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专题 04 二次函数的恒成立问题压轴题
（原卷版）
通用的解题思路：
第一步：先分析是求函数的最大值还是求函数的最小值：①如果 恒成立，则求函数的最小值
Min；②如果 恒成立，则求函数的最大值Max。
第二步：再将所求的最大值或最小值代入不等式，得 或者 ，再解不等式求出参数m的
范围。
1.（2017•长沙中考）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左
侧），与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 、 、 、 ，
延长 交 轴于点 ．
（1）若 为等腰直角三角形，求 的值；
（2）若对任意 ， 、 两点总关于原点对称，求点 的坐标（用含 的式子表示）；
（3）当点 运动到某一位置时，恰好使得 ，且点 为线段 的中点，此时对于该抛物
线上任意一点 ， 总有 成立，求实数 的最小值．
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2．（开福区一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若△OAC∽△OCB，求m的值；
（3）若△ABD为正三角形，对于该抛物线上任意一点 P（x ，y ）总有n+ ﹣4
0 0
成立，求实数n的最小值．
3．（中雅）点 为反比例函数 （k为常数，且 ）的图象上一点，若点P的横、纵坐标满
足关系： ，则称点P所在的反比例函数 （k为常数，且 ）为“Q函数”，点P为该“Q
函数”图象上的“Q点”．
（1）“Q函数” 图象上的“Q点”坐标为__________；
（2）反比例函数 是否为“Q函数”？若是，请求出该函数图象上的“Q点”；若不是，请说明理由．
（3）已知反比例函数 （k为常数，且 ）为“Q函数”，令 ，若对于整数 m，
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恒成立，求整数m的最小值．
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4．（雅礼）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要
点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主
义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点
A（x ，y ）、B（x ，y ）（x ≠x ），满足纵坐标相等，即y ＝y ，则称点A、B为这个函数的一对
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“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求
p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平
点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x ，y ）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c
0 0
为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足 m＜n＜c，若存在常数
w，使得式子：w+ ＞﹣ x 2﹣x +2恒成立，求w的取值范围．
0 0
5．（青竹湖）若y是x的函数，h为常数（h > 0），若对于该函数图象上的任意两点 、
，当 ， （其中a、b为常数，a < b时，总有 ，就称此函数在 时为
有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高。
（1）函数：④ ，② ，③ 在 时为有界函数的是 ：（填序号）
（2）若一次函数 （ ），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为 ，请求出此
一次函效解析式；
（3）已知函数 （ ），当 时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实
效a的取值范围.
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6．（青竹湖）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），当直线l与
一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线l：y＝﹣x+4与双曲线y＝ 的切点坐标；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）经过两点（﹣3，0）和（1，0），若直线l：y
＝6x﹣7与抛物线相切，求a的值；
（3）已知直线l：y ＝kx+m（k、m为常数）与抛物线y ＝x2+ 相切于点（1， ），设二次函数M：y
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＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0，c为整数），对一切实数x恒有y ≤y ≤y ，求二次函数M的解析
1 3 2
式．
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7.已知抛物线C：y =a(x−h)²−1，直线l：y =kx−kh−1 ．
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（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a=−1，m≤x≤2时，y ≥x−3恒成立，求m的最小值；
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（3）当00时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范
围．
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8.已知抛物线C：y =−x2+bx+4．
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(1)如图，抛物线与x轴相交于两点(1−m,0)、(1+m,0)．
①求b的值；
②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．
(2)已知直线l：y =2x−b+9，当x≥0时，y ≤ y 恒成立，求b的取值范围．
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9．（雨花区）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共
同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线y＝﹣ x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动
点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度
的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，
求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物
线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：
①a＜0，ab≠0，c＝2；
②顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y ﹣
0 0 0
．若t≤m+ 恒成立，求m的最小值．
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10.（长郡）设函数 .
(1)若关于 的不等式 有实数解，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 对于实数 时恒成立，求 的取值范围；
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