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北京市朝阳区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人
一、单选题
得分
1．下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．据《央视网》 2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲
之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问
题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为
0.000 000 23秒，将数字0.000 000 23用科学记数法表示应为（ ）
A．2.3×10−6 B．2.3×10−7 C．0.23×10−6 D．23×10−8
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3 4 8 B．4 4 10
C．5 6 10 D．5 6 11
4．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2=x4 B．x2 ⋅x3=x5 C．(xy) 3=x3y D．(x4 ) 3=x7
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6．如果y2-6y+m是完全平方式，则m的值为（ ）
A．-36 B．-9 C．9 D．36
2a
7．计算（ ）3 的正确结果是（ ）
b
8a3 8a3 2a3 6a3
A． B． C． D．
b3 b b3 b3
8．点P在∠AOB的平分线上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，D是OB边上任意一
点，连接PD．若PC=3，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（ ）
A．PD=PO B．PD＜3
C．存在无数个点D使得PD=PC D．PD≥3
阅卷人
二、填空题
得分
x−2
9．若分式 的值是0，则x的值为 ．
x
10．计算：(5xy+4 y)÷ y= ．
11．分解因式：5a2+10a+5= ．
1 2
12．方程 = 的解为 ．
x−1 3x+1
13．如图，△ABC，∠A=70°，点D在BC的延长线上，若∠ACD=130°，则∠B=
°．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），B（3，0），C（3，2），如果
△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是 （写出
一个即可）．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B =30°，CD是高．若AD=2，则BD=
．
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16．某游乐园有甲、乙两个自行车租车营业点，顾客租车后当天须在营业结束前在任意
一个营业点还车．某一天该游乐园营业结束清点车辆时，发现所有出租的自行车都已经
归还，在甲营业点归还的自行车比从甲营业点出租的多4辆，当天从甲营业点出租且在
甲营业点归还的自行车为25辆，从乙营业点出租且在乙营业点归还的自行车为23辆．
设当天从甲营业点出租自行车x辆，从乙营业点出租自行车y辆，下面结论中，①在甲
营业点归还的自行车为（x+4）辆；②从甲营业点出租且在乙营业点归还的自行车为
（x-25）辆；③ x与y之间的数量关系为y=x+2．所有正确结论的序号为 ．
阅卷人
三、解答题
得分
17．计算：|−4|+3−2−（π−2022）0．
18．下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：AB的垂线，使它经过点A．
作法：如图，
①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C；
1
②分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的
2
点D；
③作直线AD．
所以直线AD就是所求作的垂线．
根据小军设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，BD．
∵BD= ▲ ，AB= ▲ ，
∴AD⊥AB（ ▲ ）（填推理的依据）．
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19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：
AC=DF．
x2−4 y2 x−2y
20．计算： ÷ .
x2+2xy+ y2 x+ y
21．已知2m2−m−2=0，求(2m+n)(2m−n)+(n2−2m)的值．
22．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣
货作业. 某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机
器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用
时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
23．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点
E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，
另外一个作为结论，组成真命题，并证明．
24．阅读材料：
对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则
a=b；若a-b＜0，则a＜b. 反过来也成立．
解决问题：
⑴已知实数x，则(x+3)(x+7) ▲ (x+4)(x+6)（填“＜”，
“=”或“＞”）；
⑵甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一
半时间以每小时y km的速度行走；乙以每小时x km的速度行走一半路程，另一半路程
以每小时y km的速度行走. 若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．
下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：
（1）(x+3)(x+7) (x+4)(x+6)（填“＜”，“=”或“＞”）；
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（2）先到达B地的是 ．
说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）t km，乙从A地到B
x+ y x+ y
地用( + )th．
2x 2y
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC边上（不与点A，C重合），连接
BD，过点D作DE⊥BD，点E与点A在直线BC的两侧，DE=BD，延长BC至点F，使
CF=BC，连接EF．
（1）依题意补全图1；
（2）在点A，B，C，D中，和点F所连线段与DE相等的是点
．
①求∠CFE的度数；
②连接EC并延长，交AB于点M，用等式表示线段EC与MC之间的数量关系，并证
明．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l ，l ，给出如下定义：将图形G
1 2
先沿直线l 翻折得到图形G，再将图形G 沿直线l 翻折得到图形G，则称图形G 是图
1 1 1 2 2 2
形G的 ，l >伴随图形．
1 2
例如：点P（2，1）的<x轴，y轴伴随图形是点P'（-2，-1）.
