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2022-2023 学年度九年级上册人教版数学期中基础练习 2
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 如果x＝3是方程x2＋ax﹣12＝0的一个根，那么另一个根是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】设方程的另一个根是α，根据一元二次方程的根与系数的关系得 ，把x＝3代入
进行计算即可得．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设方程的另一个根是α，
则 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系
并计算正确．
3. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且 ，从而求解．
【详解】解：根据题意得：a≠0且 ，即
，
解得： 且 ，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0
时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数
根．
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所
得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为
（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故选B
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上
加下减”，是解题的关键．
5. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2
【答案】A
【解析】
【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可．
【
详解】方程整理得：x2−3x+10=0，
则a=1，b=−3，c=10.
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.
6. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是
x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率是 x，，第一次降价后的价格为 ，第二次降价的价格为
，根据题意列出函数关系式即可求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关
系式为 ，
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
7. 关于 x 的方程 的解是 （a，m，b 均为常数，a≠0），则方程
的解是（ ）
A. B.
C. D. 无法求解
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 可 以 把 方 程 看 作 是 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ， 从 而 得 到
，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程 可以看作是关于 的一元二次方程，
∵关于x的方程 的解是 ，
∴关于 的方程 的解是 ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解．
8. 通过平移 的图象，可得到 的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标是 ，
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学科网（北京）股份有限公司又∵抛物线 的顶点坐标是 ，
∴由二次函数 的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到 的图象．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
9. 一元二次方程 中， 的值为（ ）
A. 5 B. 13 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程整理成一般形式，得到 ， ， 的值，再代入计算即可．
【详解】解： ，
，
， ， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式是
．它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0．
10. 小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，
你认为其中正确信息的个数有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象易得a＞0， ＞0，所以b＜0，2a-3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正
确的，而④是错误的；
当x=-1，y=a-b+c，由点（-1，a-b+c）在第二象限可以判定a-b+c＞0，③是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×（-3b）+2b+c=c-4b，由点（2，c-4b）在第一象限可以判定c-4b＞0⑤是正确的．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵ ＞0，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴2a﹣3b＞0，
∴abc＞0，
∴①②是正确的，
∵对称轴x ，
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴a﹣b+c＞0
∴③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0
∴⑤是正确的．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 若二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，则m的值为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】直接利用二次函数的定义以及其性质得出m的值．
【详解】解：∵二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，
∴|m|＝2，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．
12. 如图，O为等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝135°，OA＝1，
OB＝2，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，则OC的长为____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据邻补角的定义得到∠BOD＝45°，根据旋转的性质得到BO＝BD＝2，CD＝AO＝1，求得
△OBD为等腰直角三角形，得到OD＝ OB＝2 ，推出∠ODC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠AOB＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD＝2，CD＝AO＝1，
∴∠BDO＝∠BOD＝45°，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，
∴△OBD为等腰直角三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴OD＝ OB＝2 ，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠AOB＝∠BDC＝135°，
∴∠ODC＝ 90°，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴OC＝ ＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，证得△OBD为等腰直角三角形是
解题的关键．
13. 将二次函数 配方成 的形式，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接将二次函数二次项与一次项组合进而配方得出答案．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了配方法在二次函数中的应用，解题的关键是正确掌握完全平方公式的形式．
14. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．
【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1，
∴x=﹣ =1，
∴b=﹣4．
故答案为﹣4．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键．
15. 如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是____．
【答案】k≠3
【解析】
【分析】根据二次函数的定义可得k-3≠0，即可得答案.
【详解】∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，
∴k﹣3≠0，
解得：k≠3，
∴k需满足的条件是：k≠3，
故答案为：k≠3．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
16. 如图，抛物线 与直线 交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式 的
解集是_____．
【答案】 或 ．
【解析】
【分析】由 可变形为 ，即比较抛物线 与直线
之间关系，而直线 PQ： 与直线 AB： 关于与 y 轴对称，由此可知抛物线
与直线 交于 ， 两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可
得出结论．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴抛物线 与直线 交于 ， 两点，
观察函数图象可知：当 或 时，直线 在抛物线 的下方，
∴不等式 的解集为 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
17. 如图，正方形 的边长为8， 是边 上一动点（与 ， 不重合），连接 ． 是 延
