文档内容
2019-2020 学年北京市朝阳区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1. 下列各图中， 和 是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的定义求解即可．
【详解】解：由题意可知：
中的 和 是对顶角，
故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边
分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
2. 以下调查中，适宜抽样调查的是（ ）
A. 了解某班学生的身高情况
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 掌握疫情期间某班学生体温情况
D. 选出某校短跑最快的学生参加全市比赛
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查 的性质对各项进行判断即可．
【详解】解：A．了解某班学生的身高情况，适宜采用全面调查方式，故本选项不合题意；B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
C．掌握疫情期间某班学生体温情况，适宜采用全面调查方式，故本选项不合题意；
D．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，适宜采用全面调查方式，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抽样调查的问题，掌握抽样调查的性质和特点是解题的关键．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 3的平方根是
B. ﹣1的立方根是﹣1
C. 0.1是0.01的一个平方根
D. 算术平方根是本身的数只有0和1
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的概念进行判断即可．
【详解】解：A、3的平方根是± ，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的概念，掌握平方根、立方根、算术平方根的概念是解
题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．
【详解】解：A、（3，4），在第一象限，故此选项错误；
B、（-3，4），在第二象限，故此选项正确；
C、（-3，-4），在第三象限，故此选项错误；
D、（3，-4），在第四象限，故此选项错误；
故选B．【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．
5. 已知 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么a的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把 代入方程ax+y=1得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：把 代入方程ax+y=1得：
a-2=1，
解得a=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
6. 如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA．图中与∠A不一
定相等的角是（ ）
A. ∠BFD B. ∠CED C. ∠AED D. ∠EDF
【答案】C
【解析】
【分析】由DE∥BA，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠CED=∠A；由DF∥CA，利用“两直线
平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”可得出∠DFB=∠A，∠EDF=∠CED=∠A，再对照四
个选项即可得出结论．
【详解】解：∵DE∥BA，
∴∠CED＝∠A；
∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，∠EDF＝∠CED＝∠A．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．
7. 若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A. a+2＜b+2 B. a﹣2＜b﹣2 C. 3a＜3b D. ﹣ ＜﹣
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、若a＞b，则a+2＞b+2，原变形不成立，故此选项不符合题意；
B、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，原变形不成立，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、若a＞b，则﹣ ＜﹣ ，原变形成立，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等
号的方向改变．
8. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
22 228.0 231.0 234.0 237.1 240.2 243.3 246.4 249.6 252.8 25
5 1 4 9 6 5 6 9 4 1 6
下面有四个推断：
① ＝1.51
②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间
③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01
④16.22比16.12大3.23
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】【分析】根据表格中的信息可知 和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
【详解】解：根据表格中的信息知：
＝1.51，故①正确；
根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36，
∴正整数n＝241或242或243，
的
∴一定有3个整数 算术平方根在15.5～15.6之间，故②正确；
∵由题意设 且 ＜ ＜ ＜ ，
由 ＜ ＜ ＜ ， ＜ ，
＜
∴对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01，故③正确；
∵16.22＝262.44，16.12＝259.21，262.44﹣259.21＝3.23，故④正确；
∴合理推断的序号是①②③④．
故选：D．
【点睛】此题考查了乘方运算，算术平方根，同时考查了平方差公式，熟练掌握算术平方根的定义及求一
个数的算术平方根是解本题的关键．
二、填空题
9. 的相反数是_____．
【答案】
【解析】
【详解】只有符号不同的两个数互为相反数，由此可得 的相反数是- ，
故答案为：- .
