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2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（基础版）
题组一 不等式的性质
1．（2022·广东肇庆·模拟预测）(多选）若 ，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B选项，因为函数 在R上单调递增，所以 ，故B正确；
对于C选项，当 时， 不成立，故C不正确；
对于D选项，当 ， 时， ，故D不正确,故选:AB.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac＜bc B．ca＜cb
C．logac＞logbc D．sinc＞sina
【答案】ABC
【解析】选项A，幂函数 在 上是增函数，因为0＜a＜b＜1＜c，所以 ，故该选项正确；
选项B， ，指数函数 在 上是增函数，因为0＜a＜b＜1＜c，所以 ，故该选项正确；
选项C，因为0＜a＜b＜1＜c，所以 ，而 ， ，所以
，故选项C正确；
选项D，令 ， ，满足0＜a＜b＜1＜c，但 ，故选项D错误.
故选：ABC.
3．（2022·北京密云·高三期末）已知 ，且 ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，而 ， ，而 无意义，故ABC错误；
因为 ，所以 ，D正确.故选：D
4．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）（多选）已知 ，且 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】A：由 且 ，可知a>0，c<0，b的值不确定，
故由 ，不能推出 ，故A错误；
B：由 ，得 ，故B正确；
C：由于 ， ，得 ，故C正确；
D：由 得 .所以 ，故D正确，故选：BCD.
题组二 代数式的范围
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知实数x，y满足 则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，
故A正确；因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以，所以 ，故B正确；因为 ，所以
，则 ，故C错误；因为 ，
所以 ，则 ，故D正确.故选：ABD.
2．（2022·四川省广安代市中学校）设 、 满足 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】 ，由于 ， ，可得 ， ，
由不等式的基本性质可得 ，即 ，因此， 的最大值为 .
故答案为： .
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】设 ，因此得： ， ，
，
因为 ，所以 ，因此 ，所以 .
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ，则 的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】 ， ， ， ，
的取值范围是： ．故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足 ，且 ，那么 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由于 ，且 ，所以 ， ，
，所以 .故答案为：
题组三 比较大小
1．（2022·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，即 .所以A选项错误；
令 ，则 ，即 ，所以B选项错误；
令 ，则 ，所以C选项错误；
因为 ，由 得 ，所以D选项正确.故选:D.
2．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．
，因为 ，所以 ，即 ．
，因为 ，所以 ，即 ．综上，
．
故选：A．
3．（2022·重庆·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ，∴
又 ，∴ ∴ ，
又 ∴ 综上： 故选：A
4．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，所以当 时， ， 故 ，所以 ．故选：C．
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ， ， 则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ， ， 故有：
， 故 ，又
又 ，可得： 则有： 故有：
综上可得： 故选：D
6．（2022·湖南·高三阶段练习）（多选）已知实数m，n满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由 知， ，故 ，A正确；
由 得 ， ，所以 ，即 ，故B
错误；因为指数函数 为单调减函数，故 ，
由幂函数 为单调增函数知 ，故 ，故C正确；
根据, 对数函数 为单调减函数,
故 ，故D错误，故选：AC
7．（2022·重庆市育才中学）（多选）若a＞b＞0＞c，则( )A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】A： ，
∵ ， ， ， ，故A正确；
B： ，
∵ ，∴ ， ，故B正确；
C： 时， 在 单调递减，∵ ，故C错误；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴ ，∵a≠b，故等号取不到，故 ，
故D正确.故选：ABD.
题组四 已知一元二次不等式的解求参
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知不等式 的解集为 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对A， 不等式 的解集为 ，
故相应的二次函数 的图象开口向下，即 ，故A错误；
对B，C，由题意知： 和 是关于 的方程 的两个根，则有 ，
，又 ，故 ，故B，C正确；对D， ， ，
又 ， ，故D正确.故选：BCD.
2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 的方程 有两个不同的正根，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于 的方程 有两个不同的正根，
所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有5个整数，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原不等式变形为 ， 时，原不等式才有解．
且解为 ，要使其中只有5个整数，则 ，解得 ．
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 的解集是 ，即对于 ， 恒成立，即 ，当 时， ，当 时， ，
因为 ，所以 ，综上所述 .故选：A.
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若关于x的不等式 的解集是 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由不等式 的解集是 ，即方程 的两个根为 和 ，
所以 ，解得 ， ，
又由 ，则由 ，即 ，所以必有 ，
对于A中， 且 ，所以 ，所以A错误；
对于B中，当 时，得到 ，所以B错误；
对于C中，当 时， ，又由 ，所以C错误；
对于D中，当 时，可得 ，
又由 ，所以D正确.故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 的解集是 ，则 ______.
【答案】1
【解析】因为关于 的不等式 的解集是 ，所以 是方程 的两个根，
所以由根与系数的关系可得 ，得 ，故答案为：17．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 的解集为 ，则不等式 的
解集为___________.
【答案】
【解析】由不等式 的解集为 ，
可知方程 有两根 ，故 ，
则不等式 即 等价于 ，
不等式 的解集为 ，
则不等式 的解集为 ，故答案为： .
