文档内容
2022-2023 学年北京市人大附中朝阳分校东坝校区八年级（下）限时
作业数学试卷（3 月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在 中， ， ， ，则点C到斜边 的距离是（ ）
A. B. C. 9 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出 的长，等积法求出点C到斜边 的距离即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
设点C到斜边 的距离是 ，
则： ，即： ，
∴ ；
∴点C到斜边 的距离是 ；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
2. 最简二次根式 与 的被开方数相同，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程即可求出结论．【详解】解：∵最简二次根式 与 的被开方数相同，
∴1＋a=4－2a
解得：a=1
故选A．
【点睛】此题考查的是根据同类二次根式，求被开方数中参数的值，根据被开方数相同列出方程是解决此
题的关键．
3. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的边 在
轴上， 的中点是坐标原点 ，固定点 、 ，把正方形沿箭头方向推，使点 落在 轴的正半轴上的
点 处，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得： ， ， ，根据勾股定理得到 ，
即可得到结果．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
4. 在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式，
即可．
【详解】 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，被开方数中能含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
∴最简二次根式为： ， ．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
5. 如图，两点 ， 分别在矩形 的 和 边上， ， ， ，且
，点 为 的中点，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明 ，得出 ，勾股定理得出 ，根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
又 ，
∴ ,
又 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
在 中， ，
∵点 为 的中点， ，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半，得出 是解题的关键．
6. 若 ，则a 取值范围为（ ）
的A. B. C. D. 一切实数
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质得出 的符号，进而得出答案．
【详解】解：若 ，
则 ，
解得： ．
故选：A
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出二次根式化简结果的符号是解题的关键．
7. 如图， 为等边三角形， 平分 ， ，点 E 为 上动点，连接 ，则
的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过A作 于F，过点P作 于E，故 ，故，求出 即可．
【详解】解：过A作 于F，过点P作 于E，
∵ 为等边三角形， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了含 角的直角三角形中， 所对的直角边等于斜边一半，作出垂线 ，得
到 是解决本题的关键．8. 估计 值在（ ）
的
A. 7与8之间 B. 8与9之间 C. 9与10之间 D. 10与11之间
【答案】A
【解析】
【分析】先运用二次根式混合运算法则计算，得 ，再根据 ，
得出 ，即可得出答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝ ，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到
△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）A. B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定
理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得
△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积
法即可得出答案．
【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，
∴ ，
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2，
BH2+( )2＝52，
解得BH＝ ，
解得：AG＝3，
在 中，
CG2+AG2＝AC2，
CG2+33＝ ，
解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，
∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，
∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2，
x2+22＝（4﹣x）2，
解得 ，
∴DE＝CD＝ ，BD＝BC﹣CD＝ ，
设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解
是解决本题的关键．
10. 如图，正方形 中， ，点E，F分别为 上一点，且 ，连接 交对角线 于点G，点P，Q分别为 的中点，则 的长为（ ）
A. 6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理可以求得 和 的长，然后根据勾股定
理即可求得 的长．
【详解】取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 交于点 ，如图所示，
正方形 的边长为12，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 中点 ，点 为 的中点，∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 中点 ，点 为 的中点，
， ， ，
∵ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每题2分，共20分）
11. 在平行四边形 中，如果 ，那么 的度数是________．
【答案】 ##57度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质直接解答即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
12. 要使代数式 有意义，则x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是
解题的关键．
13. 如图，矩形纸片 中， ，E为 上一点， 平分 ， ，则 的长
为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 ，再证明 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵矩形纸片 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题关键是根据题意得出 ，利用勾股定理列出方
程．
14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据数轴可得 ，则 ，再化简绝对值和二次根
式，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知， ，
则 ，
所以
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值和二次根式的化简、整式的加减，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．15. 如图，菱形 的对角线 相交于点O， ，垂足为E， ， ，则
的长为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形对角线的长求出菱形的边长 的长，再根据等面积法求出 的长．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，掌握菱形对角线互相垂直且平分是解题的关键．
16. 如图，已知 ， 是角平分线且 ，作 的垂直平分线交 于点F，作
，则 周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】知道 和 是角平分线，就可以求出 ， 的垂直平分线交 于点
F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到
．
【详解】解： 的垂直平分线交 于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵ ， 是角平分线
∴
∵
∴ ，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性
质是解题的关键．17. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝ ，则AB的长
是 _____．
【答案】12
【解析】
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求
AB的长．
【详解】如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18. 已知 ，且 ，则 ______．【答案】 ．
【解析】
【分析】利用题目给的 求出 ，再把它们相乘得到 ，再对原式进行变形凑出
的形式进行计算．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式
．
故答案是： ．
【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
19. 如图，正方形 的边长为4，对角线 相交于点O，点E，F分别在 的延长线上，
且 ，G为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 ，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即
可．
【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，在Rt△MHG中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出
辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理
解直角三角形等．
20. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为9
的小正方形 ．已知 为 较长直角边， ，则正方形 的面积为
_______．
【答案】81
【解析】
【详解】设 ,则正方形ABCD的面积为：
观察图形可得：∵
∴ ，
∵正方形 的面积为9，即
∴则正方形ABCD的面积为：
故答案为：81.
