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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市文汇中学 2024－2025 学年度第一学期期中考试
初三年级 数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共24分）
1. 下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称、中心对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键．“如果一个图形沿一条
直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，据此找出
图中的轴对称图形；“ 把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此找出图中的中心对称图形即可解答题目．
【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式 ，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式 ，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线 的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
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3. 在 中， ．若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的正弦，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：在 中， ．若 ，
∴ ，
故选：A．
4. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. 36 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的跟与 的关系，关键是
分清楚以下三种情况：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程无实数根．
5. 若点 都在反比例函数 的图象上，则（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
6. 把抛物线 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，
掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：把抛物线 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线的解析
式为 ，
故选： ．
7. 如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③
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．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正
确；即可得出结果．
【详解】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时， ADE∽△ACB，故①符合题意，
△
当 时，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴ ADE与 ACB不一定相似，故②不符合题意，
△ △
当 时， ADE∽△ACB．故③符合题意，
△
综上所述：使 ADE与 ACB一定相似的是①③，
故选：C． △ △
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两
个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
8. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
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A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数 系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断 的符号，由抛物
线与 轴的交点判断 的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断 的符号，进而对所得结论进行
判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知 ，
与 轴的交点为在 轴的正半轴上，
，
对称轴为 ，
、 异号，即 ．
故选：B．
9. 如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点 恰好落在边 上，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到 ，
，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，掌握旋转的性
质是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
10. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位： ）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜
x≤90°)近似满足函数关系 (a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与
燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约
为（ ）
A. 18° B. 36° C. 41° D. 58°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
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∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
的
∴旋钮 旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．
二、填空题（每题2分，共12分）
11. 在平面直角坐标系 中，点 关于原点 的对称点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系 中，点 关于原点 的对称点的坐标为 ．
故答案为： ．
12. 写出一个图象开口向上，与y轴的交点为 的二次函数解析式____________________.
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数 中， 时图象开口向上，
时，图象与y轴的交点为 ，因此只要满足 ， 即可．
【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得：
图象开口向上，与y轴的交点为 的二次函数解析式，只要满足 ， 即可，
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因此二次函数解析式可以为： (答案不唯一)．
故答案为： (答案不唯一)．
13. 平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2，4)，B(3，0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把
OAB缩小为原来的 ，则点A的对应点A' 的坐标为__________．
△
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点
的坐标的比等于k或-k，结合题中是在第一象限内进行变换进一步求解即可.
【详解】由题意得：在第一象限内，以原点为位似中心，把△OAB缩小为原来 的，则点A的对应点A'
的坐标为A(2 ，4 )，即(1，2).
× ×
故答案为：(1，2).
【点睛】本题主要考查了直角坐标系中位似图形的变换，熟练掌握相关方法是解题关键.
14. 如图，在反比例函数y＝﹣ 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象
限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝ 的图象上运动．若tan∠CAB＝2，
则k的值为_____．
【答案】8
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【解析】
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝
∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出
，再由tan∠CAB＝ ＝2，可得出CF•OF＝8，由此即可得出结论．
【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
由直线AB与反比例函数y＝﹣ 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ ．
∵tan∠CAB＝ ＝2，
∴CF＝2AE，OF＝2OE．
又∵AE•OE＝|﹣2|＝2，CF•OF＝|k|，
∴k＝±8．
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∵点C在第一象限，
∴k＝8．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，