长线上一点，过点 作 的垂线交 的平分线于点 ，则 面积的最大值是 __．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据正方形的性质和角平分线的定义证明出 ，设 ，则 ，再利用
同角的余角相等，判断出 ，进而得出 ，得出 ，然后求出
，再根据三角形的面积公式求出 的面积，再根据函数的性质求最值．
【详解】解：作 于 ，
四边形 是正方形，
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学科网（北京）股份有限公司，
是 的角平分线，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
四边形 是正方形， ，
，
， ，
，
，
；
，
，
，
，
，
当 时， ．
故答案为：8．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二
次函数求最值，判断出 是解本题的关键．
18. 已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点 和
，如图所示，则使不等式 成立的 的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得．
【详解】解： 二次函数 与一次函数 的图象相交于点
和 ，
由图象可得：使不等式 成立的 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
三、解答题
19. 选择适当的方法解方程：
(1)2(x－3)＝3x(x－3)． (2)2x2－3x＋1＝0．
【答案】（1）x＝3或x＝ ；（2）x＝1或x＝ ．
1 2 1 2
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】试题分析：（1）方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0
转化为两个一元一次方程来求解．
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求
解．
(1)2(x－3)＝3x(x－3)．
(x－3)(3x－2)＝0
x－3＝0或3x－2＝0
x＝3或x＝ ．
1 2
(2)2x2－3x＋1＝0．
,
∵a＝2 b＝－3，c＝1．
∴b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0．
∴x＝
∴x＝1或x＝ ．
1 2
20. 如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到△ABC ，画出△ABC 并写出点A，B，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1， 1 1 1
（2）直接写出与△ABC关于原点O成中心对称图形的△AB C 的点C 的坐标（ ）
2 2 2 2
（2）画出△ABC的外接圆圆D，（用适当的方法找到圆心），并写出其圆心点D的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A （0，-4），B （3，-3），C （3，-1）；（2）（1，3）；（3）圆D见解
1 1 1
析，D（-2，-1）
【解析】
的
【分析】（1）分别作出A，B，C 对应点A，B ，C ，再根据点的位置写出坐标即可；
1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据中心对称的性质可得点C 的坐标；
2
（3）根据三角形的外心是各边垂直平分线的交点，即可找到点D，从而写出坐标．
【详解】解：（1）△AB C 如图所示．A（0，-4），B （3，-3），C （3，-1）．
1 1 1 1 1 1
（2）∵C（-1，-3），
∴关于原点O成中心对称图形的点C 的坐标为（1，3）；
2
（3）△ABC的外接圆如图所示，
圆心D的坐标为（-2，-1）．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
的
21. 如图， 中， ， ， ，点 从 点出发以每秒 速度向
点运动，同时 从 点出发以相同的速度向 点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运
动，设运动时间为 ，
（1）用含 的代数式表示 、 的长，并直接写出 的取值范围；
（2）多长时间后 的面积为 ？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ，
（2）经过 或 时， 的面积为
【解析】
【分析】（1）由BC的长度，结合点P的出发点、运动方向及运动时间即可用含t的代数式表示出CP的
长，由点Q的出发点、运动方向及运动时间即可用含t的代数式表示出CQ的长，由BC，AC的长及点P，
Q的运动速度，即可找出t的取值范围；
（2）利用三角形的面积计算公式，结合 CPQ的面积，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结
论． △
【小问1详解】
，点 从 点出发以每秒 的速度向 点运动，
当运动时间为 时， ；
点 从 点出发以每秒 的速度向 点运动，
．
， ，点 ， 的运动速度为每秒 ，且当其中一个点到达目的地时，另一点自
动停止运动，
的取值范围为 ．
【小问2详解】
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
答：经过 或 时， 的面积为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，
用含t的代数式表示出CP，CQ的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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学科网（北京）股份有限公司22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两
盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则
每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为 元，销售猪肉粽的利润为 元，求该商家每天销售猪肉粽获得的
最大利润．
【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元
（2）1800元
【解析】
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为 元，每盒豆沙粽的进价为 元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒
贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当 时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽
盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
【小问1详解】
设每盒猪肉粽的进价为 元，每盒豆沙粽的进价为 元，由题意得：
解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
【小问2详解】
．
当 时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数
关系式是解此题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司23. 如图1， 为正方形 边 上任一点， 于点 ，在 的延长线上取点 ，使
，连接 ， ．
（1）如图2， 的平分线交 于 点，连接 ，则 ___________．
（2）如图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．（提示：过点 作 的垂线，
交 的延长线于点 ）
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得
， ，即可求解；
（2）过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质即
可解决问题．
【小问1详解】
证明： ， ，
垂直平分线段 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
，
在正方形 中， ，
，
又 平分 ，
，
，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ，
得 ，
，
，
，
，
， ，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．
①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；
②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范
围．
【答案】（1）（2，5）．（2）A'（4，5），O'（2，0）；（3）﹣ ＜m＜0．
【解析】
【分析】(1)将抛物线解析式配成顶点式,即可得出顶点坐标;
(2)先由（1）求出点A的坐标，根据平移的性质即可得出结论;
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学科网（北京）股份有限公司(3)结合图象,判断出抛物线和四边形AOOˊAˊ只有两个公共点的分界点即可得出;
【详解】解：（1）∵y=mx2﹣4mx+4m+5=m（x2﹣4x+4）+5=m（x﹣2）2+5，∴
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，5）．
（2）由（1）知，A（2，5），
∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
∴A'（4，5），O'（2，0）；
（3）如图，
∵抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，
∴m＜0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，
∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，
∴将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m+5中，得m=﹣ ．
∴﹣ ＜m＜0．
【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，二次函数的图像与性质，平移的性质及数形结合的
数学思想，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.
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学科网（北京）股份有限公司第21页/共21页
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