文档内容
2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子
集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（5分）复数 =（ ）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（
）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
4．（5分）椭圆 =1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．50406．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同
学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直
线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧
视图可以为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于
A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
10．（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为
（ ）
A．（ ， ） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（ ， ）
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），则（ ）
A．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称
B．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称
C．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称D．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称
12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x [﹣1，1]时 f（x）=x2，那么
函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交
∈
点共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量 + 与向量k
﹣ 垂直，则k= ．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最小值为
．
15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在
同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体
积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列{a }中，a = ，公比q= ．
n 1
（Ⅰ）S 为{a }的前n项和，证明：S =
n n n
（Ⅱ）设b =log a +log a +…+log a ，求数列{b }的通项公式．
n 3 1 3 2 3 n n
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．
∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量
越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分
别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件
产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的
关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列
及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质
量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在
圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
21．（12分）已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ ．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的
顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2
﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
23．在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 （α为参数）M
1
是C 上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C
1 2
（Ⅰ）求C 的方程；
2
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ= 与C 的异
1
于极点的交点为A，与C 的异于极点的交点为B，求|AB|．
2
24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子
集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】1E：交集及其运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P
的子集个数．
【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，
∴P=M∩N={1，3}
∴P的子集共有22=4
故选：B．
【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，
则其子集的个数是2n．
2．（5分）复数 =（ ）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
【考点】A5：复数的运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代
替即可．
【解答】解： =﹣2+i故选：C．
【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（
）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可
得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．
【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除
A；
对于 B．y=|x|+1，由 f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当 x＞0 时，
y=x+1，是增函数，故B正确；
对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排
除C；
对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，
故排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注
意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．
4．（5分）椭圆 =1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得 c的值，有
椭圆的离心率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据椭圆的方程 =1，可得a=4，b=2 ，
则c= =2 ；
则椭圆的离心率为e= = ，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与
双曲线的对应性质的区分．
5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
【考点】EF：程序框图．
菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环 p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．
【解答】解：执行程序框图，有
N=6，k=1，p=1
P=1，k＜N成立，有k=2
P=2，k＜N成立，有k=3
P=6，k＜N成立，有k=4
P=24，k＜N成立，有k=5
P=120，k＜N成立，有k=6
P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．
故选：B．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同
学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 3×3种结果，满足条
件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率
公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P= ，
故选：A．
【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得
分题目．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直
线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到 tanθ的
值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出 cosθ的平方，然后根据二倍角
的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．
【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，
所以cos2θ= = = ，
则cos2θ=2cos2θ﹣1=2× ﹣1=﹣ ．
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三
角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧
视图可以为（ ）
A． B． C． D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．
菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三
棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体
的侧视图．
【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再
得到余下的三视图，本题是一个基础题．
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于
A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
菁优网版权所有
【专题】44：数形结合法．
【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称
轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘
积一半．
【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（ ，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣
∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上∴DP=（ +| |）=p=6
∴S = （DP•AB）= ×6×12=36
△ABP
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直
线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．
10．（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为
（ ）
A．（ ， ） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（ ， ）
【考点】52：函数零点的判定定理．
菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，
判定区间．
【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3
∴f′（x）=ex+4
当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0
∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0
f（ ）= ﹣1＞0
f（ ）= ﹣2= ﹣ ＜0∵f（ ）•f（ ）＜0，
∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ， ）
故选：A．
【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），则（ ）
A．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称
B．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称
C．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称
D．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称
【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．
菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+ ）
+cos（2x+ ），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0， ）单调性，
即可得到答案．
【解答】解：因为 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）= sin（2x+ ）=
cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x= kπ（k Z），所以y= cos2x的对称轴方
∈
程是：x= （k Z），所以 A，C 错误；y= cos2x 的单调递减区间为
∈
2kπ≤2x≤π+2kπ（k Z），即 （k Z），函数 y=f（x）在
∈ ∈（0， ）单调递减，所以B错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单
调性，考查计算能力，常考题型．
12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x [﹣1，1]时 f（x）=x2，那么
函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交
∈
点共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通
过计算函数值估算即可．
【解答】解：作出两个函数的图象如上
∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数
∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，
在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，
在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，
且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，
再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，
且当x=1时y=0； x=10时y=1，
再 结 合 两 个 函 数 的 草 图 ， 可 得 两 图 象 的 交 点 一 共 有 10 个 ，
