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的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
（全国一卷）理科数学
A. 2❑√17
B. 2❑√5
一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。）
C. 3
D. 2
1、设z= ，则∣z∣=（ ）
2 → →
1
8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为
3
的直线与C交于M，N两点，则
FM
·
FN
A.0 B. C.1 D. ❑√2
2
=( )
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则C A =（ ）
R A.5 B.6 C.7 D.8
A、{x|-1<x<2} B、{x|-1≤x≤2}
C、{x|x<-1}∪{x|x>2} D、{x|x≤-1}∪{x|x ≥2} 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是(
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的
)
经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞）
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余
部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p ，p ，p ，则( )
1 2 3
A. p =p
1 2
建设前经济收入构成比例 B. p =p
建设后经济收入构成比例 1 3
C. p =p
则下面结论中不正确的是（ ） 2 3
D. p =p +p
A. 新农村建设后，种植收入减少 1 2 3
x2
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 11.已知双曲线C： - y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点
3
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( )
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
3
A. B.3 C. D.4
4、记S n 为等差数列{a n }的前n项和，若3S 3 = S 2 + S 4 ，a 1 =2，则a 5 =（ ） 2
A、-12 B、-10 C、10 D、12 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则α 截此正方体所得截面面积的
5、设函数f（x）=x³+（a-1）x²+ax .若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线方程 最大值为（ ）
为（ ）
A. B. C. D.
A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x
→
6、在∆ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
EB
=（ ）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3 1 1 3 3 1 1 3
A.
→
-
→
B.
→
-
→
C.
→
+
→
D.
→
+
AB AC AB AC AB AC AB
4 4 4 4 4 4 4 4
13.若x，y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 .
→
AC
14.记S 为数列｛a ｝的前n项和. 若S = 2a +1，则S = .
n n n n 6
7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。 圆柱表面上 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .
三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分） 20、（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不
（1）求cos∠ADB； 合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对
余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0<P<1），且各件产品是否为不合格品相
（2）若DC = ，求BC.
互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点
。
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为P的值，已知每件
产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达
点P的位置，且PF⊥BF .
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
21、（12分）
已知函数 .
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x , x , 证明： .
1 2
19.（12分）
x2
设椭圆C： + y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
2
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C 的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C 的极坐标方程为ρ² +2ρcosθ -3=0.
₁
（1） 求C 的直角坐标方程:
₂
（2） 若C 与C 有且仅有三个公共点，求C 的方程.
₂
₁ ₂ ₁
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
一、选择题
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣. 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A
（1） 当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集； 7．B 8．D 9．C 10．A 11．B 12．A
（2） 若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：
（1）在 中，由正弦定理得 .
由题设知， 所以 .
由题设知， 所以 .
（2）由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得所以， .
则 .
所以 . 从而 ，故MA，MB的倾斜角互补. 所以 .
综上， .
18．解：
20．解：
（1）由已知可得， ， ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 . （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 . 因此
（2）作 ，垂足为 . 由（1）得， 平面 . .
以 为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 . 令 ，得 . 当 时， ；当 时， .所以 的最大值点为 .
由（1）可得， . 又 ， ，所以 . 又 ， ，故 .
（2）由（1）知， .
（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .
可得 ， .
所以 .
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
则 ， , ， ， 为平面 的法向量.
由于 ，故应该对余下的产品作检验.
21．解：
设 与平面 所成角为 ，则 .
（1） 的定义域为 ， .
所以 与平面 所成角的正弦值为 . （ⅰ）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
19．解：
（ⅱ）若 ，令 得， 或 .
（1）由已知得 ， 的方程为 .
当 时， ；
由已知可得，点A的坐标为 或 .
当 时， . 所以 在 ， 单调递减，在
所以AM的方程为 或 .
（2）当l与x轴重合时， .
单调递增.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 . （2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 ， 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 . 由于
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ， ，则 ， ，直线
MA，MB的斜率之和为 . ，
由 ， 得
所以 等价于 .
.
设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， .
将 代入 得
所以 ，即 .
.22．解：
（1）由 ， 得 的直角坐标方程为
.
（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆.
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线. 记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 . 由于 在
圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一
个公共点且 与 有两个公共点.
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 . 经检验，当
时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点.
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 . 经检验，当
时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点.
综上，所求 的方程为 .
23．解：
（1）当 时， ，即
故不等式 的解集为 .
（2）当 时 成立等价于当 时 成立.
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 .
综上， 的取值范围为 .
