2009年江苏高考数学试卷及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江苏08-23

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 的方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1.若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部为______ 2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 __________ . 3. 函 数 的 单 调 减 区 间 为 y _____ 1 4. 函 数 为 常 数 ， 2   O 1 x   在闭区间 上的图象如图所示，则 3 3 _______ . 5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5， 2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________ . 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如 下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 开始 8 7 甲班 6 7 7 乙班 6 7 6 7 S 9 0 则以上两组数据的方差中较小的一个为 ________ . T 1 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ________ . S T2  S T T  2 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比 为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2， S  10 则它们的体积比为________ . N 9.在平面直角坐标系 中，点 P 在曲线 Y W  S T 上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2，则 点P的坐标为________. 输出 结束10.已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为 _______ . 11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中 ________ . 12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条 直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 y T B2 M 的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线 A1 O A2 x 段 的中点，则该椭圆的离心率为________. 14 ． 设 是 公 比 为 的 等 比 数 列 ， ， 令 若 数 列 有 连 续 四 项 在 集 合 中 ， 则 ________ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。 15 ． （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 设 向 量 （1）若 与 垂直，求 的值；（2）求 的最大值;（3）若 ，求证： ∥ . 16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点，点 在 上， 求证：(1) ∥ （2） 17．（本小题满分 14 分） 设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足 （1）求数列 的通项公式及前 项和 ；（2）试求所有的正整数 ， 使得 为数列 中的项. 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆 （1）若直线 过点 ，且被 y . 圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；（2）设P为平面上 的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 ，它们 . 1 分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 O 1 x 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 19.(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的 满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖 出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 . 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为 3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖 出A与买进B的综合满意度为求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ； 设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多 少？ 记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立 但等号不同时成立？试说明理由。 求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ； 设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多 少？ 记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立 但等号不同时成立？试说明理由。 20．(本小题满分16分)设 为实数，函数 .若 ，求 的取值范 围；求 的最小值；设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集. 数学Ⅱ（附加题） 参考公式： 21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由 △ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。 B. 选修4 - 2：矩阵与变换 求矩阵 的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。 解：设矩阵A的逆矩阵为 则 即 故 解得： ， 从而A的逆矩阵为 . C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为 （ 为参数， ）. 求曲线C的普通方程。 [解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：因为 所以 故曲线C的普通方程为： . D. 