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专题 7.1 不等式的解法
一、单选题
1、(2020年南通期中)不等式 的解集是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 或 ，故选C。
2、(2018年高考全国I卷理数)已知集合 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解不等式x2−x−2>0得x<−1或x>2，所以A={x|x<−1或x>2}，所以可以求得
，故选B．
3、(山东师大附中模拟)若集合 ，则 =( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ， ，则 ，
故答案为C。
4、(2020届山东实验中学高三上期中)若 是任意实数，且 ，则( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
、 是任意实数，且 ，如果 ， ，显然 不正确；
如果 ， ，显然 无意义，不正确；
如果 ， ，显然 ， ，不正确；
因为指数函数 在定义域上单调递减，且 ， 满足条件，正确．
故选： ．
5、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由 解得 ，所以由“ ”能推出“ ”，反之，不能推出；
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
6、(2019年高考全国II卷理数)若a>b，则( )
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数，
，所以 ，故选C．
7、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)若 均为实数，则“ ”是“
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 中，取 ，则推不出 ；
若 ，则 ，则可得出 ；
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
8、(2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中)若 ，则下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，由于 在 上递减，而 ，故 ，所以A选项错误.
对于B选项，由于 可能是负数，故B选项错误.
对于C选项，由于 ，故 成立，所以C选项正确.
对于D选项，当 时， ，但 ，所以D选项错误.
综上所述，结论一定成立的是C选项.
故选：C.9、(2020年1月北京市中学生标准学术能力诊断性测试)
已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 时，不等式可化为 ；
当 时，不等式为 ，满足题意；
当 时，不等式化为 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ；
当 时， 恒成立；
综上所述，实数 的取值范围是
答案选A
10、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)若关于 的不等式 对任意 都成立，
则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令 ， .
不等式 对任意 都成立，
即 对任意 都成立，取 ，则 ，此时 ，排除A.
取 ，则 ，此时 ，排除C、D.
故选：B.
11、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为( )
x
A． 或 B． C． D． 或
【答案】A
【解析】
不等式 的解集为 ,
的两根为 ， ，且 ，
即 ,解得
则不等式可化为
解得
故选
12、(2018年高考全国III卷理数)设 ， ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】∵ ， ， ， ，
1 1 a+b
∴0< + <1,即0< <1，又∵a>0,b<0，∴ab<0，即ab0，b>0，且a+b=1，则( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD.
18、(2020届山东省潍坊市高三上期中)若 ，则下列不等式中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对A，由指数函数的单调性可知，当 ，有 ，故A 正确；
对B，当 时， 不成立，故B错误；
对C，当 时， 不成立，故C错误；
对D， 成立，从而有 成立，故D正确；
故选：AD.
19、2020届山东省九校高三上学期联考)下列结论正确的是( )A． ， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】BD
【解析】
当 时， 为负数，所以A不正确；
若 ，则 ，考虑函数 在R上单调递增，
所以 ，即 ，所以B正确；
若 ，则 ， ，所以C不正确；
若 ， ， ，根据基本不等式有
所以D正确.
故选：BD
三、填空题
20、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)不等式 的解集为 ，则实数
的取值范围为________.
【答案】
【解析】当 时，不等式显然恒成立，即 ，满足条件。
当 时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上， 。
所以 ，
即
综上所述：21、(2019年高考北京卷理数)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西
瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：
一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
22、(2020届山东实验中学高三上期中)设命题 ，命题 ，若
是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
由题意得， ，解得 ，所以 ，由 ，解得
，即 ，要使得 是 的充分不必要条件，则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
23、(北京市东城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题)将初始温度为 的物体放在室温恒定为
的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第 次测量得到的物体温度记为 ，已知 .已
知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为 ).给出以下几个模型，那么能够描述这些测
量数据的一个合理模型为__________：(填写模型对应的序号)
① ；② ；③ .
在上述模型下，设物体温度从 升到 所需时间为 ，从 上升到 所需时间为 ，
从 上升到 所需时间为 ，那么 与 的大小关系是________(用“ ”，“ ”或“ ”
号填空)
【答案】②
【解析】由题意，将第 次测量得到的物体温度记为 ，则两次的体温变化为 ，
又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为 )，所以 ，
当物体温度从 升到 所需时间为 ，可得 ，可得 ，
当物体温度从 上升到 所需时间为 ，可得 ，可得 ，
当物体温度从 上升到 所需时间为 ，可得 ，可得 ，
可是 ，又由 ，
即 与 的大小关系是 .
故答案为：② ，
24、(2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题)已知 均为大于0的实数,给出下列五
个论断:① ,② ,③ ,④ ,⑤ .以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个
为结论,请你写出一个正确的命题___________.
【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)
【解析】已知 均为大于0的实数,选择①③推出⑤.
① ，③ ，
则 ，
所以 .
故答案为：①③推出⑤
25、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知函数 .
(1)若不等式 的解集为 ，则实数 ， 的值分别为 ；
(2)若对任意 ，恒有 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】(1) ，即 ，根据题意： ，解得 .
(2) 恒成立，
当 时， 或 ，故 ，解得 ；
当 时，易知成立；
当 时， 或 ，故 ，解得 .
综上所述： .
四、解答题
26、已知 是定义在 上的奇函数．当 时， ，求不等式 的解集．
【解析】
：由已知得 ，当 时， ，
因此
不等式 等价于 或
解得 或 ．
27、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)非空集合 ，集合
(Ⅰ)当 时，求 ；
(Ⅱ)命题 ： ，命题 ： ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
【解析】
(I)当 时，；
；
故 .
(Ⅱ) .
.
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ 是 的必要条件，∴ .
①当 时， ，
，不符合题意；
②当 时， ，
，要使 ，
需要
∴ .
③当 时， ，
，要使 ，需要
∴ .
综上所述，实数 的范围是 .
28、已知
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的值．
【解析】(1)由题意知 ，即 ，解得
．
所以不等式的解集为 ．
(2)∵ 的解集为
∴方程 的两根为
∴ 解得
即 的值为 或 ， 的值为 ．
29、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 (百台)，
总成本为 (万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成
本＋生产成本)；销售收入 (万元)满足： 假定该产品产销平衡，
那么根据上述统计规律求下列问题．(1) 要使工厂有赢利，产量 应控制在什么范围内？
(2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【解析】
： 依题意， ，设利润函数为 ，则(1) 要使工厂有赢利，即解不等式 ，
当 时，解不等式 ，
即 ，得 ，
∴ ．
当 时，解不等式 ，得 ，
∴
综上所述，要使工厂赢利， 应满足 ，即产品产量应控制在大于 台，小于 台的范围
内．
(2) 时， ，
故当 时， 有最大值 ；
而当 时，
因为
所以，当工厂生产 台产品时，赢利最多．
30、解关于x的不等式
【解析】
：若 ，原不等式等价于 ，解得 ．
若 ，原不等式等价于 ，解得 或 ．
若 ，原不等式等价于 ．
①当 时， ， 无解；
②当 时， ，解 得 ；
③当 时， ，
解 得 ．
综上所述：当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当时，解集为 ．
31、若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围。
【解析】由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