（1）点Q（-3，-2）的<x轴，y轴伴随图形点Q'的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t-3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）.
①当t=-1，且直线m与y轴平行时，点A的<x轴，m伴随图形点A'的坐标为 ▲ ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的<x轴，m伴随图形上只存在两个与x轴的距离
为1的点，直接写出t的取值范围．
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1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】∵ 不是轴对称图形，
∴A不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴B不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴C不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这
样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义求解即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 23米，用科学记数法表示为2.3×10﹣7米．
故答案为：B．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方
法叫科学记数法。 根据科学记数法的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵3+4＜8，
∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
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B．∵4+4＜10，
∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．∵5+6＞10，
∴能组成三角形，故本选项符合题意；
D．∵5+6=11，
∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形的三边关系求解即可。
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）•180°=360°，
解得n=4．
故答案为：B．
【分析】先求出（n-2）•180°=360°，再解方程即可。
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意；
B、x2 ⋅x3=x5，故B符合题意；
C、(xy) 3=x3y3，故C不符合题意；
D、(x4
)
3=x12，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方法则计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得：y2−6 y+m=(y−3) 2，
即y2−6 y+m= y2−6 y+9，
所以m=9，
故答案为：C．
【分析】先求出y2−6 y+m=(y−3) 2，再求出y2−6 y+m= y2−6 y+9，最后计算求解
即可。
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
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7．【答案】A
【知识点】积的乘方
2a 3 8a3
【解析】【解答】解：( ) = ，
b b3
故答案为：A．
2a 3 8a3
【分析】求出( ) = 即可作答。
b b3
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PC=3，
∴点P到OB的距离为3，
∵点D是OB边上的任意一点，根据垂线段最短，
∴PD≥3．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，再利用垂线
段最短的性质可得答案为3.
9．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
x−2
【解析】【解答】解：∵分式 的值是0，
x
∴x﹣2=0且x≠0，
∴x=2．
故答案为：2．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣2=0且x≠0，易得x=2．
10．【答案】5x+4x
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：(5xy+4 y)÷ y
=5xy÷ y+4 y÷ y
=5x+4．
故答案为：5x+4．
【分析】利用多项式除以单项式的计算法则求解即可。
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11．【答案】5(a+1) 2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵5a2+10a+5=5(a+1) 2，
故答案为5(a+1) 2．
【分析】先提取公因式5，再利用完全平方公式因式分解即可。
12．【答案】x=-3
【知识点】解分式方程
1 2
【解析】【解答】解： =
x−1 3x+1
去分母得：3x+1=2(x−1)，
去括号得：3x+1=2x−2，
移项、合并同类项得：x=−3，
经检验：x=−3是原方程的解，
故答案为x=−3．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
13．【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】由三角形的外角性质得，∠B=∠ACD-∠A=130°-70°=60°．
故答案为60．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠B=∠ACD-∠A，再计算即可。
14．【答案】（3，-2）（答案不唯一）
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，把△ABC沿x轴对折可得：
则BC=BD，∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB，
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△ABC≌△ABD，
