或¿，
(√109−5 7√109−71) (−√109−5 −7√109−71)
∴Q , 或Q , ．
2 2 2 2
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键．
1
28．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y= x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点
2
为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位
置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
DB
(2)①求证：△OCD∽△A'BD；② 的最小值；
BA
(3)当S =8S 时，求直线A'B的解析式．
△OCD △A'BD
1
【答案】(1)y= x2−2x
2
√2
(2)①证明见解析；②
2
4
(3)y=− x+4
3
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可得出二次函数的表达式；
【84淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OC CD BD CD
（2）①根据两角相等的两个三角形相似即可证明；②由△OCD∽△A'BD得出 = ，则 = ，
A'B BD AB OC
BD
所以CD最小， 的值最小，求出此时CD=2，即可得出答案；
AB
（3）先求出点A'和B的坐标，再利用待定系数法求解即可．
1
【详解】（1）∵二次函数y= x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，
2
∴¿，
解得：¿，
1
∴二次函数的表达式y= x2−2x．
2
（2）①由翻折得：∠OAC=∠A'，
1
∵二次函数y= x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，
2
∴点O、A关于对称轴对称．
∴OC=AC．
∴∠COA=∠CAO=∠A'．
∵∠CDO=∠A'DB，
∴△OCD∽△A'BD．
②∵△OCD∽△A'BD，
OC CD
=
∴ ．
A'B BD
∵AB=A'B，
BD CD
∴ = ．
AB OC
BD CD
∴ 的最小值就是 的最小值．
AB OC
1 1
∵y= x2−2x= (x−2) 2−2，
2 2
∴C(2,−2)．
∴OC=2√2．
BD
∴当CD⊥OA时，CD最小， 的值最小．
AB
此时D(2,0)，CD=2，
【85淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BD 2 √2
∴ 的最小值是 = ．
AB 2√2 2
（3）连接A A'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交A A'于点H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，
如图所示：
∵△OCD∽△A'BD，S =8S ，
△OCD △A'BD
∴
S △OCD = ( OC ) 2 =8．
S A'B
△A'BD
∵OC=2√2，
∴AB=A'B=1．
∴OB=OA−AB=4−1=3，BF=2−1=1．
∴B(3,0)．
由翻折知，CH⊥A A'，
∵∠CFB=∠AHB=90°，∠FBC=∠HBA，
∴∠BCF=∠BAH．
BF 1
∵tan∠BCF= = ，
CF 2
A'G 1
∴tan∠BAH= = ．
AG 2
设A'G=a，则AG=2a，BG=2a−1，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2=A'B2，
∴(2a−1) 2+a2=12．
4
解得：a =0（舍去），a = ，
1 2 5
【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4 8
∴A'G= ，AG= ．
5 5
12
∴OG=OA−AG= ．
5
∴A'(12
,
4)
．
5 5
设直线A'B的解析式为y=kx+b
，把A'(12
,
4)
和B(3,0)代入得：
1 5 5
¿，
解得：¿，
4
∴直线A'B的解析式为y=− x+4．
3
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，抛物线的对称性，相似三角形的性质和判
定，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．
29．（2023·浙江湖州·统考一模）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3．点E是BC边上的一
个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q．
初步探究
(1)求证：△AQG是等腰三角形；
(2)设FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
深入探究
(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点О重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正
半轴重合．点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH．
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A、D两点．若将直线AH右侧的抛物线沿AH
对折，交y轴于点M，请求出AM的长度．
【答案】(1)见详解
【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)m=1
(3)①P(3√2,6−3√2)；②AM=4√2
【分析】（1）由题意易得AB∥CD，然后根据折叠的性质及平行线的性质可进行求证；
EL FL EF 1
（2）过点F作FK∥CD，交AD,BC于点K、L，由题意易证△AKF∽△FLE，则有 = = = ，
KF AK FA 3
设DK=CL=x，则有AK=3+x,EL=1+x，然后利用勾股定理可建立方程求解；
（3）①过点P作PJ∥CD，交x轴于点J，交AD于点T，由题意易得AD=DN=3，则有
∠OAP=∠DAN=45°，然后根据矩形的性质及等腰直角三角形的性质可求解；②设AP与抛物线
y=−x2+bx+c的交点为M'，连接M M'，根据折叠性质可知点M与点M'关于AH对称，由①及折叠的性
质可知∠OAH=∠M' AH=22.5°，则有∠MAM'=45°，把点A、D的坐标代入求得二次函数解析式，
过点M'作M'R⊥y轴于点R，则M'R=AR，设点M'(a,−a2+3a+6)，然后根据折叠的性质及等腰直角
三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