解题的关键是求出CF•OF＝8．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角
形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
15. 在 中， ，点 在线段 上，过点 作 于点 ， 于点 ，
使得四边形 为正方形，此时 ， ，则阴影部分面积为_________ ．
【答案】6
【解析】
【分析】由正方形的性质可得 ，CE＝CF＝BF＝BE，得 AEC∽ ABD，设CE＝CF＝BF＝BE
△ △
＝x，利用相似三角形对应边成比例得到 ，解得AE＝ ，FD＝ ，在Rt AEC
△
中，由勾股定理得 ，求得x的值，进一步即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ，CE＝CF＝BF＝BE，
∴ AEC∽ ABD，
△ △
∴ ，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴ ，
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解得AE＝ ，FD＝ ，
在Rt AEC中，由勾股定理得，
△
，
即 ，
解得x＝ ，
∴AE＝ ＝ （cm），FD＝ ＝ （cm），
∴阴影部分面积为 （ ）．
故答案为：6
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
16. 小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案
的徒步距离（单位： ）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．
则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______ ．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 6 6 5 4
高强度 12 13 15 12 8
休息 0 0 0 0 0
【答案】36
【解析】
【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可．
【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），
如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，
∵12<15，
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∴第二天休息，第三天选择高强度，
如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），
如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，
∵9>8，
∴第四天和第五天选择低强度，
为保持最远距离，则第一天为高强度，
∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）
故答案为36．
【点睛】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是理解题意并掌握有理数的加法．
三、解答题（共12题，17题8分，18－21每题4分，22、24、25每题5分，23、26、28题
每题6分，27题7分）
17. 计算或解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2） ， ．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算和用公式法求解一元二次方程．
（1）先代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可解题；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
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解： ，
∵ ， ， ，
，
，
∴ ， ．
18. 如图，正方形 是由正方形 旋转而成的，点D在 上．
（1）直接写出旋转中心、旋转方向与旋转角；
（2）若正方形的边长是1，直接写出 的长．
【答案】（1）旋转中心为点 、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，
勾股定理是解题的关键．
（1）根据旋转的知识作答即可；
（2）根据 ， ，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，旋转中心为点 、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为 ；
【小问2详解】
解：∵正方形的边长是1，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
19. 如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，点 ．
（1）求 和 的值；
（2）观察图象，不等式 的解集为______．
【答案】（1） ， ， ；
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．
（1）直接将点的坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据图象找到反比例函数 的图象与一次函数 的图象上方的自变量的取值范围，即可
求解．
【小问1详解】
解：把 代入 得： ，
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把 代入 ，得： ，
把 代入 得： ，
解得 ；
【小问2详解】
解：观察图象得，不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
的
20. 如图，在 中， 是边 中点， ，垂足为点 ．已知
．
（1）求线段 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
（1）根据三角函数求出 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 的长即可；
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（2）先运用勾股定理求出 ，再由于D为 上的中点可得 ，推出 ，
利用正弦函数求出 ，据此即可解答．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于 ，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【小问1详解】
解：
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：原方程可化为：
或
解得： ，
由题意可得：
解得：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是
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解题的关键．
22. 如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左
右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之
间以及到上下左右的宽度都相等（设为x厘米），如图所示，求宽度x．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移的观点，把6个长方形平移在一起，成为一个一个新
的长方形，则长和宽分别是 米和 米，根据面积公式即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得 ，
整理得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）
故宽度x为2．
23. 已知二次函数 图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：
0 1
0 0
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（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当 时，直接写出 的取值范围；
（3）当 时，直接写出 的取值范围；
（4）当 时，关于 的一元二次方程 有实根，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
（4）
【解析】
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法
求二次函数的解析式．
（1）根据 ， ， 三个点求解析式即可；
（2）画出函数图象；观察图象可得当 时有最大值，当 时有最小值，即可求出y的取值范围；
（3）观察图象可得当 时 ，当 时，在 上方，即可求出x的取值范围；
（4）利用图象法求出当 时函数的取值范围，即为t的取值范围．
【小问1详解】
解： 二次函数的图象过点 和 ，
设二次函数的解析式为： ，
将 代入得： ，
解得： ，
二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
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解：函数图象如图所示：
观察图象可知，当 时， ；
【小问3详解】
解：观察图象可知，当 时， 或 ；
【小问4详解】
解：观察图象可知，当 时， ，
∵当 时，关于x的一元二次方程 有实根，
∴ ．
24. 如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所
在的数学兴趣小组测量旗杆的高度 ，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离旗杆底 点 远的 处竖立一根高 的标杆 ，小丽在 处站立，她的眼
