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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2022-2023 学年北京市人大附中朝阳分校东坝校区八年级（下）限时
作业数学试卷（3 月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在 中， ， ， ，则点C到斜边 的距离是（ ）
A. B. C. 9 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出 的长，等积法求出点C到斜边 的距离即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
设点C到斜边 的距离是 ，
则： ，即： ，
∴ ；
∴点C到斜边 的距离是 ；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
2. 最简二次根式 与 的被开方数相同，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程即可求出结论．
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【详解】解：∵最简二次根式 与 的被开方数相同，
∴1＋a=4－2a
解得：a=1
故选A．
【点睛】此题考查的是根据同类二次根式，求被开方数中参数的值，根据被开方数相同列出方程是解决此
题的关键．
3. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的边 在
轴上， 的中点是坐标原点 ，固定点 、 ，把正方形沿箭头方向推，使点 落在 轴的正半轴上的
点 处，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得： ， ， ，根据勾股定理得到 ，
即可得到结果．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
4. 在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式，
即可．
【详解】 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，被开方数中能含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
∴最简二次根式为： ， ．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
5. 如图，两点 ， 分别在矩形 的 和 边上， ， ， ，且
，点 为 的中点，则 的长为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明 ，得出 ，勾股定理得出 ，根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
又 ，
∴ ,
又 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
在 中， ，
∵点 为 的中点， ，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半，得出 是解题的关键．
6. 若 ，则a 取值范围为（ ）
的
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A. B. C. D. 一切实数
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质得出 的符号，进而得出答案．
【详解】解：若 ，
则 ，
解得： ．
故选：A
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出二次根式化简结果的符号是解题的关键．
7. 如图， 为等边三角形， 平分 ， ，点 E 为 上动点，连接 ，则
的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过A作 于F，过点P作 于E，故 ，故
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，求出 即可．
【详解】解：过A作 于F，过点P作 于E，
∵ 为等边三角形， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了含 角的直角三角形中， 所对的直角边等于斜边一半，作出垂线 ，得
到 是解决本题的关键．
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8. 估计 的值在（ ）
A. 7与8之间 B. 8与9之间 C. 9与10之间 D. 10与11之间
【答案】A
【解析】
【分析】先运用二次根式混合运算法则计算，得 ，再根据 ，
得出 ，即可得出答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝ ，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到
△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
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A. B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定
理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得
△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积
法即可得出答案．
【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，
∴ ，
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2，
BH2+( )2＝52，
解得BH＝ ，
解得：AG＝3，
在 中，
CG2+AG2＝AC2，
CG2+33＝ ，
解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，
∵DE⊥AB，
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∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，
∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2，
x2+22＝（4﹣x）2，
解得 ，
∴DE＝CD＝ ，BD＝BC﹣CD＝ ，
设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解
是解决本题的关键．
10. 如图，正方形 中， ，点E，F分别为 上一点，且 ，连接 交
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对角线 于点G，点P，Q分别为 的中点，则 的长为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理可以求得 和 的长，然后根据勾股定
理即可求得 的长．
【详解】取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 交于点 ，如图所示，
正方形 的边长为12，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 中点 ，点 为 的中点，
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∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 中点 ，点 为 的中点，
， ， ，
∵ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每题2分，共20分）
11. 在平行四边形 中，如果 ，那么 的度数是________．
【答案】 ##57度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质直接解答即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
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故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
12. 要使代数式 有意义，则x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是
解题的关键．
13. 如图，矩形纸片 中， ，E为 上一点， 平分 ， ，则 的长
为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 ，再证明 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵矩形纸片 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题关键是根据题意得出 ，利用勾股定理列出方
程．
14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据数轴可得 ，则 ，再化简绝对值和二次根
式，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知， ，
则 ，
所以
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值和二次根式的化简、整式的加减，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
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15. 如图，菱形 的对角线 、 相交于点O， ，垂足为E， ， ，则
的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得
