文档内容
2022 年无锡市初中学业水平考试
数学试题
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满
分为150分．
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相
应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．
2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，请把答案填写
在答题卡指定区域内相应的位置，在其他区域答题一律无效．
3. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚．
4. 卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. - 的倒数是（ ）
A. - B. -5 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案．
【详解】解：- 的倒数是-5．
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数 的定义是解答本题的关键．
2. 函数y＝ 中自变量x的取值范围是( )
A. x＞4 B. x＜4 C. x≥4 D. x≤4
【答案】D
【解析】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以4-x≥0，可求x的范围．
【详解】解：4-x≥0，
解得x≤4，
故选：D．
【点睛】此题考查函数自变量的取值，解题关键在于掌握当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3. 已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A. 114，115 B. 114，114 C. 115，114 D. 115，115
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、平均数的概念求解．
【详解】解：这组数据的平均数为：（1+3+5+5+6）÷5+110=114，
115出现了2次，出现次数最多，则众数为：115，
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据
中出现次数最多的数据叫做众数．
4. 方程 的解是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母 ，化为一元一次方
程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．
【详解】解：方程两边都乘 ，得
解这个方程，得
检验：将 代入原方程，得
左边 ，右边 ，左边=右边．
所以， 是原方程的根．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键．
5. 在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把 ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆
锥的侧面△积为（ ） △
A. 12π B. 15π C. 20π D. 24π
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
以直线AC为轴，把 ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= ×2π×4×5
△
=20π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
6. 雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形
中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A. 扇形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后
两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后
能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题关键．
7. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司误的是（ ）
A. AE⊥DE B. AE//OD C. DE=OD D. ∠BOD=50°
【答案】C
【解析】
的
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线 性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以
及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF3
【解析】
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意
得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，
m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新
抛物线的顶点坐标．
18. ABC是边长为5的等边三角形， DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如
图，△若点D在 ABC内，∠DBC=20°，△则∠BAF＝________°；现将 DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过
程中，线段AF△长度的最小值是________． △
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】 ①. 80 ②. ##
【解析】
【分析】利用SAS证明 BDC≌ AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三
角形的性质可求得∠AFB△=60°，推△出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当
CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和 DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BA△C=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在 BCD和 ACE中， ，
△ △
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵ ACE≌△BCD
∴△AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则
∠FBA最小，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt BCD中，BC=5，CD=3，
△
∴BD= 4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE= ，
∴FE=DF= = ，
∴AF=AE-FE=4- ，
故答案为：80；4- ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本
题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤等．）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）1 （2）2a+3b
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可
求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：原式=
=
=1；
【小问2详解】
解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记
特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
20. （1）解方程 ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1）x=1+ ，x=1- ；（2）不等式组的解集为1＜x≤ ．
1 2
【解析】
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=± ，
解得：x=1+ ，x=1- ；
1 2
（2） ．
由①得：x＞1，
由②得：x≤ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则不等式组的解集为1＜x≤ ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握方程及不等式组的解法
是解本题的关键．
21. 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、
BF．
求证：
（1） DOF≌ BOE；
（2）△DE=BF．△
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明 DOF≌ BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论． △ △
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在 BOE和 DOF中， ，
△ △
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
【小问2详解】
证明：∵ BOE≌△DOF，
∴EO=FO△，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
22. 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为 ， ， ， ，女生分别记为 ，
， ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是 或
的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式计算即可；
（2）格局题意，列出表格，再根据概率计算公式计算即可．
【小问1详解】
解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：列出表格如下：
一共有12种情况，其中至少有1位是 或 的有6种，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴抽得 的2位学生中至少有1位是 或 的概率为 ．
【点睛】本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解答本题的
关键．
23. 育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初
和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数（x） x≤50 50＜x≤60 60＜x≤70 70＜x≤80 x＞80
频数（摸底测
19 27 72 a 17
试）
频数（最终测
3 6 59 b c
试）
育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩的扇形统计图
（1）表格中a＝ ；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？
【答案】（1）65 （2）见解析
（3）50名
【解析】
【分析】（1）用全校初二年级总人数200名减去非70＜x≤80的总人数即可求得a；
（2）用户减去小于等于80个点的百分比，即可求出大于80个占的百分比，据此可补全扇形统计图；
（3）用总人数200名乘以大于80个占的百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：a=200-19-27-72-17=65，
故答案为：65；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【
小问2详解】
解：x>80的人数占的百分比为：1-1.5%-3%-29.5%-41%=25%，
补充扇形统计图为：
【小问3详解】
解：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有：200×25%=50（名），
答：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50名．
【点睛】本题考查频数分布表与扇形统计图，频数与频率，能从统计表与统计图中获取有用的信息是解题
的关键．
24. 如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且 ；
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ， ，则四边形ABCD的面积为 ．（如需
画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】（1）见解析 （2）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作 ，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的
面积即可．
【小问1详解】
解：如图，
∴点D为所求点．
【小问2详解】
解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ， ，
∴ ，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴ ，四边形ABCD是梯形，
∴ ，
∴四边形AECD是矩形，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积为 ，
故答案 ：为．
【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理
求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
25. 如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线
交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证 ；
（2）当 时，求CE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得 ，再由对顶角相等得 ，故可证明
绪论；
（2）根据 可得 由 可得出 连接AE，可证明
，得出 代入相关数据可求出 ，从而可求
出绪论．
【小问1详解】
∵ 所对的圆周角是 ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
【小问2详解】
∵△ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
连接 如图，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵
∴
∴∠
又∠ ，
∴△
∴ ，
∴
∴ ，
∴ （负值舍去）
∴ ，
解得，
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
26. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为
10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为
24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若矩形养殖场的总面积为36 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）x的值为2m；
10 140
（2）当x= 时，S有最大值，最大值为 ．
3 3
【解析】
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36 ，列一元二次方程，解
方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性
质求解即可．
【小问1详解】
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= (24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x=2，x=6(不合题意，舍去)，
1 2
此时x的值为2m；
；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【小问2详解】
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
10
∴当x=4m时，S有取最大值，但3x≤10，x≤ ,
3
10 140
所以当x= 时，S有最大值，最大值为
3 3
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
27. 如图，已知四边形ABCD为矩形 ， ，点E在BC上， ，将△ABC沿AC
翻折到△AFC，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先由 可求得 的长度，再由角度关系可得 ，即可求得 的长;
(2)过F作 于 ，利用勾股定理列方程，即可求出 的长度，同时求出 的长度，得出答
案.
【小问1详解】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【小问2详解】
过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关
键．
28. 已知二次函数 图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，
3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）1 （3） ， ，
【解析】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）二次函数与y轴交于点 ，判断 ，根据 ，即二次函数对称轴为 ，求
出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）证明 ，得到 ，即 ，设 ，点D在
第一象限，根据点的坐标写出长度，利用 求出t的值，即可 ， 的值，进一步
得出tan∠CDA的值；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。
【小问1详解】
解：∵二次函数 与y轴交于点 ，
∴ ，即 ，
∵ ，即二次函数对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设： ，点D在第一象限，
∴ ， ， ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得： （舍）， （舍），
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中，
∴
【小问3详解】
解：存在，
如图，（2）图中 关于对称轴对称时， ，
∵点D的坐标为 ，
∴此时，点C的坐标为 ，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即 ，
当点C在x轴上方时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵ ，点C、D关于对称轴对称，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∴
解得： ， （舍），
此时，点C的坐标为 ，
当点C在x轴下方时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵ ，点C、D关于对称轴对称，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∴
解得： （舍）， ，
此时，点C的坐标为 ，
综上：点C的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