睛所在位置 、标杆的顶端 和塔顶点 三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离 ，
， ， ， ，点 、 、 在同一直线上．
方案二：如图2，小颖拿着一根长为 的木棒 站在离旗杆 的地方（即点 到 的距离为
）．他把手臂向前伸，木棒竖直， ，当木棒两端恰好遮住旗杆（即 、 、 在一条直
线上， 、 、 在一条直线上），已知点 到木棒 的距离为 ．
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请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度 ．
【答案】旗杆的高度 为12米，方案一和方案二的过程见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，若选择方案一：如图，过点E作 ，垂足为 ，
交 于点 ，求出 （米）， （米），
（米），进而求出 （米），再证明 得
到 ，据此求出 （米），进而可得到 （米）；若选择方案二：
如图，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，则 ，证明 ，得
到 ，即 ，可得 （米）．
【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作 ，垂足为 ，交 于点 ，
由题意得： ， （米）， （米），
（米），
（米）， ，
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又 ，
，
，即 ，
（米），
（米）
答：旗杆的高度 为12米；
若选择方案二：
如图，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，则
，
，
，
由题意得： （厘米） （米）， （厘米） （米）， （米），
，
，
，即 ，
（米）
答：旗杆的高度 为12米．
25. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．
一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．
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在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得
到如下数据：
x（米） 0 1 2 4 6 7 8
y（米） 2 2.15 2.28 2.44 2.5 2.49 2.44
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；
（3）求出y与x的函数解析式；
（4）判断排球能否过球网，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）2，2.5
（3）
（4）能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据已知数据描点，然后用平滑的曲线连接；
（2）由表格和函数图象即可求得击球点的高度和排球飞行过程中可达到的最大高度；
（3）根据表格数据设顶点式，然后代入数据即可求得答案；
（4）根据y与x的函数解析式，令x=9代入求得y的值与2.24比较即可得到答案．
【小问1详解】
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解：如图，
【小问2详解】
解：∵当x=0时，y=2，
∴击球点的高度为2米；
由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5），
∴排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米；
【小问3详解】
解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5），
∴设y与x的函数解析式为 ，
∵当x=0时，y=2，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
【小问4详解】
解：排球能过球网.
理由如下：
当x=9时， ，
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∵ ，
∴排球能过球网．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、画二次函数解析式，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．
（1）当 时，
①求抛物线的对称轴；
②若点 ， 在抛物线上，且 ，直接写出t的取值范围；
（2）若 ，求b的取值范围．
【答案】（1） ； 或 ；
（2） ；
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合
应用是解题关键．
（1）①根据 ，代入求解即可得到答案；②根据抛物线的对称性求出点 的对称点，结合图形
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求解即可得到答案；
（2）根据 分两种情况 结合函数的性质直接求解即可得到答案
【小问1详解】
解：①当 时，
，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为： ；
②由①得，
在 上，
它的对称点为： ，
∵ ，
∴ 或 ；
【小问2详解】
把点 和点 代入 ，
得
当 ，有两种情况，
（1）
解不等式①，得 ，
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解不等式②，得 ，
∴此不等式组无解；
（2）
，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴此不等式组的解集为 ，
综上所述 的取值范围是： ．
27. 在 中， ， ，点D在 边上（不与点B，C重合），将线段 绕点
A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）根据题意补全图形，并证明： ；
（2）过点C作 的平行线，交 于点F，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析，证明见解析；
（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出 ，
，进而可得结论；
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（2）作 于点M，与直线 交于点N，利用 证明 ，可得 ，
，然后求出 ，可得 ，再利用 证明 即可．
【小问1详解】
补全的图形如图所示：
证明：∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，即 ，
∴ ；
【小问2详解】
；
证明：如图，作 于点M，与直线 交于点N，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直
角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：当点 满足 时，称
点Q是点P的等积点．已知点 ．
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（1）在 ， ， 中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐
标．
（3）已知点 和点 ，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的
任意一点，对于线段 上的每一点A，在线段 上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m
的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】(1)根据定义，计算确定即可．
(2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可．
(3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即
可．
【小问1详解】
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴点P的等积点是 ，
故答案 ：为．
【小问2详解】
设点 ，
∵ ，点Q是P点的等积点，
∴ 即 ，
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故点Q在直线 上，
∴点 ，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点 ，
∵点 在x轴上，
∴点 ，
解得 ，
∴点 ；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
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∴点 ，
∵点 在x轴上，
∴点 ，
解得 ，
∴点 ；
综上所述，点 或 ．
【小问3详解】
设点 ，
∵ ，点Q是P点的等积点，
∴ 即 ，
故点Q在直线 上，
设点B的等积点坐标 ，
∵ ，
∴ 即 ，
故点B的等积点在直线 上，
∵点 ，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为 ，则 ，
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∵ 为 的等积点， 在 上，
∴每一点A在直线 与直线 在第一象限交成的锐角内部或边上，
当 在直线 上时，m取得最小值，
故 ，
解得 ；
当 在直线 上时，m取得最大值，
故 ，
解得 ；
故m的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题
的关键．
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