文档内容
北京一零一中教育集团 2023—2024 第一学期期中练习
初二数学
考生须知
1.本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟．
2.在试卷和答题纸上准确填写班级名称和姓名．
3.试卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4.在答题纸上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1－10题均有四个选项，符合题意的只有一个．
的
1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 4，4，8 D. 8，8，8
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、4+4=8，不能构成三角形；
D、8+8＞8，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和
是解决问题的关键．
3. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．
【
详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一
判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意；
B、 ，故错误，不合题意；
C、 ，原计算正确，符合题意；
D、 ，原计算错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题
的关键．
5. 若 ≌ ，则根据图中提供的信息，可得出 的值为（ ）
A. 30 B. 27 C. 35 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】在 ABC中利用三角形内角和可求得∠A=70°，则可得∠A和∠D对应，则EF=BC，可得到答案．
【详解】∵△∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∵△ABC≌ DEF，
∴∠A和∠D△对应，
∴EF=BC=30，
∴x=30，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键．
6. 如图，在Rt 中， ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再
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学科网（北京）股份有限公司分别以点D、E为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若 ，
，则 的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本作图得到 平分 ，利用角平分线的性质得到G点到 的距离为 ，然后根
据三角形面积公式计算 的面积；
【详解】解：由作法得 平分 ，
点到 的距离等于 的长，即 点到 的距离为 ，
所以 的面积 ；
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
7. 如图， 是 的边 的垂直平分线， 为垂足， 交 于点 ，且 ，则
的周长是（ ）
.
A 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是 的边 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长是： ．
故选B．
【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．
【详解】解：A、三个阴影部分的面积分别为 、 、 ，所以阴影部分面积为 ，故
该选项符合题意；
B、上半部分阴影面积为： ，下半部分阴影面积为： ，所以阴影部分面积为：
，故该选项不符合题意；
C、左半部分阴影面积为： ，右半部分阴影面积为： ，所以阴影部分面积为： ，
故该选项不符合题意；
D、大长方形面积： ，空白处小长方形面积： ，所以阴影部分面积为：
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学科网（北京）股份有限公司，故该选项不符合题意；
故选：A．
9. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．若 是等腰直角三角形，且
，当 时，点 的横坐标 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作 轴于D，可证 ，可得 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 轴于D，
∵点 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形
是本题的关键．
10. 如图，在 ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，
延长AC至点△P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：
②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ）
A. ①③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的
判定与性质逐个分析即可．
【详解】∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD，
∴ ，则BP=AD，故①正确；
由 得∠PBC=∠DAC，则 ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠PAF，
，
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学科网（北京）股份有限公司假设 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
又 ，
，与 相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在 与 中， ，
∴ ，
，
即 ，故③正确；
由 得BF=PF，
则 ，故⑤正确；
，AD平分∠BAC，
AF为BP的垂直平分线，
OB=OP，
为等腰三角形，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司又 AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
，
，
∴ ，
为等腰直角三角形，且 ，
即 ，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的
判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【解析】
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
12. 计算 a2•（﹣6ab）的结果是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】利用单项式乘以单项式的法则计算即可．
【详解】∵ •（﹣6ab）= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．
13. 如图， ，要使 ，需补充一个条件，你补充的条件是________________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴可以补充的条件为 ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形
全等的方法有： ， ， ， ， (直角三角形)．
14. 如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S ＝15，则CD＝_____．
ABD
△
【答案】5
【解析】
【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．
【详解】解：∵S =15，AE是BC边上的高，
△ABD
∴ BD•AE=15，
则 ×6BD=15，
解得：BD=5，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=5．
故答案为：5．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．
15. 如图 1，已知三角形纸片 ABC，AB=AC，∠A = 50°，将其折叠，如图 2，使点 A 与点 B重合，折
痕为 ED，点 E，D 分别在 AB，AC 上，则∠DBC 的大小为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角的性质，及三角形内角和为180°，解得 ，再由折叠性质，
解得 ，最后根据角度的和差解题即可．
【详解】 AB=AC，∠A = 50°，
折叠，折痕为 ED，
故答案为： ．
【点睛】本题考查折叠问题，其中涉及等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
16. 如图，在 中， ， ，D是 边上的点， ，则 的长为
______．
【答案】9
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】过点B作 于点E，根据等边对等角得出 ，则 ，进而
得出 ，根据含30度角直角三角形的特征得出 ，即可得出
，最后根据三线合一即可求解．
【详解】解：过点B作 于点E，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等腰三角形
等边对等角，三线合一；含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．
17. 如图， ， ，且 ．若 ，则 的度数为
______．
【答案】 ##40度
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出 ， ，则 ，设
，根据平行线的性质得出 ， ，
根据 ，列出方程求出x的值，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求
解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等
三角形对应边相等，对应角相等；等腰三角形等边对等角．
18. 我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线
段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在 中，若
，且 有“等腰线段”，则 的度数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则 ，然后进行分类讨论：当 为 “等腰线段”时，当 为
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学科网（北京）股份有限公司“等腰线段”时．
【详解】解：设 ，则 ，
当 为 “等腰线段”时，
∵ 、 均为等腰三角形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
当 为 “等腰线段”时，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
综上： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解题目所给“等
腰线段”的定义，掌握等腰三角形等边对等角的性质．
三、解答题（本题共46分，第19—23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解
答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，0
【解析】
【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将x的值代入计算即可.