10. 把方程2x−y＝3 写成用含x的式子表示y的形式________．
【答案】y=2x−3
【解析】
【分析】将x看做已知数求出y即可．
【详解】解：∵2x-y=3，
∴2x-3=y，
∴y=2x-3；
故答案为：y=2x-3．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
11. 某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式的解集是_____．
【答案】x≥﹣2
【解析】
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法解答即可．
【详解】解：∵﹣2处是实心圆点，且折线向右，
∴x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，一般的，不等式的解集在数轴上遵循“小于向左，
大于向右；边界含于解集为实心点，不含于解集为空心点”．
12. 如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小
路，则改造后小路的长度_____，草地部分的面积_____．（填“变大”，“不变”或“变小”）
【答案】 ①. 变大 ②. 不变
【解析】
【分析】根据两点之间，线段最短即可判断改造后小路的长度变化，根据平移的性质即可判断草地部分的
面积变化．【详解】解：根据两点之间，线段最短可得改造后小路的长度变大，
设长方形的草地的长为a，宽为b，第一个图形改造后草地的面积是a(b－1)，将第二个图形根据平移的性
质可知改造后草地的面积也是a(b－1)，所以改造后草地部分的面积不变．
故答案为：变大；不变．
【点睛】本题考查了平移的性质和两点之间，线段最短等知识，正确理解题意、灵活应用平移的性质是解
题的关键．
13. 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠A＝110°，则∠AEC＝_____°．
【答案】35
【解析】
【分析】首先根据AB∥CD，得到∠ACD70°，再由CE平分∠ACD，得到∠ACE＝∠DCE＝35°，最后由两直
线平行内错角相等，得到∠AEC＝35°．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝ =35°，
∴∠AEC＝∠DCE＝35°；
故答案为：35．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记并
灵活运用平行线基本性质是解本题的关键．
14. 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（0，2），若三角形MOP的面积为1，写出一个满足条件的
点P的坐标：_____．
【答案】(1，0)(答案不唯一，写一个即可)
【解析】
【分析】设P(a，b)，利用三角形面积公式得到 ×|a|×2=|a|，然后求出a得到满足条件的P点坐标．
【详解】解：设P(a，b)，
∵三角形MOP的面积为1，∴ ×|a|×2=|a|=1，解得a＝±1，
即P点横坐标满足±1即可．
为
故答案 答案不唯一，如(1，0）．
【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标及三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15. 可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝
_____．
【答案】14（答案不唯一）
【解析】
【分析】m的取值满足是2的倍数但不是4的倍数，据此解答即可．
【详解】解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可
以是m＝14，
故答案为：14（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了举例说明一个命题是假命题，属于基本题型，正确理解题意是关键．
16. A（a，0），B（3，4）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】点A在x轴上的动点，点 B到x轴的最短距离即为AB长度的最小值，最短距离即为B的纵坐标，
此时点A为从B向x轴作垂线的垂足.
【详解】解：∵A（a，0），B（3，4），
∴当a＝3时，线段AB长度的值最小，
即线段AB长度的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握上述知识是解题关键．
三、解答题
17. 计算： ﹣ + （ +1）．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质、立方根的性质以及二次根式的乘法运算法则分别化简即可得出答案．
【详解】原式＝ .【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确运用绝对值的代数意义、立方根化简合并，是解题的关键.
18. （1）完成框图中解方程组的过程：
（2）上面框图所表示的解方程组的方法是：__________．
【答案】（1）完成框图见解析；（2）代入消元法
【解析】
【分析】（1）把 ，表示出 ，代入 中求出 的值，代入求出 的值，确定出方程组
的解；
（2）上述解方程组的方法为代入消元法．
【详解】解：（1）填写如下：
（2）框图所表示的解方程组的方法是：代入消元法，
故答案为：代入消元法．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19. 解方程组 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据加减消元法解答即可．
【详解】解：对方程组 ，①+②，得：4x＝8，
解得：x＝2，
将x＝2代入①，得：2+2y＝﹣1，
解得：y＝﹣ ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，熟练掌握加减法和代入法求解的方法是关键．
20. 解不等式 ＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．
【答案】1，2，3
【解析】
【分析】由一元一次不等式解法知，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到原不
等式解集，进而可得正整数解．
【详解】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），
去括号，得1+2x＞3x﹣3，
移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，
合并同类项，得﹣x＞﹣4，
系数化为1，得x＜4，
则不等式的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式基本步骤是解题关键．
21. 完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互
平行
【解析】
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
【详解】证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直
线也相互平行．
【点睛】本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直
线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
22. 列方程组解应用题：
2020年5月1日，新修订的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、
有害垃圾和其他垃圾四类．北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施共34座，总处理能力达
到约24550吨/日，其中每一座焚烧设施处理能力约为1500吨/日，每一座生化设施处理能力约为350吨/日．
则北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施各有多少座？
