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丰台区 2021—2022 学年度第一学期期末练习
初三数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特征逐个判断即可．
【详解】解：A、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
D、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝60°．故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解题的关键．
3. 抛物线 的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式求解即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确顶点式二次函数 的对称轴为直
线 ．
4. 把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上．从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小
于6的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】共有13种等可能结果，小于6的有5种，利用概率公式计算即可．
【详解】解：一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上．从中随机抽取一张，共有13种
等可能结果，小于6的有5种，
抽出的牌上的数小于6的概率为 ，
故选：D．【点睛】本题考查了概率的求法，解题关键是熟记概率公式，准确列出所有可能．
5. 若关于x的一元二次方程 有一个解为 ，那么m的值是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 1或-1
【答案】A
【解析】
【分析】将 代入方程，得到关于 的一元二次方程，解方程求解即可，注意二次项系数不为0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个解为 ，
∴
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，掌握一元二次方
程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式
方程叫做一元二次方程．
6. 二次函数 的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象性质解题．【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即 ，故A不符
合题意；
B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；
C.由图象可知，当x=1时，y= ，故C不符合题意，
D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，， ，故
D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若 与 所在圆的圆心都
为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计算，
得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝ ＝2 ，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四边形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，∴ ， ， ，
阴影部分的面积为
故选：C．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．
8. 如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水
面的高度，用V（单位： ）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据容器的形状可知当液面高度越高时，体积的变化越小，即随着 的增大， 增大的速度变缓，
结合选项即可求解
【详解】解：容器的形状可知，底部最大，刚开始当 增大时，体积增大较快，但随着 的增大， 增大
的速度变缓，表现出的函数图象即为：函数图象先陡，后缓，结合选项只有B选项符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了函数图象的判断，根据容器的形状以及题意判断函数图象先陡，后缓是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果点 与点B关于原点对称，那么点B的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B坐标．
【详解】解：由题意知点B横坐标为 ；纵坐标为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相
对应的坐标互为相反数．
10. 如图，把 分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果 的周长为 ，
那么该正六边形的边长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、
△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∵ 的周长为 ，
∴ 的半径为 ，
正六边形的边长是6；
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相
等是解题的关键．
11. 如图，四边形ABCD内接于 ，E为直径AB延长线上一点，且 ，若 ，则
的度数为______．
【答案】110°##110度
【解析】
【分析】根据圆内接四边形性质求出 ，再根据平行线的性质求出 的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题关键是根据圆内接四边形的性质求出 ．
的
12. 如图所示， 绕点P顺时针旋转得到 ，则旋转 角度是______．
【答案】 ##90度
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知，点 与点 对应，则旋转的角度是 ，勾股定理证明 是直
角三角形，即可求得 ，即可求解．
【详解】如图，连接
，是直角三角形，且
绕点P顺时针旋转得到 ，
点 与点 对应，则旋转的角度是
故答案为：
【点睛】本题考查了求旋转角，勾股定理以及勾股定理的逆定理，找到旋转角是解题的关键．
13. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，
再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交 于点D，连接CD，经测量 cm， cm，那么这个
齿轮内圈圆的半径为______cm．
【答案】5
【解析】
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可
根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径△长．
【详解】解：设圆心为O，连接OB．
Rt OBC中，BC＝ AB＝4cm，
△根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB−2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故轮子的半径为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题．
14. 已知抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 …
那么该抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】观察表格可知该抛物线的对称轴为直线 ，根据二次函数图像的顶点坐标在对称轴上，
在表格中查取点坐标即可．
【详解】解：观察表格并由抛物线的图像与性质可知
该抛物线的对称轴为直线
∵顶点坐标在对称轴上
∴由表格可知该抛物线的顶点坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质．解题的关键在于正确把握二次函数的图像与性质．
15. 小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为 cm的平行线，将一根长度为
cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．下图显示
了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是______（结果保留小数点后两位）．【答案】
【解析】
【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解：由实验可得：针与直线相交的频率稳定在 附近，
而
所以估计出针与直线相交的概率是
为
故答案 ：
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出针与直线相交的频率稳定在 附近是
解本题的关键．
16. 中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起
跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程
中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m．
【答案】
【解析】
【分析】如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图：根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，
设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，
，
解得， ，
抛物线解析式为： ，
把 代入得， ；
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次
函数解析式的性质求解．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28
题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，化简绝对值，进行实数的混合运算即可
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键．
18. 解方程： .