【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键在于根据图形当中的关系灵活设出未知数，
进而转化求解.
三、解答题（共50分）
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式==
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
22. 如图，在四边形 中，E，F分别为 ， 上的点，且 ，连接 ， ，若四边
形 是平行四边形．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，则 ，再证 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出 是解题的关
键．
23. 已知：如图1， ，求作： ．作法：①在AC边上任取点E，连接BE，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交线段AC于点F；
②分别以点F，C为圆心，BE，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，使点B和点D在AC的两旁；
③连接AD，DC．
四边形ABCD即为所求．
在
（1）根据题意， 图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接DF．
∵ ， ， ，
∴ （SSS）．
∴__________．
∴ （__________）（填推理的依据）．
∵ ，
∴四边形ABCD为平行四边形（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法即可完成证明．
【小问1详解】
解：如图2，即为补全的图形；【小问2详解】
证明：连接DF，
∵AE=CF，AB=CD，EB=FD，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
∴∠BAE=∠CDF．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关
键是掌握基本作图方法．
24. 先化简，再求值： ，其中 ， .
【答案】 ，4
【解析】
【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出 ，代入求解即可．
【详解】解：
，
∵ ， ，∴ ，
∴原式 ．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
25. 如图，在四边形 中， ， ， ， ．过点 作
，垂足为点 ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，推
出四边形 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）过 作 于 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式得到
．于是得到结论．
【小问1详解】
证明： ，，
在 与 中，
，
，
， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：过 作 于 ，
，
在 与 中，，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得 是解题的关键．
26. 如图，在 中， ，D为 边上一点，连接 ，E为 中点，过点C作
交BE的延长线于F，连接 交 于点G，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求四边形 的面积．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“ ”证明 ，得出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形，即可证明结论；
（2）过点C作 于点H，根据直角三角形中 角作对的直角边等于斜边的一半，求出 ，
根据勾股定理求出 ，再求出 ，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问2详解】
解：过点C作 于点H，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和
性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，证明 ．
27. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ．如
何将双重二次根式 化简？我们可以把 转化为 完全平
方的形式，因此双重二次根式 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点 的“横负纵变点”为______，点 的“横负纵变点”为______；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（ ，m）且 ，点 是
点M的“横负纵变点”，求点 '的坐标．
【答案】（1）（ ， ）；（ ， ）
（2） +
（3）（﹣ ，﹣ ）
【解析】【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义， ，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将 化为 ，再根据
，即可化简；
（3）根据 ，得 ；将 化简得
；根据 ，得
，求出 的值，求出 的坐标，根据横负纵变点”的定义，
，即可求出 的坐标．
【小问1详解】
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
故答案为：（ ， ）；（ ， ）．
【小问2详解】∴ 化简得： ．
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点 （ ， ）
∵∴ （ ， ）
故 的坐标为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
28. 如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．
（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，试探究线段DM、MN、NB之间的数量关系
并证明；
（3）如图3，延长对角线BD至Q，延长DB至P，连CP、CQ，若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则
BC＝ ．（直接写出结果）
【答案】（1）见解析 （2） ，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形及ME⊥BD得∠BAE=∠BME=90°，点O是BE的中点，由直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA=OB，OM=OB，可得∠AOE=2∠OBA，∠MOE=2∠OBM，则