出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定
理是解题关键．
16. 如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂直平分线交 于点F，作
，则 周长为________．
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【答案】
【解析】
【分析】知道 和 是角平分线，就可以求出 ， 的垂直平分线交 于点
F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到
．
【详解】解： 的垂直平分线交 于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵ ， 是角平分线
∴
∵
∴ ，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性
质是解题的关键．
17. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝ ，则AB的长
是 _____．
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【答案】12
【解析】
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求
AB的长．
【
详解】如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18. 已知 ，且 ，则 ______．
【答案】 ．
【解析】
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【分析】利用题目给的 求出 ，再把它们相乘得到 ，再对原式进行变形凑出
的形式进行计算．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式
．
故答案是： ．
【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运
算．
19. 如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于点O，点E，F分别在 的延长线上，
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且 ，G为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 ，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即
可．
【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
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故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出
辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理
解直角三角形等．
20. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4
的小正方形EFGH．已知AM为Rt ABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为_______．
【答案】36
【解析】
【分析】设 ， ，则正方形ABCD的面积 ，由题意可知
，结合 ，由此即可解决问题．
【详解】解：设 ， ，则正方形ABCD的面积为：
观察图形可得：
∵
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∴ ，
∵正方形 的面积为 ，即
的
∴则正方形ABCD 面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键在于根据图形当中的关系灵活设出未知数，
进而转化求解．
三、解答题（共50分）
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
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=
【点睛】本题考查了二次根式 的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
22. 如图，在四边形 中，E，F分别为 ， 上的点，且 ，连接 ， ，若四边
形 是平行四边形．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，则 ，再证 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出 是解题的关
键．
23. 已知：如图1， ，求作： ．
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作法：①在AC边上任取点E，连接BE，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交线段AC于点F；
②分别以点F，C为圆心，BE，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，使点B和点D在AC的两旁；
③连接AD，DC．
四边形ABCD即为所求．
（1）根据题意，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接DF．
∵ ， ， ，
∴ （SSS）．
∴__________．
∴ （__________）（填推理的依据）．
∵ ，
∴四边形ABCD为平行四边形（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法即可完成证明．
【小问1详解】
解：如图2，即为补全的图形；
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【小问2详解】
证明：连接DF，
∵AE=CF，AB=CD，EB=FD，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
∴∠BAE=∠CDF．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关
键是掌握基本作图方法．
24. 先化简，再求值： ，其中 ， .
【答案】 ，4
【解析】
【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出 ，代入求解即可．
【详解】解：
，
∵ ， ，
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∴ ，
∴原式 ．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
25. 如图，在四边形 中， ， ， ， ．过点 作
，垂足为点 ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，推
出四边形 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）过 作 于 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式得到
．于是得到结论．
【小问1详解】
证明： ，
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，
在 与 中，
，
，
， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：过 作 于 ，
，
在 与 中，
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，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三
角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得 是解题的关键．
26. 如图，在 中， ，D为 边上一点，连接 ，E为 中点，过点C作
交BE的延长线于F，连接 交 于点G，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求四边形 的面积．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“ ”证明 ，得出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作 于点H，根据直角三角形中 角作对的直角边等于斜边的一半，求出 ，
根据勾股定理求出 ，再求出 ，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问2详解】
解：过点C作 于点H，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和
性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，证明 ．
27. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ．如
何将双重二次根式 化简？我们可以把 转化为 完全平
方的形式，因此双重二次根式 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点 的“横负纵变点”为______，点 的“横负纵变点”为______；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（ ，m）且 ，点 是
点M的“横负纵变点”，求点 '的坐标．
【答案】（1）（ ， ）；（ ， ）
（2） +
（3）（﹣ ，﹣ ）
【解析】
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【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义， ，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将 化为 ，再根据
，即可化简；
（3）根据 ，得 ；将 化简得