由折叠的性质可知∠BAG=∠QAG，
∴∠G=∠QAG，
∴AQ=GQ，
∴△AQG是等腰三角形；
（2）解：过点F作FK∥CD，交AD,BC于点K、L，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=∠B=90°，AD=BC=3，
∵BE=2CE，
∴BE=2,CE=1，
∵FK∥CD，
【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠K=∠L=∠KDC=∠DCL=90°，
∴四边形DKLC是矩形，
∴DK=CL，
由折叠的性质可知∠B=∠AFE=90°,AB=AF=6，BE=EF=2，
∵∠AFK+∠FAK=∠AFK+∠EFL=90°，
∴∠FAK=∠EFL，
∴△AKF∽△FLE，
EL FL EF 1
∴ = = = ，
KF AK FA 3
设DK=CL=x，则有AK=3+x,EL=1+x，
1 1
∴FL= AK=1+ x，
3 3
在Rt△EFL中，由勾股定理得 ( 1+ x) 2 +(1+x) 2=4，
3
3
解得：x= （负根舍去），
5
18
∴AK= ，
5
AK 3
∴cos∠FAK= = ，
AF 5
AD
∴AQ= =5，
cos∠FAK
∴m=FQ=AF−AQ=1；
（3）解：①过点P作PJ∥CD，交x轴于点J，交AD于点T，如图所示：
在矩形ABCD中，AO=CD=6,AD=OC=3，∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°，
∴同理（2）可得△ATP∽△PJH，四边形ATJO是矩形，
∴AT=OJ,AO=TJ=6，
【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵AP经过CD的中点N时，
∴AD=DN=3，
∴∠DAN=45°，
∴∠OAP=45°，△ATP是等腰直角三角形，
∴△PJH也为等腰直角三角形，
∴AT=PT,PJ=HJ，
1
由折叠的性质可得AO=AP=6,∠OAH=∠PAH= ∠OAP=22.5°，
2
√2
∴AT=PT= AP=3√2,PJ=HJ=6−3√2，
2
∴AT=OJ=3√2，
∴P(3√2,6−3√2)；
②设AP与抛物线y=−x2+bx+c的交点为M'，连接M M'，根据折叠性质可知点M与点M'关于AH对称，
如图所示：
∴AM=AM'，
由AO=6,AD=3可得点A(0,6),D(3,6)，代入二次函数y=−x2+bx+c得：
¿，
解得：¿，
∴y=−x2+3x+6，
由①可知∠MAM'=45°，过点M'作M'R⊥y轴于点R，
∴△ARM'是等腰直角三角形，
∴AR=M'R，
设点M'(a,−a2+3a+6)，则AR=M'R=a,∨=−a2+3a+6，
∴AR=AO−∨=a2−3a，
【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴a2−3a=a，
解得：a =4,a =0（不符合题意，舍去），
1 2
∴AR=M'R=4，
∴AM'=√2AR=4√2=AM．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似
三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形
的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
30．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线
x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为
t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足
1
条件的t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+4x；(2,4)
(2)1秒
(3)能，(5− √5 )秒或2 √5秒或(5+ √5 )秒
【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线x=2，待定系数求解析式即可求解；
（2）设B(x，−x2+4x)．三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形，勾股定理得出
5 15 3
OA2+AB2=OB2，B( , )．继而得出直线OB的解析式为y= _ x，当x=2时，y=3，得出
2 4
2
AP=4−3=1，进而即可求解；
【91淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）分三种情况讨论，①点A 在x轴正半轴上；②点A 在y轴负半轴上，③点A 在x轴负半轴上，分别画
1 1 1
出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x；
∵y=−x2+4x=−(x−2) 2+4，
∴顶点A的坐标为(2,4)；
（2）如图1，
设B(x，−x2+4x)．
∵三点A，O，B构成以OB为斜边的直角三角形，
∴ OA2+AB2=OB2，
即22+42+(x−2) 2+(−x2+4x−4) 2=x2+(−x2+4x) 2，
整理，得2x2−9x+10=0，
5
解得x = ，x =2(舍去)，
1 2 2
5 15
∴B( , )．
2 4
5 15
设直线OB的解析式为y=kx，则 k= ，
2 4
3
解得k= _，
2
3
∴y= _ x．
2
【92淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当x=2时，y=3，
∴AP=4−3=1，
∴t=1÷1=1(秒)；
（3）分三种情况：
①若点A 在x轴正半轴上，如图2，
1
可得PD2+A D2=PA 2
，
1 1
即(4−t) 2+(2 √5 −2) 2=t2，
解得t=5− √5；
②若点A 在y轴负半轴上，如图3，连接A A 交OB于E．
1 1
可得OA =OA=2√5，
1
∴∠OA A=∠OA A ，
1 1
∵OA ∥AP，
1
∴∠OA A=∠A AP，
1 1
∴∠OA A =∠A AP，
1 1
【93淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵A A ⊥OP，
1
∴∠OEA=∠PEA=90°．
在△OAE与△PAE中，
¿，
∴△OAE≌△PAE(ASA)，
∴OA=PA=2 √5，
∴t=2 √5；
③若点A 在x轴负半轴上，如图4.
1
可得PD2+A D2=PA 2
，
1 1
即(t−4) 2+(2√5+2) 2=t2，
解得t=5+ √5；
综上所述，所有满足条件的t的值为(5− √5 )秒或2 √5秒或(5+ √5 )秒．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性
质是解题的关键．
【94淘宝店铺：向阳百分百】