【详解】
将 代入到上式中有
【点睛】本题考查的是整式的运算，能够准确化简计算是解题的关键.
20. 如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，∠A=∠D，BE=CF，且AB∥CD，求证：AE=DF．
【答案】证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据AB∥CD，得到 用ASA证明 ≌ ，即可得到
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴
在 和 中，
∵
∴ ≌ （ASA），
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明 ≌ 是关键．
21. 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：
求作： ，使 ．
作法：如图，
①在射线 上任取一点C；
②作线段 的垂直平分线，交 于点D，交 于点E，连接 ．
所以 即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写依据）：
证明： 是线段 的垂直平分线，
________（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．
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学科网（北京）股份有限公司________．（________________）．
，
．
【答案】（1）见详解 （2） ， ，等边对等角
【解析】
【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的步骤作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得 ，根据等边对等角可得 ，再根据三角形
外角的性质得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
证明： 是线段 的垂直平分线，
（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．
（等边对等角）．
，
．
故答案为： ， ，等边对等角．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握基本
作图的方法和步骤是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）在图中作出 关于y轴的对称图形 ；
（2）如果要使以点A、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与 全等，直接写出所有符合条件的
点D的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）点D坐标为 、 、
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D的坐标．
【小问1详解】
解： 如图所示；
【小问2详解】
如图，满足条件的点D有三个，点D坐标为 、 、 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的
判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键．
23. 如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且 ．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯
塔B的北偏西50°方向．
（1）求 的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
【答案】（1）70°；（2）15km/h
【解析】
【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形
的等角对等边是解答的关键．
24. 图1是一个长方形窗户 ，它是由上下两个长方形（长方形 和长方形 ）的小窗户
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学科网（北京）股份有限公司组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是 和
（即 ， ），其中 ．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则
窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形 ）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸 至 ．当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸 时，恰好与
在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户 的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至 的中点处时，请通过计
算比较窗户的透光面积 与被遮阳帘遮住的面积 的大小．
（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至 ，下面窗户的遮阳帘拉伸至 处时，窗户的透
光面积恰好为长方形窗户 面积的一半，则此时 ______．
【答案】24.
25.
26.