；根据 ，得
，求出 的值，求出 的坐标，根据横负纵变点”的定义，
，即可求出 的坐标．
【小问1详解】
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
故答案为：（ ， ）；（ ， ）．
【小问2详解】
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∴ 化简得： ．
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点 （ ， ）
∵
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∴ （ ， ）
故 的坐标为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
28. 如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．
（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，试探究线段DM、MN、NB之间的数量关系
并证明；
（3）如图3，延长对角线BD至Q，延长DB至P，连CP、CQ，若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则
BC＝ ．（直接写出结果）
【答案】（1）见解析 （2） ，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形及ME⊥BD得∠BAE=∠BME=90°，点O是BE的中点，由直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA=OB，OM=OB，可得∠AOE=2∠OBA，∠MOE=2∠OBM，则
∠AOM=2∠ABD=90°；
（2）过点E作EF BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，先证明EM=DM，MF=MN，FE=NB，再证
明 ，通过等量代换证得结论；
（3）作点P关于直线CQ的对称点E，连结EQ、EC、EB、EP，将PQ转化为EQ，再证明
ECB≌△PCD，这样又将PD转化为EB，可证明∠QBE=90°，根据勾股定理求出EB的长即为PD的长，
△即可求出BC的长．
【小问1详解】
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
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∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°；
∵ME⊥BD，
∴∠BME=90°；
∵点O是BE中点，
∴AO= BE=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=2∠OBA；
同理，∠MOE=2∠OBM，
∴∠AOM=∠AOE+∠MOE=2（∠OBA+∠OBM）=2∠ABD=90°；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
如图2，作EF BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，
∵∠OEF=∠OBN，OE=OB，∠EOF=∠BON，
∴△EOF≌△BON（ASA），
∴FE=NB，OF=ON，
∵OM⊥FN，
∴MF=MN；
∵∠DME=90°，∠MDE=45°，
∴∠MED=45°，
∴∠MDE=∠MED，
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∴EM=DM；
∵∠MEF=∠DME=90°，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图3，作点P关于直线CQ的对称点E，连结EQ、EC、EB、EP，
∵CQ垂直平分PE，
∴EQ=PQ=9，EC=PC，
∵CQ=CQ，
∴△ECQ≌△PC（SSS），
∴∠ECQ=∠PCQ=135°，
∴∠PCE=360°-135°-135°=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECB=∠PCE=90°+∠PCB，
∵BC=DC，
∴△ECB≌△PCD（SAS），
∴EB=PD，∠BEC=∠DPC，
∴∠BPE+∠PEB=∠DPC+∠PEB+∠CPE=∠BEC+∠PEB+∠CPE=∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠PBE=90°，
∴∠QBE=180°-∠PBE=90°，
∵PB=2，PQ=9，
∴BQ=9-2=7，
∴PD=EB= ，
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∴BD=PD-PB=4 -2；
由 且BC=DC得， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、
全等三角形的性质以及勾股定理、轴对称的特征等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，
用好转化思想，此题难度较大．
29. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形 N上
任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N 间的“近距离”，记作
．在 中，点 ， ， ， ，如图 1．
（1）直接写出 d(点O , )= ；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点 P， ）=4，求点P坐标；
（3）已知点 ，顺次连接点 E、F、H、
G，将得到的四边形记为图形 W（包括边界）．
①当 时，在图 2 中画出图形 W，直接写出 的值；
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②若 ，直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①作图见解析， ；② 或
【解析】
【分析】（1）由 的点坐标可知 为 对角线的交点，可知点 到 ， 的距离相
等且为4；点 到 ， 的距离相等；如图1，记 与 轴的交点为 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，设 到 的距离为 ，根据
，求出 的值，然后与4比较取最小值即可；
（2）如图1，作 于 ，由d（点 P， ）=4，可知 ，且
，在 中，由勾股定理得 ，求出 的值，进而
可得 点坐标；
（3）①由 ，可得 ，在坐标系中描点，依次连接如图2所示，
即为图形 ；延长 交 于 ，交 于 ，延长 ，交 于 ，由
点坐标可知 ， ，可知 ， ，
，根据勾股定理求解 ， 的值，根据 ，求出 的值即可；
②由 的点坐标可知， ， ，四边形 是一个大小不变的平
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行四边形，且 点沿着直线 运动，如图2，作 的延长线于 ， ，
， ，分情况求解：当 时， 与 有交点，满足要求；当 ，
时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，满足要求；当
， 时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，
满足要求；当 在 右侧且 时， ，可得 点坐标与 的值，当 在 的左侧且
时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，
满足要求．
【小问1详解】
解：由 的点坐标可知 为 对角线的交点，
∴点 到 ， 的距离相等且为4；点 到 ， 的距离相等；
如图1，记 与 轴的交点为 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
设 到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ d(点O ， ) 的值为 ，
故答案为： ．
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【小问2详解】
解：如图1，作 于 ，
∵d（点 P， ）=4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴点P坐标为 ．
【小问3详解】
解：①∵ ，
∴ ，
在坐标系中描点，依次连接如图2所示， 即为图形 ，
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延长 交 于 ，交 于 ，延长 ，交 于 ，由 ， ， ，
可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
由题意知， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
②由 的坐标可知， ， ，四边形 是一个大小不变的平行
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四边形，且 点沿着直线 运动，如图2，作 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 与 有交点， ，
当 ， 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
当 ， 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
当 在 右侧且 时， ，
∴ ，
当 在 的左侧且 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
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综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，两平
行线间距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解．
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