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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京人大附中朝阳分校 2021-2022 学年八年级下学期限时练习数学试
题
一、选择题
1. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为
18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. 3cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
【答案】D
【解析】
【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂
直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【详解】当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得： ，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm），
即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm，
所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm．
所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，
问题即解决．
2. 平行四边形一边长是14cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A. 8cm和16cm B. 10cm和16cm C. 18cm和14cm D. 8cm和12cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的
边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除即可．
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【详解】解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，8，14，不能构成三角形，不符合题意；
B、取对角线的一半与已知边长，得5，8，14，不能构成三角形，不符合题意；
C、取对角线的一半与已知边长，得9，7，14，能构成三角形，符合题意；
D、取对角线的一半与已知边长，得4，6，14，不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的
三边关系是解题的关键．
3. 如图，在 中， 于点 ， 交其延长线于点 ，若 ， ，且
的周长为40，则 的面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于 、 的两个方程并
求出 的值是解题的关键．根据平行四边形的周长求出 ，再用面积法求出 ，
然后求出 的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解．
【详解】解： 的周长 ，
①，
于 ， 于 ， ， ，
，
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整理得， ②，
联立①②解得， ，
的面积 ．
故选：D
4. 在四边形 中，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ．从以
上选择两个条件使四边形 为平行四边形的选法有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据平行四边形 判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①④；（2）间接利用两
组对边平行两①③或③④；（3）一组对边平行且相等②④，所以有四种组合．
【详解】解（1）①④，
利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定；
∵ ； ．
∴四边形ABCD为平行四边形，
（2）①③或③④，可推出两组对对边分别平行，利用两组对边分别平行的的四边形是平行四边形判定；
① ；③ ；
∵ ，
∴∠A+∠D=180°，
又∵ ，
∴∠C+∠D=∠A+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
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③ ；④ ．
∵ ，
∴∠A+∠B=180°，
又∵ ，
∴∠C+∠B=∠A+∠B=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（3）②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
② ；④ ．
∵ ， ，
为
∴四边形ABCD 平行四边形；
共4种组合方法，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.平行四边
形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；
3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
5. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝3，EF＝1，
则BC长为（ ）
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A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先证明AB＝AE＝3，DC＝DF，再根据EF＝AF+DE﹣AD求出AD，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AD BC，
∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝3，DC＝DE＝3，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝3+3﹣AD＝1．
∴AD＝5，
∴BC＝5
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、
AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A. 12 B. 14 C. 24 D. 21
【答案】A
【解析】
的
【分析】利用勾股定理列式求出BC 长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求
出EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，然后代入数据进行计算即可得解．
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【详解】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝ ，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12.
故选A.
【点睛】此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值
7. 如图，在 中， ，则 的长为（ ）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得 ，又由 ，根据勾股定
理，即可求得 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及勾股定理解三角形．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，
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对边相等，是解题的关键．
8. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路 上 处距 点 米．如果火车行驶
时，周围 米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路 上沿 方向以 千米/时的速度行驶时，
处受噪音影响的时间为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【答案】B
【解析】
【分析】首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，
求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
9. 平面直角坐标系中，已知 四个顶点坐标分别是 ，则p，q
所满足的关系式是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD可以看做由AB平移得到，且A与D对应，B与C对应，
然后由平移的性质可得p-m=n+3-n，q-2m=2n-2n，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CD可以看做由AB平移得到，且A与D对应，B与C对应，
∵A（m，2m），B（n，2n），C（n+3，2n），D （p，q），
∴p-m=n+3-n，q-2m=2n-2n，
∴q=2p-6．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平移的性质．注意根据平移的性质得到p-m=n+3-n，
q-2m=2n-2n是解此题的关键．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．