【答案】北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有11座，生化设施有23座
【解析】
【分析】设北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有x座，生化设施有y座，根据北京市现有生活垃
圾处理设施中的焚烧设施和生化设施共34座且总处理能力达到约24550吨/日，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有x座，生化设施有y座，
依题意，得： ，
解得： ．
答：北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有11座，生化设施有23座．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23. 在近几年的两会中，有多位委员不断提出应在中小学开展编程教育，2019年3月教育部公布的《2019
年教育信息化和网络安全工作要点》中也提出将推广编程教育．某学校的编程课上，一位同学设计了一个
运算程序，如图所示．
按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果 是否大于23”为一次运行．
（1）若x＝5，直接写出该程序需要运行多少次才停止；
（2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围．
【答案】（1）若x＝5，该程序需要运行4次才停止；（2）8＜x≤13
【解析】
【分析】（1）分别求出该程序运行1,2,3,4次的结果,由19＜23,35＞23可得出当x=5时该程序需要运行4次
才停止;
（2）根据该程序只运行了2次就停止了,即可得出关于x的一元一次不等式组,解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：（1）5×2﹣3＝7，7×2﹣3＝11，11×2-3＝19，19×2﹣3＝35，
∵19＜23，35＞23，
∴若x＝5，该程序需要运行4次才停止．
（2）依题意,得：
解得： ．
答：若该程序只运行了2次就停止了，x的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
24. 线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线
AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．
（1）若点P在线段AD上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①图见解析；② ，证明见解析；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平
行线之外时， ．
【解析】
【分析】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作 和 的平分线即可；
②先根据角平分线的定义可得 ， ，再根据平行线的性质可得
，从而可得 ，然后根据平行线的判定即可得；
（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时， ．理由：先根据平行线的性质可
得 ，从而可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，
，从而可得 ，然后根据对顶角相等可得 ，从
而可得 ，最后根据三角形的内角和定理即可得证．【详解】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作 和 的平分线，如图1所示：
② ，证明如下：
∵AM平分 ，DN平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时， ，证明如下：
如图2，设DN交BA延长线于点F，延长MA交DN于点E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AM平分 ，DN平分 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ （对顶角相等），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，
熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键．
25. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求
59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计
算出结果的吗？
下面是小超 的探究过程，请补充完整：
（1）求 ；
①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定 是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定 的十位上的数是
；
由此求得 ＝ ．（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ＝ ．
【答案】（1）①两，②9，③3、39；（2）47
【解析】
【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【详解】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
③33＜59＜43，因此可以确定 的十位上的数是3，
最后得出 ＝39，
故答案为：两，9，3、39；
（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定 的十位数字为4，
于是可得 ＝47；
故答案为：47．
【点睛】考查实数的意义，立方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解提供的解题方法是类推的前
提．
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣5，0），B（﹣1，0），M（0，5），N（5，0），连接MN，
以AB为边在x轴上方作正方形ABCD．（1）直接写出C，D两点的坐标；
（2）将正方形ABCD向右平移t个单位长度，得到正方形A′B′C′D′．
①当点C′落在线段MN上时，结合图形直接写出此时t的值；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形A′B′C′D′和三角形OMN重叠的区域（不含边界）为W，若
区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）点C（﹣1，4），点D（﹣5，4）；（2）①t＝2；②2＜t≤3或6≤t＜7
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，AD∥BC，即可求解；
（2）①由题意可得OM=ON，可得∠ONM=∠OMN=45°，由平移的性质可得C'D'⊥y轴，OH=4，
CC'=t，可求点C'（1，4），即可求解；②由平移的性质可得点A（-5+t，0）点B'（-1+t，0），利用图
形可得-1＜-5+t＜2或1＜-1+t 2，即可求解．
【详解】解：（1）∵点A（﹣5，0），点B（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB∥CD，AD∥BC，
∴点C（﹣1，4），点D（﹣5，4）；
（2）①如图，设C'D'与y轴交于点H，
∵M（0，5），N（5，0），∴OM＝ON，
∴∠ONM＝∠OMN＝45°，
∵CD∥AB，
∴CD⊥y轴，
∵将正方形ABCD向右平移t个单位长度，
∴C'D'⊥y轴，OH＝4，CC'＝t，
∴∠HMC'＝∠HC'M＝45°，
∴MH＝C'H＝5﹣4＝1，
∴点C'（1，4），
∴CC'＝1﹣（﹣1）＝2，
∴t＝2；
②如图，
∵将正方形ABCD向右平移t个单位长度，
∴点A（﹣5+t，0），点B'（-1+t，0）
∵区域W内恰有3个整点，
∴﹣1 ﹣5+t＜2或1＜-1+t 2
∴2＜t≤3或6≤t＜7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，利用数形
结合思想解决问题是本题的关键．