【解析】
【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）分别求出 和 ，再用作差法即可比较；
（3）求出被遮住的面积，再根据题意得出窗户被遮住面积恰好为长方形窗户 面积的一半，得出等
式，即可求出 的值．
【小问1详解】
解：根据题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴长方形窗户 的总面积 ；
【小问2详解】
解：上面窗户被遮阳帘遮住的面积： ，
上面窗户透光面积： ，
下面窗户被遮阳帘遮住的面积：
下面窗户透光面积：
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第22页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ；
【小问3详解】
解：根据题意可得： ，
∴ ， ，
上面被窗帘遮住面积： ，
下面被窗帘遮住面积： ，
被遮住总面积： ，
∵窗户的透光面积恰好为长方形窗户 面积的一半，
∴窗户被遮住面积恰好为长方形窗户 面积的一半，
∴ ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟
练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
25. 为等边三角形，射线 经过点A， ，作点B头于射线 的对称点
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学科网（北京）股份有限公司D，连接 、 交直线 于点E．
（1）如图，当 时
①依题意补全图形，并直接写出此时 ______（用含 的式子表示）；
②用等式表示线段 、 、 的数量关系，并证明；
（2）若 为等腰三角形，直接写出 的度数．
【答案】（1）①图见解析， ；②
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可，根据轴对称的性质得出 ， ，则
，根据等边三角形的性质推出 ， ，最后根据等边对等角，即
可求解； ②连接 ，在 上截取 ，通过证明 为等边三角形，得出 ，
，再证明 ，即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，进行分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：①补全图形如图所示：
∵点B和点D关于 对称，
∴ ， ，
∴ ，
第24页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
②连接 ，在 上截取 ，
由（1）可得： ，
∵点B和点D关于 对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
是
∵ 等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在
和 中，
第25页/共33页
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①当 时，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∵点B和点D关于 对称，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ，
∴ ，
第26页/共33页
学科网（北京）股份有限公司②当 时，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，
∵点B和点D关于 对称，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第27页/共33页
学科网（北京）股份有限公司综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题
的关键是根据题意正确画出图形，掌握等边三角形三个角都是60度，三条边都相等；全等三角形对应边相
等，对应角相等．
26. 设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义 为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系
内两点 ， ， ， ，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形
的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
（1）设 是底边长为2的等腰直角三角形，则 的“胖瘦度” ______；
（2）设 ，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度” ，直接写出点
Q的坐标：______；
（3）以x轴，y轴为对称轴的正方形 的一个顶点为 ，且点A在第一象限，点
，若正方形 边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足 且 ，
直接写出a的取值范围：______．
【答案】（1）
（2） 或 ．
（3） 或 或
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出底边的高为1，再根据“胖瘦度”的定义求出k；
（2）根据“逐梦三角形”的定义，等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直分三种情况讨论，由点 坐
标结合“胖瘦度” ，求出底边和底边的高即可解答，
（3）根据“逐梦三角形”的定义，分P在正方形内和外两种情况以及“逐梦三角形”底边的高小于 5，
第28页/共33页
学科网（北京）股份有限公司“胖瘦度” ，列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
∵ 是底边长为2的等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ 是高，
∴ ，
∴等腰直角 的“胖瘦度” ；
故答案为： ，
【小问2详解】
设以P，Q为顶点的“逐梦三角形”为 ，
因为 ，点Q为y轴正半轴上一点，故该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，有三种情况，、
①当 为底边时，若 轴，如图：
则底边上的高长为 ，
∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度” ，
第29页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴此时点Q坐标为 ，
②当 为底边时，若 轴， 为底边的高，如图：
则底边长为 ，
∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度” ，
∴ ，
∴ ，
∴此时点Q坐标为 ，
③当 为底边时，若 轴， 为底边的高，如图：
则底边上的高长为 ，
∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度” ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴此时点Q坐标为 ，
综上所述：点Q的坐标 或 ．
【小问3详解】
①当 时，点P在正方形内，如图：
此时点P到正方形边的两个较小距离 ， ，
若正方形 边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足 且 ，则 ， ，
∴ ，解得 ，
②当 时，点P与点A的重合，此时正方形 边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满
足 且 ，
③当 时，点P在正方形外，如图：
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此时点P到正方形边的两个较小距离 ， ，
若正方形 边上存在点 使得 ， 的“逐梦三角形”满足 且 ，
当点Q在 上， 为“逐梦三角形”底边的高时， ，
∵ ，即 ，
∴底边的一半为： ，
，不等式无解，故此此时不存在点 ；
当点 在 上， 为“逐梦三角形”为底边一半时， ， ，
，解得 ，
∴即 时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司当点 在 上， 为“逐梦三角形”高时， ，“逐梦三角形”为底边一半为：
，
，不等式无解，故此此时不存在；
当点 在 上， 为“逐梦三角形”为底边一半时，“逐梦三角形”为底边为： ，底
边的高为： ，
，解得 ，即 时，存在点Q使得P，Q的“逐梦
三角形”满足 且 ，
④ 到 、 的距离大于5，故 、 没有满足条件的点 ，
综上所述：当 或 或 时不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足 且 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和定义，坐标与图形，不等式的应用，综合性较高，一定要注意将
新旧知识贯穿起来．理解新定义，学会用数形结合、分类讨论解决问题是解题关键．
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