专题2-6逆等线之乾坤大挪移（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_❤备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 2-6 逆等线之乾坤大挪移 01 题型·解读 题型一 平移，对称或构造平行四边形 2022年四川省内江中考 2022滨州中考 题型二 构造SAS型全等拼接线段 2022·贵州遵义·统考中考真题 2023·日照·二模 2023·咸阳·二模 2023·深圳中学联考 2023·甘肃武威中考真题拆解 2023·黄冈中考真题拆解 题型三 构造相似求加权线段和 2023年成都市天府新区二模 2022·广州中考真题（7种解法） 2023·湖北黄石中考拆解 题型四 取到最小值时对其它量进行计算 湖北武汉·中考真题 02 满分·技巧 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段 称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助 线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线 段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线， 就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构 造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且 AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值 ⑤ 求BF 03 核心·题型 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型一 平移，对称或构造平行四边形 2022 年四川省内江中考 1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC， 则AF+CE的最小值是 ． 【答案】10 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG， 得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可． 【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵ ，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝ ＝ ＝10， ∴AF+CE的最小值为10 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接 CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 ． 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】4 解：如图： 构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O， 则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF， ∵AD＝BF， ∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形， ∴DF＝CE， ∴CD+CE＝CD+DF≥CF， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4， 故答案为：4． 3．如图，在矩形 中， ，点E在 上，点F在 上，且 ，连结 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【 分 析 】 证 得 ， 作 点 关 于 的 对 称 点 ， 则 ，据此即可求解． 【详解】解：连接 ，作点 关于 的对称点 ，连接 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 的最小值为 2022 滨州中考 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分 别交对角线 AC，直线 BC于点O，F，则在点 E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为 _________． E A D O B F C 【答案】 【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝ ＝ ． ∵EF⊥AC，∴由矩形内十字架模型可知， ＝ ，∴ ＝ ，∴EF＝ ． 以EF，EC为邻边作□EFGC，则EC＝FG，CG＝EF＝ ， E A D O B F C G ∠ACG＝∠EOC＝90°． 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在Rt△ACG中，AG＝ ＝ ， ∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝ ， ∴AF＋FE＋EC的最小值为 ． 5．如图，在矩形ABCD中， ， ，点P在边AD上，点Q在边BC上，且 ，连 接CP，QD，则 的最小值为 ． 【答案】13 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD 的 最 小 值 转 化 为 PC+PB 的 最 小 值 ， 在 BA 的 延 长 线 上 截 取 AE=AB=6 ， 则 PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD BC，AD=BC， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DP BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB DQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∵BE=2AB=12，BC=AD=5， ∴CE= =13． ∴PC+PB的最小值为13 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 6．如图，正方形 的边长为2， 是 的中点， 是 上的动点，过点 作 分 别交 ， 于点 ， ． （1） 的长为 ； （2） 的最小值为 ． 【答案】 【分析】(1)根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM； (2)过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM=EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接 FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便 可． 