文档内容
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
第I卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的。
1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=
(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i
2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
3.抛物线y2=4x的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
4.为了得到函数y=sin(x )的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
3
(A)向左平行移动 个单位长度 (B) 向右平行移动 个单位长度
3 3
(C) 向上平行移动 个单位长度 (D) 向下平行移动 个单位长度
3 3
5.设p:实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x+y>2，则p是q的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6.已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基
础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式
求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的
一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9
9.已知正三角形ABC的边长为2 3，平面ABC内的动点P，M满足 ， ，则 的最大
值是
(A)43 (B) 49 (C) 376 3 (D) 372 33
4 4 4 4
10. 设直线l，l 分别是函数f(x)= 图象上点P，P 处的切线，l 与l 垂直相交于点P，
1 2 1 2 1 2
且l，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
1 2
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
第II卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、sin7500= 。
12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是 。侧视图
俯视图
13、从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a、b，则 为整数的概率= 。
14、若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当00， .
（Ⅰ）若 成等差数列，求 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求
.
20、（本小题满分13分）
已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E
交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳
21、（本小题满分14分）
设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4. A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A
二、填空题
11. 12. 13. 14.-2 15.②③
三、解答题
16.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，
0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.
（Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
17.（本小题满分12分）
P
B C
A D
（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD∥BC,BC= AD，所以BC∥AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖∥AB.
又AB 平面PAB,CM 平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC= AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC= AD，
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD= AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD 平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）根据正弦定理，可设
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.
代入 中，有
，可变形得
sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin (A+B).
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，
所以sin A sin B=sin C.（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2= bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A= .
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，
所以 sin B= cos B+ sin B，
故tan B= =4.
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知， 两式相减得到 .
又由 得到 ，故 对所有 都成立.
所以，数列 是首项为1，公比为q的等比数列.
从而 .
由 成等差数列，可得 ，所以 ，故 .
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， .
所以双曲线 的离心率 .
由 解得 .所以，，
20.（本小题满分13分）
（I）由已知，a=2b.
又椭圆 过点 ，故 ，解得 .
所以椭圆E的方程是 .
（II）设直线l的方程为 ， ，
由方程组 得 ，①
方程①的判别式为 ，由 ，即 ，解得 .
由①得 .
所以M点坐标为 ，直线OM方程为 ，
由方程组 得 .
所以 .
又
.所以 .
21.（本小题满分14分）
（I）
<0， 在 内单调递减.
由 =0，有 .
当 时， <0， 单调递减；
当 时， >0， 单调递增.
（II）令 = ，则 = .
当 时， >0，所以 ，从而 = >0.
（iii）由（II），当 时， >0.
当 ， 时， = .
故当 > 在区间 内恒成立时，必有 .
当 时， >1.
由（I）有 ,从而 ，
所以此时 > 在区间 内不恒成立.当 时，令 = ( ).
当 时， = .
因此 在区间 单调递增.
又因为 =0，所以当 时， = >0，即 > 恒成立.
综上， .