连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为
（ ）
A. 1 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
的
【分析】如图，取AD 中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出
AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
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∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝2 ，
在Rt△ACN中，∵AC＝2 ，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN AC ，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2 ，最小值为 ，
∴EF的最大值为 ，最小值为 ，
∴EF的最大值与最小值的差为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度
角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于
中考选择题中的压轴题．
二、填空题
11. 如图，在数轴上点A表示实数___________．
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【答案】-
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，根据题意可知OA=OB，由此即可求解．
【详解】解：由题意得：OA=OB， ，
∴ ，
∴点A表示的实数为- ，
故答案为：- ．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，求出OB的长是解题的关键．
12. 已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业．
甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点
D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）
乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边
形．（如图2）
老师说甲、乙同学的作图都正确，
甲的作法，他的作图依据是：_____；
乙的作法，他的作图依据是：_____．
【答案】 ①. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②. 对角线互相平分的四边形是平行四边
形
【解析】
【分析】分别根据甲乙的作图方法以及平行四边形的判定解决问题即可．
【详解】解：甲：由作法知，AB=CD，BC=AD，
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∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
乙：由作法知，AM=CM，BM=DM，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理及作图，熟练掌握知识点是解题的关键．
13. 平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为 和 两部分，则该平行四边形的周长
为______．
【答案】20cm或22cm．
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，
可以求解．
【详解】如图：
∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴①当BE=3cm，CE=4cm，AB=3cm，
则周长为20cm；
②当BE=4cm时，CE=3cm，AB=4cm，
则周长为22cm．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，分类讨论是关键.
14. 如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行
_____cm．
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【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得
出结果．
解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：
∵底面⊙O的周长为6cm，
∴AC=3cm，
∵BC=4cm，
∴AB= =5cm．
故答案为5．
考点：平面展开-最短路径问题及勾股定理．
15. 三角形三条中位线的长分别为4、5、5，则此三角形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理，知三角形的三边分别是8，10，10，根据等腰三角形的性质和勾股定
理求得底边上的高，进一步求得三角形的面积．
【详解】解：∵三角形三条中位线的长分别为4、5、5，
∴根据三角形的中位线定理，得三角形的三边是8、10、10，则该三角形是等腰三角形．
作等腰三角形底边上的高，也是底边上的中线，则底边上的高是 ．
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故该三角形的面积是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，以及等腰三角形面积的计算方法，熟练掌握中位线以及等腰三角
形三线合一的性质是解题关键．
的
16. 小东和小明要测量校园里 一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮
挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．
小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度为 _____．
【答案】13米
【解析】
【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：连接BD，
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵BC＝12m，BD＝5m，
∴DC 13（m），
答：CD的长度为13m，
故答案为：13m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题关
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键．
17. 如图，平行四边形ABCD的周长为42，其中AB＝10，∠ABC＝60°，平行四边形面积是_____．
【答案】55
【解析】
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据30°角的直角三角形可得BE和AE的长，进而可得平行四边形面
积．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝10，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°-∠ABC＝30°，
∴BE＝ AB＝5，
∴AE＝ = BE＝5 ，
平行四边形ABCD的周长为42，
∴AB+BC＝21，
∴BC＝21﹣10＝11，
∴平行四边形面积是BC•AE＝11×5 ＝55 ．
故答案为：55 ．
【点睛】本题考查平行四边形的周长与面积，含30°角的直角三角形性质，勾股定理，二次根式的化简，
掌握平行四边形的周长与面积，含30°角的直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
18. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，
∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是_____．
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【答案】20°
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到PE AD，PF BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角
形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE AD，
同理，PF BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP （180°﹣∠EPF） （180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是
解题的关键．
19. ▱ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将 ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若
FCE的周长为7， FDA的周长为21，则FD的长△为_____．
△ △
【答案】7
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC=14，此为解题的关键性结论；运用 FDA
的周长为21，求出FD的长，即可解决问题． △
