初三第一学期期中学业水平调研数学试卷
一、选择题
1. 下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义逐一进行分析判断即可.
【详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
2. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. （-1，2） B. （1，2） C. （1，-2） D. （2，1）
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用抛物线顶点式的特点可写出顶点坐标．
【详解】∵顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选B．
【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
3. 体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示
他最好成绩的点是（ ）A. M B. N C. P D. Q
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点和圆的位置关系，知最好成绩在P点.
【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
【点睛】考查了点和圆的位置关系．
4. 将抛物线 向下平移3个单位，得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象平移的性质即可得出结论．
【详解】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线 y=2x2向下平移3个单位后，得到的抛物线的
表达式为y=2x2-3．
故选B.
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关
键．
5. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为
（ ）
A. 0.6 m B. 0.8 m C. 1.2 m D. 1.6 m
【答案】C
【解析】【分析】
如图，连接OA，过O作OC⊥AB，交AB于点D，由于水面的高为0.2m可求出OD的长,再利用勾股定理求出
AD的长，由垂径定理可得AB长度，即水面宽度.
【详解】连接OA，过O作OC⊥AB，交AB于点D，
∵OA=OC=1m，DC=0.2m，
∴OD=OC-DC=1-0.2=0.8m，
在Rt AOD中,AD= = =0.6m
由垂径定理得AB=2AD=1.2m,即水面宽1.2m.
故选C
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，熟练掌握定理即可解答.
6. 如图，在⊙O中， ， . 则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据垂径定理得到
，然后根据圆周角定理求解．
【详解】∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°【点睛】本题考查了圆周角定理,也考查了垂径定理．
7. 下列是关于四个图案的描述.
图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；
图2所示是一个正三角形内接于圆；
图3所示是一个正方形内接于圆；
图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.
这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（ ）
A. 图1和图3 B. 图2和图3 C. 图2和图4 D. 图1和图4
【答案】A
【解析】
【分析】
图(1)根据题意，结合图形，可用割补法直接求得结果．
图(2)先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解比较即可．
图(3) 根据圆内接正方形的性质，求出圆内正方形的面积比较即可.
图(4)求出小圆的面积比较.,
【详解】图(1)割补法就是把图形切开，把切下来 的那部分移动到其他位置，使题目便于解答．运用割补
法可以发现：阴影部分的面积正好是半圆的面积，即大圆面积的一半．
图(2)
如图所示,过O作OD⊥BC, =30°,OD= OB= R,
由勾股定理和垂径定理得BD=CD= R, S ABC=3 S BOC=3 （2 R） R= R2
R2 < R2
图（3）
如图所示，正方形的面积=4 = =2R2>
图4：
阴影部分小圆面积= = < ;
所以图1和图3符合要求
故选A．
【点睛】本题考查割补法的运用,注意运用割补法把不规则图形的面积转化成规则图形的面积 ,以及圆的
内接正三角形及圆内接正方形面积的计算．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A, B两点. 若顶点C到x轴的
距离为8，则线段AB的长度为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D【解析】
【分析】
令 ，用韦达定理得出两根与系数的关系，再结合抛物线的顶点坐标公式，适当变形推理
即可得出.
【详解】∵顶点C到x轴的距离为8，即C点的纵坐标为8，
∴ =8 ，整理得
设A点坐标( ，0) ，B点坐标（ ，0）
令 , 可得： + = ， = ，
AB= = = = ；
∴ = ；
即AB=4
故选D
【点睛】
本题解答的关键是熟练掌握一元二次方程与二次函数的关系.
二、填空题
9. 在平面直角坐标系中，点 绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为___________．
【答案】（-3，2）,
【解析】
【分析】
将点P绕原点顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【详解】根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（3，-2），
∴点P′的坐标（-3，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
【答案】y=x2+2，答案不唯一．
【解析】
【分析】
对称轴是y轴，即直线x=− =0，所以b=0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
【详解】∵抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y=x2+2，答案不唯
一.
故答案为y=x2+2.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
11. 如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= ▲ 度．
【答案】23．
【解析】
【分析】
由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，
利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义
得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数
【详解】∵PA，PB是⊙O是切线，
∴PA=PB.
又∵∠P=46°，
∴∠PAB=∠PBA= .
又∵PA是⊙O是切线，AO为半径，
∴OA⊥AP.∴∠OAP=90°.
∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°.
