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北京市广渠门中学 2021-2022 学年度第一学期期中考试
初三数学试卷
一、选择题
1. 一元二次方程3x2-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3，-1，-2 B. 3，1，-2 C. 3，-1，2 D. 3，1，-2
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列事件中，必然事件是（ ）
.
A 中秋节晚上能看到月亮． B. 今天考试小宇能得满分．
C. 早晨的太阳从东方升起． D. 明天气温会升高．
4. 用配方法解一元二次方程 ，此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，△ABC内接于⊙O，若 ，则∠ACB的度数是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 80°
6. 若一个扇形的半径是 ，且它的弧长是 ，则此扇形的圆心角等于（ ）
A.B.
C.
D.
7. 如果点M(-2，y)，N(-1，y)在抛物线y=－x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
1 2
A. y＜y B. y＞y C. y≤y D. y≥y．
1 2 1 2 1 2 1 2
8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所
示：
成活率 成活率
移植棵数 成活数 移植棵数 成活数
50 47 1500 1335
270 235 3500 3203
400 369 7000 6335
750 662 14000 12628
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是 ；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活
的概率是 ；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题
的
9. 在平面直角坐标系中，点A(2，﹣3)关于原点对称 点的坐标为______．
10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是
________°．11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一
个满足y＜0的x的值_____．
12. 某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额
平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________．
13. 如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数
为__________．
14. 一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球
的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为_．
15. 在 中， ，点 在线段 上，过点 作 于点 ， 于点
，使得四边形 为正方形，此时 ， ，则阴影部分面积为_________ ．16. 如图，在 中，半径 ， 是半径 上一点，且 ． ， 是 上的两个动点，
， 是 的中点，则 的长的最大值等于__________．
三、解答题
17. 解方程： ．
18. 如图，将 绕点 旋转得到 ，且 ， ， 三点在同一条直线上．
求证： 平分 ．
19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
的
则直线PC即为所求．根据小元设计 尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
20. 如图，在⊙O中， ，求证： ．
21. 关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
22. 下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x … ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … m ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 …
（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）当x＞0时，y的取值范围是 ；
（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是 ．
23. 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．
24. 在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4，现从中随机抽取一个
（不放回），再从剩下的3个中随机抽取第二个小球．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）计算取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少？
25. 如图，已知 是等边三角形，以 为直径作 ，交 边于点 ，交 边于点 ，作
于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
的
（2）若 边长为4，求 的长度．
26. 已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b的对称轴；
（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．
①当MN＝2时，求b的值；
②当PM+PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．27. 在 中， ， ，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕
点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）探究线段 、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
的
（3）若 ， ，求 长（直接写出答案）．
28. 在平面直角坐标系 中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两
点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点 中，⊙O的关联点是_______________．
②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都
是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