【详解】解：(1)∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∵M是BC的中点， ∴BM= BC=1， ∴ ， 故答案为： ； (2)过F作FG⊥AB于G，则FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°， ∴∠BAM=∠GFE， ∴△ABM≌△FGE(ASA)， ∴AM=EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小， 此时 ，∴EM+AF的最小值为 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 构造SAS型全等拼接线段 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD ＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________． A E D B F C 【答案】 提示：作BG∥AC且BG＝AB，连接GE，作GH⊥BC于H A E D G H B F C 则∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝ BF＝，HF＝2，GF＝ △ABD≌△BGE（SAS），BD＝GE BD＋EF＝GE＋EF≥GF＝，最小值为 8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝ CF，则BE＋BF的最小值是___________． A D E F B C 【答案】3 提示：作AG⊥AC且AG＝BC，连接BG、EG H G A D E F B C 则△GAE≌△BCF，BF＝GE BE＋BF＝BE＋GE≥BG 解△ABG得BG＝3，BE＋BF的最小值是3 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________． A D M B N E C 【答案】4 提示：连接AN A D M B N E C A′ 由题意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN ∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN 延长AB至点A'，使A'B＝AB，连接A'N、A'D 则AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D 当A'、N、D三点共线时DM＋DN的值最小 此时A'N＝DN，∴AN＝ A'D＝DN ∴点N在线段AD的垂直平分线上 ∴BN＝ BC＝2，∴AN＝AB＝2 ∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4 即DM＋DN的最小值为4 10．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且 BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________． A D F B E C 【答案】2 提示：作BG⊥AB且BG＝AB，连接AG、EG 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D F B E C G 则AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30° 又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG ∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝AB＝2 即AE＋AF的最小值为2 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴于D，连接OC，E、 F 分别是线段 CD、OC 上的动点，且 CE＝OF，连接 AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为 ___________，此时点E的坐标为___________． y A D C E F O x 【答案】（，0） 提示：在x轴上取点B（5，0），连接AB、AC、BF y y A A D C D C E E F F O B x O B x ∵A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴，∴AD＝OD＝3 ∴AC＝5＝BO，CD是AO的垂直平分线，∴CA＝CO ∴∠ACE＝∠OCE＝∠BOF 又∵CE＝OF，∴△ACE≌△BOF（SAS），∴AE＝BF ∵A（0，6），B（5，0），∴AB＝ ∴AE＋AF＝AF＋BF≥AB＝，即AE＋AF的最小值为 此时点F落在线段AB上，即直线AB与OC的交点 易求直线AB：y＝－ x＋6，直线OC：y＝ x 可得F（，），CE＝OF＝，DE＝CD－CE＝4－＝ 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴此时点E的坐标为（，0） 12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转30°到 △AB'C'，M、N分别为边AC'、B'C'上的动点，且AM＝C'N，连接CM、CN，则CM＋CN的最 小值为___________． A M B′ B C N C′ 【答案】4 提示：连接AN 由题意，AM＝C'N，∠C'＝∠ACB＝∠CAC'＝30°，AC＝AC' ∴△ACM≌△C'AN，∴CM＝AN 延长AB' 至点A'，使A'B'＝AB'，连接A'N、A'C A M B′ B C N A′ C′ 则AN＝A'N，∴CM＋CN＝AN＋CN＝A'N＋CN≥A'C 当A'、N、C三点共线时CM＋CN的值最小 此时A'N＝CN，∴AN＝ A'C＝CN ∴点N在线段AC的垂直平分线上 ∴B'N＝ AC＝AB＝AB'，∴AN＝AB'＝AB＝2 ∴CM＋CN≥A'C＝2AN＝4 即CM＋CN的最小值为4 2022·贵州遵义·统考中考真题 13．如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC 90，点M ，N 分别为BC，AC上的动点，且 AN CM AB 2 AM BN CM ， ．当 的值最小时， 的长为 ． 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】2 2 【分析】过点A作AD∥BC，且ADAC，证明△AND≌△CMA，可得AM DN，当B,N,D三点 共线时，BNAM 取得最小值，证明ABBM ，即可求解． 【详解】如图，过点A作AD∥BC，且ADAC，连接DN ，如图1所示， DAN ACM ， 又AN CM ， AND≌CMA， AM DN ， BNAM BNDN BD， 当B,N,D三点共线时，BNAM 取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形ABC中，BAC 90，AB 2 BC  2AB2，  △AND≌△CMA， ADN CAM ，  AD AC  AB， ADN ABN ，  AD∥BC， ADN MBN， ABN MBN ， 设MAC ， BAM BAC90， ABM ABNNBM 245， 22.5， AMB180BAM ABM 180904567.5，BAM 9022.567.5， ABBM  2， CM BCBM 2 2， 即BNAM 取得最小值时，CM的长为2 2， 故答案为：2 2． 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·日照·二模 14．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC三个顶点在坐标轴上，BAC 90，点D，E分 BC，AC AECD,AC2 2 ADBE 别为 上的两个动点，且 ．当 的值最小时，则点D的坐标 为 ．     【答案】 2 22,0 / 22 2,0 【分析】如图：过点C作CBBC使CB AB，连接 BD ；证ABECBDSAS 可得DBBE， ABCB；将 ADBE最小值可转化成 ADCB最小值，则当 A、D、B 在同一直线上时， ADBE最 小 ， 即 AB长 度 ； ； 再 根 据 AC 2 2求 得 ABCB AC 2 2、 2 OAOC  2 2 2，即A0,2,B  2,2 2 ；再运用待定系数法求得直线 表达式，最后将 2 AB y0代入表达式求得x的值即可解答． 