【答案】
【解析】
【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x=-1，x=3
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，
这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 上．
求作：直线PA和 相切．
作法：如图，
①连接AO；
的
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与 一个交点为B；
③连接BO；④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作 的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的 的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：在 中，连接BA．
∵ ， ，
∴ ．
∴点A在 上．
的
∵OP是 直径，
的
∴ （______）（填推理 依据）．
∴ ．
又∵点A在 上，
∴PA是 的切线（______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：补全的图形如图所示；【小问2详解】
证明：在 中，连接BA．
∵ ， ，
∴ ．
∴点A在 上．
∵OP是 的直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵点A在 上，
∴PA是 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）计算 ，证明 即可解题；
（2）利用韦达定理 ，结合 解题．【小问1详解】
证明：
该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
又
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是
解题关键．
21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为C，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）中的解析式求得 的坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：将 ， 代入 ，得
解得：
【小问2详解】
解：由 ，令 ，得
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与 轴的交点，掌握待定系数法求解析式
是解题的关键．
22. 小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜
“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获
胜的概率是多少？【答案】小宇获胜的概率是 ，见解析．
【解析】
【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，继而解题．
【详解】解：画树状图如下，
所有机会均等的情况共9种，小宇获胜的概率为： ，
答：小宇获胜的概率是 ．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图表示概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
23. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．
如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面
积的 ，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度
和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【解析】【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的 列出方程，解方程
后再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得， ， （舍去），
则上、下通道的宽度为 （米），左、中、右通道的宽度 （米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
24. 如图，AB是 的直径，PA，PC是 的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
（1）求证： ；
（2）延长PO交 于点E，连接BE，CE．若 ， ，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接 先证明 再证明
可得 从而可得结论；
（2）如图，先求解 结合 求解 再利用 建立方程求解
即可.【小问1详解】
证明：如图，连接
为 的切线，
【小问2详解】
解：如图，
而【点睛】本题考查的是圆的的切线的性质，切线长定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，
熟练的运用切线长定理解题是解本题的关键.
25. 小朋在学习过程中遇到一个函数 ．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最
小”），这个值是______；
（2）进一步研究，当 时，y与x的几组对应值如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
结合上表，画出当 时，函数 的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程 有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小
数点后一位）．
【答案】（1）最小；0（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据解析式 ，即可求解；
（2）根据描点法画函数图象；
（3）根据图像法求解即可，作经过点 的直线，与 的另一个交点的横坐标即
为方程的解
【小问1详解】
解：∵ ，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
【小问2详解】
根据列表，描点连线，如图，
【小问3详解】
依题意， 有一个实数根为2，
则过点的解即为 与 的交点的横坐标，
且 过点
如图，作过点 的直线，与 交于点
根据函数图象的交点可知点 的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图象，根据函数图象的交点求方程
的解，数形结合是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中， ， 是抛物线 上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若 ， ，比较 与 的大小，并说明理由；
（3）若对于 ， ，都有 ，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】（1）利用配方法把抛物线化为 从而可得顶点坐标；
（2）由抛物线的对称轴为：直线 可得 关于直线 对称，从而可得答案；
（3）分三种情况讨论：当 画出图形结合抛物线的对称性可得答案.
【小问1详解】
解：
所以抛物线的顶点坐标为：
【小问2详解】
解：
抛物线的对称轴为：直线
， ，
而
关于直线 对称，
【小问3详解】
解：当抛物线的对称轴 时，如图，始终在 的上方，满足
所以
当 时，由抛物线的对称性可得 关于 的对称点 的坐标为：
当 时，满足
此时
当 时，同理可得 不符合题意，舍去，
综上：对于 ， ，都有 ，m的取值范围为：
【点睛】本题考查的是把一般式化为顶点式，抛物线的顶点坐标，抛物线的性质，熟练的运用抛物线的对
称性与数形结合是解本题的关键.
27. 如图，在 中， ， ，D是边BC上一点，作射线AD，满足，在射线AD取一点E，且 ．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段
AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求 的度数；
（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据旋转的性质可得 ， ，进而证明 ，
可得 ，根据角度的转换可得，
进而根据三角形的外角性质即可
证明 ；
（3）过点 作 ，证明 ，进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到
【小问1详解】
如图，【小问2详解】
将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，
,
,
又
即
【小问3详解】
证明如下，如图，过点 作 ，又 ,
又
，
即
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的
性质是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点
P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点 ， ， ， ．（1）直线l经过点A， 的半径为2，在点A，C，D中，直线l和 的“关联点”是______；
（2）G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若 和 有“关联点”，
求 半径r的取值范围；
（3） 的圆心为点 ，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若 和直线m的“关
联点”在直线 上，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）C （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出图形，根据切线的定义结合“关联点”即可求解；
（2）根据题意， 为等边三角形，则 仅与 相切时， 和 有“关联点”，进而求
得 半径r的取值范围；
（3）根据关联点以及切线的性质，直径所对的角是直角，找到点 的运动轨迹是以 为圆心半径为 的
半圆在 轴上的部分，进而即可求得 的值．
【小问1详解】
解：如图，
， ， ， ,
， 轴, .
的半径为2，
直线 与 相切直线l和 的“关联点”是点
故答案为：
【小问2详解】
如图，根据题意 与 有“关联点”，则 与 相切，且 与 相离
,
是等边三角形
为 的中点，则
当 与 相切时，则点 为 的内心半径r的取值范围为：
【小问3详解】
如图，设 和直线m的“关联点”为 ， ， 交 轴于点 ，
是 的切线，
的圆心为点 ，半径为t，
轴是 的切线
点 的运动轨迹是以 为圆心半径为 的半圆在 轴上的部分，则点 ，
在直线 上，
当直线 与 相切时，即当 点与点 重合时， 最大，
此时 与 轴交于点 ，当点 运动到点 时，则 过点 ，
则
解得
b的取值范围为：
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，等边三角
形的性质，等边三角形的内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．