故答案为：23
【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握
定理及性质是解本题的关键．
12. 若二次函数 的图象上有两点 , 则 _____ .（填“>”，“=”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】
直接把点A和点B的坐标代入二次函数解析式，求出a和b，然后比较大小即可．
【详解】当x=0时，a=（0-1）2+3=4；
当x=-5时，b=（5-1）2+3=19，
所以a＜b．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
13. 如图, 边长为2的正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°，则点A运动的路径长为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由正方形ABCD的两边长为2，可以求得对角戏AC的长，由正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°后，可知
对角线AC扫过的面积正好是一个扇形，圆心角是90°，半径是AC的长，所以A点运动的路径是半径为AC
的圆的周长的 ，然后根据圆的周长计算公式即可解答本题．【详解】
如图，由已知可得，
AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC＝ = =
∵正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°
∴点A 运动的路径长：
故答案为 ．
【点睛】本题考查旋转及弧长的计算，解题的关键是找准运动轨迹以及弧长的计算，利用转化的数学思想
进行解答．
14. 如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点
D，则AC的长等△于_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股
定理列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，
∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，
∴CD=5，
∴BC=CD=5，
在Rt ABC中，AC= = =5 ．
△
故答案为5 ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的
长是解题的关键．
15. 如图，已知正方形OBCD的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线 与正方形
OBCD的边共有3个公共点，则h的取值范围是___________.
【答案】0<h<1
【解析】
【分析】
分别画出h不同取值时函数图象,由图直观得出与正方形有3个交点时h的取值范围.
【详解】
图(1) 图(2) 图(3)
图(1)当h=0时,抛物线与正方形有2个公共点,
图(2)当 0<h<1时, 抛物线与正方形有3个公共点,
图(3) 当h=1时,抛物线与正方形有2个公共点,
所以当 0<h<1时符合要求.【点睛】本题考查函数图象的特点,数形结合是解答此题的关键.
16. 如图，在 中，
（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；
（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，
① ； ② ；
③点O是 的外心 ； ④点P是 的内心.
所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
(1)点O是圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,可知
(2) 中,AM=BM,AM+BM=2AM>AB,该结论错误.
(3)三角形三边中垂线的交点是外心,正确.
(4) 由垂径定理知 ,所以∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的角平
分线,因此点P是 的内心.
【详解】(1)∵O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,ON是半径,由垂
径定理得 ,∴
(2)在 中,AM=BM,由三角形两边之和大于第三边可得AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3) O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,正确.
(4) 由垂径定理知 ,∴∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的平分线,
因此点P是 的内心.
【点睛】本题考查了三角形外心,内心及垂径定理的应用，属于基础知识范畴，难度一般.
三、解答题
17. 已知抛物线 的对称轴为 ， 是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．
【答案】抛物线的解析式为 ．
【解析】
【分析】
由对称轴x= =1，可求出b的值，
再把M点坐标带入抛物线的解析式可求c的值，即可求出解析式．
【详解】解：因为 的对称轴为 ，
所以 ．解得 ．
又因为 是抛物线上一点，
所以 ．
解得 ．
所以抛物线的解析式为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式.
18. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α. 作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转
角α后得到线段BE，连接CE. 求证：BE⊥CE.【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE，
可得 = α
然后证明△ABD与△CBE全等，
可得
所以
【详解】证明：∵线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE，
∴
∵
∴
∵
∴
在△ABD与△CBE中，
∴△ABD≌△CBE.
∴
∴【点睛】本题考查了旋转的性质及三角形全等的证明.
19. 如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、
AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点
F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC；
②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5．
【解析】
【分析】
（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证
明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知： ，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=4− +BC，
利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
【详解】解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB= ，
∴OH=OB-HB=4-
∵CB=CH，
∴OH+HC=4− +BC，
当∠BOC=90°，
此时BC=4
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜4 ，
令BC=x则CH=x，BH=
当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，
综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．20. 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心. , C是 上
一点， ，垂足为 ， ，求这段弯路的半径．
【答案】这段弯路的半径为130 m.
【解析】
【分析】
设这段弯路的半径为r m,
由垂径定理可得BD=DA= AB=50m.
因为CD=10m,得 m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理可列出方程解出半径长.
【详解】解：设这段弯路的半径为r m,
因为OC⊥AB于D, AB=100 （m）,
所以BD=DA= AB=50（m）.
因为CD=10（m）,
得 （m）.
因为Rt△BOD中，根据勾股定理有
.