故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，
属于基本题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量 + 与向量k
﹣ 垂直，则k= 1 ．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为 0；利用向量模的平方等于向量
的平方列出方程，求出k值．
【解答】解：∵
∴
∵ 垂直
∴
即
∴k=1
故答案为：1
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等
于向量的平方．
14．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为
﹣ 6 ．
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣ x+ ，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随
着增大，当直线过 A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入
目标函数得到最小值．
【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，
得到的图形是一个平行四边形，
目标函数z=x+2y，
变化为y=﹣ x+ ，
当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，
当直线过A点时，z取到最小值，
由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）
∴z=4+2（﹣5）=﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，
找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．
15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 ．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
菁优网版权所有【专题】58：解三角形．
【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答
案．
【解答】解：由余弦定理可知cosB= =﹣ ，
求得BC=﹣8或3（舍负）
∴△ABC的面积为 •AB•BC•sinB= ×5×3× =
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，
利用两边和夹角来求解是常用的方法．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在
同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体
积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的
底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．
【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：
12π，圆锥的底面半径为：2 ；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者
可以构成一个直角三角形
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 ，
所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：
4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为： ．
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考
查计算能力，空间想象能力，常考题型．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列{a }中，a = ，公比q= ．
n 1
（Ⅰ）S 为{a }的前n项和，证明：S =
n n n
（Ⅱ）设b =log a +log a +…+log a ，求数列{b }的通项公式．
n 3 1 3 2 3 n n
【考点】89：等比数列的前n项和．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（I）根据数列{a }是等比数列，a = ，公比q= ，求出通项公式a 和
n 1 n
前n项和S ，然后经过运算即可证明．
n
（II）根据数列{a }的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b }的通项公式．
n n
【解答】证明：（I）∵数列{a }为等比数列，a = ，q=
n 1
∴a = × = ，
n
S =
n
又∵ = =S
n
∴S =
n
（II）∵a =
n∴b =log a +log a +…+log a =﹣log 3+（﹣2log 3）+…+（﹣nlog 3）
n 3 1 3 2 3 n 3 3 3
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b }的通项公式为：b =﹣
n n
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性
质．
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．
∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题．
【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ，利用勾股
定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判
定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（II）要求棱锥 D﹣PBC 的高．只需证 BC⊥平面 PBD，然后得平面 PBC⊥平面
PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=
，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD= ，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE= ，
即棱锥D﹣PBC的高为 ．
【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面
的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量
越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分
别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件
产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的
关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列
及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质
量指标值落入相应组的概率）
【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变
量的期望与方差．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得
到用两种配方的产品的优质品率的估计值．
（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出
变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为
∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为
∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列为
X ﹣2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样
本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合
问题20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在
圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．
菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设
出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而
算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接
求出参数，
（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x﹣y+a=0 的交点 A，B 坐标，通过
OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a的方程，通过解方
程确定出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴
的交点为（3+2 ，0），（3﹣2 ，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设
该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2 ）2+t2，解得t=1，故圆C
的半径为 ，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．
法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，
即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），其坐标满足方程组
1 1 2 2
，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已
知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x +x =4﹣a，x x = ①，
1 2 1 2由 于 OA⊥ OB 可 得 x x +y =0 ， 又 y =x +a ， y =x +a ， 所 以 可 得 2x x +a
1 2 1y2 1 1 2 2 1 2
（x +x ）+a2=0②
1 2
由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．
【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程
思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的
解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本
题型．
21．（12分）已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ ．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．
【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切
点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．
（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，
求出函数的最值，证得不等式．
【解答】解：（I） ．
由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣ ，且过点（1，1）
所以
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=所以
考虑函数 ，
则
所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x （0，1）时，h（x）＞0可得 ；
∈
当
从而当x＞0且x≠1时，
【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查
通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒
成立．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的
顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2
﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的
长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三
角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．
（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中
点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连
接DH，根据四点共圆得到半径的大小．
【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x =2，x =12．
1 2
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H
点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF= （12﹣2）=5．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程
的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 （α为参数）M
1
是C 上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C
1 2
（Ⅰ）求C 的方程；
2
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ= 与C 的异
1
于极点的交点为A，与C 的异于极点的交点为B，求|AB|．
2
【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C 的方程
1
即可求出曲线C 的方程；
2
（II）根据（I）将求出曲线C 的极坐标方程，分别求出射线θ= 与C 的交点A
1 1
的极径为ρ ，以及射线 θ= 与C 的交点B的极径为ρ ，最后根据|AB|=|ρ
1 2 2 2
﹣ρ |求出所求．
1
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（ ， ）．由于M点在C 上，
1
所以 即
从而C 的参数方程为
2
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C 的极坐标方程为ρ=8sinθ．
1 2
射线θ= 与C 的交点A的极径为ρ =4sin ，
1 1
射线θ= 与C 的交点B的极径为ρ =8sin ．
2 2
所以|AB|=|ρ ﹣ρ |= ．
2 1
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．
24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f
（x）≥3x+2的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求
解，然后求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为
|x﹣1|≥2．
由此可得x≥3或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得
|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即 或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x }
由题设可得﹣ =﹣1，故a=2
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，
考查计算能力，常考题型．
