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初一数学
一、选择题
1. 下列四个数中， 的倒数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【详解】解：- 的倒数是：-3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题关键．倒数的定义：乘积是1的两数互
为倒数．
2. 2021年4月29日11时23分，空间站天和核心舱发射升空．7月22日上午8时，核心舱组合体轨道近
地点高度约为384000米，用科学记数法表示384000应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：384000＝ ，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 单项式 的次数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式次数的定义（一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数）求解即可．
【详解】解：单项式 的次数是 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查单项式次数的定义，理解单项式次数的定义是解题关键．
4. 下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体展开图的常见形式作答即可．注意只要有“田”“凹”字格的展开图都不是正方体的表面
展开图．
【详解】解：A、不能折叠成一个正方体，故选项不符合题意；
B、能折叠成三棱柱，故选项不符合题意；
C、能折叠成一个正方体，故选项正确，符合题意；
D、不能折叠成正方体，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”
“一，三，二”的基本形态要记牢．
5. 比a的平方小1的数可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】a的平方表示为 ，比a的平方小1的数表示为 ，由此即可得．
【详解】解：a的平方表示为： ，
比a的平方小1的数表示为： ，故选：B．
【点睛】题目主要考查列代数式，理解题意是解题关键．
6. 如图是一个运算程序，若x的值为 ，则运算结果为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据运算程序，根据绝对值的性质计算即可得答案．
【详解】∵ ＜3，
∴ = ，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质及有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的性质及运算法则是解题关键．
7. 表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图可判断a、b的正负性，a、b的绝对值的大小，然后根据有理数的运算法则即可解答．
【详解】解：由图可知：a＜0＜b， |a|＞2， |a|＞|b|，
∴a+b＜0，ab＜0， a+2＜0，a-b＜0．即选项D成立．故选D．
【点睛】本题考查了数轴的有关知识以及有理数的运算法则，数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原
点右边的点表示的数是正数．
8. 据北京市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属11家公园及中国园林博物馆共12个景点
接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7％，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年
同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，根据接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了
5.7％列出方程即可．
【详解】解：设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，根据接待市民游客105.23万人，比去年同期增
长了5.7％列出方程得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握题目中的数量关系，找到等量关系，列出
方程．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若点A，B，C不在同一条直线上，则
D. 若 ，则点M为线段AB的中点
【答案】C
【解析】
【分析】根据解方程、绝对值、线段的中点等知识，逐项判断即可．【详解】解：A. 若 ，则 ，原选项错误，不符合题意；
B. 若 ，则 或 ，原选项错误，不符合题意；
C. 若点A，B，C不在同一条直线上，则 ，符合题意；
D. 若 ，则点M为线段AB的中点，当A、B、M不在同一直线上时，点M不是线段AB的中点，
原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解方程、绝对值、线段的中点等知识，解题关键是熟记相关知识，准确进行判断．
10. 如图所示，在长方形ABCD中， ， ，且 ，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋
转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分別
为 、 ．下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式，得 = ， = ，判断选择即可．
【详解】∵ = ， = ，
∴ = ．
故选C．
【点睛】本题考查了圆柱体的形成及其侧面积的计算，正确理解侧面积的计算公式是解题的关键．
二、填空题11. 若 ， ，则 与 的关系是______．（填“互余”或“互补”）
【答案】互余
【解析】
【分析】计算两个角的和，90°互余，180°互补．
【详解】∵ + = + =90°，
∴ 与 的关系是互余，
故答案为：互余．
【点睛】本题考查了互余即两个角的和为90°，熟练掌握互余的定义是解题的关键．
12. 如图，正方体纸盒上相对两个面上的数互为相反数，则正方体纸盒六个面上的数中，最小的是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形可知2对面的数为-2，0对面的数是0，1对面的数为-1，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：
2对面的数为-2，0对面的数是0，1对面的数为-1，
∴最小的数是-2；
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查相反数的意义及有理数的大小比较，熟练掌握相反数的意义及有理数的大小比较是