即 .
解得r=130（m）.
因此这段弯路的半径为130 m.【点睛】本题考查垂径定理与勾股定理的应用.
21. 已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当 时，y的最大值为 ，最小值为 .
【答案】（1）二次函数的解析式为 ；（2）y的最大值为4，最小值为0.
【解析】
【分析】
（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）由（1）得 =（x-1）2，得在顶点处x=1时，y
最小值为0，在 中，距对称轴最远处x=3时，y最大值为4.
【详解】（1）由题意二次函数图象与x轴只有一个公共点.
可令 ,
则有 .
即 .
得 .
所以该二次函数的解析式为 .
（2）由（1）得 =（x-1）2
得在顶点处x=1时，y最小值为0，
在 中，距对称轴最远处x=3时，y最大值为4.
所以，y的最大值为4，最小值为0.
【点睛】本题考查根的判别式，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图像与性质,求最值问题,
正确理解取得最大值和最小值的条件是关键.
22. 如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至
△BCM.（1）依题意补全图形；
（2）若OA= ，OB= ，OC=1，求∠OCM的度数.
【答案】（1）补全图形见解析；（2）∠OCM=90°.
【解析】
【分析】
（1） 根据题意叙述可知旋转角是60°，画出图形即可.
（2） 由旋转的性质得BO=BM, ∠OBM=∠ABC=60°,则可判断△OBM为等边三角形,所以OM=
；在△OMC中，利用勾股定理逆定理可得△OMC为直角三角形，所以∠OCM=90°
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：
（2）连接OM，
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°.∵△BAO旋转得到△BCM， OA= OB= ,
∴MC=OA= MB=OB= ，∠OBM=∠ABC=60° .
∴△OBM为等边三角形.
∴OM= OB= .
在△OMC中，OC=1，MC= OM= .
∵ ,
∴OC 2 +MC 2 =OM 2.
∴∠OCM=90°.
【点睛】本题考查旋转变换性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题．
23. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E
为线段AC上一点，且ED=EA.
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若 ，∠A=30°，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2.
【解析】
【分析】
（1） 连接OD．通过证明∠ODE=90°，易证得结论；
（2） 由（1）得ED是⊙O的切线；由题意得AC是⊙O的切线，可得ED=EC=EA,又由
∠A=30°，在Rt△ABC中，解直角三角形可得BC长，然后半径可得.
【详解】（1）证明：连接OD.∵ ED=EA,
∴ ∠A=∠ADE.
∵ OB=OD,
∴ ∠OBD=∠BDO.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠A +∠ABC =90°.
∴ ∠ADE +∠BDO =90°.
∴ ∠ODE=90°.
∴ DE是⊙O的切线.
（2）解：∵ ∠ACB =90°, BC为直径,
∴ AC是⊙O的切线.
∵ DE是⊙O的切线,
∴ ED=EC.
∵ ED= ,
∴ ED=EC=EA= .
∴ AC= .
∵ Rt△ABC中∠A=30°,
∴ BC=4.
∴ ⊙O的半径为2.
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，切线长定理以及解直角三角形,解题的关键是：熟记切线的判定
定理与性质定理，切线长定理以及知道特殊角解直角三角形．
24. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结
构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把
桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥
时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上
方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂
直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100
m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐
标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.图2
【答案】索塔顶端D与锚点E的距离为155米.
【解析】
【分析】
先建立适当的平面直角坐标系,AC所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，
再由已知条件和抛物线的对称性确定出点坐标： .
设抛物线的表达式为 .
将Q的坐标带入.，解得a的值，就可得出抛物线的表达式.
当MC= 时，带入抛物线的表达式，得出y值就是CD 的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理得出DE
的长度.
也就是塔顶端D与锚点E的距离
【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系.．
依题意可知 ,
.
由抛物线的对称性可知， .则可得点坐标： .
设抛物线的表达式为 .
因为抛物线经过点Q，
所以将点Q的坐标带入得 .
解得 .
得抛物线的表达式为 .
当 时，得 .
因为 ,
所以 .
.
所以
答：索塔顶端D与锚点E的距离为155米.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，结合勾股定理，这
都是解题关键
25. 探究函数 的图象与性质．
小娜根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．
x … 0 2 3 …
y … 0 m n 3 …
请直接写出：m= ，n= ；
（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出
剩下的两个点，并画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程 有三个不同的解，记为x, x , x ，且x< x<x.
