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初二年级数学学科期末模拟练习 2022.12.22
注意事项：
①时间：8：00－9：30，其中8：00－9：15为作答时间，该期间不能使用手机进行拍照上传
等，9：15－9：30为专门上传答案的时间．
②上传答案时，选择题答案直接在平台上勾选，非客观题部分按题块顺序依次拍照，照片上
与答案无关的部分进行裁剪处理，并把照片旋转至正方向，建议使用扫描全能王拍照更清楚．
一、选择题（每题2分，共20分）每小题有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列各等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项错误；
C. = ，故本选项错误；
D. =，故本选项正确．
故选D．
2. 下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】因式分解：把一个整式化为几个因式的积的形式．从而可以得到答案．
【详解】A没有把 化为因式积的形式，所以A错误，
B从左往右的变形不是恒等变形，因式分解是恒等变形，所以B错误，
C变形也不是恒等变形所以错误，
D化为几个因式的积的形式，是因式分解，所以D正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键．
3. 如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队
形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（ ）
A. △AEG B. △ADF C. △DFG D. △CEG
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可.
【详解】设小正方形的边长为 1，则 AB=3,AC= ,BC= ,AE= ,AF=
,DF=3,DG= BC= ,GF= AC= ,CE=
先从三角形的最长边分析，A. △AEG，B. △ADF，D. △CEG都不可能与△ABC全等；只有C. △DFG
符合SSS形式.
故选：C
【点睛】考核知识点：全等三角形的判定，勾股定理.利用勾股定理求出三角形边长是关键.
4. 若分式 的值为零，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
5. 已知ab1，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得 ，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．
【详解】解： ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用．解题的关键是利用换元法消去所求代数式中的 ．
6. 如图， 中， ， ， ，若 恰好经过点 ， 交
于 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即 ， ，再
得到对应边 ，再根据等边对等角求出 的度数，然后根据三角形内角和定理得到
， 的度数即可．
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了全等三角形 的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之
间的关系．
7. 若分式 的值为正整数，则整数a的值有( )
A. 3个 B. 4个
C. 6个 D. 8个
【答案】B
【解析】
【分析】分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值．
【详解】解：分式 的值为正整数，且a为整数，
所以a+1=1或2或3或6．
则a=0或1或2或5．
故选B．【点睛】本题考查了分式的值．理解分式 的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键．
8. 如图， 平分 ， 于点A，点Q是射线 上的一个动点．若 ，则 的最小
值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由垂线段最短可知： 的最小值为点 到射线 的垂线段的长度； 根据角平分线的性质定理
求解即可；
【详解】解：当 时， 有最小值；
∵ 平分 ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短；熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
9. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座 高的山．乙组的攀登
速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少 ．如果设甲组的攀登速度为 ，那么
下面所列方程中正确的是（ ）
.
A B. C.
D.【答案】B
【解析】
【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙
组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min，
依题意得：
故选：B.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.
10. 某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积
为S ：方案二如图乙所示，绿化带面积为S . 设 ，下列选项中正确的是（ ）
甲 乙
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可求S =2ab-b2，S =2ab，代入可求k的取值范围．
甲 乙
【详解】∵S =2ab-b2，S =2ab．
甲 乙
∴
∵a＞b＞0
∴ ＜k＜1
故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键．
二、填空题（共8道小题，每空2分，共22分）
11. 在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相
同是解题的关键．
12. 使分式 有意义的x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
13. 下列运算中，正确的是________．（填写所有正确式子的序号）
① ；② ；③ ；④
【答案】③
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式进行计算求解即可．【详解】解：① ，原式计算错误；
② ，原式计算错误；
③ ，原式计算正确；
④ ，原式计算错误；
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题
的关键．
14. 如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC
的度数为______．
【答案】75°或30°或120°
【解析】
【分析】分三种情况：当OC=OE时，当OC=CE时，当OE=CE时，分别求解即可．
【详解】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC= ∠AOB= ×60°=30°，
