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北京市第二中学朝阳学校 2023-2024 学年度第一学期
初三数学期中考试试卷
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 下列各曲线是在平面直角坐标系 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是
（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的对称轴是（ ）
A. 直线x=3 B. 直线x=-3 C. 直线x=1 D. 直线x=-1
3. 在平面直角坐标系xOy中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 把抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
5. 在 ABC中， ，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关
△
系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
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6. 如图，在 中，以点 为中心，将 顺时针旋转 得到 ，边 ， 相交于点 ，
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为 ； ②若点
在这个二次函数图象上，则 ；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为 ； ④当
时， ，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为_____．
10. 请写出一个开口向上，且当 时，y随x的增大而增大的二次函数表达式：________．（只需写出
一个符合题意的函数表达式即可）
11. 若 是方程 的根，则 的值为______．
12. 如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则OH的长度为__．
13. 如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A=___________°．
14. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨
余垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增
长率为x，可列方程为________．
15. 如图， ， 分别与 相切于点 ， ， 为 的直径， ， ，则
______．
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16. 新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，
重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，
小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差 _____元，通过称重其他盲盒，大家发现：
重量介于小
重量大于小 与小林的盲 与小李的盲 重量小于小
称重情况 林和小李之
林的盲盒的 盒一样重 盒一样重 李的盲盒的
间的
盲盒个数 0 5 0 9 4
若这些礼物共花费2018元，则a＝_____元．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题4分，第21题5分，第22题6分，
第23题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）
17. 解方程： ．
的
18. 已知 ，求代数式 值．
19. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知： 及圆上一点A．
求作：直线 ，使得 为 的切线，A为切点．
作法：如图，
①连接 并延长到点C；
②分别以点A，C 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线 上方）；
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为
③以点D 圆心， 长为半径作 ；
④连接 并延长，交 于点B，作直线 ．
直线 就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接 ．
∵ ①
∴点C在 上，
∴ 是 的直径．
∴ ② ．（ ③ ）
∴ ④ ．
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线．（ ⑤ ）
20. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． A (－2，3)， B(－1，1)， C(0，2)
的
（1）将 ABC向右平移2个单位，作出平移后 AB C ；
1 1 1
（2）作出 AB C 关于点C 成中心对称的图形 AB C ；
1 1 1 1 2 2 2
（3）连接AB ，则 AB B 的面积为_________．
2 1 2 2 1
21. 关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
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22. 已知二次函数 ．
（1）将此二次函数的解析式写成 的形式，并直接写出顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（3）结合函数图象，直接写出当 时， 的取值范围．
23. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线
交于点F， ，连接FE．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
24. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状
相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平
面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
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25. 如图，在 中， ，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相
切，切点为D， 与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分 ；
（2）若 ， ，求BO的长．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若 ，当 时，求y的取值范围；
（3）已知 ， ， 为该抛物线上的点，若 ，求a的取值范围．
27. 如图，AD是 的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E
重合）， ．
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（1）比较 与 的大小；
（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明.
（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，-1），以O为圆心，OA长为半径画圆，P为平面上一点，若存在
⊙O上一点B，使得点P关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点P是⊙O的以A为中心的“关联点”．
（1）如图，点 ， ， 中，⊙O的以点A为中心的“关联点”是________；
的
（2）已知点P（m，0）为x轴上一点，若点P是⊙O 以A为中心的“关联点”，直接写出m的取值范围；
（3）C为坐标轴上一点，以OC为一边作等边△OCD，若CD边上至少有一个点是⊙O的以点A为中心的
“关联点”，求CD长的最大值．
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