【详解】解：如图：过点C作CBBC使CB AB，连接BD， 在ABE和△CBD中，  ABCB  BAE BCD，   AE CD ∴ABECBDSAS ， ∴DBBE，ABCB， 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ADBE最小值可转化成ADCB最小值， 当A、D、B在同一直线上时，ADBE最小，即AB长度； ∵AC 2 2， 2 ∴ ，OAOC  2 2 2 ABCB AC 2 2 2 ∴A0,2,B  2,2 2  设AB表达式为:ykxbk 0 ，由题意可得： b2  ， 2kb2 2 b2 解得： ， k  21   ∴ 表达式为:y 21 x2， AB   将y0代入得: 0 21 x2， 解得：x2 22，   ∴D点坐标为 2 22,0 ．   故答案为： 2 22,0 ． 2023·咸阳·二模 15．如图，在Rt△ABC中，AC 2，BC 1，ABC 90，点P是边BC上的动点，在边AC上截 取CQBP，连接AP、BQ，则APBQ的最小值为 ． 【答案】 7 【分析】由“SAS”可证ABP≌DCQ，可得APDQ，则APBQ的最小值为BD，由勾股定 理可求解． 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：过点C作CD AC，并截取CD AB，连接DQ、BD，设BD交AC于点E， ∵AC 2，BC 1，ABC 90， 1 ∴ ，cosACB ， AB AC2BC2  41 3 2 ∴ACB60， ∵ABCD 3，ABPDCQ90，BPCQ， ∴ABP≌DCQSAS ， ∴APDQ， ∴APBQDQBQ， 在△BDQ中，BQDQBD， ∴APBQ的最小值为BD， 如图，过点B作BF⊥CD于F， ∴BF∥AC， ∴FBC ACB60， ∴BCF 30， 1 1 3 ∴BF  BC  ，CF  ， 2 2 2 3 3 ∴FD ， 2 27 1 ∴BD BF2FD2    7 4 4 2023·深圳中学联考 16．如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且ADEB8，BF 2，则DECF 的最小值为 （ ） 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 10 3 11 7 2 97 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 BGBF 2，则CG826,证明BGE≌BFC得出BEGBCF ，进而证明 FCEGEC，即可证明FCE≌GEC，得出EGCF，则当E,G,D三点共线时，DECF 取 得最小值，最小值为DG的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取BGBF 2，则CG826,连接EG， ∵ADEB8，BF 2， ∴点E在以B为圆心8为半径的圆上运动，点F 在以B为圆心2为半径的圆上运动， 在BGE,BFC中， BF BG  EBGCBF ，  BE BC ∴BGE≌BFC， ∴BEGBCF ，BGEBFC ∴FGC CFE， ∵BEBC 8， ∴BECBCE， 即FECGCE， ∴FCEGEC， 又CGEF 6，FGC CFE， ∴FCE≌GEC， ∴EGFC， 当EGFC时，则当E,G,D三点共线时，DECF 取得最小值，最小值为DG的长， 在Rt△CDG中，DG DC2CG2 10 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD ＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 ． 【答案】 解：过B作BF∥AC，在平行线上取BF＝AB，连接EF，如图： ∴∠EBF＝∠A， ∵BF＝AB，BE＝AD， ∴△BEF≌△ADB（SAS）， ∴EF＝BD， ∴BD+CE＝EF+CE， 当C，E，F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度， ∵BF∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠FBC＝90°， ∴CF＝ ＝ ， ∴BD+CE最小为 ， 故答案为： ． 18．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且 BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ． 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝ ∠ADC＝30°， ∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE， ∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET， ∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2， ∴AT＝ ＝ ，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥ ， ∴AE+AF的最小值为 ，故答案为 ． 2023·甘肃武威中考真题拆解 19．如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴 上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止． 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线 的表达式； (2)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速 运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）由题意得， ，连接 ．在 上方作 ，使得 ， ，证明 ，根据 得出 的最小值为 ，利用勾股定 理求得 ，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）如图2，由题意得， ，连接 ． 在 上方作 ，使得 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ （当 ， ， 三点共线时最短）， 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 的最小值为 ， ∵ ， ∴ ， 即 的最小值为 ． 2023·黄冈中考真题拆解 20．已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，点P为第一象 限抛物线上的点，连接 ． 如图2，点D在y轴负半轴上， ，点Q为抛物线上一点， ，点E，F分别为 的边 上的动点， ，记 的最小值为m． ①求m的值； ②设 的面积为S，若 ，请直接写出k的取值范围． 【答案】 ， 【分析】①作 ，且使 ，连接 ．根据 证明 ，可得 ，即 Q，F，H 共线时， 的值最小．作 于点 G，设 ，则 ，根据 求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可； ②作 轴，交 于点T，求出 解析式，设 ， ，利用三 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解． 【详解】解：①如图2，作 ，且使 ，连接 ． ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴Q，F，H共线时， 的值最小．作 于点G， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ，解得 或 （舍去）， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； ②如图3，作 轴，交 于点T，待定系数法可求 解析式为 ， 设 ， ， 则 ， 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型三 构造相似求加权线段和 2023 年成都市天府新区二模 21．