选修4 - 5：不等式选讲 设 ≥ ＞0,求证： ≥ . [解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。证明： 因为 ≥ ＞0,所以 ≥0， ＞0，从而 ≥0， 即 ≥ . [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 22.（本题满分10分） 在平面直角坐标系 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦 点 F 在 轴上。 （1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； （3）设过点 的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记 D 和 E两点间的距离为 ，求 关于 的表达式。 [解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识， 考 查 运算求解能力。满分10分。23. （本题满分10分） 对于正整数 ≥2，用 表示关于 的一元二次方程 有实数根的有序数组 的组数， 其中 （ 和 可以相等）；对于随机选取的 （ 和 可以相等），记 为关于 的一元二次方程 有实数根的概率。 （1）求 和 ； （2）求证：对任意正整数 ≥2，有 . [解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。参考答案 20 1.【答案】 【解析】略 2.【答案】3 3 a b  2 3 3  2 【解析】 (1,11) 3.【答案】 f(x) 3x2 30x333(x11)(x1) (x11)(x1)0 【解析】 ，由 得单调减区间为 (1,11) 。 4.【答案】3 3 2 T  T   2 3 3 【解析】 ， ，所以 ， 5.【答案】0.2 【解析】略 2 5 6.【答案】 【解析】略 7.【答案】22 【解析】略 8.【答案】1：8 【解析】略 (2,15) 9.【答案】 【解析】略 m n 10.【答案】 【解析】略 11.【答案】4 log x  2 0 x  4 A(0,4] A B a  4 c  【解析】由 2 得 ， ；由 知 ，所以 4。 12.【答案】（1）（2） 【解析】略 y e  2 7 5 13.【答案】 T B2 a,b,c M 【解析】用 表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转 化解得离心率. A1 O A2 x9 14.【答案】 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解. a b2c a(b2c) ab2ac 0 15.【解析】由 与 垂直， ， 4sin()8cos() 0 tan()  2 即 ， ； bc (sincos,4cos4sin) |bc|2sin22sincoscos216cos232cossin16sin2 1730sincos1715sin2 |bc| 4 2 ，最大值为32，所以 的最大值为 。 tantan16 sinsin16coscos 4cos4cossinsin0 由 得 ，即 ， a b 所以 ∥ . E,F AB,AC EF // BC EF 面ABC 16.【解析】证明：（1）因为 分别是 1 1 的中点，所以 ，又 ， BC 面ABC EF 平面ABC ，所以 ∥ ； ABC  ABC BB 面ABC BB  AD AD  BC （2）因为直三棱柱 1 1 1，所以 1 1 1 1， 1 1 ，又 1 1 ，所以 AD 面BBCC AD 面AFD 平面AFD 平面BBCC 1 1 1 ，又 1 1 ，所以 1 1 1 。 A1 C1 D F B1 E A C d a2 a2  a2 a2 17.（1）设公差为 ，则 2 5 4 3 ，由性质得 B 3d(a a )  d(a a ) d  0 4 3 4 3 ，因为 ，所【解 76 7a  d 7 a a 0 2a 5d 0 S 7 1 2 a  5 析】以 4 3 ，即 1 ，又由 7 得 ，解得 1 ， d  2 a  a  2n7 n S  n2 6n 所以 n 的通项公式为 n ，前 项和 n 。a a (2m7)(2m5) a a (t 4)(t 2) 8 m m1  m m1  t  6 a (2m3) 2m3t a t t （2） m2 ，令 ， m2 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8 t  63 t t 1 t 1 m  2 t 257 3 因为 是奇数，所以 可取的值为 ，当 ， 时， ， ，是数列 8 t  6 15 a  a  t  1 m 1 t 5 n 中的项； ， 时， ，数列 n 中的最小项是 ，不符合。 m  2 所以满足条件的正整数 。 7 y   (x4) y 0 24 18.【解析】(1) 或 ， (2)P 在以 C1C2 的中垂线上，且与 C1、C2 等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P 坐标为 3 13 5 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 或 。 m m m m h = A  B ,h = A  B , 甲 m 12 m 5 乙 m 3 m 20 (m [3,12],m [5,20]) 19.【解析】(1) A B A B A B 3 m  m A 5 B 当 时， 3 3 m m 5 B m m 2 5 B m m 2 h =  B  B , h =  B  B , 甲 3 m 5 (m 20)(m 5) 乙 3 m 20 (m 5)(m 20) m 12 B B B m 3 B B B 5 B 5 B h =h 显然 甲 乙 m 2 1 1 h = B   , 3 甲 (m 20)(m 5) 20 5 1 1 m  m B B (1 )(1 ) 100( )2 25 1 A 5 B m m m m (2)当 时， B B B B 1 1 1 1 1 m [5,20]得 [ , ]  B m 20 5 m 20 m  20,m 12 由 B ，故当 B 即 B A 时，甲乙两人同时取到最大的综 10 5 合满意度为 a0 a|a|1 a1 f (0)1 a2 1 20.【解析】（1）若 ，则f(a),a0 2a2,a0   f(x)  a 2a2 min  f( ),a0  ,a0 xa f(x)3x2 2axa2,  3  3 （2）当 时， f(a),a0 2a2,a0 f(x)   xa f(x) x2 2axa2, min f(a),a0 2a2,a0 当 时， 2a2,a0  f(x) 2a2 min  ,a0  3 综上 x(a,) h(x)1 3x2 2axa2 10 4a2 12(a2 1)128a2 (3) 时， 得 ， 6 6 a 或a 当 2 2 时， 0,x(a,) ；  a 32a2 a 32a2 (x )(x )0 6 6  3 3  a  当 2 2 时，  0, 得 xa 2 6 a( , ) 2 2 x(a,) 1） 时， 2 2 a 32a2 a[ , ] x[ ,) 2 2 3 2） 时， 6 2 a 32a2 a 32a2 a( , ] x(a, ] [ ,)  3） 2 2 时， 3 3