∴BC=BD=2，
∴D(3，−2)，
同理：把△ABC，△ABD关于y轴对折，可得：
△ABC≌△BAD ，△ABC≌△BAD ，
1 2
∴D (−3，2)，D (−3，−2)，
1 2
综上：D的坐标为：(3，−2)或(−3，2)或(−3，−2)
故答案为：(3，−2)或(−3，2)或(−3，−2)（任写一个即可）
【分析】利用全等三角形的性质求解即可。
15．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°−∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°−∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB−AD＝8−2＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠ACB＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AD＝4，
再根据∠B＝30°，可得AB＝2AC＝8，最后利用BD＝AB−AD计算即可。
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16．【答案】①②③
【知识点】列式表示数量关系；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设当天从甲营业点出租自行车x辆，从乙营业点出租自行车y辆，
①由甲营业点归还的自行车比从甲营业点出租的多4辆，则在甲营业点归还的自行车为
（x+4）辆，即①符合题意；
②由当天从甲营业点出租且在甲营业点归还的自行车为25辆，那么从甲营业点出租且在
乙营业点归还的自行车为（x-25）辆，即②符合题意；
③在甲营业点归还的自行车为（x+4）辆；
从甲营业点出租且在甲营业点归还的自行车为25辆；
从乙营业点出租且在甲营业点归还的自行车为（y-23）辆；
则x+4=25+y-23，化简得y=x+2，即③符合题意．
故答案为①②③．
【分析】先由在甲处出租和在甲处归还比在甲处出租的多余数得到在甲数归还的车辆数，
再由在甲数出租和在甲处出租且在甲处归还的车辆数得到在甲处出租且在乙处归还的车
辆数，最后由在乙处出租且在乙处归还的车辆数，求得x与y之间的数量关系。
17．【答案】解：|−4|+3−2−(π−2022) 0
1
=4+ −1
9
1
=3 ．
9
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、负指数幂的性质和0指数幂的性质化简，再计
算即可。
18．【答案】（1）解：补全的图形如图所示：
（2）证明：连接CD，BD．
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∵BD=CD，AB=AC ，
∴AD⊥AB（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）（填推理
的依据）．
故答案为：CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求解即可。
19．【答案】证明：∵BF= CE，∴BC= EF．
在△ABC和△DEF中，
{
AB=DE，
∠B=∠E，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC=DF．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得
AC=DF。
x2−4 y2 x−2y
20．【答案】解： ÷
x2+2xy+ y2 x+ y
(x+2y)(x−2y) x−2y
= ÷
(x+ y) 2 x+ y
(x+2y)(x−2y) x+ y
= ⋅
(x+ y) 2 x−2y
x+2y
= ．
x+ y
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先利用因式分解化简，再利用分式的除法运算法则求解即可。
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21．【答案】解： (2m+n)(2m−n)+(n2−2m)
=4m2−n2+n2−2m
=4m2−2m．
∵2m2−m−2=0，
∴2m2−m=2．
∴原式=2(2m2−m)=4．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将2m2−m−2=0代入计算即可。
22．【答案】解：设B型机器人每小时搬运x kg化工原料．
750 600
根据题意，得 = .
x+30 x
解得 x=120.
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意.
x+30=150.
答：A型机器人每小时搬运150 kg化工原料，B型机器人每小时搬运120 kg化工原料.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，根据题意列出方程
750 600
= 求解即可。
x+30 x
23．【答案】解：选择已知①，结论② ．证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．
∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．
∴∠ACE=∠AEC．
∴EA=CA．
∵AF平分∠BAC，
∴CF=EF．
选择已知②，结论①．
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证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．
∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA．
∵CF=EF．
∴AF平分∠BAC．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】分两种情况：选择已知①，结论② ．选择已知②，结论①．分类讨论
即可。
24．【答案】（1）＜
（2）甲
【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）(x+3)(x+7)−(x+4)(x+6)
=(x2+10x+21)−(x2+10x+24)
=−3
故应填“＜”
x+ y x+ y
（2）( + )t−2t
2x 2y
x+ y x+ y
=( + −2)t
2x 2y
(x+ y)y+(x+ y)x 4xy
=[ − ]t
2xy 2xy
(x+ y) 2−4xy
= t
2xy
(x−y) 2