解题的关键．
13. 若 是关于x的一元一次方程，则m的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程可得|2m
-1≠0，再解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，∴2m -1≠0，
∴
故答案是：1（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元
指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是
未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的
次数必须是1．
14. 已知m，n为正整数，若 合并同类项后只有两项，则 ______， ______．
【答案】 ①. 3 ②. 1
【解析】
的
【分析】原式先根据同类项 定义判断出同类项，再得出m，n的值即可．
【详解】解：∵ 合并同类项后只有两项，
∴ 与 是同类项，
∴
∴
故答案为：3；1
【点睛】此题主要考查了合并同类项，以及同类项，关键是掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相
同的项是同类项．
15. 在数轴上，点A到原点O的距离为4，则线段OA的中点所表示的数为______．
【答案】2或-2
【解析】
【分析】首先根据点A到原点O的距离为4，则点A对应的数可能是4，也可能是-4，再求得线段OA的中
点所表示的数即可．
的
【详解】解：∵点A到原点O 距离为4，
∴点A对应的数是 ，当点A对应的数是＋4时，则线段OA的中点所表示的数为 ；
当点A对应的数是−4时，则线段OA的中点所表示的数为 ．
故答案为：2或-2．
【点睛】本题考查的是数轴，分情况讨论是解答此题的关键．
16. 表示不超过数x的最大整数，当 时， 表示的整数为______；若
，则 ______．
【答案】 ①. 5 ②. 2
【解析】
【分析】根据题意直接可确定 的值，由 表示整数结合
可知，x必是整数，然后去掉[],最后求出x即可．
【详解】解：由题意可知：当 时， 表示的整数为5；
∵ 表示整数，
∴x必是整数
∴
x+2x+3x+4x+…+100x=10100
解得x=2．
故答案是5，2．
【点睛】本题主要考试了整数以及一元一次方程的应用，根据题意确定x为整数、进而化简
成为解答本题的关键．
三、解答题
17. 计算：（1） ；（2） ．
【答案】（1）-2；（2）32
【解析】
【分析】（1）先去括号，然后利用有理数的加减法则计算即可；
的
（2）先计算有理数 乘法及乘方运算，然后计算除法，最后计算加减运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】题目主要考查有理数的四则混合运算及乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 化简多项式 ，当 ， 时，求该多项式的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先去括号，然后根据整式的加减运算法则化简，最后将x、y的值代入计算即可．
【详解】解： ．当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确运用整式的加减运算法则化简原式成为解答本题的关键．
19. 如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45°）有一艘船．同时，从B地
发现这艘船在它的北偏西60°方向．在图中画出这艘船的位置O．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用方向角分别得出北偏东45°方向以及北偏西60°方向的位置产生的交点即为所求．
【详解】解：如图所示：先作北偏东45°方向的射线AO，然后作北偏西60°方向的射线BO，两条射线交于
点O，点O即为这艘船的位置．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握方向角的确定方法是解题关键．
20. 一个角的补角是它的余角的6倍，求这个角的度数．
【答案】
【解析】【分析】根据补角和余角的性质求解即可；
【详解】解：设这个角的度数为 ，则它的补角是 ，它的余角是 ，根据题意得，
，
，
，
；
答：这个角的度数为 ．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的计算，准确计算是解题的关键．
21. 解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1解答；
（2）方程两边同时乘以6，去分母求解．
【小问1详解】
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
∴方程的解为 ．【小问2详解】
去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
所以方程的解为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
22. 如图，点O在直线AB上， ， 和 互补．
（1）根据已知条件，可以判断 ，将如下推理过程补充完整（括号内填推理依据）．
推理过程：因为 和 互补，
所以 °．（ ），
因为点O在直线AB上，所以 ．
所以 ，
所以 ．（ ）
（2）求 的度数．
【答案】（1）180，补角定义，同角的补角相等（2）
【解析】
【分析】（1）根据补角的定义及同角的补角相等即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质求证即可．
【小问1详解】
为
解：因 和 互补，
所以 ．（补角定义）
因为点O在直线AB上，所以 ．
所以 ．
所以 ．（同角的补角相等） ．
故答案是：180，补角定义，同角的补角相等；
【小问2详解】
因为 ， ，
所以 ．
由（1）知 ，所以OD是 的平分线．
所以 ．
【点睛】本题考查补角的定义，同角的补角相等，角平分线的定义等内容，关键是根据互补的关系及角平
分线的定义解答．
23. 在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：
“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．
若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？
某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为 （用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为 （用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为 ．