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【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC；
由题意得：BE=FE，AB=AF；
∵△FCE的周长为7， FDA的周长为21，
∴CE+CF+EF=7，DF+△AD+AF=21，
∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF=28，
即2（AD+DC）=28，
∴AD+DC=14，即AD+AF=14，
∴FD=21-14=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确
找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来
分析、判断、解答．
20. 如图，在平行四边形 中， ， ， 于E，则 _______度．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 ， 由 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得
，再利用直角三角形中两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
，
， ，
， ，
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，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质及直角三角形两锐角互余，熟练掌握其性质是
解题的关键．
21. 如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边形ABCD满足条件______时， PBA的面积始
终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） △
【答案】AB//CD（答案不唯一）
【解析】
【分析】要使△PBA的面积始终保持不变，根据三角形面积公式由于AB的长一定，需满足AB边上的高需
不变，故四边形ABCD需满足条件DC∥AB．
【详解】解：当四边形ABCD满足条件DC∥AB时，△PBA的面积始终保持不变．
故答案为：DC∥AB．
【点睛】本题考查了三角形同底等高面积相等的情况，根据三角形面积公式进行判断．
22. 如图，在 ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点
▱
Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行四边形的知识，将 的最小值转化为 的最小值，再利用勾股定理求出
MC的长度，即可求解；
【详解】过点A作 且 ，连接MP，
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∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
将 的最小值转化为 的最小值，当M、P、C三点共线时， 的最小，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ；
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．
三、解答题
23. 已知：如图， ABCD中，∠BCD的平分线交AB于E，交DA的延长线于F．求证：AE＝AF．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质可以推出AB∥DC，AD∥BC，然后利用它们得到角的关系，再利用角平分
线即可证明题目结论
【详解】证明：在平行四边形ABCD中，AB//DC，DA//BC
∴∠AEF=∠DCE，∠F=∠BCE
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∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF
24. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°．
（1）求证：AE BD；
（2）过点C作CF⊥BD于点F，连接EF，求证：四边形EFCD是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，从而得到∠ADB=∠DBC，进一步推出
∠EAD=∠ADB即可；
（2）由AE∥BD可得∠AED+∠BDE=180°，进而得出∠BDE=90°，由CF⊥BD得出DE∥CF，再利用平行
四边形的性质证明即可；
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠EAD=∠DBC，
∴∠EAD=∠ADB，
∴AE∥BD．
【小问2详解】
证明：∵AE∥BD，
∴∠AED+∠BDE=180°，
∵∠AED=90°，
∴∠BDE=90°
∵CF⊥BD，
∴∠EDB=∠CFD=90°，
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∴DE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵∠EAD=∠CBF，∠AED=∠BFC=90°，
∴△ADE≌△BCF，
∴DE=CF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且
∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别证明AB ED， AE BD，得出结论；
（2）利用勾股定理求出BH=4，再利用等积法求出AF= ，得出结论．
【小问1详解】
∵∠ADE=∠BAD，
∴AB ED，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90º，
∵BC垂直平分AC，
∴∠BFA=90º，
∴∠EAC=∠BFA，
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∴AE BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
【小问2详解】
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADB，
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BA=BD，
∵AB=5，
∴BD=5
过B作BH⊥AD，
∴AH=HD=3，
∴BH=4，
∵DA BH=DB AF，
∴AF= ，
∴AC= ．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
26. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
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【答案】EF的长是10．
【解析】
【分析】如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．根据三角形中位线定理易求EG、FG的长度，并且
∠EGF=90°，所以在直角△EGF中，利用勾股定理来求EF的长度．
【详解】解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG∥AC，EG= AC，FG∥BD，FG= BD，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得
EF= =10，即EF的长度是10．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．根据已知条件推知△EGF是直角三角形是解题的关键．
27. 如图，在 ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点
P从点A出发△沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2
个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1) BQ= ；（2）存在，t=4或12，详见解析.
【解析】
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【分析】(1)作AM⊥BC于M，PE交AC于点N，则 APN和 CEN是等腰直角三角形，把CE的长在PE
上和在CM上用关于t的式子表示，即可得到关于t的△方程，从△而求解；
(2)根据AP=BE，列出关于t的方程求解.
【详解】解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：
∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM= BC=5，
∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，
∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和 CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，△CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，∴5-t=2t-2，
解得：t= ，BQ=BC-CQ=10-2× = ；
（2）存在，t=4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
∴t=10-2t+2，或t=2t-2-10解得：t=4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
t=4或12．
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