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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
(A) (B) (C) (D)
理 科 数 学
9、过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 的方程为
参考公式：如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B独立，那么 。
(A) (B) (C) (D)
第Ⅰ卷（共60分）
10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
11、抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的点 若
1、复数 满组 （ 为虚数单位），则 的共轭复数 为
(A) (B) (C) (D) 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则
2、已知集合 ，则集合 中元素的个数是
(A) (B) (C) (D)
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
3、已知函数 为奇函数，且当 时， 则
12、设正实数 满足 则当 取得最大值时， 的最大值为
(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2
4、已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若 为底面 的 开 始
(A) 0 (B) 1 (C) (D)
中心，则 与平面 所成角的大小为
(A) (B) (C) (D) 输入
第Ⅱ卷（共 90 分）
5、将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为
F 1,F 2,n 1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
0 1
13、执行右图所示的程序框图，若输入 的值为0.25，
(A) (B) (C) (D) 则输出的 的值为 _______.
F F F
14、在区间 上随机取一个数 ，
1 0 1
使得 成立的概率为______.
F F F
6、在平面直角坐标系 中， 为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线 的斜率的最
0 1 0
15、已知向量 与 的夹角为 ，
n n 1
小值为
且 若 ，
(A) 2 (B) 1 (C) (D)
且 ，则实数 的值为____________.
7、给定两个命题 若 是 的必要不充分条件，则 是 的 1
否
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 16、定义“正对数”： 现有四个命题：
F
8、函数 的图象大致为
1
①若 ，则 ；
y y y y 是
②若 ，则 ；
输出
O x O x O x O x
③若 ，则 ；
结 束④若 ，则 . 19、（本小题满分12分）
甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是 外，
其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）
其余每局比赛甲队获胜的概率都是 。假设各局比赛结果相互独立。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；
17、（本小题满分12分） （Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方
得1分。求乙队得分 的分布列和数学期望。
设 的内角 所对的边分别为 ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值. P
F
E
H
G
B
C
A D Q
20、（本小题满分12分）
18、（本小题满分12分） 设等差数列 的前 项和为 ，且
如图所示，在三棱锥 中， ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
， 分别是
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，且 （ 为常数）。令 ，求数列 的前
的中点， ， 与 交于点 ，
项和 。
与 交于点 ，连接 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值。
21、（本小题满分13分）设函数 （ 是自然对数的底数， ）
（Ⅰ）求 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于 的方程 根的个数。
22、（本小题满分13分）
椭圆 的左、右焦点分别是 ，离心率为 ，过 且垂直于 轴
的直线被椭圆 截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 。设 的角平分线 交
的长轴于点 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点。设直线
的斜率分别为 ，若 ，试证明 为定值，并求出这个定值.