1 2 3 1 2 3
请直接写出x+ x+x 的取值范围.
1 2 3
【答案】（1）m=1，n=0；
（2）见解析；
（3）
【解析】
【分析】
（1）把x=1代入，可求出m的值；把x=2代入，可求出n的值（2）先描点，再连接即可；
（3）y=a与 函数图象的交点横坐标即是x 、x 、x 的值，
1 2 3
且x< x<x, 由图观察可得0<x <1, 1<x <2, 2<x <1+ ,
1 2 3 1 2 3
所以
【详解】解：（1）m=1，n=0；
（2）如图：
（3）∵y=a与 函数图象的交点横坐标即是x 、x 、x 的值，
1 2 3
且x< x<x.
1 2 3
由图观察可得0<x <1, 1<x <2, 2<x <1+ ,
1 2 3
∴
【点睛】本题考查了函数的描点作图，代入求值及数形结合的思想，难度稍大.
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与直线 交于A, B两点，其中点A在x轴上.（1）用含有b的代数式表示c；
（2）① 若点B在第一象限，且 ，求抛物线的解析式；
② 若 ，结合函数图象，直接写出b的取值范围.
【答案】（1）c=b-1；
（2）①抛物线的解析式为 ；② 或 .
【解析】
【分析】
(1)由题意直线y=x+1与x轴交于点A，可得出点A坐标 ，又因抛物线y=x2+bx+c经过点A，所以将点A坐
标代入抛物线解析式可解得.
（2）①由y=x+1可推得∠OAC=45º.
如图，已知AB=3 ，
Rt△ABD中,利用勾股定理可解出AD=BD=3,所以点B的坐标为(2,3) .
将点B的坐标(2,3)代入抛物线y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.
并与（1）中得到的c=b-1联立方程组并解出方程组可得b,c的值,带入得到
抛物线的解析式.②因为 ，结合函数图象，可直接得出b 的取值范围. 或 .
【详解】解：（1）由题意直线y=x+1与x轴交于点A
可得点A坐标为(-1,0)
又因抛物线y=x2+bx+c经过点A
,
所以将点A坐标(-1 0)代入抛物线解析式可得
1-b+c=0，即c=b-1.
（2）①设y=x+1与y轴交于点C，可得
A (-1,0)，C (0,1).
可知OA=OC=1.
又因∠AOC=90º,
所以∠OAC=45º.
如图，已知AB=3 ，过B作BD⊥x轴于点D,
易知∠ADB=90º.
又因∠BAD=45º，AB=3 ，
所以AD=BD=3.
所以点B的坐标为(2,3) .
将点B的坐标(2,3)代入抛物线y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.
并与（1）中得到的c=b-1联立方程组可得：
解得
得抛物线的解析式为 .
②因为 ，由函数图象（1）得， 对称轴 即b≤0.由函数图象（2）得， 对称轴 即b≥6.
所以可得出b的取值范围 或 .
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数图象结合，待定系数法求二次函数解析式,要结合函数图象及相
应的数量关系才能完成,难度较大，属于压轴题.
27. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC， ，将点C关于直线AB对称得到点D，作射线
BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF.
备用图
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AF=AE；
（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）∠ACB=54°.证明见解析.
【解析】
【分析】
根据题意叙述画出图形即可.
(2)由对称可得，DB=BC，∠ABD=∠ABC，再由等量加等量仍是等量可得
BE=CF，易证△ABE ≌ △ACF（SAS），所以 AE=AF.(3) ∠ACB=54°.由对称和(2)中已证的全等三角形推理可得.
【详解】（1）如图所示
2）证明：∵ 点C与点D关于直线AB对称，
∴ DB=BC，∠ABD=∠ABC.
∵ DE=BF，
∴ DE+BD=BF+BC.
∴ BE=CF.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C.
∴ ∠ABD=∠C.
∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）.
∴ AE=AF.
（3）∠ACB=54°.
证明：如图，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=54°.
∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.∵ 点C与点D关于直线AB对称，
∴ ∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.
∴ ∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，
∴ ∠E=∠ADB-∠DAE=18°.
∵ 由（2）得，△ABF ≌ △ADE（或者△ACF ≌ △ABE），
∴ ∠AFB=∠E=18°.
∴ ∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°= ∠BAD.
∵ AB=AD，
∴ AF垂直平分BD.
∴ FB=FD.