分三种情况：①当OC=OE时，如图，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，∴∠OEC= （180°-∠COE）= （180°-30°）=75°；
②当OC=CE时，如图，
∵OC=CE，
∴∠OEC=∠COE=30°；
③当OE=CE时，如图，
∵OE=CE，
∴∠OCE=∠COE=30°，
∴∠OEC=180°-∠OCE-∠OEC=180°-30°-30°=120°，
综上，∠OEC的度数为75°或30°或120°，
故答案为：75°或30°或120°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，要分三种情况讨论是解题的关键．
15. 如图， 是等边三角形， 于点D， 于点E．若 ，则 ___；
与 的面积关系是： ____．【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】根据等边三角形三线合一性质，可知 ，再利用30°角所对的直角边等于
斜边的一半解得 ；由 解得 ，继而解得 、 ，再根据
三角形面积公式解得 ， ，整理即可解得 的值．
【详解】 是等边三角形，
是 的平分线
在 中，
；故答案为： ； ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关
知识是解题关键．
16. （1）已知 ，则 ________；
（2）已知 ，则 ________．
（3）已知 ，则代数式 的值是________．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】（1）先推出 ，则 ；
（2）先推出 ，再根据 进行求解即可；
（3）先求出 ， ，再把 替换成 ，然后去括号，合并同类项，并代值计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ， ，
∴
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，代数式求值，正确理解题意观察出所给条件式与所求式子之间的关
系是解题的关键．
17. 如图， 中， 平分 ， ，若 与 互补， ，则 的长
为________．
【答案】6
【解析】
【分析】延长 ，交 的延长线于点 E，由题意易证 ，则有 ，
，然后可得 ，则 ，进而问题可求解．
【详解】解：如图所示，延长 ，交 的延长线于点E，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ 与 互补， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定
及等腰三角形的判定是解题的关键．
18. 如图，∠MOP=60º，OM=5，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP运动．设点N
的运动时间为t秒，当 MON是锐角三角形时，t满足的条件_____．
△
【答案】 <t<10
【解析】
【分析】先找出当 MON是直角三角形的临界点，然后结合运动情况，即可求出t满足的条件．
【详解】解：根据△题意，当MN⊥OP时，如图：
∴∠MNO=90°，
∵∠MOP=60º，
∴∠OMN=30º，
∴ON= ，∴ ；
当MN⊥OM时，如上图，
此时∠ONM=30º，
∴ ，
∴ ；
∴在点N运动过程中，当 MON是锐角三角形时，
△
；
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质，以及正确的找
出临界点进行解题．
三、解答题（共8道题，19题9分，20题12分，21题8分，22题5分，23－26题每题6分，
共58分）
19. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先提取公因数3，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用十字相乘法分解因式即可．【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．
20. 计算：
①
②
③已知 ，求 的值．
【答案】① ，② ，③ ，
【解析】
【分析】①先分别化简零指数幂，负整数指数幂，然后再算加减；②两个分式都先化简约分即可；
③原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
把 代入计算即可求出值．
【详解】解：① 原式
②原式
③原式 ，
当 时，原式 ．
【点睛】此题考查了题考查实数的混合运算，整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，分式的
化简求值，掌握运算法则是解题关键．
21. 解分式方程：
①
②
【答案】① ，② 是原方程的增根，原方程无解
【解析】
【分析】①观察可得最简公分母是 ，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，
再求解．②观察可得最简公分母是 ，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
【详解】解：①方程两边同乘 ，得
，
解得
检验 时，
是原方程的解．
②整理得
方程两边同乘 ，得
，
，
解得
检验： 时 ，
是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根，（3）分式中有常数项的注意不要漏乘常数项．
22. 如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A=∠E，AC=ED．
（1）求证：BC=CD；
（2）连接BD，求证：∠ABD=∠EBD．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可证 ，可得 ；（2）由等腰三角形的性质可得 ，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【小问1详解】
证明： ，
，
在 和 中，
，
（AAS），
；
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定
及等腰三角形的性质是解题的关键．
23. 已知 ， ．
（1）用x表示y；
（2）求代数式 的值．【答案】（1） ；（2）1.
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ， ．（2）根据分式的运算法则进行化简.
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
（2）由题意可知：
原式
【点睛】考核知识点：分式运算.掌握运算法则是关键.
24. 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于-1吗？请说明理由.
【答案】（1） ；（2）原代数式的值不能等于-1，理由见详解
【解析】
【分析】(1) 设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
(2)令原代数式的值为−1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．
【详解】解：(1)设被手遮住部分的代数式为A，
则A=
=
= ；
(2) 原代数式的值不能等于-1.
