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10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）
题组一 定点
1．（2022·烟台模拟）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左､右焦点分别为
， ， 为椭圆 上任意一点， 面积的最大值为1.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 轴的交
点分别为 ， ，证明：以 为直径的圆过定点.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：因为椭圆 的离心率为 ，所以 .
又当 位于上顶点或者下顶点时， 面积最大，即 .
又 ，所以 ， .
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：由题知，直线 的斜率存在，所以设直线 的方程为 ，设 ， ，
将直线 代入椭圆 的方程得： ，由韦达定理得： ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以 ， ，
所以以 为直径的圆为 ，
整理得： .①
因为 ，
令①中的 ，可得 ，所以，以 为直径的圆过定点 .
2．（2022·莆田三模）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线 交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在
以线段 为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由题意得 ，所以椭圆C的标准方程为 .
（2）解：由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为 ，切线方程为，下面证明：
联立 ，消 得 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
及直线 与椭圆只有一个公共点 ，直线 与椭圆相切，
所以椭圆上切点为 的切线方程为 .
切线方程 与 联立得 ，
则线段 为直径的圆的方程为 ，
设 ，则 ，
化简整理得 ，由题意可知，此式恒成立，故当 满足题意.此时 .
故存在定点P，使得点P在以线段 为直径的圆上.
3（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，C的四个顶点围成的四边形面积
为 ．（1）求C的方程；
（2）已知点 ，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且 ，证明：l过定点．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由离心率为 ，得 ，①
C的四个顶点围成的四边形面积为 ．②
由①②可得 ， ，C的方程为 ．
（2）解：由 ，得 ．
因为Q不在l上，所以 ， 都不是零向量，故 ，
由题意可知l的斜率一定存在．
设l的方程为 ， ， ．
联立方程组得 ，消去y并整理得 ，
由 ，得 ．
所以 ， ．
因为 ，
即
，整理得 ，
因为 ，所以 ．
当 时，满足 ，此时直线l的方程为 ，
所以直线l过定点 ．
题组二 定值
1．（2022·安徽模拟）点 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，
且 .
（1）求抛物线的方程；
（2）动点 ， 为抛物线在第一象限内两点，且直线 与直线 的倾斜角互补，求证：
是定值.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）解：设 ， ，直线 ；
由 得： ，所以 ；
由 得： ，即 .
解得 ，所以抛物线的方程为 .
（2）证明：设点 关于 轴的对称点为 ，则 ；
因为直线 与直线 的倾斜角互补，所以 ， ， 三点共线，由题设得 ；不妨设 即为 点， 即为 点；即 ， ，则 ，
则 是定值.
2．（2022·安徽三模）已知椭圆C： 的离心率为 ，其右焦点为F，左顶点为A，
点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当 轴时，△APF的面积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线AP交直线l： 于点Q，直线l与x轴交于点T，证明： ．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）解：设 ，由题意知 ，所以 ， ．
将 代入椭圆方程，得 ，
当 轴时， ，解得 ，
所以 ， ，椭圆C的标准方程为 ．
（2）证明：易得 ， ．
设点 ，则 ，
所以直线AP的方程是 ，当 时 ，
所以点Q的坐标为 ．
当 轴时，
可得 ， ， ，
故 ．
当PF与x轴不垂直时， ， ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以
，
又因为 ， ，所以 ，
即 ．
3．（2022·延庆模拟）已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，其中左顶点为 ，右顶点为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于点 ，
. 求证： 为定值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由已知得 ．所以 ．
又因为椭圆 的离心率为 ，所以 ．所以 ．
所以 ，
所以椭圆 的方程为
（2）证明：由 得 ，
设 ， ．
因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，
所以 ．解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 .
令 得 ．直线 的方程为 .
令 得 .
又因为
，
所以
4．（2022·临沂模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为
， 为 的左顶点，且 ．
（1）求 的方程；
（2）若动直线 与 恰有1个公共点，且与 的两条渐近线分别交于点 、 ．求证：点 与点
的横坐标之积为定值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：易知点 、 、 ， ， ，
所以， ，解得 ， ，则 ，
所以，双曲线 的方程为 .
（2）证明：分以下两种情况讨论：①当直线 轴时，直线 的方程为 ，此时点 、 的横坐标之积为 ；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由题意可知直线 不与双曲线 的渐近线平行或重合，即 ，
设点 、 ，
联立 可得 ，
则 ，可得 ，则 ，
不妨点 、 分别为直线 与直线 、 的交点，
联立 可得 ，联立 可得 ，
此时， .
综上所述，点 与点 的横坐标之积为定值.
5．（2022·青州模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线
的右顶点 在圆 上，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 、 ，设 为坐标
原点．求证： 的面积为定值．
【答案】见解析【解析】（1）解：不妨设 ， 因为 ，
从而 故由 ，
又因为 ， 所以 ，
又因为 在圆 上， 所以
所以双曲线 的标准方程为：
（2）解：设直线 与 轴交于 点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线 与双曲线 恰有1个公共点， 且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，
当动直线 的斜率不存在时， ， ， ，
当动直线 的斜率存在时， 且斜率 ， 不妨设直线 ，
故由
依题意， 且
，
化简得 ，
故由 ，同理可求， ，
所以
又因为原点 到直线 的距离 ，
所以 ，又由
所以 ，
故 的面积是为定值，定值为
6．（2022·平江模拟）在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率
，直线 与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点 ；
（1）求椭圆 的方程，
（2）在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得：
，
，所以椭圆的方程为
（2）解：设
（ⅰ）当直线 与 轴不重合时，设 的方程为
代入 得： ，
则
，
当 ，即 时，无论 取何值， 的值恒为2，
得点 ，
（ⅱ） 当直线 与 轴重合时，有 或 ，
均有 =2
由i和ii得，在 轴上是存在两点 ，使得
题组三 最值1．（2022·唐山二模）已知椭圆 的右焦点为F，椭圆 ．
（1）求 的离心率；
（2）如图：直线 交椭圆 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： ；
②若 ，求 面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：椭圆 的标准方程为： ，
则椭圆 的离心率为
（2）证明：对于①，设 ， ， ， ，
直线 与 联立整理得
则
则 的中点坐标
同理可知 的中点坐标 .所以 与 中点重合，故 .
对于②，由①知，直线 被椭圆截得弦长为
把 代入得，
把 代入得，
到 的距离为 ，
则 面积为：
当 时， 的面积最大值是 .
2．（2022·枣庄模拟）已知双曲线 的实轴长为2．点 是抛物线
的准线与C的一个交点．
（1）求双曲线C和抛物线E的方程；
（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求 面积的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题， ，又点 在双曲线上，故 ，解得 ，
故双曲线方程为 ；又点 过抛物线 的准线，故 ，即 ，
故
（2）解：显然直线 斜率存在，故设直线 方程为 ， ，
联立 有 ，
故 ，又 ， ，
故切线 ，结合 整理得 ，
同理切线 ，
联立 解得 ，即 ，故 .
又
，且 ，即 ，故
，
又 在双曲线上故 ，故 ，故 面积的取值范围为
3．（2022·济南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得： ，解得： ， ，
∴ ．
（2）解：由题意可知直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为 ， ， ，
将 代入 得： ，
∴ ， ，
则 = = = ，
= = = ，
∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴ ，
化简可得： ，即 ，即 ，
∵直线AB不过点P，∴ ，∴ ， ，
则 ，
又点P到直线AB的距离为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，∴△PAB面积最大值为 ．