∴ ∠AFD=∠AFB=18°，
∴ ∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，
∴ AP=AF.
∵ 由（2）得AE=AF，
∴ AP=AE.
【点睛】本题考查图形对称应用及三角形全等判定，根据题文注意数形结合是解题关键.
28. 在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB
的直角点.特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为 ，在点P ，P ，P 中，线
1 2 3
段OM的直角点是______；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为 ， ，直线l的解析式为 ．①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；
②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的
半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）P、P；（2）①点C的坐标为 或 或 或 ；② ＜r＜2．
1 3
【解析】
【分析】
（1）根据直角点的定义判定即可；
（2）①∠BAC=90°时，可设点C的坐标为（a，b）.因为点A的坐标已知，点C在直线上,可解得点C的坐标；∠ABC=90°时，已知点B坐标同理可解点C坐标；取AB的中点P，连接CM，根据A、B坐标可求出
P点坐标及AB的长，根据直角三角形斜边中线的性质可得CP的长，列方程求出a、b的值即可求得点C
坐标；
②设P（m，-m+7），连接AP，以AP为边向下作正方形APC C ，连接PC 、AC ，交于C ，则C 、C 、
3 1 1 3 2 1 2
C 为AP的等腰直角点，过点A作x轴的平行线，分别过点P、C 作y轴平行线，交x轴的平行线于E、
3 1
F，利用AAS可证明△AFC ≌△APE，可得AF=PE=4-(-m+7)=m-3，FC =AE=m-1，即可用m表示出C 坐标，
1 1 1
根据中点坐标公式可表示出C 坐标，即可得出C 、C 的运动轨迹，分别求出两条直线与⊙O相切时的r值
2 1 2
即可得答案．
【详解】（1）∵∠MOP =90°，
1
∴P 为OM的直角点，
1
∵P（5，1），M（4，0），
2
∴△MOP 是钝角三角形，
2
∴P 不是OM的直角点，
2
∵P（2，2），
3
∴OP = ，MP = ，OM=4，
3 3
∴OP 2+MP2=OM2，
3 3
∴△OMP 是直角三角形，
3
∴P 是OM的直角点，
3
故答案为：P、P
1 3
（2）①如图，当∠BAC=90°时，设点C的坐标为（a，b），
∵点A的坐标为 ，点C在直线 上，
∴b=4， ，
解得a=3，
∴C （3，4），
1
当∠ABC=90°时，设点C的坐标为（a，b），
∵点B的坐标为 ，点C在直线 上，
∴b= ， ，
解得a=13，
∴C （13，-6）．
2当∠ACB=90°时，设点C的坐标为（a，b），AB的中点P，连接CP，
∵点C在直线 上，
∴ ，
∵点A，B的坐标分别为 ， ，
∴AB=10，
∵∠ACB=90°，当P为AB中点，
∴点P的坐标为（1，-1），CP= AB=5，
∴ ，即(a-1)2+(8-a)2=25，
解得：a=4，a=5，
1 2
∴b=3，b=5，
1 2
∴C （4，3），C （5，2）．
3 4
综上，点C的坐标为（3，4）或（13，-6）或（4，3）或（5，2）．
②如图，设P（m，-m+7），连接AP，以AP为边向下作正方形APC C ，连接PC 、AC ，交于C ，则
3 1 1 3 2
C 、C 、C 为AP的等腰直角点，
1 2 3
过点A作x轴的平行线，分别过点P、C 作y轴平行线，交x轴的平行线于E、F，
1
∴△AEP、△AFC 为直角三角形，
1
∵∠FAC +∠EAP=90°，∠EAP+∠APE=90°，
1∴∠FAC =∠APE，
1
在△AFC 和△APE中， ，
1
∴△AFC ≌△APE，
1
∴AF=PE=4-(-m+7)=m-3，FC =AE=m-1，
1
∴C （4-m，5-m），
1
∵P（m，-m+7），C 为PC 中点，
2 1
∴C （2，6-m），
2
∴点C 的运动轨迹为直线y=x+1，点C 的运动轨迹为直线x=2，
1 2
直线y=x+1与x轴的交点坐标为（-1，0），
∴当y=x+1于⊙O相切时，r= ，
当直线x=2与⊙O相切时，r=2，
∴r的取值范围为 ＜r＜2．
【点睛】本题考查了定义的自学能力，一次函数与坐标的关系，利用函数式表示坐标并运用讨论条件的思
想是解题关键.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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