文档内容
数学
命题人：蒋志刚（永州四中） 唐首佳（宁远一中）
潘圆（江华一中） 陈诗跃（永州一中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，且 与 不共线，则“向量 与 垂直”是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 在点 处的切线方程是（ ）
.
A B.
C. D.
5. 已知函数 的最小正周期为 ，则 的对称轴可以是（ ）
A. B. C. D.6. 在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类
工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配
方案的种数是（ ）
A. 38 B. 42 C. 50 D. 56
.
7 已知数列{a )满足 ，且 ，则
n
（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 为奇函数，且 在区间 上有最小值，则实
数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 为随机事件， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 若 相互独立，则
B. 若 相互独立，则
C. 若 两两独立，则
D. 若 互斥，则
10. 已知点 ，圆 ，则（ ）
A. 圆 与圆 公共弦所在直线的方程为
B. 直线 与圆 总有两个交点.
C 圆 上任意一点 都有
D. 是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，当 最小时， 的方程为
11. 在边长为1的正方体 中， 分别为棱 的中点， 为正方形
的中心，动点 平面 ，则（ ）
A. 正方体被平面 截得的截面面积为
B. 若 ，则点 的轨迹长度为
C. 若 ，则 的最小值为
D. 将正方体的上底面 绕点 旋转 ，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形
的十面体，则该十面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在 的展开式中，各项系数之和为 ，则展开式中的常数项为__________________.
13. 已知 为锐角，且 ，则 ______．
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线 上的点 在 轴上方，若 的
平分线交 于点 ，且点 在以坐标原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求 ．
16. 如图，在三棱锥 中， ， ，点 在棱 上，
且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17. 已知椭圆 的短轴长为 ，右焦点为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知过点 的直线 与椭圆 交于 两点，过点 且与 垂直的直线 与抛物线 交于
两点，求四边形 的面积 的取值范围.
18. 已知函数， ， ．
（1）若 ，求 的极值；
（2）当 时，讨论 零点个数；
（3）当 时， ，求实数 的取值范围．19. 将数字 任意排成一列，如果数字 恰好在第 个位置上，则称有一个巧合，
的
巧合 个数称为巧合数，记为 ．例如 时，2，1，3，4为可能的一个排列，此时 ．
的排列称为全错位排列，并记数字 的全错位排列种数为 ．
（1）写出 的值，并求 的分布列；
（2）求 ；
（3）求 ．