题组五 一元二次不等式的恒成立问题
1．（2022·浙江·高三专题练习）若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】存在 ，不等式 成立，则 ， 能成立，
即对于 ， 成立，
令 ， ，则 ，令 ，
所以当 ， 单调递增，当 ， 单调递减，
又 ，所以f(x)>−3，所以 .故选：C2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当 时，不等式 恒成立，故 解得
故实数 的取值范围是 故选：A
3．（2022·北京·高三专题练习）若不等式 的解集为空集，则 的取值范围是（ ）
A． B． ，或
C． D． ，或
【答案】A
【解析】∵不等式 的解集为空集，∴ ，∴ .故选：A.
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知使不等式 成立的任意一个 ，都满足不等式
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
因为使不等式 成立的任意一个 ，都满足不等式
则不等式 的解集是 的子集，又由 得 ，
当 ， ，符合；
当 ， ，则 ， ，
当 ， ，符合，
故实数 的取值范围为 .
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，对一切 均大于0恒成立，
所以 ，或 ，或 ，
解得 或 ， ，或 ，综上，实数 的取值范围是 ，或 .故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，不等式 恒成立，则 的取值范围
为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．
【答案】C
【解析】令 ，则不等式 恒成立转化为 在 上恒成立．
有 ，即 ，整理得： ，解得： 或 ．
的取值范围为 ．故选：C．
题组六 解含参的一元二次不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． 或 B．{x|x>a}
C． 或 D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 等价于 ，
又因为当 时， ，所以不等式 的解集为： 或 ．故选：A．
2．（2022·浙江·高三专题练习）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为： ，当 时，可知 ，对应的方程的两根为1， ，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为： .故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）对于给定实数 ，关于 的一元二次不等式 的解
集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由 ，分类讨论 如下：当 时， ；
当 时， ；当 时， 或 ；当 时， ；当 时， 或 .
故选：AB.
4．（2022·全国·高三专题练习）若00的解集是________．
【答案】
【解析】原不等式即 ，由 ，得 ，所以 ．
所以不等式的解集为 ．故答案为： ．
5．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程 的两个实根都大于 ，则 的取值范
围____
【答案】 或 .【解析】由题意得应满足 解得： 或 .故答案为： 或 .
6．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式 的解集是 ．
(1)解不等式 ；
(2)b为何值时， 的解集为R．
【答案】(1) 或 (2)
【解析】(1)由题意得 和1是方程 的两个根，则有 ，解得 ，
所以不等式 化为 ， ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或
(2)由（1）可知 的解集为R，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为
7．（2022·全国·高三专题练习）解关于 的不等式
【答案】见解析
【解析】原不等式等价于
(1)当 时，解集为
(2)当 时，原不等式可化为 ，
因为 ，所以解集为(3)当 时， ，解集为
(4)当 时，原不等式等价于 ，即 ，
解集为
(5)当 时， ，解集为
综上所述，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为
8．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
【答案】答案见解析
【解析】（1）
当 时，不等式为 ，解集为 ；
时，不等式分解因式可得
当 时，故 ，此时解集为 ；
当 时， ，故此时解集为 ；
当 时， 可化为 ，又 解集为 ；
当 时， 可化为 ，又 解集为 .综上有， 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ；
时，解集为 ； 时，解集为
（2）把 化简得 ，
①当 时，不等式的解为
②当 ，即 ，得 ， 此时，不等式的解为 或
③当 ，即 ，得 或 ，
当 时，不等式的解为 或 ，
当 时，不等式的解为 ，
④当 ，得 ，此时， ，解得 且 ，
综上所述，当 时，不等式的解为 ，
当 时，不等式的解为 ，
当 时，不等式的解为 或 ，
当 时，不等式的解为 且 ，
当 时，不等式的解为 或 ，
（3） ， ，
① 时， ，可得 ；
② 时，可得
若 ，解可得， 或 ；若 ，则可得 ，
当 即 时，解集为 ， ；
当 即 时，解集为 ， ；
当 即 时，解集为 .
（4）不等式 可化为 .
①当 时， ，解集为 ，或 ；
②当 时， ，解集为 ；
③当 时， ，解集为 ，或 .
综上所述，
当 时，原不等式的解集为 ，或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ，或 .
（5）当 时，不等式即 ，解得 .
当 时，对于方程 ，
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或 ，方程 的两根为 .
综上可得，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
（6）原不等式可变形为 .
①当 时，则有 ，即 ，解得 ；
②当 时， ，解原不等式得 或 ；
③当 时， .
（i）当 时，即当 时，原不等式即为 ，该不等式无解；
（ii）当 时，即当 时，解原不等式得 ；
（iii）当 时，即当 时，解原不等式可得 .
综上所述：①当 时，原不等式的解集为 ；
②当 时，原不等式的解集为 ；
③当 时，原不等式的解集为 ；
④当 时，原不等式的解集为 ；
⑤当 时，原不等式的解集为 .
（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
（2）当a>0时，原不等式可化为 ，对应方程的两个根为x= ，x=2.
1 2
①当02，所以原不等式的解集为 或 ；②当a=1时， =2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时， <2，所以原不等式的解集为 或 .
（3）当a<0时，原不等式可化为 ，对应方程的两个根为x= ，x=2，
1 2
则 <2，所以原不等式的解集为 .
综上，a<0时，原不等式的解集为 ；
a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
01时，原不等式的解集为 或 .