= t
2xy
∵x≠y，
∴(x−y) 2＞0
∵x＞0，y＞0，t＞0，
(x−y) 2
∴ t＞0
2xy
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∴( + )t＞2t
2x 2y
所以甲先到达B地．
【分析】（1）先算积，再做差比较即可；
（2）表示出甲乙二人用时，再比较即可。
25．【答案】（1）解：补全的图形如图所示：
（2）解：如图：连接DF．在△BDC和△DCF中BC=CF，∠BCD=∠DCF，
CD=CD∴△BDC≌△DCF（SAS）∴DF=BD∵BD=DE∴DF=DE， ∴在点A，B，C，D
中，和点F所连线段与DE相等的是点D．故答案是D．
①连接DF．∵DB=DF．∴∠CBD=∠CFD．∵DE⊥DB，
∴∠BDE=90°．∴∠EDF=180°－∠BDE－∠CBD－∠CFD=90°－2∠CFD．∵DE=BD，
1
∴DE=DF．∴∠DEF=∠DFE．∴∠DFE= （180°-∠EDF=45°+∠CFD．∴∠CFE=45°．
2
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②线段EC与MC的数量关系：EC=MC．
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°．
{∠ABC=∠CFE，
∴∠ABC=∠CFE．在△MCB和△ECF中， BC=CF， ∴△MCB≌△ECF．
∠MCB=∠ECF，
∴EC=MC．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）①连接DF，根据DB=DF．得出∠CBD=∠CFD．再根据DE⊥DB，得出
∠BDE=90°．∠EDF=90°－2∠CFD，再根据DE=BD，得出∠DEF=∠DFE从而得出结论；
②利用SAS证明△MCB≌△ECF，即可得出结论。
26．【答案】（1）（3，2）
（2）①（3，-1）；②-1＜t＜1或2＜t＜4
【知识点】翻折变换（折叠问题）；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：由题意知(−3，−2)沿x轴翻折得点坐标为(−3，2)；
(−3，2)沿y轴翻折得点坐标为(3，2)
故答案为：(3，2)．
（2）①解：．t=−1，A点坐标为(−1，1)，直线m为x=1，
(−1，1)沿x轴翻折得点坐标为(−1，−1)
(−1，−1)沿直线x=1翻折得点坐标为(−1+2(1−(−1))，−1)即为(3，−1)
故答案为：(3，−1)
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②解：∵直线m经过原点
∴直线为y=x
∴A、B、C的伴随图形点坐标先沿x轴翻折，点坐标依次为(t，−1)，(t−3，−1)，
(t，−3)；
然后沿直线y=x翻折，点坐标依次表示为：(−1，t)，(−1，t−3)，(−3，t)
由题意可知：|t|<1或|t−3|<1
解得：−1<t<1或2<t<4
【分析】（1）点Q关于x轴对称的点坐标，在关于y轴对称的点坐标，即可得出点的
伴随图形点Q'的坐标；
（2）①当t=-1，根据点A的坐标，直线m为x=1，此时点A先关于x轴对称的点坐标，
在关于m轴对称的点坐标，进而得出点A的 伴随图形点A'的坐标；②由题意知直线m
为直线y=x，A、B、C的伴随图形点坐标先沿x轴翻折，点坐标依次为(t，−1)，
(t−3，−1)，(t，−3)；由题意得出：|t|<1或|t−3|<1，解出t的范围即可。
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试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：78分
客观题（占比） 17.0(21.8%)
分值分布
主观题（占比） 61.0(78.2%)
客观题（占比） 9(34.6%)
题量分布
主观题（占比） 17(65.4%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(30.8%) 8.0(10.3%)
解答题 10(38.5%) 54.0(69.2%)
单选题 8(30.8%) 16.0(20.5%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (65.4%)
2 容易 (26.9%)
3 困难 (7.7%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 列一次函数关系式 1.0(1.3%) 16
2 实数的运算 5.0(6.4%) 17
3 角平分线的定义 5.0(6.4%) 23
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4 含30°角的直角三角形 1.0(1.3%) 15
5 轴对称图形 2.0(2.6%) 1
6 列式表示数量关系 3.0(3.8%) 16,24
7 分式的乘除法 5.0(6.4%) 20
8 角的运算 5.0(6.4%) 23
9 完全平方式 2.0(2.6%) 6
10 科学记数法—记绝对值小于1的数 2.0(2.6%) 2
因式分解﹣综合运用提公因式与公 11 1.0(1.3%) 11
式法
12 多边形内角与外角 2.0(2.6%) 4
13 定义新运算 6.0(7.7%) 26
14 解分式方程 1.0(1.3%) 12
15 角平分线的性质 2.0(2.6%) 8
16 三角形的外角性质 1.0(1.3%) 13
17 合并同类项法则及应用 2.0(2.6%) 5
18 同底数幂的乘法 2.0(2.6%) 5
19 利用整式的混合运算化简求值 5.0(6.4%) 21
20 翻折变换（折叠问题） 6.0(7.7%) 26
21 积的乘方 4.0(5.1%) 5,7
22 线段垂直平分线的性质 10.0(12.8%) 18
23 整式的加减运算 2.0(2.6%) 24
24 垂线段最短 2.0(2.6%) 8
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25 分式方程的实际应用 5.0(6.4%) 22
26 三角形的综合 6.0(7.7%) 25
27 三角形全等的判定（SAS） 11.0(14.1%) 19,25
28 作图-线段垂直平分线 10.0(12.8%) 18
29 三角形三边关系 2.0(2.6%) 3
30 多项式除以单项式 1.0(1.3%) 10
31 幂的乘方 2.0(2.6%) 5
32 分式的值为零的条件 1.0(1.3%) 9
33 三角形全等及其性质 1.0(1.3%) 14
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