如图，在 中， ， ， ．D，E分别是边 ， 上的动点， 且 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】过 作 于 ，使 ，连接 、 ，即可得到 ， ，即最小值为 的长． 【详解】方法一：过 作 于 ，使 ，连接 、 ， 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当 三点共线时 有最小值，最小值为 的长 ∵ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ 的最小值为 方法二： ，则 ， ， 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 设 ， ∴ ∴ 可以看成点 到点 和 的距离之和， ∴当 、 、 三点共线时 最小，最小值 22．如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE ＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________ 【答案】3√10 解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF 过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G CF CE ∵ = =2 ， CB BD ∴△FCE∽△CBD，EF=2CD ∴AE+2CD=AE+EF 当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF 易知：四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3 FG=9 在Rt△FAG中，由勾股定理得 AF=3√10 AE+2CD的最小值为3√10 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 23．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°．E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF， 则AE+AF的最小值为 。 【答案】 【解答】解：如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，连接AT． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB＝ ∠ADC＝30°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝1， ∵AC⊥CT， ∴∠ECT＝30°， ∴∠ADF＝∠ECT， ∵CE＝DF，CT＝DA， ∴△ADF≌△TCE（SAS）， ∴AF＝ET， 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AE+AF＝AE+ET≥AT， ∵∠ACT＝90°，AC＝CT＝1， ∴AT＝ ＝ ＝ ， ∴AE+AF≥ ，∴AE+AF的最小值为 ． 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4 ，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝ 2DE，则AF+2AE的最小值是 。 【答案】 【解答】解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD， ∴tan∠DBA＝ ＝ ，∠ADE＝∠DBF， ∴∠DBA＝30°， ∴BD＝2AD， ∵BF＝2DE， ∴ ＝ ＝2， ∴△DBF∽△ADE， 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ＝ ＝2， ∴DF＝2AE， ∴AF+2AE＝AF+DF， ∵FB⊥AT，BA＝BT， ∴FA＝FT， ∴AF+2AE＝DF+FT≥DT， ∵DT＝ ＝ ∴AF+2AE≥ ， ∴AF+2AE的最小值为 25．如图，等腰直角△ABC 中，斜边 BC=2，点 D、E 分别为线段 A B 和 B C 上的动点， ，求 的最小值. 【答案】√10 解：作BF⊥BC 并且使得BF=2，连接EF BE BF 2 ∵ = = =√2 ∴△BEF∽△ADC AD AC √2 ∴EF=√2 CD ∴AE+√2CD=AE+EF 当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF 反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H 在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF=√10 ∴AE+√2CD的最小值为√10 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·广州中考真题（7 种解法） 26．如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ． (1)求BD的长； (2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，当四边形 ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如果不 是，请说明理由． 【答案】(1) ；(2)最小值为12 【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解； （2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= ，设 BE= ，则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得DF= ，从而得 到四边形ABEF的面积s= S ABD - S DEF ，作CH⊥AD于H，可得当点E △ △ 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由 ，可得 当 ，即BE= 时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好 在点H位置，即可求解． 【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB， ∵∠BAD = 120°， ∴∠CAB=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BO=AB▪sin60°= = ， ∴BD=2BO= ； （2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6， 由（1）得：BD= ； 菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6， ∴MN⊥BC， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴∠EBN=30°； ∴EN= BE ∵ ， 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴MN= ， 设BE= ，则EN= ， ∴EM=MN-EN= ， ∵S ABCD= AD▪MN= ， 菱形 ∴S ABD= S ABCD= ， 菱形 △ ∵BE= DF， ∴DF= ， ∴S DEF= DF ▪EM= = ， △ 记四边形ABEF的面积为s， ∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ， △ △ ∵点E在BD上，且不在端点，∴0