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2007 年湖南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
参考公式:
如果事件 、 互斥，那么
如果事件 、 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的
概率是
球的体积公式 ,球的表面积公式 ，其中 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．复数 等于（ ）
A． B． C． D．
2．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．设 是两个集合，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设 是非零向量，若函数 的图象是一条直线，则必有（
）
A． B． C． D．
5．设随机变量 服从标准正态分布 ，已知 ，则 =
（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数 在 处连续，则
B．函数 的不连续点是 和
C．若函数 ， 满足 ，则
D．
8．棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱
， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．9．设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在
使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：
对 任 意 的 ， （ ， ） ， 都 有
（ 表示两个数 中的较小者），则 的最大
值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．圆心为 且与直线 相切的圆的方程是 ．
12．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，b= ， ，
，则 ．
13．函数 在区间 上的最小值是 ．
14．设集合 ， ， ，
（1） 的取值范围是 ；
（2）若 ，且 的最大值为9，则 的值是 ．
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下
数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第 次全
行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（I）设 是函数 图象的一条对称轴，求 的值．
（II）求函数 的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗
人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有
60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的
选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记 为3人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望．
18．（本小题满分12分）
如图2， 分别是矩形 的边 的中点， 是 上的一点，将 ，分别沿 翻折成 ， ，并连结 ，使得平面
平面 ， ，且 ．连结 ，如图3．
A D G
G
1
2
E
F
G A
D
B C
F
E
B C
图2 图3
（I）证明：平面 平面 ；
（II）当 ， ， 时，求直线 和平面 所成的角．
19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 和居民区 的公路，点 所在
的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 （ ），且 ，点 到
平面 的距离 （km）．沿山脚原有一段笔直的公路 可供利用．从点 到山
脚修路的造价为 万元/km，原有公路改建费用为 万元/km．当山坡上公路长度为 km（
）时，其造价为 万元．已知 ， ， ，
．
（I）在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点 ，在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造
价最小．
（III）在 上是否存在两个不同的点 ， ，使沿折线 修建公路的总造价小
于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于
两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
21．（本小题满分13分）已知 （ ）是曲线 上的点， ， 是数列 的前 项和，
且满足 ， ， …．
（I）证明：数列 （ ）是常数数列；
（II）确定 的取值集合 ，使 时，数列 是单调递增数列；
（III）证明：当 时，弦 （ ）的斜率随 单调递增．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．
12．
13．
14．（1） （2）
15． ，32
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（I）由题设知 ．
因为 是函数 图象的一条对称轴，所以 ，
即 （ ）．
所以 ．
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ．
（II）
．
当 ，即 （ ）时，函数 是增函数，
故函数 的单调递增区间是 （ ）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 ，“该人参加过计算机
培训”为事件 ，由题设知，事件 与 相互独立，且 ， ．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是 ．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是 ．
所以该人参加过培训的概率是 ．
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以 3人中参加过培训的人数 服从二项分布
， ， ，即 的分布列是
0 1 2 3
0.001 0.027 0. 243 0.729
的期望是 ．
（或 的期望是 ）
18．解：解法一：（Ｉ）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所
以平面 平面 ．
（II）过点 作 于点 ，连结 ．
G
G
由（I）的结论可知， 平面 ，
1
2
H
所以 是 和平面 所成的角．
A
D
因为平面 平面 ，平面 平面
F
， ， B E C
O
平面 ，所以 平面 ，故
．
因为 ， ，所以可在 上取一点 ，使 ，又因为
，所以四边形 是矩形．
由题设 ， ， ，则 ．所以 ， ，
， ．
因为 平面 ， ，所以 平面 ，从而 ．
故 ， ．
又 ，由 得 ．
故 ．即直线 与平面 所成的角是 ．
解法二：（I）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
，
平面 ，所以 平面 ，从而 ．又 ，所以
平面 ．因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（II）由（I）可知， 平面 ．故可以 为原点，分别以直线
为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设 ， ， ，则 ， z
， ， 相 关 各 点 的 坐 标 分 别 是
G G
， 1 2
， ， ． A
D
y
所以 ， ． F
E
B C
设 是平面 的一个法向量， O
x
由 得 故可取 ．
过点 作 平面 于点 ，因为 ，所以 ，于是点 在
轴上．
因为 ，所以 ， ．
设 （ ），由 ，解得 ，
所以 ．
设 和平面 所成的角是 ，则
．
故直线 与平面 所成的角是 ．
19．解：（I）如图， ， ， ，
由三垂线定理逆定理知， ，所以 是
山 坡 与 所 成 二 面 角 的 平 面 角 ， 则
， A
O
P
．
ED H
设 ， ．则
B
．
记总造价为 万元，
据题设有当 ，即 时，总造价 最小．
（II）设 ， ，总造价为 万元，根据题设有
．
则 ，由 ，得 ．
当 时， ， 在 内是减函数；
当 时， ， 在 内是增函数．
故当 ，即 （km）时总造价 最小，且最小总造价为 万元．
（III）解法一：不存在这样的点 ， ．
事实上，在 上任取不同的两点 ， ．为使总造价最小， 显然不能位于 与
之间．故可设 位于 与 之间，且 = ， ， ，
总造价为 万元，则 ．类似于（I）、（II）讨论知，
， ，当且仅当 ， 同时成立时，上述两个不等
式等号同时成立，此时 ， ， 取得最小值 ，点 分
别与点 重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线 修建公路的总造价
小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当 且 ，即 同时成立时， 取得
最小值 ，以上同解法一．
20．解：由条件知 ， ，设 ， ．
解法一：（I）设 ，则 则 ， ，，由 得
即
于是 的中点坐标为 ．
当 不与 轴垂直时， ，即 ．
又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得
，即 ．
将 代入上式，化简得 ．
当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程．
所以点 的轨迹方程是 ．
（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数．
当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ．
代入 有 ．
则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，
于是
．
因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = ．
当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，
此时 ．
故在 轴上存在定点 ，使 为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有
当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ．
代入 有 ．
则 是上述方程的两个实根，所以 ．
．
由①②③得 ．…………………………………………………④．……………………………………………………………………⑤
当 时， ，由④⑤得， ，将其代入⑤有
．整理得 ．
当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程．
当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程．
故点 的轨迹方程是 ．
（II）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，
当 不与 轴垂直时，由（I）有 ， ．
以上同解法一的（II）．
21．解：（I）当 时，由已知得 ．
因为 ，所以 ． ………………… ①
于是 ． ……………………②
由②－①得 ． ……………………③
于是 ． ……………………④
由④－③得 ， ……………………⑤
所以 ，即数列 是常数数列．
（II）由①有 ，所以 ．由③有 ， ，所以
， ．
而 ⑤表明：数列 和 分别是以 ， 为首项，6为公差的等差数列，
所以 ， ， ，
数列 是单调递增数列 且 对任意的 成立．
且
．
即所求 的取值集合是 ．
（III）解法一：弦 的斜率为
任取 ，设函数 ，则
记 ，则 ，
当 时， ， 在 上为增函数，
当 时， ， 在 上为减函数，所以 时， ，从而 ，所以 在 和
上都是增函数．
由（II）知， 时，数列 单调递增，
取 ，因为 ，所以 ．
取 ，因为 ，所以 ．
所以 ，即弦 的斜率随 单调递增．
解法二：设函数 ，同解法一得， 在 和 上都是
增函数，
所以 ， ．
故 ，即弦 的斜率随 单调递增．