∠AOM=2∠ABD=90°；
（2）过点E作EF BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，先证明EM=DM，MF=MN，FE=NB，再证
明 ，通过等量代换证得结论；
（3）作点P关于直线CQ的对称点E，连结EQ、EC、EB、EP，将PQ转化为EQ，再证明
ECB≌△PCD，这样又将PD转化为EB，可证明∠QBE=90°，根据勾股定理求出EB的长即为PD的长，
△即可求出BC的长．
【小问1详解】
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°；
∵ME⊥BD，
∴∠BME=90°；
∵点O是BE中点，
∴AO= BE=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=2∠OBA；
同理，∠MOE=2∠OBM，
∴∠AOM=∠AOE+∠MOE=2（∠OBA+∠OBM）=2∠ABD=90°；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
如图2，作EF BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，
∵∠OEF=∠OBN，OE=OB，∠EOF=∠BON，
∴△EOF≌△BON（ASA），
∴FE=NB，OF=ON，
∵OM⊥FN，
∴MF=MN；
∵∠DME=90°，∠MDE=45°，
∴∠MED=45°，
∴∠MDE=∠MED，∴EM=DM；
∵∠MEF=∠DME=90°，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图3，作点P关于直线CQ的对称点E，连结EQ、EC、EB、EP，
∵CQ垂直平分PE，
∴EQ=PQ=9，EC=PC，
∵CQ=CQ，
∴△ECQ≌△PC（SSS），
∴∠ECQ=∠PCQ=135°，
∴∠PCE=360°-135°-135°=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECB=∠PCE=90°+∠PCB，
∵BC=DC，
∴△ECB≌△PCD（SAS），
∴EB=PD，∠BEC=∠DPC，
∴∠BPE+∠PEB=∠DPC+∠PEB+∠CPE=∠BEC+∠PEB+∠CPE=∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠PBE=90°，
∴∠QBE=180°-∠PBE=90°，
∵PB=2，PQ=9，
∴BQ=9-2=7，
∴PD=EB= ，∴BD=PD-PB=4 -2；
由 且BC=DC得， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、
全等三角形的性质以及勾股定理、轴对称的特征等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，
用好转化思想，此题难度较大．
29. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形 N上
任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N 间的“近距离”，记作
．在 中，点 ， ， ， ，如图 1．
（1）直接写出 d(点O , )= ；
（2）若点P在y轴正半轴上，d（点 P， ）=4，求点P坐标；
（3）已知点 ，顺次连接点 E、F、H、
G，将得到的四边形记为图形 W（包括边界）．
①当 时，在图 2 中画出图形 W，直接写出 的值；②若 ，直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①作图见解析， ；② 或
【解析】
【分析】（1）由 的点坐标可知 为 对角线的交点，可知点 到 ， 的距离相
等且为4；点 到 ， 的距离相等；如图1，记 与 轴的交点为 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，设 到 的距离为 ，根据
，求出 的值，然后与4比较取最小值即可；
（2）如图1，作 于 ，由d（点 P， ）=4，可知 ，且
，在 中，由勾股定理得 ，求出 的值，进而
可得 点坐标；
（3）①由 ，可得 ，在坐标系中描点，依次连接如图2所示，
即为图形 ；延长 交 于 ，交 于 ，延长 ，交 于 ，由
点坐标可知 ， ，可知 ， ，
，根据勾股定理求解 ， 的值，根据 ，求出 的值即可；
②由 的点坐标可知， ， ，四边形 是一个大小不变的平行四边形，且 点沿着直线 运动，如图2，作 的延长线于 ， ，
， ，分情况求解：当 时， 与 有交点，满足要求；当 ，
时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，满足要求；当
， 时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，
满足要求；当 在 右侧且 时， ，可得 点坐标与 的值，当 在 的左侧且
时， ，可得 点坐标与 的值，此时有 ，
满足要求．
【小问1详解】
解：由 的点坐标可知 为 对角线的交点，
∴点 到 ， 的距离相等且为4；点 到 ， 的距离相等；
如图1，记 与 轴的交点为 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
设 到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ d(点O ， ) 的值为 ，
故答案为： ．【小问2详解】
解：如图1，作 于 ，
∵d（点 P， ）=4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴点P坐标为 ．
【小问3详解】
解：①∵ ，
∴ ，
在坐标系中描点，依次连接如图2所示， 即为图形 ，延长 交 于 ，交 于 ，延长 ，交 于 ，由 ， ， ，
可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
由题意知， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
的
②由 坐标可知， ， ，四边形 是一个大小不变的平行四边形，且 点沿着直线 运动，如图2，作 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 与 有交点， ，
当 ， 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
当 ， 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；
当 在 右侧且 时， ，
∴ ，
当 在 的左侧且 时， ，
∴ ，
∴可知 时， ；综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，两平
行线间距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解．