若原代数式的值为−1，则 =-1，即x+1=−x+1，解得x=0，
当x=0时，除式 =0，
故原代数式的值不能等于−1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．
25. 列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自
《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公
路，发现速度为 千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米．然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达 米．小宇计划从路的起点开始，
每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少 棵树，
请你求出a的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】用速度乘以时间可求出估算这段路的长度；根据路的两侧共计减少 棵树列出分式方程进行解
答即可．
【详解】解：这段路长约 千米；
由题意可得：
解方程得： ．
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26. 如图，AD是 ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．
△
（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析
【解析】【分析】（1）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，则利用 可得出 ，
从而得出 ，即有 ，通过这样的转化可证明 与 互补．
（2）由（1）的结论中得出的 ，结合三角形的外角可得 ，可将
转化为 ，从而在线段 上可解决问题．
【详解】证明：（1）在 上取一点 ，使得 ，连接
∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
即 与 互补．
（2）由（1）
∵
∴
又∵
∴ 即
∴
∴
∵∴ ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有
“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法．
四、解答题（本题为附加题，每题5分，共10分）
27. 直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边
BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰
三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】∠B＝30°或45°，图见解析
【解析】
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰
的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝ ∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB＋∠B，得45°＋22.5°＋x＝2x+2x，
解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；
②当BD＝BE时，则∠B＝（180−4x）°，
由∠CDE＝∠DEB＋∠B得：45°＋22.5°＋x＝2x＋180°−4x，解得x＝37.5°，此时∠B＝（180−4x）°＝30°．
③DE＝BE时，则∠B＝（ ）°，
由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x＝2x＋ ，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述∠B＝45°或30°．
【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意
分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
28. 点P为平面内任意一点，若 上存在点Q，满足 ，则称点P为 的等距离点．在平面
直角坐标系 中，点 与点B关于过点 且垂直于x轴的直线对称．
（1）以AB为底边作等腰三角形ABC，
① ，点B的坐标为______；
②当 ，且底边 上的高为3时，点C的坐标为______．
的
（2）以 为斜边作等腰直角 （点D在线段 上方）的
①直线m过点 且与x轴平行，若直线m上存在 等距离点，试画图说明b的取值范围；
②已知点 ， ，若线段 上的所有点均为 的等距离点，请直接写出t的取
值范围．（提示：若等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为 ．）
【答案】（1）① ，② 或
（2）① ，② 或
【解析】
【分析】（1）①设 ，根据轴对称的性质列方程求解即可；
②先说明点C在对称轴上，然后根据底边AB上的高为3可求得点C的坐标；
（2）①先求出 边上的高 的长，然后结合图形可求出b的取值范围；
②分若线段 上的所有点均为 的边 的等距离点时和若线段 上的所有点均为 的
边 的等距离点时两种情况求解即可．
【小问1详解】
①当 时， 为 ， 为 ，
∵点 与点B关于过点 且垂直于x轴的直线对称，
∴可设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
②如图1，当 时， 为 ， 为 ，∵点 与点B关于过点 且垂直于x轴的直线对称， 是以 为底边的等腰三角形，
∴点C在对称轴上，
∵底边AB上的高为3，
∴点C的纵坐标为 或 ，
∴点C的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ；
【小问2详解】
①点 与点B关于过点 且垂直于x轴的直线对称， 是以 为底边的等腰直角三角
形，
∴点D在对称轴上， ， ，
∴ ，
∴ ，
由图2可知，当直线m上存在 的等距离点时，b的取值范围是 ；②设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，得
，
解得 ，
∴ ．
同理可求直线 的解析式为 ．
若线段 上的所有点均为 的边 的等距离点时，如图3，
当直线 经过点N时，
作 于点E，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
把 代入 ，得
，
解得 ；把 代入 ，得
，
解得 ，
∴此时 ；
若线段 上的所有点均为 的边 的等距离点时，如图4，
同理可求此时 ，
综上可知，当线段 上的所有点均为 的的等距离点时，t的取值范围是 或
．
【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析
式，一次函数图像上点的坐标特征，以及轴对称的性质，分类讨论是解答本题的关键．