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出
总人数得出等式即可．
【详解】解：某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：
第一步，设共有x辆车；
第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2 辆空车”，可得人数为 （用含x的式子表示）；
第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为 （用含x的式子表示）；
第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为 ．
故答案为： ， ，
【点睛】此题考查了根据题意列一元一次方程，弄清题意正确找出数量关系是解本题的关键．
24. 如图， ，射线OC为 的平分线．
（1）画出射线OC；
（2）若射线OD在 的内部，且 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线是尺规作图方法画出对应图形即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠BOC，利用∠COD=∠BOC－∠BOD求解即可．
【小问1详解】解：如图，射线OC即为所求；
【小问2详解】
解：∵OC为∠AOB的平分线，∠AOB=120°，
∴∠BOC= ∠AOB=60°，
∵∠BOD在∠AOB的内部，∠BOD=20°，
∴∠COD=∠BOC－∠BOD=60°－20°=40°．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、角度的运算，熟练掌握角平分线的作图方法是
解答的关键．
25. 如图，点A，B，C不在同一条直线上．
（1）画直线AB；
（2）尺规作图：作射线CF交直线AB于点D，使得 （不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）让直尺的边沿同时过A，B两点，画直线即可；
（2）分点D在点B的右侧和左侧两种情形画图．
【小问1详解】
画图如下：【小问2详解】
画图如下：
【点睛】本题考查了直线，射线，线段的基本画图，正确使用直尺，灵活进行分类是解题的关键．
26. 某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收
费标准如下表：
里程价（单位：元/千
运输公司 起步价（单位：元）
米）
甲 1000 5
乙 500 10
（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、
乙两家运输公司任选一家？
（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
【答案】（1）该工厂选择甲运输公司更划算
（2）运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家
（3）当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、
乙公司中任选一家；当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司
【解析】
【分析】（1）根据收费方式分别计算出甲乙公司的费用比较即可；（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同，由两家公司的收费方式列方程，然后解出
即可；
（3）根据收费方式计算出甲公司的费用大于乙公司时的运输距离，和甲公司的费用小于于乙公司时的运
输距离即可得出结论．
【小问1详解】
甲运输公司收费为 （元），
为
乙运输公司收费 （元）．
因为 ，所以该工厂选择甲运输公司更划算．
【小问2详解】
设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家．
【小问3详解】
当甲公司收费大于乙公司时： ， ，
当甲公司收费小于乙公司时： ， ，
综上：当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；
当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；
当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用及一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立方程是解题
关键．
27. 对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得 ，则称点P是
“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点Q，Q，Q 在同一条直线上， QQ=3，QQ=6，则点Q 是点Q 到点Q 的 倍分点，
1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
点Q 是点Q 到点 Q 的3倍分点．
1 3 2已知：在数轴上，点A，B，C分别表示-4，-2，2．
（1）点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是______；
（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）1或4 （3）-3≤x≤5
【解析】
【分析】（1）根据“倍分点”的定义进行判断即可；
（2）根据“倍分点”的定义进行解答；
（3）根据“倍分点”的定义，分两种情况列出关于x的一元一次方程，解得x的值即可；
【小问1详解】
解：由题意得，AB=2，BC=4，AC=6
∴AB= BC，BC= AC
∴点B是点A到点C的 倍分点，点C是点B到点A的 倍分点；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设3倍分点为M，则BM=3CM，
若M在B左侧，则BM＜CM，不成立；
若M在BC之间，则有BM+CM=BC=4,
∵BM=3CM
∴4CM=4,
CM=1
∴M点为1；若M在C点右侧，则有BC+CM=BM
∵BM=3CM,BC=4
∴CM=2
所以M点为4
综上所述，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4；
故答案为：1或4
【小问3详解】
解：当2倍分点为B时，x取得最小值，
此时AB=2(-2-x)=2
解得：x=-3
当2倍分点为C点且D点在C点右侧时，x取得最大值
此时AC=2(x-2)=6
解得x=5
所以-3≤x≤5；
【点睛】本题主要考查两点间的距离，一元一次方程的应用，注意分类讨论的思想是解题的关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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